aritmetica completo

CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTOSSe tiene por conjunto como un concepto no definido,sin emargo, intuitivamente lo asociamos a los términos: reunión, colección, agrupación, clase.Es por elli que un conjunto nos dá la idea de la reunión de varios seres u objeto, reales o imaginarios, alguna característica común.Cada uno de los seres u objetos que integran un conjunto se les llama "elementos".

NOTACIÓNPor convención un conjunto es denotado con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, números u otros símbolos, separados por punto y coma, además de agruparse a todos ellos mediante llaves.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

1. POR COMPRENSIÓN O EN FORMA CONSTRUCTIVAUn conjunto queda determinado por comprensión cuando se indica una o más características de los elementos del conjunto.Ejemplos:A = {x/x es una vocal}B = {x/x Z Z+, x ≤ 5}

2. POR EXTENSIÓN EN FORMA TABULARUn conjunto queda determinado por extensión cuando se menciona a cada uno de sus elementos .De los ejemplos anteriores:A = {a, e, i, o, u}B = {1, 2, 3, 4, 5}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. INCLUSIÓN()Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B , si todos los elementos de A, pertenecen a B.

Notación A BSe lee:- A está incluido en B.- A es subconjunto de B.

A B x A X B

Se lee ˝A está incluido en B si solo si para todo elemento X del conjunto A implica que X pertenece a B.˝

NOTACIÓN: B ASe lee:-B incluye a A.-B es superconjunto de A.

2. IGUALDADSe dice que dos conjuntos A y B son iguales, si tienen los mismos elementos, es decir:

A = B A B ^ B A

Se lee “A es igual a B, si solo si A está incluido en B y B incluido en A.”

CONJUNTOS NOTABLES

1. Conjunto vacíoLlamado también conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos. Convencionalmente se le considera incluido en cualquier otro conjunto.Si A es vacío.Notación: A = o A = { }

2. Conjunto UnitarioLlamado también SINGLETON es aquel conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplo:A = {0}B = {5; 5; 5}

3. Conjunto UniversalEs un conjunto referencial que sirve para el estudio de una situación en particular. Por

ejemplo, si nos interesa estudiar a los estudiantes de las diferentes universidades, entonces el conjunto de universitarios será el conjunto universal. Se representa por U o Ω.

NÚMERO DE SUBCONJUNTOSSea el conjunto AEl número subconjuntos de A está dado por 2n, donde “n” representa el número de elementos del conjunto A.

Ejemplos:* A = {1; 2}, N(A)=2 elementosSubconjunto de A: {1}; {2}; {1;2}; Φ

Número de subconjuntos de A = 22 = 4

* B = {1; 2; 3}, n(B) = 3 elementosSubconjuntos de B:{1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}, {1; 2; 3}; Φ

Número subconjunto de B = 23 = 8

1) Número de subconjuntos de A = 2n(A)

2) Número de subconjuntos propios de A =2n(A) - 1

4. Conjunto potenciaNotación: P(A)Se lee: "Conjunto potencia de A"

El P(A) es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Ejemplo:

Sea A = {2; 4; 6}P(A) = {Ф; {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}}

OBSERVACIÓN:n[P(A)]=8=23

En general:n[P(A)]=2n(

A)

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados los conjuntos A y B, entonces:

1. Unión ():A B = {x/x A x B}

A - B B - A

2. Unión ():A B = {x/x A x B}

A B = B A

3. Diferencia:A - B = {x/x A x B}

A B = B A

OBSERVACIÓN

Definimos:A B: Diferencia simétrica, tal que:A B: (A B) – (A B)A B: (A – B) (B – A)

A B = B A

4. ComplementoNotación:A’, ; AC, CA: Complemento del conjunto A con respecto al universo.A’ = {x/x A}

AB

U

AB

U

AB

U

AB

U

A U

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

1) (A - B)’ = A’ B’2) (A’)’ = A (Propiedad involutiva)

LEYES DE MORGAN1) (A B)’ = A’ B’2) (A B) = A’ B’

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar el cardinal del conjunto:B = {x Z / -8 < 2x < 6}

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

2. Hallar la suma de los elementos de A si:A = {x/x Z+; 7x ≤ 2x + 100}

a) 210 b) 200 c) 180d) 220 e) 160

3. Dado el conjunto:

{x/x N, 3 < <5}

Indicar lo correcto:A) Es vacíoB) Es unitarioC) Posee 2 elementosD) La suma de sus elementos es 9E) El producto de sus elementos es 1680

4. Calcular (a + b) si E es un conjunto unitario:B = {4a + 1: 3a + 4; 2b + 9}

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Sea U = {x Z+/x<10} conjunto universal y sean:

A = {x U / x es par}Hallar la suma del número de subconjuntos propios de A con el número de subconjuntos propios de Ba) 18 b) 30 c) 32d) 46 e) 48

6. La suma del número de subconjuntos de A con el número de subconjuntos de B es igual a 20. Hallar n(A) + n(B):

B = {x Z / -8 < 2x < 6}a) 4 b) 5 c) 10d) 8 e) 6

7. Si n[P(A)] + [P(B)] = 48, entonces la suma del número de subconjuntos propios de A con el número de subconjuntos propios de B es igual a:a) 46 b) 30 c) 18d) 28 e) 42

8. Hallar la suma de los elementos de F:

F = {x / Z+ / x < 73}a) 111 b) 113 c) 115d) 117 e) 119

9. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):( ) Si A B A B = B( ) Si A B A B = ( ) A B = A - B = Aa) VVV b) VFV c) VFFd) FFF e) FFV

10. Dados A y B contenidos en U y además::n(A) = 20; n(B) = 30; n(A B) = 10; n(U) = 45, hallar:

n(AB) + n(AB)’;a) 35 b) 30 c) 25d) 20 e) 15

11. en una encuesta tomada el verano pasado a un grupo de 600 personas se supo que 250 iban a la playa, 220 iban a la piscina, 100 iban a la playa y a la piscina. ¿cuántos no iban a la playa ni a la piscina?:a) 100 b) 250 c) 220d) 230 e) 240

12. A un grupo de 100 personas se les preguntó si practicaban fútbol y basket. El resultado fue: 20 no practicaban estos dos deportes, 30 no practicaban fútbol y 60 no practicaban fútbol basket ¿cuántos practicaban fútbol y basket?:a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

13. En una fiesta donde iban 70 personas, 10 eran hombres que no les gustaba la música “Salsa”, 20 eran mujeres que gustaba de esta música. Si el número de hombres que gustaba de la música “Salsa” es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música ¿a cuántos les gusta la música “Salsa”?:a) 20 b) 24 c) 26d) 28 e) 30

14. De 190 personalidades, entre americanos y europeos que asistieron a un congreso se supo que 110 eran varones, 100 eran

americanos y 16 mujeres eran europeas ¿cuántos varones europeos asistieron?:a) 86 b) 84 c) 80d) 76 e) 74

15. De 200 personas consultadas sobre el deporte que practican, se obtuvo la siguiente información: 68juegan fútbol, 138 juegan basket, 160 juegan vóley 20juegan fútbol y no basket; 13 juegan fútbol y no vóley y 15 juegan fútbol y vóley pero no basket ¿cuántos juegan basket y vóley pero no fútbol?:a) 40 b) 17 c) 80d) 57 e) 97

16. De un grupo de 95 deportistas se observó que: 15 son atletas, que practican el fútbol y

la natación 52 son atletas 55 son nadadores tofos los futbolistas son atletas y 12 son

deportistas que sólo practican atletismo 15 deportistas no practican ninguno de

los deportes mencionados¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores, pero no futbolistas?a) 14 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

17. Si:n(A B C) = 93 n(A) = n(B) = 41n(C) = 46 n[(A B) - C] = 9n[(B C) – A] = 7 n[A – (B C)] = 18Calcular: n(A B C)a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

18. En un salón de clase de 60 alumnos, se tomaron 3 exámenes para aprobar un curso y se observó que los que aprobaron un solo examen es el quíntuple de los que aprobaron los 3 exámenes y los que aprobaron sólo 2 exámenes es el triple de los que desaprobaron los 3 exámenes. Si el número de los que desaprobaron los 3 exámenes es igual al número de los que aprobaron los 3 exámenes, ¿cuántos aprobaron el curso si para aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos 2 exámenes?a) 15 b) 18 c) 21d) 24 e) 30

19. En una oficina 20 empleados conversan en voz baja para no despertar a los 10 que duermen; 18 están echados, 3 de ellos duermen y 5 conversan en voz baja. Si en total hay 50 empleados, ¿de cuántos se puede decir “quizás están trabajando?a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

20. En una encuesta realizada a 100 personas, todos los hombres tenían más de 20 años, en el grupo hay 50 mujeres. Hay 60 personas de más de 20 años, 25 mujeres casadas, 15 personas casadas con más de 20 años de edad y 10 mujeres casadas con más de 20 años de edad. Determinar la cantidad de hombres solteros.a) 35 b) 40 c) 45d) 50 e) 55

TAREA

1. Si: A = B, calcular abA = {3a – 8; 44}; B = {10; ba – 20}

a) 64 b) 25 c) 16d) 36 e) 49

2. Dado el conjunto: {x Z/1 < x < 5}, ¿cuántos subconjuntos tiene A?a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

3. Diga usted cuántos subconjuntos propios tiene:

A = {2; 6; 12; 20; …; 90}a) 1024 b) 512 c) 511d) 9 e) 10

4. Hallar la suma de los elementos del conjunto:

B = {(x + 1)/x Z+; 6x ≤ x + 35}a) 33 b) 32 c) 35d) 36 e) 40

5. Calcular (2z - w), si B es un conjunto unitario

B = {3w - 2z; 25; w + z}a) 10 b) 15 c) 5d) 25 e) 12

6. Sean los conjuntos A y B tal que:n(A B) = 40; n(A - B) = 17 y n(B - A) = 16hallar n(A) + n(B)a) 34 b) 44 c) 46d) 36 e) 52

7. De un grupo de 200 personas a 120 no les gusta la salsa y a 130 no les gusta el rock. Si a 80 no les gusta salsa ni rock, ¿a cuántos si les gusta ambos?a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

8. En una encuesta a 150 estudiantes se sabe que 50 son mujeres; 80 estudiaban Biología; 20 son mujeres que no estudiaban Biología. ¿Cuántos hombres no estudiaban Biología?a) 20 b) 40 c) 80d) 10 e) 50

9. De 90 artistas, se sabe que 12 bailan; cantan y declaman, hay 56 que bailan, 49 que declaman y 25 que sólo bailan. Además todos los que cantan saben bailar y 8 artistas no bailan, no cantan y no declaman. ¿Cuántos bailan y declaman pero no cantan?a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

10. De una muestra recogida a 200 secretarias 40 eran rubias, 50 eran morenas y 90 tienen ojos azules; de estas últimas 65 no son rubias y 60 no son morenas. ¿Cuántas de las secretarias no eran rubias ni morenas, ni tienen ojos azules?a) 35 b) 110 c) 90d) 105 e) 75

NUMERACIÓN

CONCEPTOEs una parte de la Aritmética que estudia la formación y representación del número.

ORDEN DE UNA CIFRAEs el lugar que ocupa una cifra dentro de un numeral, se enumera de derecha a izquierdaEjemplo: Sea el numeral 82495

8 2 4 9 5

1er orden2do orden3er orden4to orden5to orden

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓNEs un número referencial que nos indica cuantas unidades necesarias de un orden cualesquiera se necesitan para poder formar una unidad del orden inmediato superior.

Ejemplos:

En base 10:10 u de 1er orden < > 1 u de 2do orden10 u de 2do orden < > 1 u de 3er orden

En base 8:8 u de 1er orden < > 1 u de 2do orden8 u de 2do orden < > 1 u de 3er orden

También la base nos indica de cuanto en cuanto se agrupan una cantidad, para formar las órdenes de un numeral.

Ejemplos:

En base 10: Agrupación de 10 en 10

19(Está escrito en base10 o decimal)

En base 8: Agrupación de 8 en 8

23(Está escrito en base8 u octonario)

OBSERVACIÓN: La base siempre es un entero positivo mayor que la unidad, es decir:

Base Z+ > 1

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES1. En el sistema de base “n” se pueden utilizar

“n” cifras diferentesEjemplos:En base 10: cifras: 0; 1; 2; …; 9En base 8: cifras: 0; 1; 2; …; 7En base n: cifras: 0; 1; 2; …; (n - 1)

Significativa

OBSERVACIONES Toda cifra siempre es menor que la base La cifra máxima es igual a uno menos que la

base Se llama cifra significativa a toda cifra

diferentes de cero

1. Toda cifra dentro de un numeral tiene dos clases de valoresa) Valor absoluto

Es el que tiene por el símbolo que lo representa

b) Valor relativoEs el que tiene de acuerdo a su posición

Ejemplo: Sea el numeral 8452VA(8) = 8 VR(8) = 8.10³VA(4) = 4 VR(4) = 4.10²VA(5) = 5 VR(5) = 5.101

VA(2) = 2 VR(2) = 2

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

BASE SISTEMA CIFRAS

2 BINARIO 0; 13 TERNIARIO 0; 1; 24 CUATERNARIO 0, 1; 2; 35 QUINARIO 0, 1; 2; 3; 46 SENARIO 0; 1; 2; 3; 4; 57 HEPTANARIO 0; 1; 2; 3; 4; 5; 68 OCTANARIO 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 79 NONARIO 0; 1; 2; 3, 4; 5; 6; 7; 810 DECIMAL 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 911 UNDECIMAL 0, 1; 2, 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10)12 DUOCECIMAL 0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)

REPRESENTACIÓN LITERAL DE NUMERALES

EJEMPLOS:

* = 10; 11; 12; …; 99* = 100; 101; 102; …; 999

* = 100(7); (101(7); … 666(7)

Números capicúasSon aquellas cuyas cifras equidistantes son iguales

Ejemplos:

De 2 cifras: De 3 cifras: De 4 cifras:

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

La descomposición polinómica de un numerales la suma de los valores relativos de sus cifras.

Ejemplos:

8345 = 8.10³ + 3.10² + 4.10 + 5 = 0.10² + b.10 + c

= a.10³ + b.10² + c.10 + d345(9) = 3.9² + 4.9 + 5

= a.8³ + b.8² + c.8 + d

En bloques:

CAMBIOS DE BASE

Caso 1: De base 10 a base 10

Método: Por descomposición polinómica

Ejemplo:

432(5) = a base 10432(5) = 4.5² + 3.5 + 2432(5) = 100 + 15 + 2432(5) = 117

Caso 2: De base 10 a base 10

Método: Por divisiones sucesivas

Ejemplo:

Convertir 745 a base 6

745 = 3241(8)

Caso 3: De base 10 a otra base 10

Ejemplo:

432(6) = a base 7

Procedimiento: B(6) B(10) B(7)

1º) 432(6) = 4.6² + 3.6 + 2 = 164

2ª) 164 a base 7

432(6) = 323(7)

PROPIEDADES

1. Si dos numerales son equivalentes, se cumple que a mayor valor aparente de un numeral, le corresponde menor base; y viceversa.

Ejemplo: Si:

OBSERVACIÓNComo aparentemente el primer numeral es mayor que el segundo, se cumple: x < y

2. Se cumple:

Ejemplos:* 999 = 10³ - 1 * 666(7) = 7³ - 1 = 342 9999 = 104 – 1 6666(7) = 1 = 2400


745612462063

24

1

164 723 72

3

3

1. Hallar el valor de “x” en: 421(x) = 133(9)

a) 6 b) 5 c) 4d) 7 e) 8

2. Dado los numerales: 51(a); ;

el mayor de ellos en el sistema decimal es:a) 28 b) 30 c) 31d) 34 e) 35

3. Expresar el número 420(g5) en base 8a) 146(8) b) 152(8) c) 156(8)

d) 160(8) e) 162(8)

4. El cuádruplo de un número es de la forma , pero si a dicho número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2, se obtiene . Hallar ba.a) 12 b) 14 c) 15d) 20 e) 21

5. Hallar un número de 3 cifras que termine en 8, tal que si se le suprime esta cifra el número resultante es 4/41 del número original. Dar la cifra de centenas de dicho número.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Se sabe que los numerales y están

bien escritos. Hallar , expresado en base 10.

a) 106 b) 156 c) 161d) 162 e) 141

7. Hallar “a” si 1040(a) =

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

8. Convertir al sistema notario el mayor número que se escribe con tres dígitos en el sistema heptanario.a) 342(9) b) 324(9) c) 423(9)

d) 420(9) e) 240(9)

9. Hallar: a + b si = 161.

a) 7 b) 8 c) 6d) 9 e) 5

10. Hallar “a” en

a) 4 b) 9 c) 5d) 1 e) 3

11. Sabiendo que = 1106(n), calcular el valor de

(a + b + n)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Sabiendo que:

entonces (x + y + z + n) es igual a:a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

13. Hallar: “a + b” si:

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

14. Hallar un número de dos cifras que sea igual a 8 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta el producto de dichas cifras.a) 12 b) 5 c) 16d) 8 e) 14

15. Hallar (a + b + c”, si: + a + b = 988a) 14 b) 16 c) 18d) 20 e) 15

16. Si: , hallar m .n

a) 20 b) 12 c) 15d) 16 e) 25

17. Si a un número de tres cifras que empieza en 2, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/9 del números original, hallar la suma de las cifras de dicho número.a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

18. Una persona en el año y en el año tuvo (a + b) años. Averigüe la edad que ésta persona tuvo en el año 2000.a) 55 b) 32 c) 46d) 72 e) 81

19. Si se cumple que:

a) 4 b) 8 c) 7d) 2 e) 10

20. Para adivinar la edad de Rafael y Miriam se pide que multiplique la edad de Rafael por 2 se sume 5 al resultado y todo lo multiplique por 50, luego agregue la edad de Miriam y finalmente reste 365. si el resultado obtenido fue 2210 ¿Cuál es la suma de las edades de Rafael y Miriam?a) 42 b) 45 c) 48d) 50 e) 54

TAREA

1. Represente Correctamente (reconstruya)a54 + 2.55 + c.53 + 4

a) b) c)

d) 1a230(5) e) 24ac4(5)

2. Si los siguientes numerales están bien representados:

calcular: (a + b + c)a) 6 b) 5 c) 4d) 7 e) 8

3. Si:N = 2(17)4 + 2(17)3 + 26 + 4(17)

como se escribe el número “N” en base 17.Sugerencia: “Reconstruya”a) 22405 b) 20425 c) 22095d) 22059 e) 22459

4. Si:

567(n) =

hallar: n + xa) 12 b) 13 c) 9d) 11 e) 10

5. Hallar (a + b), si:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

6. Si:

a) 12 b) 8 c) 17d) 5 e) 10

7. Si:

= 58(9)

hallar: a) 2306 b) 2304 c) 2204d) 2308 e) 1304

8. Si:

hallar “a”a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 1

9. Represente de manera adecuada (Reconstruya)10000a + 1000b + 100c + 10d + a

a) b) c) d) e)

10. ¿Cuántos números de 2 cifras, son tales que son numéricamente iguales a cuatro veces la suma de sus propias cifras?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

CONTEO DE NÚMEROS

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Es una sucesión de números en el cual cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón.

Ejemplos:

14; 20; 26; 32; …\/ \/ \/6 6 6

42; 39; 36; 33; …\/ \/ \/-3 -3 -3

En general:P.A. : t1; t2; t3; …; tn

\/ \/r r

Donde:t1 : Primer términotn : Ultimo términor : Razón de la P.A.

TÉRMINO DE LUGAR k

Se cumple :tk = t1 + (k – 1)r

Ejemplo:

Sea la P.A. : 18; 25; 52; …

∨ ∨7 7

Se obtiene:t21 = 18 + 20(7) = 158t34 = 18 + 33(7) = 249

NUMEROS DE TERMINOSSe cumple:

Ejemplos:

Sea la P.A.15; 24; 33; … ; 375

∨ ∨9 9

Sea la P.A.12; 19; 26; … ; 439

\/ \/7 7

CASO PARTICULAR

Si los números son consecutivos (r = 1)Se cumple:

#t = (tn – t1) + 1

Ejemplos :

*

*

EJERCICIO

¿Cuántos tipos de imprenta se utilizan para enumerar las 468 páginas de un libro?

Resolución

Luego ; total : 9 + 180 + 1107 = 1296 cifras o tipos de imprenta.

CANTIDAD DE CIFRAS EN UNA SERIE NATURAL

Sea: 1; 2; 3; ...; N : # de k cifras

Se cumple:

Cant. cifras = (N – 1)

Ejemplo:¿Cuántas cifras se utilizan para la enumeración de las 468 páginas de un libro?

Resolución:

1_; 2; 3; ………………..; 468

Números de 3 cifras

Cant. cifras = (468 + 1)3 - 111Cant. cifras = 1296

MÉTODO COMBINATORIO

La cantidad de números que existen está determinado por el producto de las cantidades de valores que pueden adoptar las variables independientes contenidas en el numeral dado.

Ejemplo 1

¿Cuántos números de 5 cifras existen en el sistema decimal?

Resolución

Ejemplo 2:

¿Cuántos números de 3 cifras existen en el sistema de base 8?

Resolución

¿Cuántos números capicúas de 4 cifras existen en el sistema decimal?


1. Hallar el vigésimo término de la siguiente serie:8; 15; 22; 29; …….

a) 134 b) 141 c) 148d) 155 e) 127

2. El segundo y quinto término de una progresión aritmética son 20 y 44 respectivamente. Hallar el trigésimo término.a) 228 b) 236 c) 244d) 252 e) 260

3. La suma del primer y quinto término de una progresión aritmética es 92 y la suma del cuarto con el décimo término es 252. Hallar la razón.a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 20

4. Tres términos consecutivos de una progresión aritmética

son 12(5); y 34(5). Hallar a² + b²

a) 13 b) 20 c) 10d) 17 e) 25

5. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?32m; 40m; 46m; …..; 200m

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

6. ¿Cuántos números de tres cifras existen en el sistema quinario?a) 80 b) 100 c) 120d) 125 e) 150

7. ¿Cuántos números de dos cifras del sistema decimal tiene sus dos cifras impares?a) 20 b) 25 c) 30d) 45 e) 50

8. ¿Cuántos números de cuatros cifras existen en el sistema de base 6 tal que la primera y última cifra sean impares?a) 108 b) 216 c) 324d) 288 e) 360

9. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras existen en el sistema ternario?a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

10. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras existen en el sistema decimal?a) 90 b) 100 c) 110d) 810 e) 900

11. ¿Cuántos números de tres cifras existen en el sistema octavario tal que la primera cifra sea el doble de la última?a) 24 b) 28 c) 32d) 36 e) 40

12. ¿Cuántos números pares en el sistema decimal se expresan como numerales capicúas de tres cifras cuya central sea impar?a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

13. ¿Cuántos números de cuatro cifras de la forma

existen?

a) 12 b) 20 c) 24d) 15 e) 16

14. ¿Cuántos números de cinco cifras del sistema terciario no usan la cifra cero?a) 16 b) 27 c) 32d) 36 e) 45

15. ¿Cuántos números de la forma existen?a) 12 b) 16 c) 20d) 24 e) 25

16. En una P.A. de 15 términos la suma de los términos es 360. ¿Cuál es el valor del término central?a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

17. ¿Cuántas cifras se emplean para escribir los números enteros del 1 al 100?a) 180 b) 189 c) 192d) 195 e) 198

18. ¿Cuántos tipos de imprenta se utilizan para numerar las 200 páginas e un libro?a) 492 b) 494 c) 496d) 498 e) 500

19. Cuántas cifras se emplean para escribir la siguiente serie:30; 33; 36; …., 2238

a) 2600 b) 2321 c) 2315d) 2478 e) 2610

20. Dada la siguiente progresión aritmética: 111: …….. : 514la cual tiene términos y su razón es “r”, hallar: b + ra) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

TAREA

1. ¿Cuántos números de 3 cifras significativas existen en base 8?a) 243 b) 143 c) 553d) 343 e) 443

2. ¿Cuántos números de 4 cifras inician su escritura en cifra par y la culminan en cifra impar?a) 2480 b) 1000 c) 1500d) 1560 e) 2000

3. En la siguiente secuencia00001; 00002; 00003; …; 10000, ¿cuántos ceros innecesarios se han escrito?a) 11106 b) 11006 c) 11116d) 10116 e) 11316

4. ¿Cuántos números de cuatro cifras utilizan la cifra tres en su escritura?a) 3170 b) 3168 c) 3174

d) 3172 e) 31765. ¿Cuántos números pares capicúas de 4 cifras existen en el

sistema decimal?a) 1600 b) 50 c) 40d) 745 e) 36

6. ¿Cuántos tipos de imprenta se utilizan para numerar las 128 hojas de un libro?a) 276 b) 560 c) 176d) 760 e) 660

7. Hallar (a + b) si para escribir todos los números enteros consecutivos desde hasta se han empleado

cifrasa) 14 b) 13 c) 12d) 11 e) 10

8. ¿Cuántos números de 4 cifras del sistema quinario utilizan alguna cifra en su escritura?a) 108 b) 208 c) 308d) 408 e) 98

9. ¿Cuántos números de 3 cifras del sistema decimal poseen solamente 2 cifras impares en su escritura?a) 320 b) 330 c) 340d) 350 e) 360

10. ¿Cuántos tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia?

10077; 10078; 10079; …; 100300?a) 1319 b) 1320 c) 1321d) 1322 e) 1323

OPERACIÓN BINARIA

Es aquella operación matemática que relaciona dos elementos de un conjunto para obtener un nuevo elemento.Una operación binaria es “CERRADA” cuando en el resultado obtenido es un elemento del conjunto en el cual se definió la operación, en caso contrario se llamará “ABIERTA”.

I.

II. La ley asociativa depende de la conmutativa, si no es conmutativa, no es asociativa.

III. El elemento neutro es único, es un número, no depende de variables.

IV. Si existe elemento neutro, entonces existe elemento inverso.

V. La ley distributiva compara dos operadores y debe comprobarse por la izquierda y por la derecha

Estas leyes pueden generalizarse para cualquier operador; así:

1. Si: a * b = b * a La operación (*) es conmutativa

2. Si: a * n = n * a = a Existe elemento neutro y es “n”

3. Si: a * (b * c) = a * b) * c La operación es asociativa

4. Si: a . a-1 = n Existe elemento inverso de “a” y es “a-1”5. Si: a # (b * c) = a # b) Es distributiva

OPERADORES MATEMÁTICOS DEFINIDOS EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Sea: M = {a; b; c; d}Con su operador matemático () y su tabla respectiva:

a b c d

a a b c d

b c d a b

c b c d a

d d a b c

Luego, se pide calcular “x” en cada uno de los siguientes casos:

I. (b c) x = (b d) aRpta.: …………………………………………………….

II. (a x) c = (d b) cRpta.: …………………………………………………….

III. (x c) (b a)Rpta.: …………………………………………………….

PROPIEDADESSea el conjunto:

A = (m; n; p; q)

Con su operador () y su tabla:

m n p q

m n p q m

n p q m n

p q m n p

Operación Binaria

Clausura

Conmutativa Distributiva

Asociativa Elemento neutro

Elemento inverso

q m n p q

I. Propiedad ConmutativaSi: m n = n m m; n A Se cumple la propiedad conmutativa

Ejemplos aplicativosDiga Ud. en cada caso si cumple la propiedad conmutativa:I) a * b = a + 2b + 3II) p q = q - p + 2III) m # n = m + n - m

a b c d e

a b c d e ab c d e a b

c d e a b c

d e a b c d

e a b c d E

II. Propiedad AsociativaSi: (m n) p = m (n p)m; n; p A se cumple la propiedad asociativa.

III. Existencia del Elemento Neutro (e)Si: m e = m = e m m A “e2 es el elemento neutro.

Obsérvese la forma práctica de encontrar “e” en tablas.

a b c d

a b c d a

b c d a b

c d a b c

d a b c d

IV. Existencia del Elemento Inverso (e)Si: m m-1 = e m-1 es el elemento inverso de “m”


1. Una operación está definida mediante la tabla adjunta ¿Cuál es el resultado de efectuar (A B) C?

A B C

A A B C

B B A C

C C C A

a) A b) B c) Cd) No existe e) A o B

2. Dada la tabla:

a b c d

a b c d a

b c d a b

c d a b c

d a b c D

Calcular “x” si:[(a b) c] (b x) = (a c)a) A b) B c) Cd) No existe e) A o B

3. De acuerdo a la tabla:

? a b c d

a a b c b

b b a d c

c a b a d

d d c b a

Diga Ud. si se cumple las siguientes afirmaciones:( ) a? a = a( ) (a ? a) ? b = c( ) se cumple la ley conmutativaa) VVV b) FVV c) VFFd) FVF e) FFF

4. Dado el conjunto A = {0; 1; 2; 3}

S 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 4

I. El elemento neutro es el 0II. x A, existe su inversoIII. S es cerradoEs(son) correcto(s):a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) II y III

5. Con los elementos del conjuntoA = {a; b; c; d; e} se define la operación (*) obteniéndose la tabla adjunta.

* a b c d E

a a b c b E

b b c d e A

c c d e a B

d d e a b C

e e a b c d

Se afirma que:I. La operación * es conmutativaII. El elemento neutro es “b”III. La operación * es cerradaIV. La operación * es asociativaV. (a * b) * c = (d * e) * aDe estas afirmaciones es(son) verdadera(s)

a) Sólo I b) Sólo IV c) II y IIId) I, III y IV e) Todas

6. Sea la operación definida en el conjunto:A = {a; b; c }, mediante la tabla adjunta

a b c

a c a b

b a b c

c b c a

Es(son) correcta(s):I) La operación es conmutativaII) La operación es asociativaIII) La operación definida en A admite la existencia de

un elemento neutro en A.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) Todas

7. Dada la tabla:

* 1 2 3

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 2

Calcular:P = [(2-1 * 3-1)-1 * 2-1]-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Si la operación es conmutativa y tiene neutro 4, calcular:

E = [(4 3) (2 1)] 5

Sabiendo que:

* 2 3 5

1 3 4 2

5

5 1 3 4

4

3 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Definamos en el conjunto de los números enteros, la operación “” mediante a * b = 2(a + b). indicar cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s):I. es conmutativaII. es asociativaIII. tiene elemento neutro

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y IV e) II y III

10. Dada la operación binariaa # b = a + b + a + b

calcular el elemento neutroa) 1 b) 1/2 c) 0d) -1 e) -2

11. En el conjunto solución A = {0; 1, 2} se define la operación “#” tal que:1 # 0 = 1 2 # 0 = 2 0 # 0 = 01 # 1 = 2 2 # 1 = 3 0 # 1 = 11 # 2 = 3 2 # 2 = 1 0 # 2 = 2decir cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)I. # es conmutativaII. El inverso de 2 es 0III. El elemento neutro es el 1

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I, II y III

12. Sea # la operación definida en el conjunto A = {; ; } mediante la siguiente tabla:

#

I. La operación # se cumple x # x = x, x AII. La operación # es conmutativaIII. EL conjunto A tiene el elemento identidad es(son)

correcta(s)

a) I y II b) II y III c) I y IIId) I y II e) Sólo I

13. De acuerdo a la tabla del operador “” definido en el conjunto: A {1; 2; 3}

1 2 3

1 3 1 2

2 1 2 3

3 2 3 1

( ) “” es conmutativa( ) El elemento neutro es 2( ) El inverso de 2 es 2a) VVF b) FFF c) VFVd) FVV e) VVV

14. En el conjunto A = {1; 2; 3; 4} se define la operación “” mediante la tabla

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Decir si es verdadero o falso( ) El conjunto es cerrado para la operación “”( ) “” es conmutativa( ) El 1 es el elemento identidada) VVF b) VFV c) VVVd) FVV e) FFF

15. En R define: a b = 2a + b; a # b = a + b²Entonces calcular la suma de los valores “x” que satisfacen: 1 # (x 1) = 1 # 3

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) -2

16. Se definen las operaciones binarias:a ♣ b = a + b + 1; a ♦ b = a – b – 1hallar el valor de:

[(1 ♣ 1) ♦ (2 ♣ 2)] ♣ [0 ♦ 0]a) 0 b) -1 c) -2d) -3 e) -4

17. Se define: a b = a² - b² + a + bSe afirmaI. a a = 2aII. a b = b aIII. (a – 1) a = 0es(son) verdadera(s)a) Sólo I b) I y III c) Sólo IIId) Sólo II e) Todas

18. Si:: R x R es una operación definida por:

a b = 2a + 2b + abresolver la ecuación

[x (2 1)] + [1 2] = 14a) 1 b) 2 c) 3d) -2 e) -1

19. En R definimos la operación:a b = a² - b² + 2ab

¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?( ) a 0 = 0 a = a( ) es conmutativa( ) x (-x) = 0( ) (1 2) 3 = 1 (2 3)a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

20. Sea la operación (#), definida en los reales por:

a # b =

TAREA

1. Si el conjunto A = {0; 1; 3} y definimos la operación (#) por:

# 1 2 3

0 0 1 3

1 1 3 0

3 3 0 1

De las siguientes proposiciones, determinar el valor de verdad o falsedad( ) 3 # 1 = 1 # 3( ) (1 # 0) # 3 = 1 # (0 # 3)( ) (3 # x) # 0 = 1 x # 1 = 3a) VVF b) FFF c) VFVd) VVV e) VFF

2. Dada la siguiente tabla:

* a b c d

a b d c a

b c a d b

c d b a c

d a c b d

Calcular “x” en: (a * b) * (c * x) = d * ca) a b) b c) cd) d e) e

3. Se define la operación “” en el conjunto A = {a; b; c; d}, mediante la siguiente tabla de doble entrada

a b c d

a c d a b

b d a b c

c a b c d

d b c d a

Entonces podemos afirmar que:I. La operación es conmutativaII. Tiene elemento neutroIII. a-1 b-1 = x c x = ba) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas

4. Dadas las siguientes tablas

a b c d e

a c d e a b

b d e a b c

c e a b c d

D a b c d e

E b c d e a

✰ a b c d e

a b c d e a

b c d e a b

c d e a b c

d e a b c d

e a b c d e

Hallar “x”( a c) ✰ (d x) = (c ✰ d) ea) a b) b c) cd) d e) e

5. En la siguiente tabla es falso:

a b c d

a a b a a

b c b b d

c d a c b

d b c d a

I. No es conmutativaII. El elemento neutro es cIII. a (b d) = (d c) dIV. La operación “” es cerradaa) I y II b) Sólo II c) II y IIId) II; III y IV e) Ninguna es falsa

6. Dada la siguiente tabla de doble entrada y de módulo 4, definamos la operación () en el conjunto A = {1; 2; 3; 4}

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Calcular “x”, si:[(2-1 3)-1 x] [(4-1 2) 3]-1 = 1

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

7. En A = {a; b; c; d} se define mediante la tabla la operación

a b c d

a d a b c

b a b c d

c b c d a

d c d a b

8. Dada la tabla:# 2 3 5 7

2 5 2 3 7

3 7 3 5 2

5 2 5 7 3

7 3 7 2 5

Calcular el valor de:

P =

a) 2/3 b) 3/5 c) 5/7d)7/3 e) 5/3

9. Dada la tabla:* 1 2 3 4

1 4 1 2 3

2 1 2 3 4

3 2 3 4 1

4 3 4 1 2

Calcular el valor de:P = {(2 * 1) * (3 * 4)}(2*2)

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 0

10. En A = {1; 0; 1; -2} -2 -1 0 1

-2 -1 0 1 -2

-1 0 1 -2 -1

0 1 -2 -1 0

1 -2 -1 0 1Si:

(x-1 1)-1 (-2 0)-1 = (-1)-1

entonces “x” es:a) 0 b) 1 c) -1d) -2 e) 2000No se puede determinar

ADICIÓN

Es una operación binaria donde dados dos elementos a y b llamados sumandos, se le hace corresponder un tercer elemento S llamado suma.

A + B = S .

Donde A y B : SumandosS : Suma

SUMA DE TÉRMINOS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

(SERIE ARITMÉTICA)Sea la serie aritmética:

Sn = a1 + a2 + 33 + … + an

\ / \ /r r

Se cumple: Sn =

Dondea1 : Primer términoan : Último términon : número de términos

Ejemplo:

Hallar:

S = 14 + 20 + 36 + … + 500\ / \ /6 6

1º) # términos = + 1 = 82

2ª) S = 82 = 21074

SUMATORIAS NOTABLES

1. Sumatoria de los “n” primeros números naturales

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + … + 80 = = 3240

2. Sumatoria de los “n” primeros números impares

2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) .

Ejemplo:

2 + 4 + 6 +…. + 40 = 20(21) = 420

OBSERVACIÓN: 2n = 40 n = 20

3. Sumatoria de los “n” primeros números impares.

1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n² .

Ejemplo:1 + 3 + 5 + … + 39 = 2020

OBSERVACIÓN: 2n – 1 = 39 n = 20

4. Sumatoria de los “n” primeros cuadrados perfectos

Ejemplo:

= 2870

5. Sumatoria de los “n” primeros cubos perfectos

Ejemplo:

= 3025

6. Sumatoria de potencias sucesivas de un número

Ejemplo:

1 + 10 + 102 + 103 + … + 1020 =

7. Sumatoria de los “n” primeros productos binarios de números consecutivos

Ejemplo:

1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 20(21) = = 3080


1. Si:A = 1 + 2 + 3 + … + 40B = 2 + 4 + 6 + … + 60Calcular: A + Ba) 1680 b) 1720 c) 1750d) 1800 e) 1850

2. Hallar la suma de las cifras de A si:A = 1² + 2² + 3² + … + 10 ²

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

3. Si: x + y + z = 18, calcular: + +

a) 1898 b) 1998 c) 1788d) 1798 e) 2098

4. Si: , calcular : a + b + xa) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

5. Si:

= 55

Calcular:1² + 2² + 3² + … + x²

a) 204 b) 285 c) 385d) 506 e) 650

6. Se ordena 153 bolas convenientemente logrando conformar un triángulo equilátero ¿cuántas bolas deben ubicarse en la base?a) 21 b) 20 c) 22d) 24 e) 17

7. Si: , calcular: a + b + c + xa) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

8. Hallar el valor de “x” si:1 + 2 + 3 + 4 + … + x = 105

a) 12 b) 14 c) 15d) 20 e) 21

9. Hallar el valor de S en:S = 100(2) + 100(3) + 100(4) + … + 100(11)

a) 504 b) 505 c) 506d) 510 e) 511

10. Hallar la suma de las cifras de A, si:A = 101 + 102 + 103 + … + 180

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8

11. Hallar a.b.c. si:

a) 24 b) 48 c) 96d) 72 e) 126

12. Calcular:S = 1 + 8 + 27 + 64 + … + 1000

a) 3025 b) 2500 c) 3600d) 3725 e) 3825

13. Calcular la suma de los 30 primeros términos de la siguiente progresión aritmética si tiene 50 términos:

10; ……..; 304a) 2820 b) 2890 c) 2910d) 2980 e) 3020

14. La suma de 49 números consecutivos termina en dos. ¿En qué cifra terminará el menor de los 49 números?a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 9

15. En la siguiente operación:

Calcular: b + c - aa) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 8

16. Dada la siguiente suma:

Calcular: a + b + ca) 8 b) 10 c) 11d) 13 e) 15

17. La suma del mayor número par de 3 cifras diferentes y el menor número de 3 cifras impares diferentes es:a) 1121 b) 1122 c) 1123d) 1120 e) 1119

18. (a + b + c)² = 484Hallar: + 111a) 2468 b) 25553 c) 2553d) 12567 e) 2335

19. Sumar: 4 + 11 + 30 + 67 + …. + 8003a) 28720 b) 42180 c) 43250d) 16150 e) 44160

20. Si: Hallar: a + x + y + za) 16 b) 15 c) 14d) 17 e) 18

SUSTRACCIÓN

SUSTRACCIÓNEs una operación binaria, donde dados dos elementos M y S, se le hace corresponder un tercer elemento D.

M – S = D

Donde:M : MinuendoS: SustraendoD: Diferencia

Se cumple M + S + D = 2M

PROPIEDADSea el número (a > c)

Si

Se cumple: y = 9 z + z = 9

También: a – c = x + 1

Comprobación:

742- 684-247 486495 198

Ejemplos de aplicación:

1. Si:

2. Si:

COMPLEMENTO ARITMÉTRICO (C.A.)

Es lo que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior de us cifra de mayor orden.Sea N un número de K cifras, se cumple:

CA(N) = 10K - N

Ejemplos:CA(43) = 102 – 43 = 57CA(648) = 103 – 648 = 352CA( ) = 100 - CA( ) = 1000 - CA( ) = 10000 -

MÉTODO PRÁCTICO

A la primera cifra significativa de menor orden se le resta de 10 a las cifras que están a su izquierda se le resta de 9.

Ejemplos: 9 9 9 9 9 10

CA (4 3 2 8 5 7) = 567 143


1. En una sustracción, el minuendo es el quíntuple de la diferencia. Si el sustraendo es igual a 400. hallar la diferencia.a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120

2. La suma de los tres términos de una sustracción es 240. si el sustraendo es la tercera parte del minuendo, hallar la diferencia.a) 40 b) 50 c) 60d) 70 e) 80

3. La suma de los términos de una sustracción es 520. ¿cuál es el complemento aritmético del minuendo?a) 730 b) 740 c) 720d) 760 e) 750

4. La suma de los términos de una sustracción tomados de dos en dos son 592; 860 y 484. Hallar el mayor de los tres términos.a) 368 b) 376 c) 484d) 476 e) 429

5. La diferencia de dos números es 134. Si la suma del sustraendo y diferencia es 447, hallar el sustraendo y dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 9 b) 10 c) 11d) 8 e) 7

6. Si al minuendo de una sustracción se le disminuye 128 unidades y al sustraendo se le duplica, la diferencia disminuirá en 353, hallar el valor del sustraendo.a) 260 b) 225 c) 324d) 370 e) 250

7. Calcular: , si:

; a) 597 b) 792 c) 854

d) 619 e) 916

8. Si: , hallar a) 126 b) 143 c) 156d) 136 e) 120

9. Si , entonces a – c es igual a:a) 4 b) 5 c) 6d) 1 e) 3

10. Si: ; = 99hallar a – ba) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 9

11. Si: ; hallar: a) 1664 b) 1889 c) 1998d) 1772 e) 19998

12. Si: ; hallar x2 + y2

a) 140 b) 120 c) 110d) 150 e) 130

13. Hallar la suma de los complementos aritméticos de los siguientes números:

6; 72; 840a) 192 b) 198 c) 202d) 312 e) 392

14. Hallar la suma de las cifras del complemento aritmético de:

a) 30 b) 36 c) 40d) 42 e) 44

15. Si a un número se le resta 72 se obtiene su C.A. en cambio si se le resta 304 se obtiene la mitad de su C.A. Determinar la suma de las cifras de dicho C.A.a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11

16. Si el C.A. de es , hallar a + b + c.a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

17. Si el complemento aritmético de es

, hallar w + a + c.

a) 10 b) 12 c) 15d) 11 e) 13

18. Si CA y además a + c = 13, hallar el valor de a + b + c + d.a) 18 b) 22 c) 24d) 16 e) 19

19. Calcular el complemento aritmético del numeral: 9.10n+1

+ 10n-1. Dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 10n+2 b) 15 c) 10n-9

d) 18 e) 9n+1

20. Dado: CA , calcular “d”, sabiendo además:a + b + c + d + x = 29a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

TAREA

1. Si al minuendo de una sustracción se le aumentan 256 unidades y al sustraendo se le aumenta 453, ¿en cuánto varía la diferencia?a) Aumenta 180 b) Aumenta 197 c) Aumenta 179d) Disminuye 179 e) Disminuye 197

2. Si (a > c). Hallar: (dar como respuesta la suma de las cifras del resultado).a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. La diferencia entre el menor número impar de 5 cifras diferentes y el mayor impar de 4 cifras diferentes es:a) 360 b) 365 c) 380d) 400 e) 320

4. En una sustracción; el minuendo es el quíntuple de la diferencia si el sustraendo es igual a 800, hallar la diferencia.a) 100 b) 200 c) 400d) 150 e) 120

5. La suma de los tres términos de una sustracción es 360. si el sustraendo es la tercer parte del minuendo, hallar la diferencia.a) 80 b) 120 c) 60d) 90 e) 150

6. Si . Además a + c = 1, calcular: a + 2ca) 15 b) 13 c) 17d) 18 e) 14

7. Hallar (x + y) si: C.A: a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

8. La diferencia de los C.A. de dos números consecutivos es un número de tres cifras ¿Cuál es éste número de tres cifras?a) 851 b) 859 c) 899d) 998 e) 999

9. Calcular c si: C.A. = a + b + c + da) 9 b) 8 c) 7d) 5 e) 6

10. Determine el complemento aritmético del menor número par de 4 cifras diferentes y significativas.a) 8766 b) 8573 c) 3452d) 8744 e) 8736

MULTIPLICACIÓN

En una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.Origen:

M = M + M + … + M = Pm veces

M . m = 9

Donde:M: Multiplicandom : Multiplicador FactoresP : Producto

Notas:1. Si se multiplica:

243 +65

1215 1er producto parcial1458 2do producto parcial

15795 Producto total

2. Si: . 7 = … 6 c = 8

33. Si: . 4 = … 2 c =

8

4. Se cumple:(# impar) (…5) = …5(# par) (…5) = …0

5. Se cumple:…0

n(n + 1) = …2…6


1. El producto dedos números que se diferencian en 2 unidades es 255. hallar la suma de las cifras del mayor de dichos números.a) 6 b) 5 c) 8d) 9 e) 7

2. El producto de dos números es 120. si la suma de dichos números es 23, hallar su diferencia.a) 4 b) 15 c) 7d) 13 e) 4

3. El producto de tres enteros consecutivos es 720. Hallar la suma de dichos números.a) 15 b) 18 c) 27d) 24 e) 21

4. En una multiplicación, si el multiplicando aumenta en 15 unidades, el producto aumenta en 420 unidades. Calcular el multiplicador inicial.a) 24 b) 49 c) 21d) 28 e) 32

5. Si a un número se le agrega 2 ceros a la derecha; éste aumenta en 381150. hallar el número original y dar la suma de cifras.a) 16 b) 42 c) 28d) 64 e) 128

6. Hallar: a + b + c, si: . 7 = .............. 6

. 3 = .............. 7 . 9 = ............... 8

a) 18 b) 16 c) 19d) 17 e) 14

7. Hallar: a + b + c + d si: . 7 = 2531

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

8. Si: . 97 = … 909. Calcular a + b + ca) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

9. Sabiendo que: . 999 = … 064hallar: a + b + c + da) 22 b) 21 c) 20d) 19 e) 18

10. Si:19 . = .............. 54113 . = .............. 107hallar la suma de las tres últimas cifras del producto 12 .

a) 16 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

11. En una multiplicación, el multiplicador es 23, si el multiplicador reaumenta en 12 unidades y el multiplicando disminuye en 5 unidades, el producto aumenta en 965. Hallar el multiplicando original.a) 92 b) 93 c) 94d) 95 e) 96

12. Dado: a . b . c = 1250

hallar: a + b + ca) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

13. Se sabe que:7. N = ...................... 1849 .N = ...................... 808calcular la suma de las tres últimas cifras de 32. Na) 18 b) 21 c) 23d) 24 e) 27

DIVISIÓN

En una operación binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente.

D d = q D = dq

D: Dividendod: divisor; d 0q : Cociente

DIVISIÓN ENTERAEs un caso particular del a división en la que el dividendo, divisor y cociente son números enteros; en este caso se recurre a un cuarto término llamado residuo.

D d r: residuor q

Puede ser:1. Exacta (residuo = 0)

Ejemplo45 9 45 = 9(5)0 5

En general:D d D = dq0 q

2. Inexacta (residuo > 0)a) Por defectoEjemplo

67 9 67 = 9(7) + 44 7

En general:D d D = dq + r d Z+

0 q

Donde: 0 < r < dq: Cociente por defecto

r: Residuo por defectob) Por exceso

Ejemplo67 9 67 = 9(8) + 54 7

En general:D d D = dqe+ re d Z+

0e qe

Donde: 0 < re < dq: Cociente por excesor: Residuo por exceso

Propiedades de la división inexacta

1. qe = q + 1

2. rmin = 1 rmax = d – 1

3. r + re = d

Alteración de la división por multiplicación

Ejemplo:

D . 367 9 d . 3 201 274 7 12 7

x 3

En generalSi:

D d Dn DnR q m Q


1. La división de dos números enteros A y B da como cociente Q y como resto r. Si se aumenta A en 70 y B en 14 el cociente y el resto permanecen iguales. Calcular el cociente.a) 10 b) 12 c) 8d) 11 e) 5

2. El residuo de la división de cierto número entre 13 es 11, pero si dicho número se divide entre 11 el cociente aumenta en 1 y el residuo disminuye en 1. determinar el número.a) 72 b) 74 c) 76d) 78 e) 80

3. En una división inexacta el resto por defecto es el doble del cociente por exceso y le resto por exceso es el doble del cociente por defecto. Hallar el dividendo sabiendo que el divisor es 62.a) 872 b) 980 c) 916d) 890 e) 962

4. En una división inexacta el divisor y el resto valen 8 y 13, el dividendo excede al cociente en 356 ¿cuánto vale el cociente?a) 29 b) 39 c) 19d) 59 e) 49

5. La suna de dos números es 611, su cociente 32 y el resto de su división es el mas grande posible ¿cuál es el menor?a) 24 b) 26 c) 28d) 18 e) 16

6. En una división inexacta, se obtiene 12 de resto por defecto y 10 de resto por exceso. Se pide calcular el dividendo, sabiendo que el cociente por exceso es el triple del divisora) 1980 b) 2202 c) 1212d) 3470 e) 1442

7. En una división inexacta de residuo mínimo el cociente es 28 y el divisor el complemento aritmético de 46. Calcular el dividendo.a) 1512 b) 1511 c) 1510d) 1513 e) 1514

8. ¿Cuántos números divididos entre 28 dejan un resto que es el triple del cociente?a) 7 b) 11 c) 10d) 8 e) 9

9. En una división inexacta el resto por defecto y por exceso son 12 y 14 respectivamente. Si el cociente es la mitad del divisor ¿cuál es el dividendo?a) 353 b) 351 c) 350d) 349 e) 352

10. En una división inexacta de residuo máximo igual a 17, el cociente tiene las cifras del divisor en orden invertido ¿Cuál es el dividendo?a) 1477 b) 1475 c) 1476d) 1566 e) 1428

CUATRO OPERACIONES

ADICIÓN: Es una operación que tiene por objeto reunir varias cantidades de una especie en una sola, llamada suma o suma total.

a1 + a2 + a3 + … +an = SSumándose Suma

Fórmula para usar números en progresión aritmética.

donde:a1: Primero términoan: Último términon: Número de términos

Sumas Notables Suma de los “n” primeros positivos consecutivos

Sn = 1 + 2 + 3 + .. ¿. + n =

Suma de los “n” primeros impares positivosSP = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Suma de los “n”primeros impares positivosS1 = 1 + 3 + 5 + 3 …. + 2n – 1 = n2

Suma de los “n” primeros cuadrados perfectos ( 0)

Sn2 = 12 + 22 + 32 + ... + 2n =

Suma de los “n” primeros cubos perfectos ( 0)

Sn3 = 13 + 23 + 33 + … + n3 =

Suma de los “n” primeros productos de dos números consecutivos

S = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + … n(n + 1) =

Suma de las “n” primeras potencias naturales de un número A

S = A0 + A1 + A2 + A3 + … + An - 1 =

SUSTRACCIÓN: Es una operación aritmética contraria a la suma que tiene por objeto, dadas dos cantidades, minuendo uy

sustraendo, determinar cuántas unidades más posee la primera con respecto a la segunda.

M – S = D

Condición: M > S

Donde: M : MinuendoS : SustraendoD : Diferencia

Propiedad:1. M + S + D = 2m2. abc - donde : a > c

cba se cumple : n = 9mnp m + p = 9

Ejemplo:9 3 5 –5 3 93 9 6

Complemento Aritmético (C.A.)C.A. ( ) = 10n -

Ejemplo:C.A.(39) = 102 – 39 = 61C.A.(324) = 103 – 324 = 676C.A.( ) = 103 –

6 10

C.A.(178) = 822

MULTIPLICACIÓN: Es una operación que tiene por objeto, dadas 2 cantidades multiplicando y mutiplicador, hallar una tercera llamada producto.

M . m = P

Factores

Donde: M : Multiplicandom : Multiplicador

Observaciones:

(…(par) . 3 entero)) = … (# par)(…(impar) . …(impar)) = … (# impar)

(# impar) . (5) = … 5 (#par) . (5) = … 0DIVISIBILIDAD

DEFINICIÓN. Es parte de la teoría de los números, que estudia las condiciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro y las consecuencias que de este hecho se derivan.

DIVISIBILIDAD DE NÚMEROSUn número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al dividir el primero entre el segundo cociente es entero y el resto igual a cero.Es decir:

A B A = BK,dondeA , K Z y B Z+0 K

Luego:

“A” es divisible entre “B”

Ej.: ¿Es -84 divisible entre 12?

Si por que: A B0 K

MULTIPLICIDAD DE NÚMEROSUn número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando resulta de multiplicar este entero positivo por otro entero.Es decir:

A = B; K; A; K Z+ (módulo)Luego: “A es múltiplo de B”Ej. ¿Es es 0 (cero) un múltiplo de 13?Si, porque:

0 = 13(0)

entero positivo

NOTA: El “0” siempre es múltiplo de todos los enteros positivos.

OBSERVACIÓN:En el campo de los enteros la teoría de la divisibilidad es equivalente al de la multiplicidad.

NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN

I. Si A es múltiplo de B

A = (Leibnitz) A = mB (Gauss)

En general:A = B.K., K Z

Ejemplo:

Si:A = A = 7t, t Z

A = {…, -14, -7, 0, 7, 14 ….}

OBSERVACIÓN7K = 7, K z ; 13 = 13P ; 19 a = 19; A z

II. Si A no es múltiplo de BPor defecto Por exceso

A B A Brd K re K+1

A = + rd A = + re

Ejemplos:

68 = + 5 = + 4 ; 84 = + 17 = - 4

P = - 7 = + 6 ; q = - 12 = + 11

OBSERVACIÓN

rd Residuo por defectore Residuo por exceso

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1.

Ej.

2.

Ej.

3. N = a.b a y b pesi, entonces

N =

Ejemplo: 30 = 1.2.3.5 entonces

30 = { , , , 0

4 , , , , , }

0

7

N = ; N =

N= N = MCM(12; 18; 27)

4. Arquímedes – Euclides

7.A = A =

13.B = B =

9.C = C =

5. . … = ; n, K Z+ > 1

“K” veces

NOTAS:

+ e

1.

( 2) + (n)

2. (#impar)(# par) = + 1;Ej. 131422 = + 1

4372000 = + 1


1. Determine la suma de los 24 números primeros múltiplos enteros positivos de 4a) 1240 b) 1200 c) 1280d) 1260 e) 1120

2. Encontrar la suma de los 35 primeros múltiplos enteros positivos de 4 y 6.a) 6992 b) 7993 c) 7992d) 7990 e) 7994

3. ¿Cuántos números de 2 cifras son pero no ?

a) 20 b) 16 c) 24d) 27 e) 30

4. Si:

A = ( + 2) ; B = ( + 3) ; C = ( + 4)

Entonces: A . B . C es:

a) + 1 b) + 2 c) + 3

d) + 4 e) + 5

5. ¿Cuántos números de cuatro cifras que son múltiplos de 7 terminan en 1?a) 125 b) 1286 c) 1280d) 128 e) 129

6. Si: 18A + ; A entero. Entonces “A” necesariamente es:

a) b) c)

d) e)

7. Si:

A = ( + 4) ; B = ( - 2 ) ; C = A = ( + 6)

Entonces : A + B – 6 es:

a) + 2 b) + 6 c) + 3

d) + 5 e) + 4

8. Simplificar:

E = ( + 2) + ( + 4) + ( + 6) + … + ( + 40)

a) + 4 b) + 3 c) + 2

d) + 1 e)

9. Exprese de manera más simple a:

E = ( + 1) + ( + 2) + ( + 3) + … + ( + 70)

a) + 1 b) c) + 2

d) + 3 e) + 4

10. Del 1 al 2358 determine?

I. ¿Cuántos son ?

II. ¿Cuántos no son ?

Carcomo respuesta la suma de ambos resultados

a) 338 b) 2144 c) 336d) 729 e) 2480

11. ¿Cuántos múltiplos de 50 son de tres cifras?a) 16 b) 18 c) 20d) 21 e) 19

12. Del 1 al 3600 determine cuántos números son

a) 90 b) 60 c) 80d) 120 e) 100

13. ¿Cuántos múltiplos entre 585 y 1314 son múltiplos de 9?a) 81 b) 80 c) 83d) 82 e) 79

14. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles por 7?a) 126 b) 129 c) 130d) 127 e) 128

15. ¿Cuántos numerales de la serie:

175.1; 175.2; 175.3; …; 175.100

son divisibles entre 200?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

16. El numeral que resulta de:( 2 - 2)

no siempre es divisible por:a) 3 b) 9 c) 37d) 111 e) 11

17. En un barco habían 180 personas ocurre un naufragio y de

los sobrevivientes se conoce que: fuman, son

casados y son ingenieros. Determinar cuántas personas

murieron en dicho accidente.a) 60 b) 65 c) 70d) 75 e) 80

18. De los numerales de 4 cifras, ¿cuántos son múltiplos de 31 que terminan su escritura en 7?.a) 31 b) 30 c) 29d) 32 e) 28

19. ¿Cuántos valores puede tomar “a” para que “E” sea divisible entre “a”?

E = + + + … + a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

20. En una división el divisor es + 3, el cociente + 8 y

el resto - 2. ¿De qué forma es el dividendo?

a) + 3 b) + 1 c) + 9

d) e) + 4

TAREA

1. Dada las siguientes proposiciones, ¿cuántas son verdaderas?

I. (n) es

II. Si = =

III. + =

IV. - =

V. el cero siempre es múltiplo de todo númeroa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Si: N = a) 15 b) 12 c) 21d) 37 e) 101

3. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio de los sobrevivientes se base que la doceava parte son

damas y que la quinta parte de los muertos eran casados ¿Cuántos murieron?a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 40

4. Un número de la forma es siempre múltiplo de:a) 41 b) 43 c) 11d) 17 e) 9

5. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300. Si 2/11 de los asistentes son mayores de edad; los 5/17 de los mismos son limeños, ¿cuántos no son limeños?a) 12 b) 55 c) 11d) 17 e) 9

6. Si: =

Hallar “a2”a) 5 b) 25 c) 16d) 9 e) 49

7. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se convierten en

al sumarles 20 unidades?a) 28 b) 27 c) 30d) 32 e) 40

8. ¿Cuántos hay en la siguiente serie:

140; 141; 142; …; 282?

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

9. ¿Cuántos hay en la siguiente serie:

24; 48; 72; 96; …; 24000?a) 100 b) 150 c) 170d) 190 e) 200

10. ¿Cuántos números de tres cifras son ?

a) 68 b) 69 c) 70d) 71 e) 72

APLICACIÓN A LA DIVISIBILIDAD

RESTOS POTENCIALES

Se llama restos potenciales de un entero “E” (diferente de cero) respecto a un módulo “m”, a los residuos que dejan la sucesión de potencia enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo “m”.

Así si tenemos las potencias : E1; E2; E3; E4; ………Entonces:

° ° ° °E1 = m + r1; E2 = m +r2; E3 = m + r3; E4 = m + r4; ………….

Donde: r1; r2; r3; r4;………….., son los restos potenciales de E respecto al módulo m

OBSERVACIÓN:

Hallando el resto de una potencia, fácilmente se encuentra el resto de la siguiente potencia, ya que si: ° EK = m + rK, entonces: ° ° ° EK+1 = E1 x EK = (m +r1) (m +rK) = m + r1 x rk con K 0

Es decir que el resto potencial de Ek+1 mód. m es determinado como por el producto del resto de la potencia anterior (rk) por el primer resto potencial (r1).

Una segunda observación es que, como se sabe, la cantidad máxima de restos diferentes que se pueden obtener con un módulo “m” es también “m” (desde 0 hasta m-1); esto significa que en determinado momento los restos potenciales de “E” respecto al módulo “m” se empezarán a repartir periódicamente y ordenadamente.Entonces en la práctica basta calcular los restos potenciales hasta ver la repetición de algunos de ellos, a partir del cual podamos predecir los siguientes.

GAUSSIANO (g)

Se llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero, que se repiten ordenada y periódicamente.

Ejemplo:Calcular los restos potenciales de 16 respecto al modulo 9.

161 = m9 + 7 164 = m9 + 7 167 = m9 + 7 162 = m9 + 4 165 = m9 + 4 168 = m9 + 4

163 = m9 + 1 166 = m9 + 1 169 = m9 + 1

Los restos potenciales son: 7; 4; 1El gaussiano es: g =3

16m3 = m9+ 1

Generalizando: 16m3+1 = m9 + 7

16m3 +2 = m9 + 4

Aplicaciones : ° °1628 = 9 + 7; porque: 28 = 3 + 1 ° °1642 = 9 + 1; porque: 42 = 3 ° °1632 = 9 + 4; porque: 32 = 3 + 2

ECUACIONES DIOFÁNTICASUna de las principales aplicaciones de la teoría de la

divisibilidad está en la solución de las ecuaciones Diofánticas, llamadas así en honor a diofante, matemático Alejandrino que vivió alrededor de 250 A. C.

Una ecuación Diofántica, es una ecuación donde tanto los términos constantes como las variables son números enteros y además es un sistema insuficiente; puede ser una sola ecuación con dos o más incógnitas, como también puede ser de primer o mayor grado.

La ecuación Diofántica a estudiar es de la forma ax + by = c.

OBSERVACIÓN:

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación ax + by = c tenga solución es que los divisores comunes que tengan “a” y “b” también deben ser divisores de “c”.

x = xo + bt

Solución general y = yo - at

t Z

Siendo xo e yo una solución particular de la ecuación

Ejemplo:

Desarrollar la ecuación Diofántica: 4x + 9y =139

Solución: ° Poniendo la ecuación en término de 4

° ° ° 4 + (4 + 1)y = 4 + 3

Luego operando y transponiendo convenientemente

y = 4 + 3 yo = 3

Reemplazando en la ecuación:

4xo + 9x3 = 139 xo = 28

x = 28 – 9t

Solución general: y = 3 + 4t

tZ

dando valores enteros en “t” se obtienen las demás soluciones para la ecuación:

t x y

-2 46 -5

-1 37 -1

0 28 3

1 19 7

2 10 11


1. Si x e y son enteros positivos tales que 2x + 3 = 50, entonces el máximo valor de y es:a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

2. Si a y b son enteros positivos tales que 3a + 5b = 72, entonces b debe ser:

a) b) c)

d) e)

3. Si N = + 4, entonces N³ es:

a) + 2 b) + 3 c) + 4

d) + 6 e) + 1

4. Si N = + 2, entonces N³ es:

a) + 1 b) + 2 c) + 3

d) + 4 e)

5. Si - 1, hallar el residuo de dividir A4 entre 8

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Hallar el residuo de dividir 368 entre 7a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Hallar el residuo de dividir 385 entre 7a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 8

8. Liliana compró lapiceros de S/. 2 y S/. 5, gastando en dicha compra S/. 20 ¿Cuántos lapiceros compró en total?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

9. Si A = 374 y B = 298, entonces A . B es:

a) + 1 b) + 2 c) + 3

d) + 4 e) + 6

10. Hallar el residuo de dividir

entre 7

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. ¿Cuál es el residuo de dividir E entre 8? Se sabe que:E = 1993² + 1995²

a) 0 b) 2 c) 4d) 6 e) 1

12. Hallar la cifra de las unidades de la siguiente suma:216 + 532

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 7

13. Hallar la cifra de unidades de A.B si A = 920 y B = 740

a) 1 b) 6 c) 9d) 3 e) 7

14. Una tienda comercial adquiere de uan distribuidora televisores y video grabadoras cuyos precios por unidad son $ 490 y $ 210 respectivamente sabiendo que compró más televisores que video grabadoras y en total gastó $5810 ¿Cuántos televisores compró?a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

15. Una persona tiene S/. 1200 y decide comprar sacos de arroz y azúcar a S/. 40 y S/. 50 cada saco respectivamente ¿De cuántas maneras puede efectuar la compra?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

16. Hallar la última cifra de:N = 210 + 510 + 610

a) 9 b) 0 c) 5d) 6 e) 1

17. La expresión: ( + 2)3 ( + 3)4 ( + 5)2

Es igual a un:

a) + 4 b) + 8 c) + 10

d) - 2 e) - 4

18. Halla a + b si el numeral es el menor posible tal que:

3 + + 1

a) 3 b) 5 c) 6d) 8 e) 9

19. Si N = 910 + 919, indicar lo incorrecto:

a) N = b) N = c) N =

d) N = e) N = + 9

20. Si es el menor posible tal que 2 tiene como cifra de unidades a 6, hallar a + b + ba) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 1

TAREA

1. Hallar el residuo de dividir: E entre 11, si E = 850 + 1a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 10

2. Wiver en la última feria de Tecnotrón compró con $38500 cierto número de computadoras y calculadoras. Si cada calculadora le costo $ 110 y cada computadora $ 2230, hallar el número de artículos que compró en totala) 134 b) 135 c) 136d) 137 e) 138

3. Zoila va al mercado a comprar naranjas y manzanas, cuyos precios por unidad son 490 UM y 210 UM respectivamente, sabiendo que compró más naranjas que manzanas y en total gastó 5810 UM ¿Cuántas naranja compró?a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

4. En un aula de 45 estudiantes, después de rendir una prueba de matemática se obtuvo las notas de 88: 128 y 154 puntos, siéndole puntaje total alcanzado 5 422 puntos; luego ¿Cuántos estudiantes obtuvieron 88 punto?a) 20 b) 25 c) 10d) 13 e) 32

5. Por S/. 500 se compraron 100 flautas, sus precios son los siguientes: sandía S/. 50; manzanas S/. 10 y ciruela S/. 1 ¿Cuántas frutas entre sandías y manzanas hay?

a) 38 b) 39 c) 40d) 41 e) 42

6. Sean x , y números enteros. Si 11 es divisor de 2x + 3y entonces uno de los divisores de 7x + 5y necesariamente es:a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

7. Si a y b son enteros positivos tales que 3a + 4b = 34, entonces el máximo valor de “a + b” es:a) 9 b) 10 c) 11d) 7 e) 14

8. En el sistema de base 7 la cifra de unidades del número 42818 es:a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

9. Hallar el resto en 4581 entre 9a) 2 b) 4 c) 3d) 1 e) 0

10. Calcular el residuo de dividir “N” entre 6N = 282 . 284 . 286 . … . 2840

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD

Son un conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral, nos permite determinar su multiplicidad respecto a cierto módulo, de tal manera que el residuo se puede calcular en forma directa y de modos más sencillo, con algunas excepciones, como veremos.Cada sistema de numeración tiene sus propios criterios de divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los restos potenciales.

Sea el numeral: N =

Entonces:N = …… + exB4 + dxB3 + cxB2 + bxB1 + a

Si queremos llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad se tiene que determinar la multiplicidad según el módulo “m”, de:

B1 = + r1; B2 = + r2; B3 = + r3; B4 = + r4; …

Reemplazando:

N = … + ex( +r4) + dx( +r3)+cx( +r2)+bx( +r1)+a

Finalmente:

N = + … + exr4 + dxr3 + cxr2 + bxr1 + a

En conclusión, para llegar a la “forma general de los criterios de divisibilidad”; utilizando los restos potenciales el método es:

“Las cifras del numeral, de derecha a izquierda, se multiplican por los restos potencial de la base en que está el numeral, respecto al módulo investigado, luego se reduce en operaciones de adición y/o sustracción hasta llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad”.

Se acostumbra comúnmente que cuando el resto por defecto (o por exceso) es mayor que la mitad del módulo, se toma el resto por exceso (o por defecto), aunque en muchos casos sea preferible trabajar únicamente con restos por defecto (o por exceso).

Ejemplo:Determinar el criterio de divisibilidad de un numeral expresado en base 7 respecto al módulo 5.

Resolución:

Sea el numeral: N =

Donde:N = …… +fx75 + ex74 + dx73 + cx72 + bx71 + a

Pero:

Entonces:N = …+fx(m5+2)ex(m5+1)+dx(m5-2)-cx(m5-1)+bx(m5+2)a

Sea:E = (… + 2xf + 1xe – 2xd – 1xc + 2xb + 1xa)

Por lo tanto:

Entre 2 = + e. Si: e = =

Entre 4 = + 2d + e. Si: 2d + e = =

Entre 8 = + 4c + 2d + e. Si: 4c + 2d + e = =

Entre 5 = e. Si: e = =

Entre 25 = + . Si: = =

Entre 125 = + . Si: = =

Entre 3 = + (a + b + c + d + e). Si: a + b + c + d + e = =



Entre 7 = + (3a + b - 2c - 3d – e + 2f + 3g + h)

Entre 13 = + (-3a + b + 4c + 3d – e + 4f - 3g - h)

Entre 33 = + (a + + ). Si: a + + = =

Entre 99 = + ( + + ). Si: + + = =

Entre 27 = + (a + + ). Si: a + + = =

Entre 37 = + (a + + ). Si: a + + = =

OBSERVACIÓN


1. Si es divisible por 3, hallar la suma de todos los valores posibles de “x”.a) 18 b) 15 c) 16d) 14 e) 17

2. Son divisibles por 33:I. 247645II. 651921138III. 19755186IV. 2437284a) II y III b) I y II c) I y IIId) III y IV e) I y IV

3. Si = y = , hallar (a +b)

a) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

4. ¿Cuál es el resto que se obtienen al dividir 243784 entre 25?a) 10 b) 9 c) 8d) 11 e) 7

5. Calcular a. b si:

a) 10 b) 16 c) 12d) 14 e) 18

6. Son divisibles por 11?I. 258016II. 67422III. 432545IV. 93659808a) Sólo III b) I y IV c) Sólo IId) II y III e) I; II y III

7. Si: = m99, calcular: a . ba) 0 b) 2 c) 15d) 1 e) 9

8. Sabiendo que: , hallar a . b

a) 8 b) 15 c) 16d) 9 e) 6

9. Hallar la suma de todos los valores de “n” si el número es divisible por 3

a) 10 b) 18 c) 16d) 12 e) 15

10. Determinar el valor “a” para que el siguiente numeral sea múltiplo de 9

N = a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Si es múltiplo fr 7, hallar el digito “a”a) 8 b) 1 c) 4d) 5 e) 6

12. Hallar el valor de (3a + 1) si; es divisible por 13a) 25 b) 22 c) 16d) 28 e) 19

13. Calcular, a . b, si:

a) 24 b) 32 c) 16d) 14 e) 28

14. Si: , hallar : (a + b)

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

15. Si: , hallar a . b

a) 12 b) 15 c) 18d) 24 e) 28

16. Calcular (x + y + z), si: = m1125a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 22

17. determine el máximo valor de (x+y) para que el numeral sea divisible por 33

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

18. El número N = 342342342…………. (26 cifras ) ¿Qué residuo deja al dividirlo entre 7?a) 1 b) 3 c) 4d) 6 e) 5

19. Si:

a) 14 b) 10 c) 16d) 12 e) 18

20. Calcular la suma de todos los valores que toma el número si es divisible entre 33.

a) 164 b) 183 c) 181d) 171 e) 167

TAREA

1. Sabiendo que: determinar

por qué número es divisible a) 5 b) 7 c) 11d) 13 e) 23

2. El siguiente numeral se divide entre 11, ¿cuál es el residuo?a) 2 b) 5 c) 8d) 3 e) 6

3. Hallar el mayor número de la forma que sea divisible entre 308 y dar la suma de cifrasa) 22 b) 24 c) 18d) 20 e) 23

4. , ,

hallar “c”a) 9 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

5. + 2

hallar “a - b”a) 4 b) 6 c) 3d) 2 e) 1

6. Si: , hallar el mayor valor de “a + b”

a) 16 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

7. Si: ; ,

Hallar “x . y . z”a) 180 b) 210 c) 200d) 175 e) 240

8. Hallar “a + c + b”

Si: , = 8c

a) 5 b) 6 c) 7d) 4 e) 3

9. Hallar “x” para que: sea divisible por 11.

a) 7 b) 1 c) 0d) 6 e) 5

10. Si: y - = 43

Hallar: “a + b + c + d”a) 15 b) 16 c) 27d) 18 e) 9

NÚMEROS PRIMOS

CONJUNTO NUMÉRICO DE APLICACIÓN: Z+

CLASIFICACIÓN DE Z+

SIMPLESUNIDADPRIMOS

COMPUESTOS

NÚMERO PRIMO ABSOLUTOSon aquellos números que poseen solamente dos divisores diferentes que son: la unidad y él mismo.

Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 13;…………..

Divisores de 2: 1; 2Divisores de 3: 1; 3

NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos números que poseen más de dos divisores

Ejemplo: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14;………..

Divisores de 4: 1; 2; 4Divisores de 6: 1; 2; 3; 6

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)

Dado un conjunto de números, diremos que son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad.

Ejemplo 1: Sean los números 8 y15

Divisores de 8: 1 ; 2; 4; 8

Divisores de 15: 1 ; 3; 5; 15

Como la unidad es el único divisor común. 8y 15 son primos entre sí (PESI)

Ejemplo 2: Sean los números 10; 12 y 15

Divisores de 10: 1 ; 2; 5; 10

Divisores de 12: 1 ; 2; 3; 4; 6; 12

Divisores de 15: 1 ; 3; 5; 15Como la unidad es el único divisor común:

10; 12 y 15 son primos entre sí (PESI)

PROPIEDADES

1. La serie de los números primos es ilimitada2. Todo número primo mayor que 3, siempre es de la forma

1; lo contrario no siempre se cumple:

Ejemplos: * 5 = - 1 * 7 = + 1

* 11 = - 1 * 19 = + 1

3. Todo conjunto de números consecutivos siempre son primos entre si.

Ejemplo: * 8 y 9 son PESI* 14; 15 y 16 son PESI

REGLA PARA AVERIGUAR SI UN NÚMERO ES PRIMO

- Se extrae la raíz cuadrada del número, si la raíz cuadrada es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario se sigue el siguiente paso.

- Se divide al número entre todos los números primos menores a la raíz cuadrada aproximada.

- Si todas las divisiones son inexactas el número será primo, pero si al menos una división es exacta entonces el número no será primo

Ejemplo: Sea el número 131

1.º) = 11,4

2.º) Primos menores que 11,4: 2; 3; 5; 7; 11

131 ; ; ; ;

Como todas las divisiones son inexactas 131 es primo

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos diferentes elevados a ciertos exponentes; esta expresión es única y se le llama “descomposición canónica”.

Ejemplo: Sea el número 360

36018090451551

222335

360 = 23 . 32 . 51

Descomposición canónica

PRINCIPALES FÓRMULAS

Sea:

360 = Aa . Bb . Cc

Descomposición canónica

1. Cantidad de divisores de N (CD(N))

CD(N) = (a + 1) (b + 1) (c + 1)

Ejemplo: 360 = 23 . 32 . 51

CD(360) = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1)CD(360) = 24

2. Suma de divisores de N(SD(N))

SD(N) =

Ejemplo: 360 = 23 . 32 . 51

SD(360) = = 15 . 13 . 6

SD(360) = 1170


1. Al descomponer canónicamente 1800 se obtiene 2x . 3y . 5z. Hallar x + y + za) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2. ¿Cuántos divisores tiene 1800?a) 24 b) 30 c) 32d) 36 e) 48

3. ¿Cuántos divisores primos tiene 1800?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. ¿Cuántos divisores naturales tiene el número 756?a) 18 b) 21 c) 24d) 30 e) 36

5. Hallar la suma de los divisores primos de 168a) 9 b) 12 c) 14d) 15 e) 16

6. ¿Cuántos divisores simples tiene el número 330?a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8



9. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 480?a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 21

10. ¿Por cuántas veces 5 es necesario multiplicar a 40 para que el producto tenga 80 divisores?a) 24 b) 16 c) 38d) 45 e) 20

11. Calcular “n” si 16n . 35n tiene 81 divisores.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Hallar la suma de todos los divisores de 12.a) 18 b) 24 c) 28d) 30 e) 32

13. Hallar el valor de n para que el número de divisores de N = 30n sea el doble del número de divisores de M = 15 . 18n.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

14. ¿Cuántos divisores tiene: 1410 - 148?a) 99 b) 72 c) 648d) 1448 e) 729

15. ¿Cuántos divisores de 4400 son impares?a) 4 b) 6 c) 10d) 12 e) 16

16. ¿Cuántos divisores de 720 son múltiplos de 6?a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

17. Determinar el número de divisores pares del numeral 36000a) 45 b) 40 c) 60d) 65 e) 70

18. Calcular la cantidad de divisores impares del numeral 54000a) 12 b) 9 c) 15d) 16 e) 18

19. Indicar cuántos divisores múltiplos de 15 tiene el número 86625a) 48 b) 36 c) 30d) 24 e) 20

20. Calcular el valor de “n” si 3072n, tiene 907 divisores compuestosa) 7 b) 9 c) 8d) 10 e) 5

TAREA

1. Si: P = 108 . 108 … 108 tiene 114 divisores

“n” factoresCompuesto hallar “n”a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

2. Hallar el menos número que tenga 15 divisores. Dar como respuesta la cifra de las decenas del número.a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

3. ¿Cuántos “ceros” es necesario colocar a la derecha del número 75 para que el número resultante tenga 96 divisores?a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

4. Al multiplicarse 24 . 5ª por 27, su número de divisores aumenta en 90. Hallar el valor de “a”.a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

5. Calcular el valor de “p” si 180 . 12p . 42² tiene 88 divisores divisibles por 8 pero no por 5.a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

6. Hallar el menor número impar que tenga 12 divisores, dar la suma de cifras.a) 9 b) 12 c) 18d) 24 e) 20

7. Si: N = 4ª . 3b tiene divisores. ¿Cuántos divisores tiene?a) 18 b) 9 c) 21d) 36 e) 45

8. Calcular (a + b + c) si 30ª tiene divisores, siendo a, b y c diferentes entre sí.a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 14

9. Hallar “a” si el número E = 4ª - 4a-2, tiene 60 divisores.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. Al descomponer canónicamente 4400 se obtiene 2x . 5y . 11z. Hallar “x + y + z”

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

DEFINICIÓN:

El MCD de dos o más números enteros (no todos cero) es el mayor de los divisores comunes de dichos números.Ejemplo:

Números Divisores (Z+)12 1; 2; 3; 4; 6; 1218 1; 2; 3; 6; 9; 18

Los divisores comunes son: 1; 2; 3; 6Luego: MCD (12; 18) = 6

NOTA: Los divisores comunes de un conjunto de números son los divisores de su MCD. Así por ejemplos MCD (12; 18) = 6 y los divisores comunes de 12 y 18 (1; 2; 3 y 6) son precisamente los divisores de 6.

MÉTODO PARA HALLAR EL MCD1. Descomposición simultánea

Se descomponen simultáneamente los números dados en sus factores primos comunes hasta que los cocientes obtenidos al ir dividiendo los números entre dichos factores sean primos entre sí. El MCD es igual al producto de los factores primos comunes así hallados.

Ejemplo: MCD (48; 72; 96)

48241262

72361893

964824124

2223

MCD = 2 . 2 . 2 . 3MCD = 23 . 3 =24

PESI

2. Descomposición canónica

Consideremos las descomposiciones canónicas de conjunto de números, entonces su MCD viene dado por el producto de las mayores potencias primas comunes a dichos números, es decir, el producto de los factores primos comunes, cada uno con el menor exponente que aparece en las descomposiciones.

Ejemplo:

A = 23 . 32 . 53 . 72

B = 22 . 34 . 5 . 113

C = 2 . 33 . 57 . 7 . 132

MCD = 2 . 32 . 5

3. Algoritmo de Euclides o Método de las Divisiones Sucesivas

Consideremos solamente dos enteros positivos A y B con A > B

ALGORITMO1ero Se divide A entre B, obteniéndose q1, de cociente y r1

de residuo.

2do Si r1 = 0 (división exacta), el MCD = B; caso contrario se divide el divisor de la división anterior, o sea B (que ahora para a ser dividido), entre el divisor, obteniéndose q2. de cociente y r2 de residuo.

3ro Este proceso se repite de forma análoga hasta obtener una división exacta.

4to El MCD viene a ser el divisor de la última división

Ejemplo: MCD (300; 108)

300 108 108 84 84 24 24 1284 2 24 1 12 3 0 2

MCD = 12

NOTA: Estos divisores sucesivos se pueden visualizar en el siguiente esquema práctico:

Cocientes

2 1 3 2

300 108 84 24 12 = MCD

84 24 12 0

Residuos

4. Propiedades

En las siguientes propiedades vamos a considerar solamente el caso en que los números enteros a los cuales se calcula su MCD son estrictamente positivos.

A) Si A y B son PESI, entonces MCD(A; B) = 1

B) Si A = entonces MCD (A; B) = B

C) Si MCD (A; B) = d entonces:

= p A = dp

PESI

= q B = dq

D) Si MCD (A1; A2; …; An) = d y K Z+ entonces:

MCD = (A1; K; A2K; …; AnK) dK

E) Si MCD (A1;A2;…;An)=d1 y MCD(B1;B2;…;Bn)=d2

Entonces:MCD (A1; …; Am; …; B1; …; Bn) = MCD(d1; d2)

F) Si MCD (m; n) = d; entonces:

MCD = (An – 1; An – 1) = Ad - 1


1. El MCD de 420; 360 y 1260 es:a) 40 b) 60 c) 80d) 90 e) 30

2. Hallar la suma de las cifras del MCD de los números 1872; 2520 y 2808a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

3. Sean los númerosA = 218 . 312 . 58; B = 215 . 316 . 510 . 720

Si el MCD(A; B) = 2x . 3y . 5z

Hallar x + y + za) 25 b) 30 c) 35d) 40 e) 45

4. ¿Cuántos divisores tiene el MCD (A y B) si A = 48 . 32 . 73 y B = 83 . 27 . 49?a) 60 b) 120 c) 180d) 90 e) 36

5. ¿Cuántos divisores en común tiene los números 360; 480 y 540?a) 8 b) 12 c) 16d) 18 e) 15

6. Hallar la suma de los cocientes sucesivos que se obtienen al calcular el MCD de los números 160 y 72 por el Algoritmo de Euclidesa) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

7. Indicar la pareja que tiene dos números primos entre sí (P.E.S.I)a) 12 y 15 b) 21 y 35 c) 13 y 26d) 8 y 15 e) 42 y 63

8. La suma de dos números P.E.S.I. es 31 y su diferencia es igual a su MCD. Hallar la suma de las cifras del mayor de los números.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9. Si el MCD (A; B) = 24 y A = 3B entonces A – B es igual a:a) 18 b) 24 c) 27d) 48 e) 36

10. Hallar el valor de k si:MCD(3A, 3B) = 12k;MCD(A; B) = 5k - 10a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

11. Los residuos que se obtienen el calcular el MCD de 1050 y 238 por divisiones sucesivas tienen como suma:a) 78 b) 154 c) 308d) 96 e) 2012

12. El MCD de los números 36k; 54k y 90k es 1620. Hallar el menor de los númerosa) 8100 b) 4860 c) 1620d) 3240 e) 2700

13. El MCD de dos números es 13. Se desea conocer cuál es el menor de éstos números sabiendo que los cocientes sucesivos que se obtienen al hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son 11; 9; 1; 1 y 2a) 604 b) 614 c) 624d) 637 e) 650

14. Si tenemos que llenar cuatro cilindro de 72; 108; 144 y 180 galones respectivamente, ¿cuál es la máxima capacidad que puede usarse para llenarlos exactamente?a) 18 b) 24 c) 30d) 36 e) 12

15. Si MCD (A; B)= 12 y A + B = 72, hallar la suma de cifras de A, si A > Ba) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

16. La diferencia de cuadrados de dos números es 396 y su MCD es 6. Dar como respuesta la suma de dichos númerosa) 300 b) 330 c) 60d) 66 e) 72

17. Un padre de a uno da sus hijos 60 soles a otro 75 y a otro 90, para repartirlos entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrían dar a cada pobre y cuántos los pobres socorridos?

a) 15 soles y 15b) 15 soles y 12c) 5 soles y 45d) 5 soles y 30e) 15 soles y 10

18. Si MCD de: y es 99 hallar: a + b + ca) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

19. Hallar el mayor de dos números que tiene 9 y 10 divisores y como MCD a 45a) 225 b) 375 c) 405d) 550 e) 625

20. Si:MCD(; B; C) = 2n/7MCD(B; C; D) = 6n/7MCD(A; B; C; D) = 18Hallar na) 9 b) 12 c) 15d) 72 e) 63

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1. A = 4n . 5n y B = 12n . 15ny MCD(A; B) tiene 15 divisores. Hallar “n”a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Hallar el valor de “n”, si el MCD de A y B es 162A = 6n+1 + 6n; B = 9n+1 + 9n

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Al obtener el MCD de A y B mediante el Algoritmo de Euclides; se obtuvo como cocientes los números: a; a + 1; a + 2 y a + 3. Halle el valor de “a”l, si los residuos fueron: 210; 50; 10 y 0a) 1 b) 3 c) 4d) 2 e) 5

4. Al calcular el MCD de 2 números mediante el Algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos: 1; 2; 3; 4 y 5; se sabe además que el mayor excede al otro en 952. Calcular el mayor de ellosa) 4245 b) 2198 c) 3150d) 2856 e) 1904

5. Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 144 m y 252 m está sembrado con árboles equidistantes y separados lo más posible si se observa que hay un árbol en cada vértice y uno en el centro del terreno ¿Cuántos árboles hay en total?a) 112 b) 56 c) 40d) 135 e) 140

6. El MCD de 2 números es 15. Hallar el mayor de ellos, si la suma de sus cuadrados es 2925a) 15 b) 30 c) 45d) 60 e) 75

7. La diferencia de los cuadrados de 2 números es 1088 y su MCD es 8. Hallar el número menora) 60 b) 64 c) 68d) 72 e) 76

8. Se tiene 3 cajas de galletas sueltas con 288; 360 y 408 unidades; desea venderse en paquetes pequeños de igual cantidad, que estén contenidas exactamente en cada una de las cajas. ¿cuál es el menor número de paquetes que se obtiene, sin desperdiciar galletas?a) 24 b) 32 c) 44d) 47 e) 50

9. Un comerciante de vino, tiene 3 barriles de vino de 540; 960 y 1260 litros de capacidad. Si desea vender este vino en recipientes todos iguales, cuya capacidad esté comprendida entre 25 y 48 litros, además estén contenidos exactamente en cada unos de los barriles. Calcular la cantidad de recipientes que se utilizarána) 48 b) 92 c) 46d) 42 e) 50

10. El MCD de 4A y 32C es igual a 24K y el MCD de 6C y 3B es 6K. Hallar el valor de K, si el MCD de A; 4B y 8B es igual a 162a) 81 b) 54 c) 40d) 36 e) 26

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLE

DEFINICIÓN

El MCM de dos o más números enteros positivos, es otro entero positivo que cumple las siguientes condiciones :

1. Es un múltiplo común 2. Es el menor posible

Ejemplo:

Hallar le MCM de 4 y 6

Solución:N° MÚLTIPLE4 : 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52;…6 : 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; …

Múltiplos comunes:

12; 24; 36; 48;….. MCM (4; 6) = 12

OBSERVACIÓN:Se entiende por múltiplo común como aquel número que es múltiplo de todo un conjunto de números a la vez.

NOTA:Los múltiplos comunes de un conjunto de números enteros positivos, son los mismos múltiplos que tiene el MCM de ellos

MÉTODO PARS HALLAR EL MCM 1. Descomposición simultánea

Ejemplo: Hallar el MCM de 120; 180 y 300

Solución:

120 – 180 – 300 2 60 – 90 – 150 2 30 – 45 – 75 2

15 – 45 – 75 3 5 – 15 – 25 3 1 – 1 – 5 5 1 – 1 – 1 5 MCM (120; 180; 300) = 1800

2. Descomposición canónicaEjemplo: Hallar el MCM de A, B y CA = 24. 32. 56. 72

B = 23. 34. 54. 73

C = 25. 33. 55. 112 MCM (A; B; C) =25. 34. 56. 73. 112

OBSERVACIÓN:Se deben seleccionar los factores, comunes o no comunes, elevados a su mayor exponente

RELACIÓN ENTRE EL MCD Y MCM

Dados los números A y B, tales que MCD(A; B) = d y MCM (A; B) = m, entonces por propiedad:

= p A = dp

PESI

= q B = dp

Hallando el MCM:A - B -

dp - dp dp - q p1 - q q1 - 1

m = d. p. q Finalmente:

m = d . p. q

multiplicamos por d: d . m = d . p . q. d

d . m = A . B

“El producto del MCD y MCM de dos números enteros positivos es igual al producto de dichos números”


1. Hallar el MCM de 90; 588 y 420a) 8820 b) 4410 c) 2205d) 1260 e) 3780

2. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de 180 y 240?a) 15 b) 18 c) 24d) 30 e) 45

3. Sean los números:A = 218 . 312 . 58; B = 215 . 316 . 510 .720. Si el MCM(A y B) es 2m . 3n . 5p . 7q; hallar m + n + p +qa) 15 b) 18 c) 24d) 30 e) 45

4. Cuántos divisores tiene el MCM(A y B) siA = 43 . 27 . 49 y B = 32 . 34 . 7a) 100 b) 105 c) 108d) 115 e) 120

5. ¿Cuántos múltiplos comunes y positivos menores que 100 tienen los números 2; 3 y 5?a) 3 b) 4 c) 2d) 5 e) 6

6. El producto de dos números es 768; si su MCM es 96, hallar su MCDa) 6 b) 8 c) 12d) 16 e) 24

7. La suma de dos números es 30, si su MCD es 6 y su MCM es 36, hallar la diferencia de dichos númerosa) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 9

8. Dos números PESI tienen como MCM 126. Hallar el mayor de ellos, sabiendo que se diferencian en 5a) 9 b) 16 c) 14d) 21 e) 24

9. Si se sabe que:MCD(2A; 3B) . MCM(2A; 3B) = 4320

Calcular : ABa) 620 b) 720 c) 520d) 420 e) 780

10. Cuál es el menor número positivo múltiplo de 4; 6; 9 y 15?a) 120 b) 150 c) 180d) 210 e) 360

11. Un evento deportivo se lleva a cabo cada 12 días, otro cada 15 días y otro cada 18 días. Si si un determinado día se llevan a cabo los 3 eventos juntos ¿Cuántos días como mínimo deberán transcurrir para que se vuelvan a llevar juntos?a) 120 b) 180 c) 240d) 360 e) 450

12. ¿Cuántos múltiplos comunes de 4 cifras tienen los números: 24; 50 y 60?a) 12 b) 15 c) 14d) 13 e) 16

13. Hallar “K” si: MCM = 630

a) 100 b) 70 c) 80d) 50 e) 90

14. Si el MCM de:A = 45 . 60n

B = 45n . 60Es igual a 12 veces su MCD, hallar el valor de “n”a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. El número de páginas de un libro es mayor que 400 pero menor que 500. Si se cuentan de 2 en 2 sobre 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6 ¿cuántas páginas tienen el libro?a) 420 b) 419 c) 839d) 479 e) 489

16. Un número de libros de una biblioteca es tal que si se cuenta de 11 en 11, sobran 9; si se cuentan de 15 en 15 sobran 13; si se cuentan de 18 en 18 sobran 16 y de 20 en 20 sobra 18. ¿Cuántos son los libros, si dicho número está comprendido entre 2000 y 4000?a) 3956 b) 3958 c) 3962d) 3960 e) 3954

17. Dos móviles juntos del punto de partida de una pista circular. Si el primero completa 3 vueltas en 36 minutos y el segundo 5 vueltas en 90 minutos ¿después de cuántos minutos de haber partido vuelven a estar juntos en el punto de partida.a) 24 b) 36 c) 48d) 60 e) 72

18. Hallar el MCM de A y B si;MCM(4A; 3B) = 300; MCM(3A; 4B) = 900a) 50 b) 25 c) 75d) 100 e) 150

19. Calcular A – B si:A = 2 . 3ª . 5b; B = 2c . 3 . 5MCM(A; B) = 180a) 30 b) 45 c) 60d) 75 e) 90

20. La suma de dos números es 667 y el cociente del MCM entre su MCD es 120. Dar el mayor de ellosa) 232 b) 435 c) 572d) 115 e) 552

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1. El número de páginas de un libro está comprendido entre 1200 y 1400 y se sabe que al contarlas de 5 en 5 quedan 4; de 7 en 7 quedan 6; de 10 en 10 quedan 9 y de 12 en 12 quedan 11. Hallar el número de páginas del libroa) 1248 b) 1259 c) 1312d) 1364 e) 1400

2. Un cerrajero cuenta las llaves que tiene por decenas, docenas y quincenas y en cada caso le sobran siempre 7 llaves. Si vende a razón de S/. 1 cada una recauda entre S/. 500 y S/. 600. ¿Cuántas llaves tenía el cerrajero?a) 541 b) 543 c) 545d) 547 e) 555

3. Se tiene pequeños ladrillos de dimensiones 10.15.5. ¿Cuál es el menor número de ladrillos que hará falta, para poder formar un cubo compacto?a) 10 b) 18 c) 30d) 36 e) 48

4. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para construir un cubo compacto, sabiendo que su arista está entre 2 y 3 metros y que las dimensiones de los ladrillos a usarse son de 20cm, 15cm y 8cm?a) 5760 b) 2880 c) 1920d) 1440 e) 1152

5. Cuatro barcos de una empresa naviera salen al mismo tiempo del callao y se sabe que el primero de ellos tarda 25 días en regresar y pertenece anclado 3 días; el segundo 45 y5 días y el tercero 32 y 3 días y el cuarto 60 y 10 días despectivamente. ¿Cada cuanto tiempo zarpan los cuatro barcos a la vez?a) 700 b) 770 c) 840d) 910 e) 720

6. El MCM de 2 números A y B es 168. Además; la suma de cuadrados de dichos números es 7632. Hallar la suma de los números a) 63 b) 84 c) 108d) 132 e) 180

7. Hallar el mayor de 2 números cuya suma es 216 y además el MCM de dichos números es 5 veces su MCDa) 120 b) 144 c) 180d) 150 e) 132

8. Hallar la suma de 2 números tales que su producto es 4032. Además su MCD y MCM cumple:

MCD2. MCM = 48384a) 132 b) 336 c) 324d) 264 e) 66

9. ¿Cuál es el menor número de rectángulo de 26.34cm2 que son necesarios para construir un cuadrado?a) 121 b) 221 c) 360d) 340 e) 441

10. Al descomponer en sus factores primos los números A y B se expresan como:

A = 3x. p2

B = 3y. qSabiendo que su MCM y su MCD son 675 y 45 respectivamente, hallar A + B

a) 720 b) 810 c) 456d) 368 e) 860

NÚMEROS FRACCIONARIOS

NÚMEROS FRACCIONARIOS (Fr)

Son aquellos números de la forma f = , donde

A y B son números enteros, y B 0.

Fr =

a: numeradorb: denominador

FRACCIÓN IRREDUCTIBLE (Fi)Resulta cuando sus dos términos numerador y denominador son primos entre sí. Para hallar un “fi”a otra, basta dividir a ambos términos de la fracción original entre su MCD.Ejemplos:

FRACCIÓN EQUIVALENTE (Fe)

Una fracción es equivalente a otra, cuando tienen distinta representación (distinta escritura); pero tienen el mismo valor.Ejemplo:

Para hallar un a “Fe” a otra, basta multiplicar a ambos términos de su “fi” por u mismo número entero (diferente de 0)Ejemplo:Sea la fracción

f = , entonces su fi

= (120 = MCD (240 y 360))

fi = fe = k Z (k 0)

= “clase de equivalencia ” o “clase ”

Una clase de equivalencia es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes entre sí.Ejemplo:

Gráfica de la “clase ”

Conjunto de puntos discontinuos

FRACCIÓN PROPIA (f > 1)Es aquella fracción donde su numerador es menor que el denominador.Ejemplo:

Su forma mixta:

FRACCIONES ENTERAS Resultan cuando el numerador es un múltiplo del denominador.Ejemplo:

fe : N

1 2 3 4 5-1

-2

-1-2-3

1

2

3

4

5

6

(-1; -2)

(1; 2)

(2; 4)

(3; 6)

FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Un conjunto de dos o más fracciones son homogéneas, cuando tienen el mismo denominador.Ejemplo:

FRACCIONES HETEROGÉNEASUn conjunto de dos o más fracciones son heterogéneas, cuando tienen diferentes denominadores.Ejemplo:

OBSERVACIÓN:

FRACCIÓN DE FRACCIÓN Ejemplos:

* Calcular los de los de los de 56

* Aumentar a 72, en los de sus

PROPIEDADES

1. f = f.n

2. f = f/n

3. f = f

4. Si f1 = y f2 = f1 < f2

f2 = > y f2 = f1 > f2

NÚMEROS DECIMALES

1. F. Decimal ExactoSe originan cuando el denominador de la fracción irreductible es una potencia de 2 y/o 5. La cantidad de cifras decimales está dada por el mayor exponente de 2 ó 5 contenidos en su denominados.Ejemplo:

= 0,25; = 0,04; =0,125

= 0,0025: =0,001

¿Cuántas cifras decimales origina f =

fi =

Origina 22 cifras decimales

2. F. Periódico Puro (DPP)

Se originan cuando el denominador de la fracción irreductible, es diferente de una potencia de 2 y/o 5. La cantidad de cifras periódicas está dado por el menor número de “nueves” que contiene exactamente al denominador.

Ejemplo:

= 0,333 ……………. = 0,3

= 0,0909 ………… = 0,09

= 0,37037 ………… = 0,037

¿Cuántas cifras periódicas origina ?

Solución:Necesitamos averiguar cuántos “nueves” como mínimo quedan dividido exactamente entre 7

999999 7 = 0,142857

29 142857 19 59 39

49

OBSERVACIÓN:Se usan como mínimo 6 nueves por tanto origina seis cifras periódicas.

Descomposición de nueve factores primos

91 = 33

99 = 32 x 11999 = 32 x 37

9999 = 32 x 11 x 10199999 = 32 x 41 x 271

999999 = 32 x 7 x 11 x 13 x 379999999 = 32 x 239 x 4649

99999999 = 32 x 11 x 101 x 73 x 137

3. F. Decimal Periódico Mixto (DPM)Se originan cuando el denominador de la fracción irreductible contiene entre otros factores potencia 2 y/o 5. La cantidad de cifras periódicas y no periódicas están dadas por las reglas anteriores ya indicadas.Ejemplo:

= 0,1666 ……… = 0,16

= 0,01818 ……. = 0,018

= 0,00925925 …… = 0,00925

NOTA:

1. MCD =

2. MCM =

Puede ser una fracción entera en caso de que el MCD = 1

FRACCIÓN GENERATRIZ

Caso Base10 = n Base “n”Decimal exacto 0, a b c d n

Periódico puro 0, a b c(n)

Periódico mixto 0, a b c d (n)

Ejemplos:

* 0,325 0 =

* 24,28 =

* 0,423 =

* 27,34 =

* 0,2146 =

* 273,43875 =

* 0,24(7) =

* 43,25(8) =

* 0,263(9) =

* 0,472(9) =


1. Hallar la diferencia entre los términos de una fracción equivalente a 2/5, sabiendo que la suma de dichos términos es 28a) 8 b) 10 c) 12d) 9 e) 15

2. Hallar la suma de los términos de la fracción

irreductible equivalente a

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

3. Si al numerador de una fracción irreductible se le suma 1 y al denominador se le suma 2, resulta ser equivalente a la fracción original. La fracción original es:a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

4. Ordenar de mayor a menor:

a = , b = , c =

a) a, b, c b) b, a, c c) b, c, ad) c, b, a e) c, a, b

5. Hallar la suma de todos los valores de

“a”sabiendo que la fracción es propia e

irreductible.a) 18 b) 21 c) 24d) 30 e) 32

6. Si: y a+b=8, hallar: b-a

a) 5 b) 6 c) 4d) 3 e) 2

7. Simplificar:

a) 0 b) 1 c) 2d) 1/2 e) 1/3

8. ¿Cuánto le falta 4/11 para ser igual a 2/3 de los 5/7 de los 4/9 de los 6/11 de 7?a) 2/3 b) 4/3 c) 2/9

d) 4/9 e) 1/9

9. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 4/5, su numerador está comprendido entre 25 y 40 y su denominador entre 38 y 53?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Hallar la sume de las cifras del denominador de una fracción cuyo denominador es 8, sabiendo además que dicha fracción es mayor que un 1/7 pero menor que 1/6a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) 4

11. ¿Cuál es la diferencia de los términos de la fracción equivalente a 3/5 , cuya suma de términos sea 9696?a) 1818 b) 2222 c) 2626d) 2828 e) 2424

12. El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. Hallar la suma de los términos de esta fracción a) 143 b) 132 c) 121d) 154 e) 165

13. Hallar “x” si:

a) 480 b) 520 c) 552d) 600 e) 650

14. Si an = 1- , entonces el producto

a1.a2.a3…..am-2

Es igual:

a) b) c)

d) e)

15. Los 4/5 de las aves de una granja son palomas, los 5/6 del resto son gallinas y las 8 aves restantes son pavos. ¿Cuántas aves hay en la granja?a) 200 b) 240 c) 250d) 280 e) 300

16. Alfonso es el cuádruplo de rápido que Nemesio, juntos hacen una obra en 6 días. Si Nemesio trabajase sólo, en cuánto tiempo haría esa obraa) 15 b) 20 c) 28d) 44 e) 80

17. Emilia hace un trabajo en 8 días y Lila hace el mismo trabajo en 12 días, después de trabajar juntas durante 3 días se retira Emilia. En qué tiempo terminará Lila la parte que falta.a) 4,5 días b) 5 días c) 5,5 díasd) 6 días e) 6,5 días

18. Los obreros A, B y C hacen una obra en 18 días. A y B hacen la misma obra en 30 días. En cuántos días hace la obra C trabajando sólo a) 50 b) 60 c) 90d) 84 e) 45

19. Si un depósito está ½ de lo que no está lleno, se vacía una cantidad igual a 1/3 de lo que no se vacía, ¿qué fracción del depósito quedará con líquido?a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

20. Un tonel tienen 100 litros de vino, se saca 1/5 y se remplaza por agua. Luego se saca 1/5 de la mezcla y se remplaza por agua. Luego se saca ¼ y se vuelve a remplazar por agua. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel al final?a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

TAREA

1. Hallar una fracción cuya suma de términos es 25 y cuando se le suma 6 unidades al numerador y 9 al denominador se obtiene

una fracción equivalente . Dar como

respuesta la diferencia de los términos de la fracción.a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 8

2. ¿Cuántas fracciones irreductibles, cuyo denominador es 12, cumplen con la

condición de ser mayores que pero

menores que .

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Hallar una fracción equivalente a ,

sabiendo que la suma de sus términos es 154.a) 40/104 b) 48/106 c) 28/126d) 80 e) 60/94

4. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles existen tales que la suma de sus términos sea 35?a) 12 b) 13 c) 19d) 16 e) 17

5. Los 2/3 de los miembros de un comité son mujeres; ¼ de los hombres están casados. Si hay 9 hombres solteros, ¿Cuántas mujeres tiene el comité?a) 36 b) 24 c) 12d) 18 e) 26

6. Un microbús parte con cierto número de pasajeros. En el 1° paradero baja la quinta parte, en el segundo suben 40 pasajeros, en el 3° bajan los 3/8 de lo que lleva, en el cuarto suben 35 pasajeros y en el trayecto al

quinto deja 7/9 de los que lleva; llagando al final con 30 pasajeros. ¿Cuántos habían al inicio?a) 120 b) 100 c) 150d) 180 e) 210

7. Un tanque puede ser llenado por la cañería A en 6 horas y vaciado por otra cañería B en 8 horas. Se abren ambas cañerías durante 2 horas; luego se cierra B y A continúa abierto por 3 horas; al final de las cuales se abre B. ¿Qué tiempo después de la reapertura de B demora en llenarse el tanque?a) 3 h b) 10 h c) 11 hd) 8 h e) 12 h

8. Dos caños alimentan un estanque. El primero puede llenarlo en 50 horas y el segundo en 40 horas. Se deja correr el primero durante 15 horas y después el segundo durante 16 horas. Enseguida se retiran 900 L y luego se abren las dos llaves constatándose que el estanque termina llenándose en 10 horas. ¿Cuál es la capacidad del estanque?a) 3000 L b) 6000 L c) 8000 Ld) 4000 L e) 9000 L

9. Un canal llena un depósito en 5 horas y otro lo vacía en 8 horas. ¿En qué tiempo se llenará el depósito si se abre el desagüe una hora después de abrir el canal de entrada?a) 10 h 36 m b) 10 h 40 m c) 11h 46md) 11 h 36 m e) 11 h 40m

10. Una persona pierde sucesivamente la mitad del dinero que tenía, la cuarta parte del resto y los dos quintos del nuevo resto. Si luego gana un tercio del dinero que le quedaba. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente tiene ahora?a) 2/5 b) 4/3 c) 3/8d) 3/10 e) 4/7

NÚMEROS DECIMALES

1. Indicar las fracciones generatrices equivalentes a 0,08; 0,27; 0,063

a) b)

c) d)

e)

2. Hallar la suma del numerador con el denominador de la fracción irreductible equivalente al resultado de efectuar la siguiente operación: 0,2 + 0,3 + 0,13a) 25 b) 15 c) 10d) 5 e) 11

3. Indicar la suma de las cifras del numerador de la fracción irreductible equivalente a 10,245a) 9 b) 7 c) 8d) 10 e) 11

4. El resultado de (0,222…) (0,818181…) es:a) 0,18 b) 0,36 c) 0,162d) 0,45 e) 0,54

5. ¿Cuántas cifras tiene el período del

desarrollo decimal de ?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. ¿Cuántas cifras tiene el período del

desarrollo decimal de ?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

7. ¿Cuántas cifras no periódicas tiene la parte

decimal el desarrollo de ?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

8. Hallar “a”, si:

0,a3 =

a) 7 b) 1 c) 2d) 4 e) 9

9. Si:

0,1a = ; siendo m entero

hallar a + ma) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

10. Si: = 0,2 con 15 < a <35; 50 < b < 75,

hallar a + ba) 77 b) 80 c) 82d) 85 e) 88

11. Para que números naturales se cumple que:

a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 3 y 4d) 4 y 5 e) 5 y 6

12. Si: 0,a1 + 0,a2 + 0,a3=1,27; hallar “a2”a) 16 b) 36 c) 25d) 49 e) 64

13. Hallar “a + b”, si: + =0,9696…..

a) 6 b) 8 c) 9d) 12 e) 14

14. La operación: es igual a:a) 8,20 b) 8,21 c) 8,22d) 8,23 e) 8,25

15. Indicar la última cifra significativa de la parte decimal originada por E, sabiendo que:

E =

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7

16. Calcular la última cifra significativa de la parte decimal originada por la siguiente fracción:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Hallar la suma de las cifras diferentes de la

parte decimal de:

a) 11 b) 10 c) 12d) 9 e) 18

18. ¿Cuántos valores puede tomar N, si:

=0,aba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

19. Si a y b son 2 números enteros positivos. Hallar la suma de todos los posibles valores

de “b” de modo que

a) 6 b) 15 c) 24d) 21 e) 45

20. Si: 0,a + 0,b + 0,ab = 1,42

hallar “a . b”a) 15 b) 18 c) 21d) 10 e) 12

TAREA

1. Simplificar:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 5,48

2. Calcular: 0,98-0,97+0,96-0,95+……-0,01a) 0,46 b) 0,47 c) 0,48d) 0,49 e) 0,50

3. Calcular (a + n), en:

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 6

4. Si se cumple:

calcular: (a + b), si además: a - b = 2a) 4 b) 8 c) 6d) 12 e) 10

5. Si:

además:

siendo: a + 2 = e + fdar: a/ba) 1/3 b) 5/9 c) 1/9

d) 7/9 e) 2/36. Calcular la suma de los valores de “a” si:

a) 5 b) 4 c) 7d) 10 e) 19

7. Dado:

calcular:

a) 4 b) 3 c) 5d) 2 e) 8/3

8. Calcular b2, si:

a) 9 b) 16 c) 4d) 25 e) 36

9. Hallar la fracción equivalente a 1,04166….. y tal que el producto de sus términos sea el menor cubo perfecto posible. Dar como repuesta la suma de cifras del numerador.a) 21 b) 20 c) 23d) 24 e) 25

10. Cuántos valores toma N en:

a) 0 b) 4 c) 2d) 3 e) 5

POTENCIACIÓN

Es una operación matemática que consiste en multiplicar u número por sí mismo varias veces.

En general:

Donde: K Z+

n Z+

Además: k es la base n es el exponente P es la potencia perfecta de grado “n”

Ejemplos: Número Potencia perfecta de grado:

P= 5.5.5.5=54 4

64 es una potencia perfecta de grado 6(64=26)

TEOREMA FUNDAMENTALPara que un entero positivo sea potencia perfecta de grado “n” es condición necesaria y suficiente que los exponentes de los factores primos en su descomposición canónico (D.C) sean múltiplos de “n”.Sea: k: A.B.C (D.C)

Ejemplos:

……... (D.C)

Ejemplos: N = 26.1512.73 = (22.54.7)3

Como 6; 12 y entonces “N” es una

potencia perfecta de grado 3.CASOS PARTICULARES

1. Potencia Perfecta de Grado 2 o Cuadro Perfecto Sea: k: A.B.C ……… (D.C)

Tenemos: …… (D.C)

Ejemplos:N = 22.76.114

2. Potencia Perfecta de Grado 3 o Cubo PerfectoSea: k: A.B.C ……… (D.C)

Tenemos: …… (D.C)

Ejemplo: L = 36.59.173

CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN DE CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS

I. Según su última cifra:

k=…0

…1

…2

…3

…4

…5

…6

…7

…8

…9

K2

=…0

…1

…4

...9 ...6…5

…6

…9

…4

…1

K3

=…0

…1

…8

…7

…4

…5

…6

..3…2

…9

del cuadro se observa:

Si un número termina en 2; 3; 7 ó 8 no es cuadrado perfecto; en los demás casos tiene la posibilidad de serlo.

Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.

II. Por la terminación en ceros

Si:

n = x {0; 2; 6}

además:

P = =

kn

kn = An.Bn.Cn

K2=A2.B2.C2

K3 = A3.B3.C3

Si:

n = (pZ+)

III. Por su terminación en la cifra 5

Si: y = 2 x {0; 2; 6}además:

Si: y = 2 o y = 7

IV. Por criterios de Divisibilidad

Módulo 4

k = +r ; r {0; 1; 2; 3}

k2 { }

k3 { }

Módulo 9

k = +r ; r {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;

8}

k2 { }

k3 { }


1. ¿Cuántos de los siguientes numerales no son cuadrados perfectos?I. 297 II. 196III. 128 IV. 372V. 400a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 5

2. ¿Cuántos cuadrados perfectos están comprendidos entre 144 y 900?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. ¿Cuántos cubos perfectos de 3 cifras hay?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. ¿Cuántos cubos perfectos de 2 cifras hay?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. ¿Cuántos cubos perfectos hay entre 20 y 150?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Si: N = es un cuadrado perfecto, calcular “a”a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 6

7. ¿Cuántos cubos perfectos hay entre 27 y 8000?a) 16 b) 15 c) 14d) 17 e) 18

8. Los números que tienen raíz cuadrada exacta y están comprendidos entre 269 y 412; en números son:a) 6 b) 5 c) 2d) 4 e) 3

9. ¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre 80 y 160?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

10. ¿Calcular la suma de los dos mayores cuadrados perfectos de dos cifras?a) 120 b) 145 c) 160d) 170 e) 180

11. ¿Cuál es el menor número natural por el que se debe multiplicar a N para que sea un cuadrado perfecto, si N = 22.15.49?a) 8 b) 15 c) 25d) 49 e) 60

12. La diferencia de los cuadrados de las raíces de dos números es 24 y la suma de las raíces de dichos números es 12. ¿Cuál es el menor de dichos números, si son cuadrados perfectos?a) 16 b) 25 c) 36d) 49 e) 81

13. Entre dos cuadrados perfectos hay 26 números enteros. Determinar el primero de los números comprendidos entre tales cuadrados perfectos?a) 171 b) 170 c) 168d) 1725 e) 195

14. Sea N = 3.72.11, ¿Cuál es el menor número natural por el que se debe multiplicar a N para que sea un cuadrado perfecto?a) 3 b) 11 c) 33d) 66 e) 75

15. El cubo de un número, aumentado en el propio número resulta 222. ¿Cuál es su cuadrado?a) 49 b) 25 c) 81d) 64 e) 36

16. El cuadrado de un número aumentado en el propio resulta 156. La suma de las cifras de dicho número es:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. ¿Cuál es menor número entero por el que se debe multiplicar a 64350 para que el producto sea un cuadrado perfecto?a) 143 b) 22 c) 28600d) 26 e) 286

18. ¿Cuál es menor número entero por el que se debe multiplicar a 648 para que su producto sea cuadrado y cubo perfecto a la vez?a) 36 b) 72 c) 144d) 56 e) 112

19. ¿Cuál es el menor número entero tal que si dividimos el número 157339 entre dicho número se obtiene una división exacta con un cociente que un número entero y cuadrado perfecto?a) 13 b) 37 c) 19d) 17 e) 91

20. La suma de la tercera y cuarta parte de un número es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es menor número que cumple esta condición?a) 12 b) 24 c) 48d) 84 e) 96

TAREA

1. La diferencia entre el cubo de un número entero y el mismo número es 504, hallar el número.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2. Entre dos cuadrados perfectos consecutivos hay 50 números pares. Calcular el menor de estos 50 númerosa) 626 b) 625 c) 2500d) 2501 e) 2502

3. Dada la serie: 4; 6; 8; 10; ….. ¿Cuántos cuadrados perfectos hay en los cien primeros términos?a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

4. Para que un número “N” sea un cubo perfecto se le debe multiplicar por 18 y para que sea cuadrado perfecto se le debe multiplicar por 15. ¿Cuál es el menor valor que puede tener N?a) 225 b) 216 c) 2000d) 1500 e) 375

5. Entre dos cuadrados perfectos consecutivos hay 64 números enteros, determinar el mayor de dichos cuadradosa) 1024 b) 961 c) 1156d) 1089 e) 900

6. La diferencia de los cuadrados de dos número es 1128, mientras que la diferencia entre ellos es 6; uno de ellos es:a) 89 b) 91 c) 93d) 95 e) 87

7. ¿Cuántos números cuadrados perfectos de tres cifras terminan en la cifra 6?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Hallar “a”, si: a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

9. La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 672. ¿Cuál es el menor?a) 167 b) 169 c) 165d) 163 e) 171

10. Un cuadrado está formado por 784 soldados, ¿Cuántos soldados deben salir de la formación parar que queden dos hombres menos por cada del cuadrado?a) 54 b) 108 c) 63d) 109 e) 107

RADIACIÓN

Es la operación inversa a la potenciación, en el cual dados dos números llamados índice y radicando, consiste en calcular el tercer número llamado raíz que elevado a un exponente igual al índice, resulte el radicando.

Donde: N: Radicando

n: índicek: raíz

Se cumple N = kn

RADICACIÓN ENTERA:Al extraer la raíz de un número entero el resultado no siempre es entero, por tal motivo se recurre a un término adicional llamado residuo, de modo así que todos los términos sean enteros.

r: Residuo

RAÍZ CUADRADA ENTERASe denomina así a la raíz, cuando el índice es 2.

Puede ser:a) Exacta (r=0): Resulta cuando el residuo es

cero, y para ello el radicando debe ser un radicando perfecto.

Ejemplo: 12 144 = 122

0

En general:

b) Inexacta (r0): Resulta cuando el residuo es diferente de cero; se puede extraer al raíz de dos maneras; por defecto o por exceso.

Por defectoEjemplo:

8 70 = 82 + 6 6 En general:

k: Raíz cuadrada por defecto r: Residuo por defecto

Por excesoEjemplo:

9 70 = 92-11 11

En general:

(k+1): Raíz cuadrada por defectore: Residuo por exceso

PROPIEDADES:

1.

2.

RAÍZ CÚBICA ENTERASe denomina así a la raíz, cuando el índice es 3.

Puede ser:

a) Exacta (r = 0)Resulta cuando el residuo es cero y para ello el radicando debe ser un cubo perfecto.

r

rkNkN nn

k 0 N= k2

k+1 N = (k+1)2-re

re

r + re = 2k + 1

Rmax = 2k

k N = k2+r r

Ejemplo: 4

0

b) Inexacta (r 0)Resulta cuando el residuo es diferente de cero. Se puede extraer la raíz de dos maneras: por defecto o por exceso.

Por defecto:

k: raíz cúbica por defector: Residuo por defecto

Por exceso:

K+1: Raíz cúbica por excesoRe: Residuo por exceso

PROPIEDADES:

1.

2.

k N = k3

0

k N = k3+r 0

k+1 N = k3+r re

r + re = 3k(k+1)+1

Rmax = 3k(k+1)


1. Al extraer la raíz cuadrada a: , se obtiene 14 del resto. Calcular: a + ba) 6 b) 7 c) 10d) 13 e) 15

2. Si: K

10

calcular: K + aa) 64 b) 71 c) 76d) 85 e) 89

3. Si: Hallar la suma de las cifras de “K”a) 12 b) 18 c) 15d) 14 e) 16

4. Si: Hallar: a2 + K (“a” es par)a) 69 b) 70 c) 72d) 104 e) 81

5. Hallar (a + b), si: a) 5 b) 6 c) 11d) 13 e) 14

6. Si: 11112 = Hallar. a) 3456 b) 1235 c) 2345d) 4321 e) 1234

7. Si: = 2321Hallar: a) 24 b) 25 c) 23d) 22 e) 26

8. Si:

hallar: a + b + ca) 7 b) 8 c) 6d) 9 e) 10

9. Si:

hallar:

a) 49 b) 50 c) 51d) 52 e) 53

10. Si: es un cuadrado perfecto, calcular b2

a) 4 b) 9 c) 16d) 25 e) 36

11. Sea 10 < A < B < 100 donde A y B son cuadrados perfectos. Si la suma de las raíces cuadradas de A y b es igual a 13, entonces la suma de las cifras del menor valor de A es:a) 6 b) 7 c) 9d) 10 e) 12

12. Calcular a + b si al extraer la raíz cuadrada a un número que no tiene raíz exacta de la forma: , se obtuvo un resto mínimo.a) 6 b) 7 c) 10d) 12 e) 14

13. Al extraer la raíz cuadrada a: se obtiene 37 como raíz y un resto máximo. Calcular a + ba) 5 b) 7 c) 8d) 9 e) 12

14. Al extraer la raíz cuadrada a: se obtuvo como resto 8. calcular a.ba) 15 b) 18 c) 20d) 24 e) 32

15. Calcular: K + R:

K R

a) 35 b) 42 c) 45d) 60 e) 72

16. Calcular el valor de: K + R en:

K R

a) 70 b) 75 c) 78d) 81 e) 83

17. Al extraer la raíz cuadrada de: , se obtuvo como raíz . Calcular a+b+ca) 9 b) 10 c) 11d) 13 e) 14

18. Al extraer la raíz cuadrada a N se obtuvo un resto máximo igual a 38. Si M es el mayor cubo perfecto pero menor que N, calcular N-Ma) 17 b) 35 c) 42d) 48 e) 56

19. Cuántos números naturales tienen como raíz cuadrada entera a 42a) 83 b) 84 c) 85d) 91 e) 90

20. Con las cifras: 5; 0; 3 y 2 se forma un número de 4 cifras que tenga raíz cuadrada exacta. Calcular la suma de las cifras de la raíz a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 15

TAREA

1. ¿Cuántos números de 4 cifras, tienen raíz cúbica exacta?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

2. Al encontrar la raíz cúbica de un número se obtuvo como residuo el máximo posible: 2610. ¿Cuál es el radicando? Dar su mayor cifra

a) 8 b) 6 c) 9d) 5 e) 7

3. Determinar el valor de a + b si el numeral es un cuadrado perfecto

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

4. Determinar el valor de a + b si el numeral es un cuadrado perfecto

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

5. Al extraer la raíz cuadrada de un número obtuvimos 23 de resto y al extraer la raíz cuadrada de su cuádruplo obtuvimos 19 de resto. La suma de cifras del número es :

a) 14 b) 15 c) 17d) 23 e) 25

6. si a un entero se le suma 167, su raíz aumenta en 4 unidades y el resto se hace máximo. Hallar el número si el resto primitivo fue 17. La suma de cifras del número es:

a) 12 b) 15 c) 18d) 9 e) 16

7. Hallar la suma de cifras de N Z+ si:

18 17

a) 26 b) 27 c) 28d) 29 e) 30

8. Hallar c + d + R, sabiendo que c y d son diferentes e impares

18 R

a) 35 b) 37 c) 39d) 41 e) 33

9. ¿Cuántos números naturales tiene una raíz cúbica entera igual a 9?

a) 269 b) 270 c) 271d) 272 e) 273

10. ¿Cuántos números naturales tienen una raíz cuadrada entera igual a 69?

a) 70 b) 138 c) 139d) 140 e) 88

RAZONES - PROPORCIONES

RAZÓN

Se denomina razón a la comparación que se hace a dos cantidades mediante la operación de la sustracción o de la división.

Razón Aritmética. Es la comparación que se hace a dos cantidades homogéneas mediante la sustracción.

i) 58 m – 48 m = 10 mii) a – b = r

Razón Geométrica. Es la comparación que se hace a dos cantidades homogéneas mediante la división.

i) = 5km/h

ii) = k

ELEMENTOSAntecedentes: aConsecuente: b

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Es llamado así al conjunto de razones geométricas, que en común van a tener un mismo valor.

En donde se cumplen las siguientes relaciones:

1)

2)

3)

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS CONTINUAS EQUIVALENTES

Es aquella serie de razones geométricas equivalentes en la que se cumple que el valor de la razón geométrica formada por el primer antecedente y el último consecuente tiene como valor a la constante de proporcionalidad elevado al número de razones que tiene la serie.

Es de la forma:

en la que se cumple que:

PROPORCIÓNDados cuatro números ordinales a; b; c y d, si el valor de la razón entre las dos primeras es igual al valor de la razón entre las otras dos, entonces dichas cuatro cantidades forman una proporción.

PROPORCIÓN ARITMÉTICALlamado también equidiferencia, es la equivalencia de dos razones aritméticas:

a – b = c – d a . b = c .d

PropiedadEn toda proporción aritmética, la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios.

a + d = b + c

Proporción Aritmética Discreta.- Es aquella en la que sus cuatro términos son diferentes

a – b = c – d

Donde. a; b; c y d son llamadas cuartas diferenciales.

Proporción Aritmética Continua.- es aquella en la sus términos medios son iguales.

a – b = b -d

Donde:

PROPORCIÓN GEOMÉTRICALlamado también equicociente, es la equivalencia de dos razones geométricas.

a : b :: c : d

PropiedadEn toda proporción geométrica, el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.

a x d = b x c

Proporción Geométrica Discreta.- Es aquella en le que sus cuatro términos son diferentes

Donde: a; b; c y d son llamadas cuartas proporcionales.

Proporción Geométrica Continua.- Es aquella en la que sus términos medios son iguales.

Donde:

Propiedades

1. Dado la proporción:

Entonces:

2. Dado la proporción :

Entonces:


1. La razón aritmética de dos números es 12. Si uno de ellos es el cuádruple del otro, hallar la suma de dichos númerosa) 18 b) 20 c) 24d) 30 e) 32

2. La razón entre dos números es 3/5. Determinar la diferencia entre ellos, sabiendo que su suma es 72.a) 9 b) 12 c) 16d) 18 e) 24

3. Dos números están en la razón de 3 es a 2. Si la suma de dichos números excede a la diferencia de los mismos en 80, hallar el mayor de los números a) 45 b) 60 c) 75d) 90 e) 120

4. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta?a) 2/3 b) 4/5 c) 1/3d) 3/4 e) 5/3

5. Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180, se convierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor. Hallar su producto.a) 180 b) 216 c) 270d) 396 e) Hay dos respuestas

6. Si m es la medida proporcional de 9 y 4; n es la cuarta proporcional de 8, m y 12. Hallar m+na) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 24

7. José y Juan S/. 700 entre ambos, lo que tiene José es a lo que tiene Juan como 4 es a 3. ¿Cuánto tiene José?a) S/. 400 b) S/. 300 c) S/. 1000d) S/. 100 e) S/. 600

8. En un salón hay 40 varones y 30 mujeres. ¿Cuántas parejas deben retirarse para que los varones que quedan sean a las mujeres que quedan como 7 es a 5?a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

9. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta X rosas en 1 hora, A planta X + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas?a) 6 b) 8 c) 32d) 24 e) 12

10. Si: , además 2a + b + c = 54,

calcular:E = a + 2b + c

a) 60 b) 64 c) 70d) 72 e) 80

11. Los ángulos de un triángulo son entre sí i como los números 4; 7 y 9. Hallar al menor de los ángulosa) 20° b) 24° c) 28°d) 32° e) 36°

12. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

13. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4; 1 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números?a) 4 b) 10 c) 14d) 15 e) 16

14. Los antecedentes de varias razones geométricas iguales son 2; 3; 4; y 5; el producto del primer antecedente y los dos últimos consecuentes es 41160. La suma de los consecuentes es:a) 94 b) 98 c) 95d) 96 e) 97

15. En un aserie de 4 razones geométricas continuas equivalentes se cumple que la suma de los antecedentes con el doble de la suma de los dos primeros consecuentes es 1500. Calcular la suma de los dos primeros antecedentes sabiendo que la constante de proporcionalidad es un número enteroa) 880 b) 900 c) 920d) 949 e) 960

16. Si: en el cual el último

consecuente es 8además:

calcular: (a+d2+e)a) 65040 b) 65400 c) 65004d) 32400 e) 64050

17. Si: q = 4p; r = 5p

Hallar: E =

a) 0,42 b) 0,21 c) 2,34d) 2,386 e) 4,2

18. Dada la siguiente serie:

calcular: “b” si c-a = 20a) 20 b) 25 c) 28d) 30 e)32

19. Sean a; b; c; k enteros positivos tales que:

. Hallar el mínimo valor de:

E = a + b + c + ka) 17 b) 20 c) 21d) 23 e) 47

20. En cierto campeonato un equipo de fútbol, de los 18 partidos que jugó , ganó más de los que empató, y el número de partidos que ganó es a los que perdió como 40 es a 3. ¿Cuántos partidos empató?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

TAREA

1. La razón aritmética de dos números es 20 y su razón geométrica es 2. El número mayor es:a) 20 b) 30 c) 40d) 60 e) 80

2. La razón geométrica entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. si la suma del mayor con el triple del menor es 14, hallar la suma de los cuadrados de los números.a) 68 b) 72 c) 76d) 80 e) 100

3. En una proporción geométrica continua la suma de los cuatro términos es 64 y la diferencia entre los extremos 48. Hallar la suma de los extremos a) 49 b) 72 c) 50d) 85 e) 63

4. En un momento de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailaban es al número de hombres como 3 es a 20. Encontrar el número de damas que están bailando, si en total asistieron 456 personasa) 120 b) 150 c) 180d) 200 e) 210

5. En la serie:

se cumple que: b . g = 160a . f = 90 e – c = 35

Calcular “d”a) 90 b) 80 c) 70d) 60 e) 50

6. En una proporción geométrica, la suma de los términos medios es 16 y la razón aritmética de los mismos es 4. Hallar el producto de los extremos a) 60 b) 64 c) 48d) 72 e) 80

7. Sean a; b; c; d; e; k enteros positivos tales que:

a + b + c + d = 90. Hallar: E = a) 144 b) 240 c) 288d) 432 e) 300

8. Si:

hallar:

a) 2 b) 4 c) 8d) 1 e) 1/2

9. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje uno de los pilotos observa que el número de aviones que el ve es al números de barcos como 3 a 2. Mientras uno de los marineros observa que le número de barcos que ve es al número de aviones como uno 1 a 2. ¿Cuántas naves son?a) 16 b) 18 c) 20d) 24 e) 30

10. Se han sacado 9 litros de un barril lleno de vino, después se ha llenado con agua y de esta mezcla se han sacado otros 9 litros y el barril es llenado nuevamente con agua. Si la cantidad de vino que queda en el barril es a al cantidad de agua como 16 es a 9, ¿qué capacidad tiene el barril?a) 16 litros b) 25 litros c) 30 litrosd) 45 litros e) 50 litros

PROMEDIOS

Se denomina promedio e un conjunto de datos de un valor que representa a los datos, el cual está comprendido entre el menor y el mayor de dicho conjunto de datos.Sean los datos: a1; a2; a3; …; an

Donde: a1 a2 a3 ….. an

Si P es un promedio, se cumple:

a1 P an

Mayor dato Menor dato PROMEDIOS IMPORTANTES

1. Promedio Aritmético o Media Aritmética (MA)

Ejemplo:Sean los datos: 10; 13; 15; y 16

MA = = 13,5

NOTA: MA (50#s) =

2. Promedio Geométrico Media Geométrica (MG)

Ejemplo:Sean los datos: 2; 4 y 27

MG =

NOTA: MG(20#s) =

3. Promedio Armónico o Media Armónica (MH)

Ejemplo:Sean los datos: 6; 12 y 20

MH =

NOTA: MH(20#s)=

Caso ParticularSean los números a y b

Ejemplo:Sean los números; 4 y 16

MA = MG =

MH =

PROPIEDADES:

1. Para varios datos

Si todos los datos son iguales: A=MG=MHSi todos los datos no son iguales MA>MG>MH

2. Para dos datos a y b

MA =

MG =

MH =

MA=MG=

MH=

MA MG MH

MA . MG = MH

(a+b)2 =4(MA + MG)(MA- MG)

PROBLEMA RESUELTOS

1. La edad promedio de 5 personas es 20y ninguno de ellos es menor de 18 años. ¿cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos?

Resolución:

Edades: A; B; C; D; E 18

máx

A + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 100A + 72 = 100 Amáx = 28

2. El promedio de las notas de 20 estudiantes es12 y el promedio de las notas de otros 30 estudiantes es 16. ¿Cuánto es el promedio de las notas de los alumnos?

Resolución:

Cantidad Promedio

20 12

30 16

El promedio de las notas de los 50 alumnos

P =

P = 14,4

3. El promedio de 40 números es 25. Eliminando 60 y 66 que son dos de estos números. ¿Cuánto es el primero de los que quedan?

Resolución:

= 25 S(40#s= = 1000

Se eliminan: 60 y 66 S(2#s) = 126Quedan: 38#s S(38#s) = 874

Piden:

MA(38#s) =

MA(38#s) = 23

4. Para dos cantidades a y b, se cumple que el producto de su MA y MH es 100 y el producto de su MA y MG es 125.Hallar a - b (a > b)

Resolución:

Cantidades a y b

MA.MG = 100 . = 100......(1)

MA.MG = 125 = 125......(2)

De(1) : ab = 100En(2) : a + b = 25Luego : a = 20 ; b = 5

a - b = 15

5. Un auto se dirige de A a B con una velocidad de 40 km/h; en el regreso la velocidad fue de 60 km/h. Calcular la velocidad promedio ene todo el recorrido

Resolución:

Se define:

VP = =

VP = + = MH(40; 60)

VP = VP = 48 km/h

A Bd

t2

t140 km/h

60 km/h


01. Dados los números enteros 1; 2; 8 y 16, calcular el promedio aritmético, geométrico y armónico de dichos números respectivamente.

a) ; 4; b) 5; 4; 3

c) 3; 2 ; d) 6 ; 4;

e) ; 8;

02. El promedio aritmético de cuatro números pares diferentes es 5. Hallar la suma del mayor y menor de los números.a) 10 b) 14 c) 12d) 8 e) 18

03. Si el promedio geométrico de: 2x; 4x; 23x es 1024y, calcular x/y.a) 1 b) 2 c) 1/5d) 5 e) 1/2

04. El promedio de 5 números es 85, se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15, el sexto número es:a) 120 b) 175 c) 154d) 165 e) 18

05. La edad promedio de 4 personas es 34 y al incluir en el grupo a una quinta persona, el promedio disminuye en 4 años. ¿cuál es la edad de la quinta persona?a) 5 b) 7 c) 14d) 10 e) 12

06. Hallar el promedio armónico de los siguientes números:

(1.2); (2.3); (3.4); … (8.9)a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

07. El mayor promedio de dos números enteros es 100, mientras que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia de dichos números.a) 180 b) 120 c) 100d) 160 e) 150

08. Tres números enteros consecutivos pueden determinarse si se conocen:a) Su promedio aritméticob) Su promedio armónicoc) Su promedio geométricod) Cualquiera de los tres promediose) No se puede determinar

09. El promedio aritmético de 5 números enteros positivos consecutivos es igual:I. El número intermedioII. La media aritmética de los extremosIII. La media aritmética del 2do y 4to

númeroes(son) cierta(s):a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo Id) Todas e) I y II

10. La media aritmética de dos números y la media armónica de dichos números están en la relación de 16 a 15. Calcular la media geométrica si la diferencia de cuadrados de los dos números es 144.a) 9 b) 3 c) 15d) 5 e) 3

11. Si se sabe que la suma de las razones geométricas que se pueden formar con dos cantidades es 14. hallar la relación entre la media aritmética y la media armónica de esas dos cantidades.a) 16:7 b) 18:5 c) 4:1d) 3:1 e) 8:5

12. Si para dos números enteros diferentes entre sí y de la unidad, se cumple:a) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 10

13. El promedio aritmético de N números es 50. si eliminaron los “n” números 18 que se tiene, el promedio aumenta en “n” unidades, hallar N si este último es a “n” como 11 es a 3.a) 40 b) 44 c) 48d) 54 e) 50

14. Un motociclista ha recorrido los tres lados de una pista triangular con velocidades de 60km/h, 30km/h y 20km/h respectivamente. Calcular la velocidad promedio en su recorrido, sabiendo que la pista triangular es equilátera.a) 60 km/h b) 24 km/h c) 50 km/hd) 48 km/h e) 30 km/h

15. La relación de las edades de Ana y Bety es de 3 a 5. si hace 11 años el promedio de sus edades era 9 años ¿cuántos años tendrá Ana dentro de 3 años?a) 15 b) 16 c) 18d) 21 e) 20

16. Si la razón de la suma con la diferencia de dos números es 7/2, hallar el menor de ellos, si su media geométrica es 192a) 160 b) 320 c) 160d) 84 e) 200

17. En un grupo de 30 personas el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es 28. Si el promedio de los 10 mayores es 45 y de los 10 menores es 22, ¿Cuál es la edad promedio de los 10 restantes?a) 36 años b) 38 años c) 39 añosd) 40 años e) 42 años

18. Dados dos números enteros positivos se observa que el menor de ellos forma una progresión aritmética con la media geométrica y la media aritmética de ambos. Calcular el mayor de los números si la diferencia entre ambos es 64.a) 6 b) 8 c) 36d) 24 e) 72

19. Para dos números enteros positivos cuya diferencia es 80, se cumple:

MA.MH + 3MG = 960 Hallar el mayor de los númerosa) 90 b) 70 c) 120d) 100 e) 150

20. El promedio de la edad de tres hermanos de Sebastián es 12 años y al promedio de las edades de 5 hermanos de María es 18 años. ¿Cuál será el promedio de la edad de todos ellos, incluidos Sebastián y María, si las edades de estos dos últimos sumarán dentro de 10 años 48 años?a) 15 b) 15,1 c) 15,3d) 15,4 e) 15,2

TAREA

1. El promedio geométrico de 4; x y 9 es 6.Calcular “x”a) 12 b) 8 c) 6d) 3 e) 18

2. El promedio aritmético de 53 números es 600. Si se retiran los números 150; 120 y otro, el promedio aumenta en 27,9, calcular el otro númeroa) 138 b) 135 c) 140d) 142 e) 145

3. Halle dos números enteros sabiendo que su media aritmética es 5 y el de su media armónica es 24/5. Dar como respuesta el mayor de los dos números a) 4 b) 6 c) 12d) 24 e) 8

4. Encuentre la media aritmética del mayor número de dos cifras diferentes con el menor número de tres cifras diferentes y significativas a) 100 b) 99,5 c) 99d) 111,5 e) 110,5

5. Es un salón de clase: x alumnos tienen 14 años y alumnos tienen 11 años z alumnos tienen 13 años Si el producto de todos es 12 años, hallar “z”a) 2y - x b) y - 2x c) 2y - 2xd) y - x e) x - y

6. Si a cinco números se le agregan los números 20 y 30 se observa que su promedio aritmético disminuye en 6 unidades, hallar el promedio de esos 5 números.a) 40 b) 42 c) 44d) 46 e) 48

7. Koky para ir al colegio va en un taxi a razón de 60km/h y regresa por la misma vía en un bus a razón de 401 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio de su recorrido total?a) 50 km/h b) 48 km/h c) 46 km/hd) 42 km/h e) 52 km/h

8. El promedio armónico de 20 números es 18 y el promedio armónico de 30 números es 54. Hallar el promedio armónico de los 50 números.a) 50 b) 30 c) 42d) 35 e) 45

9. El promedio de las edades de 30 varones es 20 años y ninguno de ellos es menor de 18 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos?a) 78 b) 60 c) 90d) 82 e) 88

10. El promedio de edades de los 6 hermanos de Fidel es 23 años y el promedio de edades de los 5 hermanos de diana es 32 años. ¿cuál es el promedio de edades de todos ellos, incluidas las edades de Fidel y diana si hace 9 años la suma de sus edades era de 22 años?a) 28 años b) 24 años c) 26 añosd) 24,4 años e) 22 años

MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUDEs todo aquello que experimenta cambios el cual puede ser medido o cuantificado

CANTIDADEs un estado particular de la magnitud, el cual resulta de medirla o cuantificarla, expresado en ciertas unidades de medida.

Ejemplo:

MAGNITUD CANTIDADPesoTemperaturaLongitud

60 kg35 °C20 m

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre sus valores correspondientes es siempre constante.

Ejemplo: Para un móvil, se tiene:

Espacio (km) 40 60 80 120

Tiempo (h) 2 3 4 6

Como:

= = = = 20 = cte.

Luego:(Espacio) D.P (Tiempo)

En general:Sean las magnitudes A y B

A a1 a2 a3

B b1 b2 b3

GRAFICA:

Se cumple

= =

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es siempre constante.

Ejemplo: Para realizar una obra, se tiene:

Obreros 4 6 8 12

Días 30 20 15 10

Como:4.30 = 6.20 = 8.15 = 12.10 = 120 = Cte.

Luego:(Obreros) I.P (Días)

En general:

Sean las magnitudes A y B

A a1 a2 a3

B b1 b2 b3

Si A D.P B = k; Cte

Si A I.P B AB =k k; Cte

b1 b2 b3

a1

a2

a3

A

B

Recta

GRAFICA:

Se cumple

a1b1 = a2b2 = a3b3

PROPIEDAD.- Sean Las magnitudes A; B y C

Si: = k; k = Cte


1. La magnitud A es directamente proporcional a B. Cuando A = 51; B = 3. Hallar el valor que toma B, cuando A = 34.Resolución:

A D.P B

Reemplazando:

B = 2

2. Se sabe que A es D.P a e I.P a C2. Si A = 3 cuando B = 16 y C = 8, calcular B cuando A = 6 y C =4.Resolución:

= k; k = Cte

Reemplazando:

B = 4

3. El consumo es directamente proporcional al sueldo; el resto lo ahorra. Un señor cuyo sueldo es S/. 560 consume S/. 490. Si recibe un aumento, consume S/. 910. ¿De cuanto es el aumento?Resolución:

Sea C: ConsumoS: Sueldo

Como C D.P S

Reemplazando: x: aumento

560 + x = 1040 S/. 480

4. La presión es inversamente proporcional al que contiene determinada cantidad de gas. Determine Ud. La presión a la que un gas está sometido, si cuando esta disminuye en 5 atmósferas el volumen varía en ¼ de su valor.

Resolución:Sea P: Presión V: VolumenDato P I.P V P.V = k

Reemplazarlo: P.V = (P-5)

P.V = (P-5).

4P = 5P -25 P = 25 atmósferas

5. Una rueda de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 15 dientes. Si A da 120 RPM, ¿cuántas vueltas por minuto da la rueda C?

Resolución:

NOTAS:

b3 b2 b1

a1

a2

a3

A

B

Hipérbola equilátera

8050

15

A B

C

VC

VBVA = 120 RPM

Cuando dos ruedas engranan se cumple(#dientes) I.P (Velocidad)

Cuando dos ruedas tienen eje común, se cumple que sus velocidades serán iguales

Como A y B engranan:

80.120=50.VB

VB = 192RPM

Como B y C tienen eje común Vb = VC

VC = 192RPM


1. Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, entonces si A = 90, B = 30, hallar B cuando A = 21a) 63 b) 7 c) 3d) 42 e) 10,5

2. El gasto de una persona es D.P a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo mensual es de S/. 1200 ahora S/. 200 ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1300?a) S/.1400 b) S/.1134 c) S/.1500d) S/.1620 e) S/.1560

3. Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales , entonces si A = 40, B = 30, hallar A cuando B = 15a) 20 b) 80 c) 4d) 40 e) 16

4. Con una cierta cantidad de gasolina un camión sólo puede correr 60 km con 2 toneladas de carga. ¿Cuántos km podrá recorrer dicho camión con la misma cantidad de gasolina si lleva una carga de 10 toneladas sabiendo que el recorrido es I.P a la carga que lleva?a) 30 b) 15 c) 12d) 32 e) 28

5. Señalar la relación en la que A y B no son magnitudes proporcionalesa) A.B = 36 b) A2 = 5B2

c) 9A + 3B = 15B d) 3A + 4B = 11Ae) 9A + 9 = 18B

6. Si “A” varía a razón directa a “B” e inversamente al cuadrado de “C”. Cuando A = 10 entonces B = 4 y C = 14. Hallar A cuando B = 16 y C = 7.a) 180 b) 160 c) 154d) 140 e) 120

7. Zoila es un taxista que acostumbra cobrar de forma proporcional al número de pasajeros que transporta y a la distancia recorrida. Si a

2 pasajeros les cobró S/. 30 por recorrer60 km, ¿Cuánto les cobrará a 5 pasajeros por recorrer 12km?a) S/.50 b) S/.15 c) S/.30d) S/.10 e) S/.20

8. Dos amigos van a una tienda y compran una bolsa de chizitos que cada uno consuma. El primero consumió 35 y el segundo 21. si el primero pagó 20 céntimos más, ¿ cuánto costó la bolsa de chizitos? (Ambos terminaron la bolsa de chizitos)a) S/. 0,60 b) S/. 0,70 c) S/. 0,80d) S/. 0,90 e) S/. 0,50

9. Una rueda de 80 dientes engrana con otra de 15 dientes, la cuál está montada sobre el mismo eje que una tercera rueda. ¿Cuántas vueltas dará esta última rueda cuando la primera a dado 60 vueltas?a) 300 b) 320 c) 350d) 400 e) 480

10. Las magnitudes proporcionales A y B guardan cierta relación según el cuadro:

A m 6 2 4 8

B ¾ n 3 12 48

a) 27 b) 30 c) 28d) 18 e) 32

11. Se sabe que A2 es D.P a B. Si A = 8, cuando

B = 16, calcule A cuando B = 36a) 144 b) 18 c) 12d) 16 e) 20

12. La deformación producida por un resorte al aplicarle una fuerza es D.P a dicha fuerza. Si el resorte de 30cm de longitud se le aplica una fuerza de 3 N su nueva longitud será de 36cm ¿Cuál será la nueva deformación del resorte sise le aplica una fuerza de 4 N?a) 36 cm b) 38 cm c) 40 cmd) 42 cm e) 60 cm

13. A es D.P a e I.P a C2, cuando A = 10, B = 25 y C = 4. Hallar A cuando B = 64 y C = 8a) 6 b) 8 c) 4d) 12 e) 10

14. El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B, cuando A = 3, B = 4. Hallar el

valor de B cuando A =

a) 1 b) c) 2/3d) 1/3 e) 4/3

15. Suponiendo que el costo de los terrenos es D.P a sus áreas e I.P a la distancia que lo separa de Lima. Un terreno de forma cuadrad a 28km al sur de Lima está valorizada en S/. 60000. ¿Qué precio tendrá un terreno de forma cuadrada cuyo perímetro es los ¾ del anterior y está ubicada a 7 km de Lima?a) S/. 270000 b) S/.135000 c) S/.45000d) S/.90000 e) S/.180000

16. ¿Cuál es el peso de u diamante, cuyo precio es S/. 5500, si otro de 6 kilates es de tiene un precio de S/. 19800, además el precio de un diamante es proporcional al cuadro de su peso? (1 kilate = 0,7g)a) 7 gramos b) 12 gramos c) 10 gramosd) 70 gramos e) 14 gramos

17. Sean las magnitudes proporcionales A y B

A 2 6 10 12 30

B M 18 n 72 450

Calcular “m + n”a) 52 b) 48 c) 36d) 60 e) 42

18. Una rueda “A” de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fija el eje “B”, hay otra rueda C de 15 dientes que en engrana con una rueda “D”de 40 dientes. Si “A” da 150 vueltas por minuto ¿Cuántas vueltas dará la rueda “D”?a) 60 b) 80 c) 90d) 120 e) 30

19. Si A es D.P a B e I.P a C, cuando C = 3/2 entonces A y B son iguales, ¿Cuál es el valor de B, cuando A = 1 y C = 12?a) 6 b) 8 c) 12d) 9 e) 16

20. Una magnitud A es D.P al cuadrado de B e I.P a la raíz de la suma de C y D cuando A = 10; B = 5; C = 9 y D = 16. ¿Qué valor tomará A cuando B = 6; C = 5 y D =4?a) 24 b) 8 c) 12d) 10 e) 36

TAREA

1. Si las magnitudes A y B son I.P, calcule (2p + q)

A 45 36 p

B q-1 q q+1

a) 75 b) 65 c) 85d) 95 e) 45

2. En el siguiente sistema de engranajes A, B y C tiene 80; 40 y 60 dientes respectivamente, cuando realiza 6 vueltas , ¿cuántas habrá dado B y C?. dar como respuesta la suma de los números de vueltas.

a) 24 b) 26 c) 20d) 22 e) 30

3. Si A es D.P a B e I.P, hallar el valor de A cuando B = 10 y C = 30, si cuando A = 24, B = 24, C =10a) 10 b) 30 c) 24d) 36 e) 20

4. El precio de un pasaje varía inversamente con la cantidad de pasajeros. Si para 14 pasajeros el pasajes es de S/. 15, ¿cuántos pasajeros serán cuando el pasaje cueste S/. 6?a) 31 b) 33 c) 34d) 35 e) 36

5. Si A es directamente proporcional a Be inversamente proporcional a C, ¿Qué sucede con A, si B si cuadruplica y C disminuye en la mitad de su valor?a) Se duplicab) Se reduce a su mitadc) Aumenta siete veces su valor d) Aumenta ocho veces su valore) No aumenta, ni disminuye

6. Dos magnitudes A y B son I.P. Si A = 4; B = 20, calcular A + B, si A2 + B = 108a) 21 b) 42 c) 18d) 81 e) 16

7. Una rueda A de 40 dientes engrana con otra rueda B de 80 dientes, fija el eje B hay otra rueda C de 60 dientes que engrana con una rueda D de 100 dientes. Si A da 60 vueltas por minuto, ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?a) 18 b) 32 c) 36d) 16 e) 48

8. Sabiendo que una rueda A es directamente proporcional al cuadrado de B, proporcio-nalmente a D. Cuando A = 20, entonces A = 4; C = 10 y D = 16. determinar el valor de C cuando A = 3; B = 1 y D = 2a) 1,5 b) 6 c) 12d) 3 e) 9

9. Según la ley de Boyle, la presión es inversamente proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometida un gas, si al aumentar esta presión esta presión en 1,8el volumen varía en 2/5 de su valor?a) 1 atm b) 2 atm c) 2,7 atmd) 4 atm e) 3,6 atm

10. Una rueda dentada de 42 dientes engrana con otra de 21 dientes. Si la primera da 10 RPM, ¿Cuánto tiempo empleará la segunda rueda en dar 300 vueltas?a) 10 minutos b) 10,5 minutosc) 15 minutos d) 24 minutose) 18 minutos

A

B

C

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE

REPARTO PROPORCIONAL

Procedimiento por el cual una determinada cantidad o total se distribuye en dos o más partes de acuerdo a los criterios de reparto que se señalan y los índices de reparto que se asignen.

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE

CASO 1

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO A NÚMEROS ENTEROSSe suman los índices de reparto ; dicha suma se divide a la cantidad por repartir y el resultado así obtenido se multiplica por cada uno de los índices de reparto utilizados.

Ejemplos:Repartir 3600 en forma D.P a los números 2; 3; 5 y 10.i) Sumamos los índices de reparto

2 + 3 + 5 + 10 = 20ii) Dividimos la cantidad total entre la suma

obtenida3600/20 = 180

iii) Multiplicamos el resultado anterior por cada una de los índice de reparto utilizados 180 x 2 = 360180 x 3 = 540180 x 5 = 900180 x 10 = 1800

Ejemplo: Ahora Ud. estimado alumno realice el siguiente ejercicio

Repartir 7200 en forma D.P a los números 2; 5; 7 y 22

i) Sumamos los índices de reparto................................................................................................................................

ii) Dividimos la cantidad total entre la suma obtenida ................................................................................................................................

iii) Multiplicamos el resultado anterior por cada uno de los índices de reparto utilizados................................................................................................................................

CASO 2

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO A NÚMEROS ENTEROS

Se obtienen las inversas (para lograr que el reparto sea D.P); luego homogeneizamos las fracciones que así se obtienen. Se aplica el primer caso a los numeradores que se obtiene en el proceso.

Ejemplo:Repartir 1550 en forma I.P a los números 2; 3 y 5.i) Primero tomamos la inversas de los

índices de reparto1/2; 1/3 y 1/5

ii) Homogenizamos los coeficientes fraccionarios que se obtienen :15/30; 10/30 y 6/30

iii) Se aplica el primer caso a los numeradores encontrados :15 + 10 + 6 = 31

iv) Se divide el total entre la suma1550/31

v) Se multiplican este último resultado por cada de los coeficientes hallados en el proceso:50 x 15 = 75050 x 10 = 50050 x 6 = 300

Ejemplo: Realice Ud. el siguiente ejercicio

Repartir 9300 en forma I.P a los números 6; 9 y 15

i) Primero tomamos las inversas de los índices de reparto................................................................................................................................

ii) Homogenizamos los coeficientes fraccionarios que se obtienen................................................................................................................................

iii) Se aplica el primer caso a los numeradores encontrados................................................................................................................................

iv) Se divide el total entre la suma ................................................................................................................................

v) Se multiplica este último resultado por cada uno de los coeficientes hallados en el proceso................................................................................................................................

CASO 3

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO A NÚMEROS FRACCIONARIOSSe homogenizan los índices d reparto fraccionarios. Se aplica el primer caso del reparto proporcional utilizando los numeradores que se hallan en el proceso.

Ejemplo:Repartir 2880 en forma D.P. a 4/5; 2/8 y ¾ (En clase).

Caso 4:

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO A NÚMEROS FRACCIONARIOS Se obtienen las inversas de los coeficientes de reparto fraccionarios luego se homogenizan y se aplica posteriormente el primer caso a los numeradores que aparecen en el proceso.

Ejemplo:Repartir 9270 en forma I.P a 5/3; 3/4 y 2/3 (para desarrollar en clase)


1. Un padre reparte S/. 60 entre sus cuatro hijos proporcionales a sus cuatro hijos proporcionales a sus edades que son: 4; 5; 6 y 15 años respectivamente. ¿Cuánto le corresponde al menor de ellos?a) 10 b) 12 c) 8d) 30 e) 6

2. Se deja repartir 7200en partes D.P a los números , y . Dar como respuesta la menor de las partes.a) 1200 b) 1500 c) 1600d) 1800 e) 200

3. Si 560 se reparte D.P a los números 10; 30; 50 y 70, hallar la mayor parte.a) 35 b) 105 c) 175d) 245 e) 360

4. Se desea repartir “A” soles D.P a 2; 3 y 5, siendo la menor de la partes S/. 60. Hallar “A”a) S/. 400 b) S/. 300 c) S/. 200d) S/. 250 e) S/. 180

5. Se distribuye una cantidad de trabajadores en 3 secciones proporcionalmente a 3; 5 y 7 pero por error se distribuyó proporcionalmente a 1; 2 y 3, observándose que en una sección había 18 trabajadores más. Halle el número de trabajadores.a) 450 b) 500 c) 540d) 630 e) 700

6. Repartir 1770 en tres partes inversamente proporcional a los números 5; 7 y 2. dar como respuesta la parte que no es mayor ni menor.a) 420 b) 300 c) 1050d) 900 e) 800

7. Tres ciclistas participan en una competencia. Si llegan a la meta en 30; 40 y 50 minutos respectivamente, ¿Cuánto más recibe el ganador con respecto al tercer lugar si se repartió de S/. 9400?

a) S/. 400 b) S/. 1600 c) S/. 600d) S/. 1000 e) S/. 3000

8. Al repartir 705 en tres partes inversamente proporcional a los números 2/3; 1/7 y 7/11, la mayor diferencia entre dos de las partes es:a) 385 b) 380 c) 5d) 215 e) 300

9. Tres firmas comerciales transportan 140; 420 y 840 autos en una embarcación respectivamente, para el desembarco de los autos alquilaron una grúa a S/. 51000, hallar cuanto pagó la firma que transportó más autosa) S/. 30500 b) S/. 29000 c) S/. 30600d) S/. 28700 e) S/. 29800

10. Tres socios forman un negocio aportando capitales que están en la relación de 2; 3 y 4. si la última total fue de S/. 18000, calcular la menor ganancia a) S/. 8000 b) S/. 9000 c) S/. 6000d) S/. 10000 e) S/. 4000

11. Se asociaron dos personas en un negocio, la primera contribuyó con S/.600 y la segunda con S/.400. Al terminar el negocio, resultó que el capitán invertido se redujo a S/.200. ¿Cuánto es lo que perdió la segunda persona?a) S/. 340 b) S/. 320 c) S/. 100d) S/. 180 e) S/. 90

12. Juan inicia un negocio con S/.4000 y luego de 2 meses se asocia con Luis quien aportó S/.2000. Si el negocio duró 5 meses y la ganancia fue de S/.1300, ¿Cuánto ganó Juan?a) S/. 2000 b) S/. 1000 c) S/. 300d) S/. 600 e) S/. 800

13. Dos amigos tienen 2 y 3 botellas de vino respectivamente, se encuentran con n tercero, con el que comparten el vino por

agua. Este último, al retirase deja $30 en agradecimiento. ¿Cómo debe hacerse la distribución?a) $10 y $20 b) $12 y $18 c) $6 y $24d) $5 y $25 e) $8 y $22

14. Tres hermanos A, B y C se reparten una suma de dinero proporcionalmente a sus edades que son: 25; 18 y 17 años, pero para que los tres reciban la misma suma, el mayor le sede al segundo S/.400 y el segundo le cede al tercero una cantidad que se pide calculara) S/. 240 b) S/. 300 c) S/. 200d) S/. 180 e) S/. 280

15. Se reparte 880 directamente proporcional a y correspondiéndole a cada uno de

ellos la cantidad entera. Determinar cuánto le corresponde al primero si x + y = 61 y x > ya) 380 b) 480 c) 500d) 560 e) 600

16. Repartir el número 1134 en 4 partes cuyos cuadrados sean proporcionales a 12; 27; 48 y 75. Dar el mayor de la media aritmética entre la menor y la mayor de las cantidades.a) 302 b) 281,5 c) 283,5d) 315,25 e) 320,45

17. Una persona “A” inicia un negocio con S/.2000 y luego de tres meses de iniciado acepta como socio a otra persona “B”quien aportó S/.5000 y 2 meses después aceptaron como socio a “C” quien aportó S/.6000. Si el negocio duró un año y al repartirse la

ganancia se observa que “C” recibió S/.1200 más que el socio “A”, ¿Cuánto ganó “B”?a) S/. 1600 b) S/. 4600 c) S/. 2400d) S/. 5800 e) S/. 3000

18. Una persona inicia un negocio, luego de un mes ingresa mensualmente un socio aportando un capital igual al doble al anterior. Si la ganancia del segundo excede al primero en S/.400, ¿Cuánto de utilidad recibió el último socio, si el negocio duró medio año?a) S/. 6400 b) S/. 1600 c) S/. 2400d) S/. 1000 e) S/. 3200

19. Antonio, Beto y Carlos se reparten una gratificación en partes proporcionales a sus sueldos que son S/.2100; S/.1500 y S/.1200 respectivamente. Sin embargo una vez efectuado el reparto, a Antonio no le pareció justo por lo que le dio S/.80 a Carlos y cierta cantidad a Beto, con lo cual todos recibieron partes iguales. ¿Cuánto recibe cada uno de gratificación?a) S/. 320 b) S/. 960 c) S/. 240d) S/. 480 e) S/. 120

20. Cuatro personas invirtieron en un negocio y obtuvieron una utilidad de S/.2400. El primero recibió S/.800, el segundo S/.600, el tercero S/.590 y el cuarto que había aportado S/.1640 recibió el resto de la ganancia. ¿cuánto fue lo que aportó el tercer socio?a) S/. 2000 b) S/. 2260 c) S/. 2360d) S/. 2400 e) S/. 2480

TAREA

1. Dos cantidades de dinero son D.P a 2 y 5. Si se aumenta S/.15 a uno de ellos y S/.105 al otro, se obtienen cantidades iguales. ¿Cuánto es el menor?a) S/. 150 b) S/. 90 c) S/. 60d) S/. 45 e) S/. 80

2. La suma de las imposiciones de 2 socios es S/10000, la primera excede a la segunda en S/.2000. ¿qué parte le toca a la primera sobre un beneficio de S/.1500?a) S/. 600 b) S/. 800 c) S/. 900d) S/. 1200 e) S/. 1000

3. Tres personas A, B y C se reparten un dinero en partes I.P a 5; 8 y 12 respectivamente luego deciden repartirse la cantidad por igual, razón por la cual “A” devuelve S/.138. ¿Cuánto recibe cada uno?a) S/. 114 b) S/. 294 c) S/. 432d) S/. 420 e) S/. 320

4. Maribel inicia un negocio con S/.2000, a los 6 meses se incorpora Liliana aportando S/.3000 y 3 meses después ingresa Genaro con un capital de S/.6000. Si el negocio se cierra al año y medio y se repartieron una ganancia de S/.2100, halle la mayor ganancia a) S/. 900 b) S/. 800 c) S/. 700d) S/. 600 e) S/. 500

5. Juan invierte S/.500 en un negocio y cuatro meses después se asocia con Luis, quien aporta S/.350 a la sociedad. Si después de veinte meses de asociado su utilidad es de S/.7600, ¿Cuánto le corresponde a Juan?a) S/. 3600 b) S/. 4800 c) S/. 5000d) S/. 5760 e) S/. 5800

6. Un padre de familia reparte “A” soles entre sus tres hijos en forma proporcional a sus edades que son 10; 15 y 20 años; pero si el reparto le haría luego de 5 años uno de ellos

aumentaría su parte en S/.100. Dar como la suma de cifras de “A”a) 24 b) 9 c) 12d) 15 e) 8

7. Tres socios formaron un negocio aportando capitales iguales. El primero estuvo en el negocio 5 años, el segundo 6 años y el tercero 7 años. Determinar la ganancia del segundo, si el tercero ganó S/.600 más que el primero.a) S/. 1500 b) S/. 2100 c) S/. 1800d) S/. 1200 e) S/. 3600

8. Dos socios formaron un negocio aportando capitales iguales, el primero estuvo en el negocio 4 años y el segundo 7 años. Determinar la ganancia del segundo si el primero ganó S/.1000a) S/. 1500 b) S/. 2250 c) S/. 1750d) S/. 1800 e) S/. 2200

9. Semanalmente se reparte S/.330 entre dos obreros A y B en forma proporcional a su rendimiento. Cierta semana “A” recibe S/.176 y B el resto, a la siguiente semana “A” disminuye su rendimiento en un 25% y B aumenta en 20%. Calcular la diferencia entre las cantidades que recibían A y B en este nuevo reparto a) S/. 50 b) S/. 55 c) S/. 65d) S/. 80 e) S/. 70

10. Luis, Alberto y Carlos forman una sociedad, el capital de Alberto era el doble del de Luis, el cual es S/.500menos que le de Carlos. Los tiempos que estuvieron impuestos los capitales de Luis, Alberto y Carlos son 5; 2 y 7 años, respectivamente. Determinar el capital de Luis, si Luis ganó S/.300 y Carlos ganó S/.390 más que Albertoa) S/. 2000 b) S/. 504 c) S/. 1000d) S/. 1240 e) S/. 3000

REGLA DE TRES

Es una aplicación de las magnitudes proporcionales que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, comparando dos o más magnitudes proporcionalesHay dos clases de regla de tres:

1. Regla de Tres SimpleUna regla de tres simple es cuando intervienen solamente dos magnitudes Puede ser:

1.1 Directa

La regla de tres simple es directa cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes

D.P Como A D.P B, se cumple

A Ba1 b1

a2 x

Ejemplo:Una cuadrilla de 42 obreros cavan 140 metros de zanja en cierto tiempo. ¿Cuántos metros de zanja harán 60 obreros en el mismo tiempo?Resolución: D.P Se cumple

Obreros Zanja 42 140m 60 x x = 200m1.2 InversaLa regla de tres simple es inversa cuando las magnitudes que invierten son inversamente proporcionales Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes

I.P Como A I.P B, se cumple

A Ba1 b1

a2 x

Ejemplo:Una cuadrilla de 35 obreros pueden hacer una obra en 18 días. ¿En cuántos días 21 obreros harán la misma obra?Resolución: I.P Se cumple

Obreros Días 35 18m 21 x x = 30 días

2. Regla de Tres CompuestaUna regla de tres es compuesta cuando intervienen más de dos magnitudesEn general:(Obreros) I.P (Rendimiento)(Obreros) I.P (Días)(Obreros) I.P (h/d)(Obreros) D.P (Obra)(Obreros) D.P (Dificultad)

En consecuencia:

Ejemplo:Treinta obreros en 20 días trabajando 8 horas diarias pueden hacer 600 m de zanja. ¿En cuántos días 24 obreros trabajando 10 horas diarias harán 450 m de zanja?

Resolución:

Obreros Días h/d Obra

30 20 8 600

24 X 10 450

Se cumple que:

Reemplazando:

x = 15 días

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Un poste de 6 m de altura da una sombra de 1,20 m. ¿Cuánto medirá la sombra de una sombra de una persona de 1,70 m de altura?Resolución:La altura y su sombra son D.P (más altura produce mayor sombra)

D.P Se cumple

Altura Sombra

6 1,20 1,70 x x = 0,34 m

2. Un grupo de obreros pueden hacer una obra en 20 días, pero debido a que tres de ellos faltaron, los restantes tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron?Resolución:Si trabajasen más obreros, entonces la obra lo harían en menos días, entonces obreros y días son I.P

I.P Se cumple

Altura Sombra n.20=(n-3)24 6 1,20 1,70 x 72 = 4n n=18

Trabajaron: 18-3=15 obreros

3. En 12 días, 8 obreros han hecho los 2/3 de una obra. Se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar lo que falta de la obra?

Se cumple:

x = 24 días

4. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días, después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregó la obra?

Resolución:Como los 8 obreros pueden hacer la obra en 20 días, entonces después de 5 días de trabajo, lo restante lo harían en 20 - 5 = 15 días, en consecuencia:

I.P Se cumple

Obras Días 8 . 15 = 5.t 8 15 5 t t = 24 días

El retrazo es de: 24-15 = 9 días

5. Una obra puede ser terminada por 63 obreros en 18 días. Pero a los 4 días de trabajo, se acuerda terminarlo 5 días antes, por lo cual se contrata cierto número de obreros de otro grupo. ¿Cuántos obreros se encontraron?

Resolución:Como los 63 obreros pueden hacer la obra en 18 días, entonces después de 4 días de trabajo, lo restante lo harían en 18 - 4 = 14 días.Además como se contratan “x” obreros y debe acabar la obra 5 días antes, entonces los (63+x) obreros harán lo que falta en 14 - 5 = 9 días, en consecuencia:

I.P Se cumple

obreros días 63.14=(63+x)9 63 14 63+x 9 x =35 obreros


Obreros Días Obra

8 12 2/3

2 X 1/3

1. Un hombre tarda 12 días en colocar11520 ladrillos. ¿Cuántos ladrillos podrá colocar 17 días?a) 16000 b) 15500 c) 16320d) 18200 e) 16230

2. En 15 días, obreros han hecho la mitad de una obra que les fue encomendado. Si entonces se retiran 4 obreros, ¿en cuántos días terminaran lo que falta de la obra los obreros restantes?a) 5 b) 45 c) 30d) 20 e) 33

3. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 2 m de lado en 3 días. ¿Cuántos días se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 4 metros de lado?a) 6 b) 12 c) 18d) 10 e) 3

4. Se sabe que un obrero A es 30 % más eficiente que B y B se demora 46 días en hacer una obra. ¿En cuántos días harán juntos dicha obra?a) 10 días b) 12 días c) 18 días d) 20 días e) 28 días

5. Pedro es tres veces más eficiente que Luis. Si Luis hace una obra en 60 días, ¿Qué parte de la obra hará Pedro en un día?a) 1/10 b) 1/15 c) 1/20d) 1/30 e) 1/6

6. LA habilidad de dos obreros es como 5 es 11, cuando el primero halla hecho 57 metros de una obra, ¿Cuánto habrá hecho el otro?a) 125,4 m b) 25,9 m c) 120,5 md) 125 m e) 130 m

7. 5 trabajadores demoran 14 días trabajando 10 h/d en sembrar un terreno cuadrado de 20m de lado. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para sembrar otro terreno cuadrado de 40 m de lado, trabajando 7 h/d durante 20 días?a) 20 b) 21 c) 18

d) 24 e) 22

8. En 8 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra, se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?a) 12 b) 18 c) 24d) 32 e) 8

9. Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18 días. ¿Cuántos días demorarán 10 obreros de doble eficiencia en hacer 40 carpetas si la dificultad es la tercera parte de la anterior?a) 12 b) 10 c) 15d) 6 e) 8

10. Una obra puede ser hacha por 8 hombres en 16 días trabajando 10 h/d. Si antes de empezar la obra, 4 de ellos aumentan su rendimiento en 50%, ¿Cuántos días de 8 h/d de trabajo demoran en realizar la obra?a) 3 b) 7 c) 8d) 2 e) 16

11. Un grupo de 21 hombres han hecho en 12 días e 8 h/d “a” metros de una carretera. Otro grupo de 40 obreros 1/5 más eficientes que los anteriores han hecho “b” metros de la misma carretera en 7 días, trabajando 10 h/d. Hallar la relación a/ba) 2/7 b) 1/5 c) 3/5d) 2/5 e) 3/7

12. Si 8 obreros levantan una pared de 50 m de largo por 2 m de altura en 8 días, ¿Cuántos días necesitarán 12 obreros para levantar una pared de 20 m de largo por 10 m de altura siendo la eficiencia del primer grupo a la del segundo grupo como 3 es a 2?a) 29 b) 27 c) 25d) 20 e) 16

13. 15 obreros se comprometen a realizar una obra en 25 días trabajando 8 h/d. al cabo del quinto día se les exige que entreguen la obra 8 días antes de los acordado, razón por la

cual deciden trabajar 10 h/d y contratar más obreros. ¿Cuántos obreros se contrataron?a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 10

14. Una cuadrilla de obreros pueden termina una obra en 40 días. Si después de haber trabajado 15 días se retiró la tercera parte de la cuadrilla y los que quedan continúan el trabajo hasta terminar la obra, pero con un 25% menos de rendimiento. ¿En qué tiempo se termino toda la obra?a) 50 días b) 45 días c) 52 díasd) 65 días e) 25 días

15. Un grupo de obreros puede hacer una obra con 15 días trabajando 6 horas por días. Los primeros 9 días sólo trabajó la tercera parte de los obreros. Si lo que falta puede ser terminada por 27 obreros en 17 días de 8 hora diarias de trabajo, ¿Cuántos obreros componen el primer grupo?a) 36 b) 45 c) 51d) 58 e) 60

16. Quince personas pueden hacer 1500 cerámicas en 6 días trabajando 6 h/d. si luego de hacer 500 cerámicas, 6 personas se retiran y los restantes deciden trabajar dos horas más por día, ¿Cuántos días en total emplearon para hacer toda la obra?a) 10 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

17. Una secretaria piensa que si escribe al día 2 páginas más de lo establecido normalmente completará el trabajo a realizar 3 días antes de lo previsto, mientras que si escribe 4 páginas demás al día, acabará 5 días antes de lo previsto. ¿Cuántas páginas tiene que escribir?a) 12 b) 36 c) 72d) 90 e) 120

18. En la costa, l00 obreros pueden hacer l50 km de carretera en 40 días trabajando 9 h/d, en una zona cuya dificultad se puede representar por l.¿Cuántos días demorarán 200 obreros con una eficiencia 0,5 mayor que los anteriores en hacer 350 km de carretera en la selva, cuya dificultad se puede representar por 3, trabajando 8 h/d?a) 75 b) 105 c) 90d) 120 e) 135

19. “A” trabaja 3 veces más rápido que “B”, cierto día “A y B” trabajan juntos 4 horas, luego “B” abandona el trabajo y “A” termina el trabajo en 2 horas más. ¿Cuánto emplearía “B” trabajando solo en la obra? (en horas)a) 28 b) 26 c) 32d) 42 e) 46

20. Una compañía industrial posee 2 máquinas de 70% de rendimiento para producir l600 envases por cada 6 días de 8 horas diarias. Si se desea producir 3600 envases en 4 días trabajando 7 horas diarias, ¿Cuántas máquinas de 90% de rendimiento requiere?a) 9 b) 6 c) 12d) 15 e) 3

TAREA

1. 18 obreros pueden hacer una obra en 42 días pero la mitad de ellos aumentaron su eficiencia, por lo cual la obra se terminó en sólo 36 días. ¿En que parte aumentaron su eficiencia dichos obreros?a) 4/3 b) 1/3 c) 50%d) 2/5 e) 3/7

2. En 80 litros de agua existen 2 libras de azúcar, ¿Cuántos litros de agua pura debemos agregar a estos 80 litros para que en cada l0 litros de la mezcla exista 1/6 libra de azúcar?a) 20 b) 10 c) 40d) 60 e) 25

3. Sabiendo que 250 quintales de remolacha puede extraerse 30 quintales de azúcar, ¿Cuántos quintales de azúcar podrán proporcionar 100 quintales de remolacha?a) 12 b) 10 c) 15d) 18 e) 6

4. Con 12 obreros se puede hacer una obra en 30 días. Con 10 obreros 3veces más rápidos que los anteriores, ¿En cuántos días harán una obra 8 veces más difícil que la anterior?a) 94 b) 52 c) 81d) 69 e) 49

5. Un obrero “A” realiza una obra en 12 días, “B” realiza la misma obra en 15 días. ¿En cuántos días realizarán el triple de la obra trabajando A y B juntos?a) 10 b) 20 c) 25d) 40 e) 12

6. Para empapelar una pared de 5 m de largo y 4 m de ancho, se han empleado 3 operarios durante 2 días, trabajando 10 h/d. ¿Cuántos operarios harán falta para empapelar en 3 días, trabajando 8 h/d, otra pared de 8 m de largo y 5 m de ancho?a) 4 b) 3 c) 5d) 2 e) 10

7. En 24 días, 15 obreros han hecho 1/4 de una obra que les fue encomendada. ¿Cuántos días empleará otra cuadrilla de 30 obreros, doblemente hábiles en terminar la obra?a) 14 b) 18 c) 22d) 26 e) 30

8. Si 500 obreros de ferrocarril trabajando 10 h/d han colocado 2300 m de vía en 28 días; 425 obreros trabajando 8 h/d, ¿Cuántos m de vía colocarán en 42 días?a) 242500 b) 2800 c) 2400d) 1600 e) 2346

9. Un grupo de obreros tenía que hacer un trabajo en 20 días, pero debido a que 5 de ellos no trabajan, los restantes tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron?a) 30 b) 25 c) 15d) 18 e) 26

10. Un hombre tarda 21 días en hacer los 7/12 de una obra. ¿Cuántos días más necesitará para terminar la obra?a) 10 b) 15 c) 18d) 12 e) 9

TANTO POR CIENTO

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento de un cierto número es otro, que es al primero como el módulo (Al cual también se le llama tanto) es a 100.

Problema general

¿A qué es igual él a% de N?

Solución:- El a% de N vamos a denotarlo por X- Por lo tanto se cumple que:

Ejemplos:

El 20% de A:

El 75% de B:

El 60% de C:

El 100% de N:

OBSERVACIONES:

1.

20%.40%=

60%.90%=

2.

24%A + 36%A = 60%A58%B - 38%B = 20%BC + 25%C = 125%CD – 40%D = 60%D

3. Descuentos sucesivos del a% y b%

4. Aumentos Sucesivos el a% y b%

APLICACIÓN COMERCIAL

Precio de costo (PC).- Es lo que el comerciante interviene l en la adquisición de una, mercadería para luego venderla.

Precio de Venta (P V).- Es lo que el cliente paga al comerciante por la compra de la mercadería

Precio de lista o Fijado (P f).- ES el valor que pide el comerciante por la mercadería que ofrece.

Ganancia (G).- Es la diferencia que se obtiene cuando al precio de venta es mayor que el costo.

Pérdida (P).- Es la diferencia que resulta cuando la mercadería se vende a un precio menor que el costo.

Descuento (D).- Es el ahorro que tiene el cliente al comprar la mercadería a u precio menor que el precio de lista.

Caso 1: PV > PC

Caso 2: PV < PC

Caso 3: Cuando hay descuento


1. En una caja se observa que el total de animales el 20% son patos, el 50% del resto son conejos y el resto son l20 gallinas. ¿Cuántos animales son en total?a) 200 b) 300 c) 400d) 350 e) 250

2. Se puede comprar cierta cantidad de artículos con una determinada suma de dinero, pero si el precio de cada artículo variase en 20%, se podrían comprar 5 artículos más. ¿Cuál es dicha cantidad de artículos?a) 15 b) 25 c) 20d) 30 e) 10

3. En una población se determinó que el 35% son varones y el 60% de las mujeres no fuman. ¿Qué porcentaje del total de personas son las mujeres que fuman?a) 39% b) 21% c) 26%d) 44% e) 22,5%

4. En una granja de aves, el 40% son gallinas. Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿En qué porcentaje ha disminuido el número de aves?a) 10% b) 12% c) 6%d) 8% e) 7%

5. ¿Qué porcentaje de la tercera proporcional de 4 y 16 es la media proporcional de los mismos números?a) 25% b) 12,5% c) 20%d) 8% e) 10%

6. Una persona lee durante la semana el a60% de un libro más 20 páginas. En la segunda semana lee el 10% que le falta y en la tercera semana lee las 90 páginas restantes. ¿Cuántas páginas tiene el libro?a) 90 b) 180 c) 270d) 300 e) 350

7. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 20%, resulta que el área

aumenta en 176 m2. calcular el lado inicial de cuadradoa) 10 m b) 12 m c) 20 md) 16 m e) 15 m

8. El precio de una bicicleta es S/.240. Pepito desea comprarla, para lo cual pide un descuento, la hija de la dueña le hace un descuento del 10%, luego la dueña le hace un descuento de S/.16. Hallar cuanto dinero tenía Pepito, si su padre le ayudó con S/. 60, pudiéndose así comprar la bicicletaa) S/.120 b) S/.140 c) S/.160d) S/.180 e) S/.216

9. En una venta se gana el 80% del 75% del precio del costo. ¿Qué porcentaje del precio de venta se gana?a) 37,5% b) 25% c) 75%d) 12,5% e) 42%

10. Para fijar el precio de venta de un artículo, se aumentó el costo en 40% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?a) 10% b) 12% c) 14%d) 16% e) 20%

11. ¿A qué precio se debe fijar un artículo que costó S/.480, si al realizar una rebaja del 20%, aún así se desea ganar el 20% del precio de venta?a) S/.700 b) S/.750 c) S/.450d) S/.600 e) S/.900

12. En la venta de un determinado artículo se observa que se perdió el 20% del precio de venta. Si la diferencia entre el precio de venta y la pérdida es de S/.160, ¿Cuánto es el precio del costo del artículo?a) S/.300 b) S/.240 c) S/.320d) S/.400 e) S/.160

13. De un recipiente se extrae el 500% de lo que no se extrae y luego se devuelve el 25% de lo que no se devuelve. Se observa que el

volumen ha disminuido en 36 litros. Calcular el volumen iniciala) 63 L b) 72 L c) 45 Ld) 60 L e) 54 L

14. El 76% de los alumnos de la UNI son varones y el 60% de los alumnos de la UNMSM son mujeres. Si el total de alumnos de ambas universidades se encuentran en la relación de 5 a 7, ¿Qué porcentaje del total representan las mujeres?a) 30% b) 60% c) 45%d) 50% e) 38%

15. Una tela al lavarse se encoge 10% en el ancho y 20% en largo. Si se sabe que la tela tiene 2 m de ancho, ¿Qué longitud debe comprarse si se necesita 72 m2 de la tela después de lavada?a) 25 m b) 50 m c) 12,5 md) 36 m e) 18 m

16. Se tiene 2 recipientes con contenidos distintos uno de ellos tiene 50% más que otro. Si juntamos ambos y a ello le agregamos l25 litros de agua, se observa que el que tenía más líquido al inicio representa ahora el 40%, calcular cuánto era la diferencia de los contenidos iniciales.a) 40 L b) 50 L c) 60 Ld) 30 L e) 55 L

17. Sabiendo que el precio de costo de un televisor es S/. 240, ¿Cuál es el precio que se debe fijar para que al momento de venderlo, se haga una rebaja de 20% y todavía se gane el 25% del precio de venta?a) S/.320 b) S/.500 c) S/.360d) S/.350 e) S/.400

18. En una encuesta realizada se determinó que el 30% de los alumnos les gusta Álgebra y que al 50% les gusta Aritmética. Si a los que solamente les gusta Aritmética es el 44% del total y 598 alumnos no les gusta ni Álgebra ni Aritmética, determinar cuántos alumnos les gusta Aritmética.a) 2300 b) 2150 c) 1150d) 1100 e) 1500

19. Una persona decidió invertir en un negocio y ganó 20%. El total lo dedicó a otro negocio y perdió 10%, por último, invirtió el nuevo total en otro negocio obteniendo 8% de ganancia. La ganancia al final de cuentas ha sido de 3328 soles. ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el primer negocio?a) S/.4000 b) S/.4500 c) S/.6000d) S/.8400 e) S/.7600

20. ¿Cuál debe ser el precio de lista de un artículo que costó S/.4, sabiendo que se va a hacer una rebaja del n% de dicho precio y aún así se ganará el n% del costo? Considere el precio de lista como un número entero y además l6 < n < 25.a) S/.5 b) S/.7 c) S/8d) S/.9 e) S/.9

TAREA

1. Si a una cantidad se le quita su 10%, luego al resultado se le aumenta su 20% y finalmente al nuevo resultado se le quita su 30% se obtendría como resultado final 75600, halle la cantidad inicial.a) S/.100000 b) S/.104000 c) S/.96000d) S/.108000 e) S/.112000

2. La edad de “A” es el 30% de la edad de “B”. Si hace 5 años la diferencia de sus edades era 14 años, determinar que porcentaje de la edad “B” representa la edad de “A” dentro de 20 añosa) 45% b) 60% c) 65%d) 62% e) 70%

3. Una persona compró cierta cantidad de casacas a S/. 80 c/u. Si el importe de la venta fue de S/.1550 y se da cuenta que los gastos representan el 20% de su beneficio bruto, teniendo como beneficio neto S/.600, ¿Cuántas casacas compró?a) 20 b) 25 c) 10d) 15 e) 40

4. Un artículo tiene un precio de costo de S/. 3600. ¿Cuál será el precio que debe fijar para que al venderlo con un descuento del 20% se obtenga una utilidad del 10% sobre el precio de venta?a) S/.4000 b) S/.3800 c) S/.4200d) S/.6000 e) S/.5000

5. La diferencia de dos números es el 10% de la diferencia de sus cuadrados, entonces, la media aritmética de dichos números es:a) 10 b) 8 c) 5d) 6 e) 20

6. Al fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en un 50%, luego al realizarse la

venta se hizo una rebaja del 30%. Si sus gastos y ganancias están en la relación de 3 a 5, calcular en que relación está el beneficio neto y el precio fijado.a) 1 a 25 b) 1 a 50 c) 3 a 85d) 8 a 75 e) 1 a 75

7. En la facultad de ciencias, el 40% son matemáticos pero de estos el 60% son mujeres. De los que no son matemáticos el 90% son varones. ¿Qué tanto por ciento del total son mujeres?a) 24% b) 6% c) 30%d) 15% e) 25%

8. En un examen se presentan 64 alumnos, se observa que los alumnos de profesor André aprobaron todos y que su número era exactamente el 20% del total de aprobados. Si el 37,5% de los alumnos que se presentaron desaprobaron, ¿Cuántos alumnos no son del profesor André?a) 40 b) 32 c) 48d) 56 e) 54

9. Sabiendo que con el dinero que dispongo puedo comprar un número entero de metros de tela y que si el precio varía el 15% podría comprar 6 metros más. ¿Cuántos metros compraría en el primer caso?a) 34 m b) 42 m c) 40 md) 48 m e) 52 m

10. Tú tienes 25% menos de lo que yo tengo. Si yo tuviera 20% de lo que tengo y tú tuvieras 20% menos de lo tienes, lo que tu tendrías sería S/.12 menos de lo que yo tendría.a) S/.20 b) S/.40 c) S/.15d) S/.30 e) S/.50

INTERÉS

INTERÉS

Es la ganancia o beneficio obtenido al prestar

un capital, durante cierto tiempo y bajo una tasa

a considerarse. Si el interés es anual se le llama

renta.

Interés (I): Rédito, renta (anual)Capital (C): Dinero, acciones, propiedades, etc.Tiempo (T): Año, meses, días

OBSERVACIÓN:El año considerado es el comercial, aquel que

tiene 12 meses de 30 días cada uno.

Tasa (r): es el porcentaje anual, considerado

como tasa de interés.

OBSERVACIÓN: Por ejemplo, tenemos:

3% mensual 36% anual12% bimensual 72% anual10% quincenal 240% anual

Monto (M): Viene a ser la suma del capital con

su Interés.

Así:

Fórmulas para calcular el interés simple

M = C + I

I =

Ejemplo:

Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa del

12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el

monto que obtiene?

Solución: Tenemos:

C = S/. 4000R = 12% semestral = 24% anualT = 15 meses

I =

Y como M = C + IM = 4000 + 1200 M = 5200

I =

I =


1. Hallar el interés que produce S/. 800, impuestos al 10% anual durante 3 años.

a) S/.280 b) S/.240 c) S/.300d) S/.500 e) S/.120

2. Determinar el interés generado al depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 1 año y 3 meses.

a) S/.500 b) S/.600 c) S/.800d) S/.400 e) S/.300

3. ¿Cuál es el capital prestado al 15% semestral durante 6 meses, si se obtiene un monto de S/. 4347?

a) S/.3780 b) S/.3870 c) S/.2430d) S/.2580 e) S/.4270

4. Hallar el interés que se obtiene un mosto de S/. 10800 al 13% trimest4al durante 2 años, 3 meses y 20 días.

a) S/.11948 b) S/.13498 c) S/.12948d) S/.12498 e) S/.11948

5. Hace 3 meses se colocó un capital cuyo monto actual es S/.5500. Si dentro de 2 meses el monto será S/. 6500, ¿Cuál es el capital inicial?

a) S/.3500 b) S/.4500 c) S/.4000d) S/.2800 e) S/.6000

6. Si dos de capitales que están en la relación de 2 a 5, son depositados es dos entidades financieras que ofrece8% y 2% mensual. ¿Dentro de cuánto tiempo los montos serán iguales?a) 400 meses b) 420 meses c) 100 mesesd) 450meses e) 402meses

7. Los de un capital se presta al r1% anual y

el resto al r2% anual. Si al cabo de un año

producen montos iguales, hallar ,

sabiendo que r1 + r2 = 100.

a) 1 b) c)

d) e)

8. Al imponer un capital durante 5 años se obtuvo un monto superior en S/.1350 al que obtuvo en tres años y medio, ¿A qué tasa de interés fue colocado dicho capital, si este es S/. 9000?a) 5% anual b) 10% anual c) 8% anuald) 12% anual e) 20% anual

9. ¿A qué tasa tendría que S/.1200 para poder comprar dentro de 8 meses una moto que cuesta S/.1400 y que costará 15% más dentro de 8 meses?a) 48,30% b) 36,25% c) 51,25%d) 25,30% e) 62,40%

10. La quinta parte de un capital se presta al 60% anual y el resto al 50% anual. Al cabo de 15 meses produce un monto de S/.79200. Hallar el capitala) S/.36000 b) S/.40000 c) S/.45000d) S/.48000 e) S/.54000

11. El monto obtenido al depositar un capital durante 7 meses es S/. 1700, en 11 meses es S/. 2100. calcule el capital y la tasa; si se deposita a interés simple.

a) S/.1000; 10% mensualb) S/.2000; 5% mensualc) S/.3000; 2% mensuald) S/.2000; 5% anuale) S/.1000; 8% mensual

12. El interés obtenido al depositar un capital en 4 meses es el 4 meses es el 40% del monto. Calcule la tasa anual.a) 100% b) 80% c) 200%d) 300% e) 240%

13. ¿Cuál es el capital que impuesto al 15% semestral durante 5 años se convirtió en S/. 5000?

a) S/.2600 b) S/.1500 c) S/.1800d) S/.1750 e) S/.2000

14. La diferencia de dos capital4es es S/.280. El primero se impone al 16% anual y el segundo al 10% semestral. Si al cabo de un año los montos son iguales, halle el mayor capital.

a) S/.8400 b) S/.10000 c) S/.6400d) S/.9200 e) S/.2800

15. Si un capital se duplicase y la tasa de interés se triplicase, el interés en el mismo tiempo sería 20000 mayor. ¿Cuál es el interés primitivo?

a) S/.4200 b) S/.3650 c) S/.4300d) S/.4000 e) S/.3800

16. Después se prestar por 3 años un capital, se obtiene un monto igual al triple del capital prestado. Al prestar S/.3000, a la misma tasa de interés por un año y 3 meses, ¿Cuál será el interés a recibir?

a) S/.3000 b) S/.2850 c) S/.2750d) S/.2250 e) S/.2500

17. Una persona vende su auto y el dinero lo presta por un año y 9 meses al 1.25% trimestral; los intereses producidos los reparte entre sus 3 hijas: a una de ellas le dio

los , ala otra los y a la otra S/. 64. ¿En

cuánto se vendió el auto?a) S/.3265 b) S/.3815 c) S/.3015d) S/.3020 e) S/.3520

18. Pepe se prestó una suma de dinero al 36% durante cierto tiempo, pero como efectuó el pago 5 meses antes se ahorra S/.450. Halle al capital que le prestó.a) S/.2400 b) S/.3000 c) S/.3300d) S/.1800 e) S/.2910

19. Hace 8 meses se impuso cierto capital cuyo monto es actualmente S/.4650. Si dentro de un año será de S/.4875; halle la tasa de imposición.a) 3% b) 7% c) 9%d) 11% e) 5%

20. Una persona divide los “M” soles que posee en tres partes, tales que al imponerlas al 18%; 36% y 45% respectivamente le generan el mismo interés bimestral. Halle “M” sabiendo además que la mayor diferencia entre 2 de los capitales es S/. 1200.a) S/.3000 b) S/.3600 c) S/.3800d) S/.4000 e) S/.4200

TAREA

1. Hallar el monto producido por S/.12000 durante 2 años, 6 meses colocados al 4% trimestral.

a) S/.16800 b) S/.20000 c) S/.14800d) S/.15800 e) S/.19000

2. Hallare la tasa a la que3 impuso un capital de S/.36000 en el cual generó un monto de S/36800 en 20 días.

a) 20% anual b) 30% anualc) 40% anual d) 2% mensual

e) 12% trimestral

3. Se prestó un capital al 7%. Si se hubiese impuesto 2 años más a la misma tasa, el interés habría sido el 125% del anterior. ¿Cuál fue el tiempo de posición?

a) 6 años b) 8 años c) 10 añosd) 12 años e) 14 años

4. Calcular el monto que se obtiene al prestar S/.12000 a una tasa del 12% trimestral durante 1 año, 1 mes y 10 días.

a) S/.18400 b) S/.20400 c) S/.16800d) S/.16200 e) S/.17400

5. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital prestado al 80% anual se triplique?

a) 2 años, 4 meses b) 3 años, 6 mesesc) 1 año, 5 meses d) 20 mesese) 2 años, 6 meses

6. Un capital se coloca al 5%. Al cabo de 2 años el capital queda aumentado a S/.2343. ¿Cuál es el capital?a) S/.3120 b) S/.2130 c) S/.1230d) S/.1320 e) S/.2340

7. Se impone un quinto de un capital al 5%; un sexto del resto al 6% y el nuevo resto al 4% obteniéndose luego de un año y 3 meses un monto de S/.12670. determinar al capital inicial.a) S/.12250 b) S/.11750 c) S/.11500d) S/.12000 e) S/.10500

8. Tres capitales están en progresión aritmética. Se colocan durante 1 año al 3%, el interés total anual es de S/.189. La diferencia entre el mayor y el menor capital es de S/.24000. Calcular al menor capital.a) S/.900 b) S/.1800 c) S/.2100d) S/.3300 e) S/.4000

9. Un capital produce el 30% de su valor en 1 año, 3 meses y en 4 años produce S/.2880. ¿Cuál será el monto producido en 1 año., 2 meses y 20 días.a) S/.3860 b) S/.3880 c) S/.3900d) S/.3920 e) S/.3940

10. Luis coloca su capital al 25% y Pedro el suyo al 12% observándose que a los 6 años los montos obtenidos son iguales. Si el capital de Pedro excede en S/.780 al capital de Luis, calcule la suma de los capitales.a) S/.4680 b) S/.5240 c) S/.4220d) S/.5620 e) S/.5840

MEZCLA

CONCEPTOConsiste en reunir dos o más sustancias de la

misma especie que pueden intervenir en

diferentes proporciones y ser de deferentes

calidades.

PRECIO UNITARIOEs el predio de 1 kg o 1 L de un ingrediente

dependiendo de cómo se mida, ya sea en Kg o

L.

PRECIO MEDIO DE UNA MEZCLA (Pm)Es el precio de una mezcla.

Se cumple:

Si se mezcla “n” ingredientes:

Cantidades: C1; C2; ……… Cn

Precios Unit: P1; P2; …….. Pn

Se cumple:

Ejercicio:

Se mezclan 20 Kg de arroz de S/.3,00 el Kg de

arroz de S/.2,40 el Kg y 50 Kg de arroz de

S/.2,00 el Kg. Se pide:

a) Hallar al precio medio de la mezclab) ¿A cómo se debe vender el Kg de mezcla

para ganar 25%?

Resolución:

a)

Se cumple:

Pm =

Pm = 2,32

b) Para ganar el 25%

Pv(c/kg) = 125% Pm =

Pv(c/kg) = S/.2,90

NOTAS Si un comerciante vende su mezcla al precio

medio, entonces no ganará ni perderá. Si lo vende por encima del predio medio, entonces ganará; y si lo vende por debajo del precio medio, entonces perderá.

El precio medio siempre está comprendido entre el menor y mayor de los unitarios.

Ejercicio:Se mezclan dos tipos de vino de S/.20 y S/. 30 el litro. Obteniéndose una mezcla de 120 litros cuyo precio medio es S/.24. ¿Cuántos de cada tipo intervienen?

Resolución:

1er Método:

Pm =

Pm =

20 kgS/. 3,00

+ 30 kgS/. 2,40

+ 50 kgS/. 2,00

= 100 kgPm

x litrosS/. 20

+ y litrosS/. 30

= 120litrosS/. 24

Se cumple: Pm =

Donde: x + y = 1250Resolviendo: x = 72 litros y = 48 litros

2do método:

OBSERVACIÓN: Como al vender la mezcla a su precio medio, no se gana ni se pierde.

Luego: Ganancia = Pérdida4x = 6y

x = 6.12 = 72 litrosY = 4.12 = 48 litros

MEZCLA ALCOHÓLICA

Es un caso particular de mezcla en el cual los ingredientes son: alcohol y agua.

Grado de un alcohol (g)Es un grado que nos indica la concentración de alcohol en una mezcla. Se determina dividiendo el volumen de alcohol puro entre el volumen total de la mezcla. Es decir:

Ejemplo: Se tiene una mezcla de 10 litros de agua y 40 litros de alcohol.

Se cumple:

g = = 0,8

g =80% < > 80º

pureza grado

g =

x litrosS/. 20

+ y litrosS/. 30

= 120litrosS/. 24

G P

agua

alcohol 40 litros

10 litros

OBSERVACIÓN: En general 0° y 100°

NOTA: Cuando se tiene 200 litros de alcohol de 90°

Se cumple:

Valcohol = 90%(200) = 180 litros

Vagua = 10%(200) 22 litros

Grado medio (gm)Si se mezclan “n” ingredientes alcohólicosVolumen: V1; V2; ………; Vn

Grados: g1; g2; ……..; gn

Se cumple:

gm = 90º

200 litros


1. Se desea mezclar dos clases de maní de diferentes calidades. 30 kg de S/.5 el kilogramo con 20 kg de S/.2 el kilogramo. ¿Cuál es el precio de costo de un kilogramo de la mezcla?a) S/.2,6 b) S/.3,8 c) S/.4,2d) S/.2,8 e) S/.3,4

2. Se mezclan2 clases de vino de S/.5 y S/.9 el litro obteniéndose una mezcla de 48 L y cuyo precio por precio por litro es de S/.6. Hallar la diferencia de cantidades de los 2 ingredientes.a) 24 L b) 12 L c) 18 Ld) 15 L e) 20 L

3. Se han mezclado 9 L de vino de S/.12 el litro con 15 L de S/.9 el litro. Calcular la cantidad de agua que se debe añadir para que la mueva mezcla resulte de S/.9 el litro.a) 2 L b) 5 L c) 3 Ld) 8 L e) 10 L

4. Se mezcla café de S/.8, S/.9 y S/.11 el kilogramo en la proporción de 2; 3 y 5 respectivamente. ¿Cuál será el precio de cada kilogramo de la mezcla?a) S/.9 b) S/.9,2 c) 10d) S/.9,8 e) S/.9,5

5. Se desea mezcla dos clases de café de diferentes calidades. 6 kg de S/.3 el kilogramo con 4 kg de S/.5 al kilogramo. Si se desea ganar el 10% por kilogramo, ¿a cuánto se debe vender?a) S/.3,8 b) S/.4 c) S/.4,18d) S/.4,24 e) S/.3,86

6. Si los precios de los componentes de una mezcla cuyo precio medio es de S/. 12 son S/.9; S/.0 y S/.15 el kilogramo respectivamente. Si el de mayor precio contiene 24 kg, ¿cuánto tendrá la mezcla, si el peso del primero es al segundo como 2 es a 3?a) 44 kg b) 60 kg c) 54 kgd) 48 kg e) 45 kg

7. Se mezcla 2 tipos de café obteniendo 180 kg, que se sabe que el precio por kilogramo del primer tipo cuesta S/.5 y del otro S/.8 el kilogramo y el precio medio de la mezcla es S/.6. Calcular la cantidad de café de cada tipoa) 100 kg y 80 kg b) 120 kg y 60 kgc) 80 kg y 80 kg d) 140 kg y 40 kg

e) 135 kg y 45 kg

8. Un comerciante hace pedido de café de la siguiente manera:

CAFÉCantidad

en kgPrecio

unitario

Extra (E) 50 S/.7

Superior (S) 20 S/.5

Corriente (C) 15 S/.4

Para venderlo a sus clientes el comerciante mezcla los 3 tipos de café. ¿A cómo se debe vender el kilogramo de la mezcla para ganar el 10%?a) S/.7,2 b) S/.6,6 c) S/.7,8d) S/.6,8 e) S/.5,6

9. Un comerciante mezcla 2 clases de avena, uno le cuesta S/.18 el kg y el otro S/.24 el kg, si se vende 60 kg de esta mezcla a S/.1380 ganando el 15%, ¿qué cantidad de avena intervienen en cada clase?a) 10 kg y 20 kg b) 40 kg y 20 kgc) 15 kg y 30 kg d) 8 kg y 20 kge) 30 kg y 45 kg

10. Se mezcla 2 clases de café de S/.8,4 y S/.7,2 el kilogramo respectivamente, tomándose 40 kg u 20 kg de cada clase. ¿A cómo debe venderse el kilogramo de café “tostado” de esta mezcla para ganar el 20%?

(el café tostado pierde de su peso)

a) S/.8 b) S/.9 c) S/.10d) S/.11 e) S/.12

11. Se mezclan dos recipientes A y B en las que se han mezclado agua y alcohol. En “A” hay 60 L de agua y 20 L de alcohol; en “B” hay 10 L de alcohol y 10 L de agua. ¿Cuál será la pureza de alcohol de la mezcla entre A y B?a) 40% b) 25% c) 35%d) 30% e) 20%

12. En un recipiente se mezclan 20 l de alcohol puro y 60 L de agua, Determine la concentración o pureza alcohólica de la mezcla.a) 20% b) 30% c) 25%d) 40% e) 28%

13. Se mezclan 80 L de alcohol de 25% con 120 L de 40%. Calcule el grado de la mezcla.a) 34% b) 40% c) 24%d) 36% e) 42%

14. Se tiene una mezcla de 45 L de alcohol al 75% ¿Cuántos litros de agua contiene la mezcla?a) 10,25 L b) 11,25 L c) 9,75 Ld) 8,51 L e) 9,75 L

15. En un bidón se tiene 40 L de alcohol de 90°, en otro 60 L de alcohol de 70°. ¿Cuál es el grado medio?a) 60° b) 68° c) 70°d) 22° e) 80°

16. Se mezcla alcohol de 202°; 50° y el agua cuyas cantidades son 30 L, 20 L y 50 L. ¿Cuál es el grado medio?a) 18° b) 20° c) 16°d) 22° e) 24°

17. Con alcohol de 40°; 30° y 20° se quiere obtener 60 litros de alcohol de 25°. Si en la mezcla existen 10 L de 40°. ¿Cuántos litros de poner de las otras calidades de alcohol?a) 10 L y 40 Lb) 20 L y 30 L c)24L y 26 Ld) 12 L y 38 Le) 24 L y 30 L

18. De un recipiente lleno de alcohol puro, se extrae la cuarta y se remplaza por agua; luego se extrae la quinta parte y se c0ompleta con agua. ¿Cuántos litros de agua se le debe agregar a 20 litros de esta última mezcla para obtener alcohol de 40°?a) 5 L b) 10 L c) 15 Ld) 20 L e) 30 L

19. A una sustitución de 2 litros de alcohol y agua al 20% de alcohol se la agrega un litro

de agua litro de alcohol. ¿Cuál sería el

nuevo porcentaje de alcohol en la mezcla?a) 24,3% b) 25,8% c) 25,7%d) 23,2% e) 25,6%

20. Se mezcla piso de 60°, 48° y 42° en cantidades iguales. Si a esta mezcla se la agrega 91 litros de agua se obtiene pisco de

36° que se vende S/.8 la botella de litro.

Determinar al ingreso total por la venta del pisco.a) S/.5200 b) S/.2600 c) S/.4800d) S/.1950 e) S/.3900

TAREA

1. Se mezcla 40L de vino de S/.6 el litro con 80 L de vino de S/.3 el litro. ¿A qué precio debe vender la mezcla para ganar el 25%?a) S/.4 b) S/.4,5 c) S/.5d) S/.6 e) S/.8

2. Se han mezclado 7 hectolitros de vino de S/.5 el litro con 11 hectolitros de otro vino de S/.8 el litro. ¿Cuántos litros de agua se debe añadir a la mezcla para que el costo por el litro de la nueva mezcla de S/. 6?a) 250 L b) 180 L c) 150 Ld) 200 L e) 180 L

3. Se mezclan tres calidades e café cuyas cantidades se encuentran en la relación 2; 3 y 5 cuyos precios por kilogramo son 5; 8 y 7 soles respectivamente. Hallar el precio de venta por kilogramo de la mezcla si se desea ganar el 10% del costo por kilogramo.a) S/.6.9 b) S/.7,59 c) S/.7,4d) S/.6.4 e) S/.8,2

4. Con S/.2,6 se compra 1 kg de arroz de primera y 1 kg de segunda. Se mezcla 10 kg de primera con 20 kg de segunda; si se hubiera mezclado 20 kg de primera con 10 kg de segunda el precio medio hubiera sido 0,2 mayor. Calcular el precio de 1 kg de arroz de primera.a) S/.2,4 b) S/.1,6 c) S/.3d) S/.2.1 e) S/.1.8

5. Deseamos obtener 100 L de alcohol de 75° mezclando 30 L de alcohol de 80° con cantidades convenientes de alcohol puro y agua. ¿Qué cantidades de estos últimos ingredientes necesitamos?a) 15 L y 85 L b) 51 L y 19 Lc) 50L y 20L d) 10 L y 60 Le) 25 L y 45 L

6. Se mezcla alcohol puro, agua y alcohol de 40%, en cantidades que se encuentran en la relación 1;3 y 2.De 18 L de dicha mezcla. ¿Qué cantidad debe extraer para que al ser remplazado por aguas obtenga una mezcla de 15%?a) 8 L b) 6 L c) 9 Ld) 6 L e) 12 L

7. Halle el gr4ado de una mezcla de :I. 9 L de alcohol puro con 66 L

de agua.II. 6 L de alcohol puro con 24 L

de agua.a) 12° y 24° b) 12° y 30° c) 12° y 20°d) 18° y 20° e) 18° y 30°

8. Una solución para limpieza contiene 40 L que contiene 20 litros de ácido puro. ¿Cuántos litros de agua deberá agregarse a fin de obtener una solución al 25% de pureza?a) 20 L b) 40 L c) 30 Ld) 12 L e) 30 L

9. Un día de se dejó una botella destapada que contenía 850 cm3 de alcohol de 60°. ¿Qué cantidad de alcohol se evaporó?a) 400 cm3 b) 350 cm3 c) 280 cm3

d) 500 cm3 e) 100 cm3

10. Se mezcla tres clases de vino, la relación de volumen del primero y del segundo es como 3 a 4 y la relación del segundo al tercero es de 3 a 5. si los precios unitarios de los tres es N, 5 y 6 soles/litro. Si el precio de un litro de la mezcla es S/.9. La suma de las cifras de N es:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ALEACIÓN

Es una mezcla homogénea de metales, obtenida por medio de un proceso de fusión (fundición).

Componentes:Metales finos: oro, plata, platino, …..Metales ordinarios: cobre, níquel, zinc, …..

LEY DE UNA ALEACIÓN:Es la relación que existe entre el paseo del metal fino y el peso total de la aleación.

Ejemplo:Se funde 14,6 g de plata con 10,4 g de cobre la ley de la aleación será:

Ley = 1 Metal fino puro 0 Metal liga puro

0 Ley 1

NÚMERO DE QUILATES DE UNA ALEACIÓN DE OROEl número de quilates de una aleación de oro, indica cuantas partes de la aleación (divida en 24 partes iguales) son de oro puro.

Ejemplo:Oro de 18 quilates

Ley =

OBSERVACIÓN: La ley es igual a cero (L = 0) si la aleación

es de metal ordinario. La ley es igual a uno (L = 1) si la aleación es

de metal fino puro.

La ley varía entre cero u uno (0 < L < 1) si la ley contiene metales fino y ordinario.

PROPIEDADES

1. Para las aleaciones con al oro, la ley se expresa en quilates asumiendo al oro puro una ley de 24 quintales.

N = número de quilates

1 quilate = (Peso total)

2. Para la mezcla de dos o más aleaciones.

Lmedia =

Donde:F1, F2, F3 … Fn son los pesos de los metales finosP1, P2, P3 … Pn son los pasos totales de cada aleaciónL1, L2, L3 … Ln son las leyes de cada aleación

3. En una relación entre el oro y la plata se considera a la plata como metal ordinario.

4. Para mezcla de dos aleaciones (L1 > Lm > L2)

Ley =

Ley =

Lm =


1. Una sortija de 16 kilates 15g. Calcula el precio de la sortija si el gramo d oro puro cuesta S/.30 (el precio del metal ordinario es despreciable)a) S/.270 b) S/.300 c) S/.330d) S/.420 e) S/.510

2. Halle cuáles el peso de oro puro en una joya de 14 kilates cuyo peso del metal ordinario es 30g.a) 42 g b) 28 g c) 36 gd) 48 g e) 60 g

3. Se tiene una joya de oro puro en la cual se ha utilizado para su confección: 10g de oro puro y 6g de cobre. ¿Cuál es la ley de la sortija?a) 0,750 b) 0,800 c) 0,625d) 0,825 e) 0,900

4. ¿Cuál es la ley de una aleación de oro de 1 kilates?a) 0,666 b) 0,830 c) 0,800d) 0,900 e) 0,750

5. Pepe por aniversario de su boda desea regalar a su esposa una sortija de orote 18 k de 8g y un par de aretes de 3g cada uno d 14 k. Si se dispone de 150 dólares y el gramo de oro de 18 k cuesta $18 y el de 14 k cuesta $14, determine cuánto le falta o le sobra a Pepe en su propósitoa) Le cobra $ 7 b) No le sobra, ni le faltac) Le falta $ 7 d) Le falta $ 10e) Le sobra $ 10

6. Piero deja a un joyero una cadena de 16 kilates con el encargo para que luego de fundirla le haga una pulsera de 2 kilates mas que la anterior. Si el joyero empleó 20 gramos de oro puro adicional, ¿Cuánto pasaba la cadena?a) 40 g b) 60 g c) 45 gd) 70 g e) 80 g

7. Se tiene una barra de oro de 0,800 de ley y otra cuya ley es de 0,775. Si el peso de esta última es el cuádruple de la anterior, halle la ley media que resulta da le aleacióna) 0,680 b) 0,800 c) 0,780d) 0,850 e) 0,940

8. ¿Cuántos kilates tiene una aleación que contiene 85g de oro puro y 15g de cobre?a) 20,4 b) 18,4 c) 10,4d) 18,8 e) 22,4

9. Con dos lingotes de leyes de 0,20 y 0,900 se hace una aleación de 400 kilogramos y cuya ley es 0,850, ¿Qué peso se ha tomado de cada una de los lingotes?a) 250 kg y 150 kg b) 300 kg y 100 kgc) 180 kg y 220 kg d) 280 kg y 120 kge) 80 kg y 320 kg

10. Se funde cuatro cucharas de plata de ley 0,750, sabiendo que cada una pesa 170g, ¿Qué peso de agua pura habrá que agregar para obtener una aleación de ley de 0,900?a) 1000 g b) 800 g c) 1040 gd) 1020 g e) 1120 g

11. Al fundir un joyero 3 lingotes cuyas leyes en oro son 0,92; 0,84 y 0,72 obtuvo un lingote de oro cuyo peso se desea conocer. Los pesos de los tres lingotes son inversamente proporcionales a sus leyes y el tercero pesa 245g más que el primeroa) 3115 b) 2225 c) 2775d) 2975 e) 2725

12. A 20 gramos de oro de 18 k se eleva su ley hasta el 21kilates agregando puro. ¿Qué peso de cobre será necesario alear para este nuevo olingote, para volverlo a su ley original?

a) 10 g b) 12 g c) g

d) g e) g

13. ¿Cuál es la ley de aleación de un vaso de plata que pesa 500s, si se ha vendido en S/.77 al precio de S/.220 por kilogramo de plata pura?a) 0,600 b) 0,680 c) 0,700d) 0,720 e) 0,750

14. Se tiene 40g de oro de 18 kilates para que se convierta en oro de 6 kilates se le quita una cantidad de oro puro y a la vez se le aumenta la misma cantidad de cobre. Hallar dicha cantidad.a) 10 g b) 18 g c) 40 gd) 50 g e) 20 g

15. ¿Qué peso de oro puro habrá que añadir a una barra de 300g de una aleación de 20 kilates para obtener una nueva aleación de 21 kilates?a) 100 g b) 150 g c) 75 gd) 95 g e) 105 g

16. Se funde una barra de cobre de 1 kilogramo con otra barra de plata de 0,875 y se ha obtenido un lingote de ley 0,825. ¿Cuántas placas de 50g se puede obtener con este lingote?a) 175 b) 180 c) 200d) 350 e) 270

17. Se tiene dos cadenas de 14 kg y 18 kg, se funden para confeccionar 6 sortijas de 8 gramos, cada uno. Determinar el número de kilates de cada sortija, si la cantidad e cobre de la primera cadena y la cantidad de oro de la segunda cadena están en la relación de 5 a 27.a) 17 k b) 16 k c) 15 kd) 18 k e) 20 k

18. Se tiene un lingote de 18kg y otro de 0,800 de ley, el primero tiene 20g de oro y el segundo 8g de metal plata y el resto de oro. ¿Cuál es la ley del lingote resultante de la fusión de ambos?a) 0,600 b) 0,783 c) 0,865d) 0,923 e) 0,910

19. Se funde 50g de oro puro con 450g de una aleación “A” siendo la nueva ley de la aleación “A”, luego la mitad de esta nueva aleación se funde con”x” g de un metal cuya ley es 0,910. Halle “x” si la aleación final tiene como ley 0,850.a) 120 g b) 140 g c) 125 gd) 126 g e) 135 g

20. Se funde “x” kilogramos de cobre puro con 48 kg de oro de 21 kilates y se obtiene una aleación de “21-y” kilates. Si se funden los 48 kg de oro 21kilates con “x” kg de oro de 14 kilates, la ley resultante es mayor en 2 kilates que la ley de aleación que se obtuvo por primera vez. Hallar “x + y”.a) 4 b) 7 c) 11d) 3 e) 8

TAREA

1. ¿Qué cantidad de plata pura será necesario aumentar a un lingote de 1200g con ley 0,835, para tener un lingote de ley 0,900?a) 1080 g b) 1002 g c) 800 gd) 1100 g e) 780 g

2. Quiero hacer una medalla de 21 k agregando oro puro a un anillo de 30 gramos de oro de 18k. ¿Cuántos gramos de oro puro debería agregar?a) 30 g b) 24 g c) 35 gd) 18 g e) 21 g

3. Habiendo agregado 30g de oro puro a una aleación de oro de 18k que pesa 30 gramos. ¿Qué ley de oro se obtendrá expresada en kilates?a) 23 b) 21 c) 19d) 20,6 e) 24

4. Halle cuál es el peso del oro puro e una joya de 14 kilates cuyo peso del metal ordinario es 20 gramos.a) 30 g b) 32 g c) 28 gd) 40 g e) 14 g

5. Se ha fundido un lingote de plata de 1200g y 0,850 ley con otro 2000 g de 0,920 de ley. ¿Cuál es la ley de la aleación obtenida?a) 0,980 b) 0,893 c) 0,775d) 0,820 e) 0,920

6. Una sortija de 16K pesa 12g. Calcule el precio de la sortija si el gramo de oro cuesta S/. 40. (el precio del metal ordinario es despreciable)a) S/.320 b) S/.400 c) S/.360d) S/.420 e) S/.280

7. Se tiene una barra de plata de 0.850 de ley. ¿En qué relación en peso se deben retirar cantidades de plata y de cobre de la barra para que la ley se conserve?

a) b) 15 c)

d) e)

8. Se sabe que un gramo de oro cuesta S/. 50 y el de cobre S/. 4. Si la sortija de 16g cuesta S/. 478, ¿De cuántos kilates es dicha sortija?a) 13,5 b) 18 c) 15d) 16,5 e) 16

9. Un kilogramo de oro pesa en el agua 949 gramos. Calcular los pesos de oro y plata que contiene un lingote de 63 kilogramos que pesa en el agua 53027 gramos.a) 23 kg y 40 kg b) 22 kg y 41 kgc) 20 kg y 43 kg d) 19 kg y 44 kge) 18 kg y 45 kg

10. Al fundir un joyero tres lingotes cuyas leyes en oro son: 0,920; 0,840 y 0,750 obtuvo un lingote de oro cuyo peso se desea conocer. Los pesos de los 16 lingotes están en razón inversa de sus leyes y el tercero pesa 119g más que el primero.a) 1800 g b) 1740 g c) 1640 gd) 1744 g e) 1450 g

ESTADÍSTICA

Es una ciencia que nos proporciona métodos para la recolección, clasificación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos para poder tomar la mejor decisión en una empresa.

CLASIFICACIÓN:

A. DESCRIPTIVA:En ella se recopila y organiza datos, para presentarlos y descubrirlos de la manera más acertada.

B. INFERENCIAL:En ella se analiza lo obtenido mediante datos, con lo cual se puede probar una hipótesis o crear nuevas, siempre con el fin de adoptar la mejor decisión.

POBLACIÓN Y MUESTRA

POBLACIÓNEs un conjunto de datos referidos determinadas características comunes de un grupo de personas, animales, objetos, etc.

Ejemplo:El conjunto de las edades de los profesores de la organización “PITÁGORAS”

MUESTRAEs un subconjunto de la población, tomado de la manera más precisa posible, pero que sea lo suficientemente representativa a pesar de su tamaño, para garantizar su resultado.

Ejemplo:El conjunto de las edades de los profesores que dictan los lunes, en tres de sus filiales.

VARIABLE ESTADÍSTICAEs la característica de la población, que se va a analizar. Puede tomar diferentes valores. Puede ser:

A. CUALITATIVACuando lo que se analiza son cualidades:Ejemplo:Las profesiones de medicina, ingeniería, administración, etc.

B. CUANTITATIVACuando lo que se analiza son cantidades. O sea la variable es cuantificable.Ejemplo:Sueldos, alumnos, etc.

Pueden ser:

DISCRETA: Cuando es representable con valores enteros Ejemplo:Alumnos, abogados, hijos, etc.

CONTINUA: Cuando es representable con valores realesEjemplo:Estatura, peso, etc.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

A. PARA VARIABLES CUALITATIVASAnalizaremos el siguiente cuadro estadístico, obtenido al examinar los viajeros de cierto día, en una compañía de transporte terrestre internacional.

Profesiones (xi) fi hi

Abogados 9 0,45 = 45%Economistas 2 0,10 = 10%

Ingenieros 5 0,25 = 25%

Médicos 4 0,20 = 20%

n = 20

FRECUENCIA ABSOLUTA (fi)Indica el número de veces que se considera, cada variable xi

En el ejemplo:9 + 2 + 5 + 4 = 20

Es decir: f1 + f2 + f3 = n (# de datos)

FRECUENCIA RELATIVA (hi)Es la razón entre la frecuencia absoluta y el número de datos

Se puede expresar en decimal o en porcentaje, entonces:

o

En el ejemplo:0,45 + 0,10 + 0,25 +0,20 = 1

Es decir:h1 + h2 + h3 + h4 = 1

También:45% + 10% + 25% + 20% = 100%h1 + h2 + h3 + h4 = 100%

Se puede graficar mediante un:

DIAGRAMA DE BARRAS SEPARADAS

DIAGRAMA CIRCULAR

“N” # de datos

MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL

B. PARA VARIABLES CUANTITATIVAS

DISCRETASAnalizaremos el siguiente cuadro estadístico, obtenido al entrevistar a 80 padres de familia en Huaraz, con respecto a la cantidad de hijos que poseen:

xi fi Fi hi Hi

1 8 8 0,100 0,100

2 10 18 0,125 0,225

3 40 58 0,500 0,725

4 20 78 0,250 0,975

5 2 0,025

DIAGRAMA DE BASTONES

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Fi)Se obtiene al ir sumando (acumulando) ordenadamente las frecuencias absolutas

En el ejemplo:F1 = f1

F2 = f1 + f2 F3 = f1 + f2 + f3

F4 = f1 + f2 + f3 + f4

hi =

0 hi 1 0% h1 100%

n = 100% = 360°

180

1 2 3 4 5

2

8

10

20

40

f1

x1

F5 = F1 + f2 + f3 + f4 +f5

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Hi)Se obtiene al ir sumando (acumulando) ordenadamente las frecuencias relativas

En el ejemplo:H1 = h1

H2 = h1 + h2

H3 = h1 h2 + h3 H4 = h1+ h2 + h3 + h4

H5 = h1 + h2 + h3 + h4 +h5

NOTA: La suma de todas las frecuencias absolutas, debe ser igual al número de datos (n)

NOTA: La suma de todas las frecuencias relativas, debe ser igual a 1 si están expresadas en decimales, o a 100% si están expresadas en porcentaje.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALSon aquellas que dan una idea general acerca del valor más representativo para el grupo de datos.Las más usadas son:

A. MODA (Md):Es el valor de la variable estadística que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:Se presenta un cuadro de los asistentes a una reunión distribuidos por edades.

Edades Personas

18 años 14

19 años 18

20 años 27

21 años 29

22 años 30

23 años 22

En este caso se dice que la moda es 22 años, porque hay la mayor cantidad de persona con esta edad.

Ejemplo:Si A = {6; 7; 8; 9}, entonces no hay modaSi B = {7; 8; 8; 8; 9; 9; 11}, entonces la moda es 8Si C=) {5; 5; 5; 6; 7; 8; 8; 8}, entonces hay dos modas 5 y 8

NOTA:Las distribuciones pueden ser amodales, unimodales, bimodales, etc.

B. MEDIANA (Me)Se tiene un conjunto de “n2 datos distribuidos de menor a mayor o viceversa, se considera como la mediana al valor central si “n” es impar; pero si “n” es par la mediana será la semisuma de los valores centrales.

Ejemplos:Si = {4; 6; 7; 8; 20}Si: E = {3; 5; 8; 10; 20; 31}

C. MEDIANA (MA)Es la media aritmética o promedio aritmético de los datos.Si:x1; x2; x3; …; xn no forman una progresión aritmética entonces la media es:

Si: x1; x2; x3; …; xn forman una progresión aritmética entonces la media es:

Ejemplo:

Si: F = {7; 8; 9; 10; 11; 12} entonces:

Si: G = {7; 13; 14; 19; 27} entonces:

Ejemplo:Precio unit. # de polos

S/.8 25S/.10 40S/.12 30S/.14 35S/.16 70

En el cuadro se muestra las cantidades de polos venidos en cierta galería con sus respectivos precios unitarios donde n = 25 + 40 +30 + 70 = 200Se observa que:

Los polos que están de moda son los que cuestan S/.16

La mediana es S/.14 porque los polos 100° y 101° cuestan así

La media es:


1. La tabla muestra la distribución de frecuencias del número de hijos de 100 familias

Número de hijos fi

0 201 152 x3 y4 40

Hallar: f1 + f5

a) 35 b) 60 c) 25d) 40 e) Faltan datos

2. De la distribución de frecuencia del problema 1:I. Calcular la frecuencia absoluta

simple de la familia que tiene un hijo.II. Calcular la frecuencia relativa

simple de la familia que tiene 4 hijos.a) 15% y 20% b) 20% y 20% c) 15% y 0,4%d) 20% y 40%e) 15% y 45%

3. Del siguiente diagrama de bastones:¿cuál es la cantidad de familias encuestadas?a) 50 b) 100 c) 40d) 80 e) 102

4. Del diagrama de bastones, del problema 3 calcular h2 + h4

a) 0,4 b) 0,45 c) 0,55d) 0,3 e) 0,72

5. Dada la distribución de frecuencias de las edades de cierta cantidad de alumnos, hallar frecuencia relativa de los alumnos que tienen 27 años.

Edades N° de alumnos25 726 527 828 229 3

a) 0,32 b) 0,12 c) 0,8

d) 0,28 e) 0,26. Del problema anterior, calcular f2 +f4

a) 15 b) 13 c) 7d) 11 e) 10

7. Se muestra la distribución de los trabajadores de una empresa de acuerdo a su ocupación. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a los obreros?

Ocupación N° de personasAbogados 60Ingenieros 20Médicos 30Obreros 40

a) 0,10 b) 0,28 c) 0,26d) 0,30 e) 0,29

8. Del problema anterior, si se despiden 18 abogados y 12 médicos, ¿cuál es la frecuencia relativa correspondiente a los ingenieros?a) 0,24 b) 0,6 c) 0,4d) 0,30 e) 0,29

9. La tabla siguiente muestra el peso correspondiente a un cierto número de alumnos.Calcular f2 + f3 + h3

Peso(kg) fi hi

70 18 0,3674 f2 0,2485 f3 h3

87 5 0,150a) 20,40 b) 27,30 c) 22,30d) 18,60 e) 37,30

10. Del problema anterior calcular:F3 –F1

a) 30 b) 27 c) 20d) 18 e) 12

11. El siguiente conjunto de la notas de un cierto número de alumnos:

A = {12; 10; 9; 8; 10; 12; 15; 12; 10}¿Cuántos alumnos aprueban; si la nota aprobatoria debe ser mayor que la mediana?a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 612. El cuadro muestra los asistentes a un

congreso, agrupados por profesores, además el tamaño de la muestra es 240.

¿Cuántos abogados asistieron a dicho congreso?a) 60 b) 80 c) 50d) 70 e) 40

13. La siguiente tabla la distribución de las edades correspondientes a 80 futbolistas de club.

Edades fi Fi hi

2021 40 6022 0,2523 0,07524

Calcula: f1 + f3 +F3 + h5

a) 82,05 b) 32,15 c) 76,05d) 92,05 e) 92,15

Para los problemas del 14 al 18 se muestran las notas de 15 alumnos en un examen de letras.10; 12; 09; 12; 08; 14; 12; 10; 11; 12; 08; 06; 14; 14, 15; 07

14. ¿Cuál es la moda?a) 09 b) 10 c) 11d) 12 e) 08

15. Hallar la medianaa) 09 b) 10 c) 10,5d) 12 e) 11

16. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual que la mediana, ¿Cuántos aprueban?a) 8 b) 7 c) 5d) 10 e) 4

17. Si se elimina la mayor nota, hallar la mediana de las notas restantes.a) 10 b) 11 c) 10,5d) 11,5 e) 12

18. Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias e indicar: f1 + F3

N° de hijos fi Fi hi Hi

0 0,081 0,402 203 104

a) 24 b) 34 c) 40d) 44 e) 50

19. Dado el siguiente conjunto de valores:A = {1; 2; 1; 3; 4; 5; 1; 1; 2; 5}

Hallar la moda, media y mediana. Dar como respuesta la suma de ellas.a) 4,5 b) 5,5 c) 6d) 8,5 e) 6,5

20. En un concurso de becas de la academia, los postulantes prefieren los cursos de Aritmética (A); Álgebra (X); Física (F) y Química (Q).

Determinar cuántos prefieren aritmética, si los que prefieren Álgebra son 100 personas.a) 140 b) 120 c) 180d) 150 e) 130

6nº

5nº72ºA

Q

F

x

TAREA

1. En el cuadro de frecuencias:

Edades fi

15 816 917 1218 11

Calcular: f1 + f3

a) 0,8 b) 0,5 c) 0,4d) 0,25 e) 0,36

2. Dado el siguiente conjunto de valores:

A = {1; 2; 1; 3; 2; 1; 7; 6; 3}Calcular la mediana de los valores.a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 7

3. Del problema anterior hallar la suma de la moda y la media.

a) b) c)

d) e)

4. Dado el siguiente cuadro estadístico:

Edad fi Fi

6 48 610 1513 2013 8

Calcular la moda:a) 6 b) 8 c) 10d) 13 e) 15

5. Del problema anterior hallar la medianaa) 6 b) 8 c) 10d) 13 e) 15

6. Dado el siguiente cuadro acerca de las edades de los obreros de una empresa:

Edades fi hi Hi

24 0,252526 0,6527 4028 0,15

Además h2 = h3, calcular: h2 + n + f5

a) 230,2 b) 130,4 c) 180,3d) 240,4 e) 210,8

7. La tabla muestra la distribución de frecuencias sobre las estaturas de un grupo de 50 alumnos.

Estaturas (cm) fi

150 10160 8170 12180 20

Calcular cuántos tienen menos de 170 cm.a) 30 b) 32 c) 18d) 20 e) 42

8. De la siguiente distribución de frecuencias:

Edades fi hi Hi

6810 30 0,7211 0,1815 10

Calcular: f4 + F2 + h3

a) 60,3 b) 50,3 c) 48,3d) 36,4 e) 20,4

9. El gobierno decide destinar S/.400000 para el desarrollo de un pueblo de la selva, la cual será invertida sólo en educación, vivienda y alimentación, se muestra un diagrama circular de cómo se ha distribuido este dinero.

¿Cuánto ha utilizado en vivienda?a) S/. 100000 b) S/. 150000c) S/. 50000 d) S/. 75000e) S/. 280000

10. Del problema anterior, ¿cuánto se utilizó en educación?a) S/. 180000 b) S/. 160000c) S/. 200000 d) S/. 120000e) S/. 100000

35%25%

AlimentaciónVivienda

Educación

ANÁLISIS COMBINATORIO

NOTACIÓN FACTORIAL

Se usa la notación n! (n factorial) para representar el producto de los enteros positivos de 1 a n inclusive. Es decir:

O equivalentemente

Convención:

Ejemplos:

2! = 1.2 = 2 12.11.10 =

3! = 1.2.3 = 64! = 1.2.3.4 = 24

5! = 1.2.3.4.5 = 120 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEOSi un evento puede ocurrir en m formas segundo evento puede ocurrir en n formas, entonces el número de formas en las que pueden ocurrir ambos es igual a mn.

Ejemplo 1

¿De cuántas maneras se puede elegir un viaje de A a C pasando por B, sabiendo que de A a B hay 3 caminos y de B a C hay 5 caminos?

Solución:

A B C

Para viajar de A a C hay 3.5 = 15 formas. Ejemplo 2¿Cuántos números de placas de automóvil de 5 símbolos se pueden hacer si cada comienza con 2 letras (A, B, C) distintas y termina con 3 dígitos cualesquiera?

SoluciónComo las letras (A, B, C) son diferentes y los números se pueden repetir, el número de placas está por:

(3).(2).(1)(10)(10)(10) = 6000

PERMUTACIONESCualquier arreglo de un conjunto de “n” objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Cualesquier arreglo (subconjunto) r n elementos en un orden dado se llama permutación (algunos autores lo llaman variación) o una permutación de “n” objetos “r” a la vez.Por ejemplo, del conjunto de letras a, b, c y dI. bdca; dcba y acdb son permutaciones

de las 4 letras (tomadas todas a la vez).II. bad; adb; cdb y bca son

permutaciones de las 4 letras tomadas 3 ala vez.

En general:

En particular cuando n = r, se tiene:

Por ejemplo, hay 3! = 1.2.3 = 6 permutaciones de las tres letras a,b y c. Esta son abc, acb, bac, bca, cab y cba.

OBSERVACIÓN:P = 4.3 = 12P = 12.11.10 = 1320P = 10.9.8.7 = 5040

n! = 1.2.3……(n-1)n

n! = (n-1)!n

0! = 1

3 formas 5 formas

P(n,r) = nPr = P

P(n,n) = P = n!

P =

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN El número de permutaciones de “n2 objetos los cuales n1 son similares de otra manera, ……………, nr son similares de otra manera, es:

Donde; n1 + n2 + ……………. + nr = n

Por ejemplo, ¿Cuántas distintas sin importar su significado se pueden formar con las letras de la palabra A M A B A?

Solución:Las posibilidades son:

Es una permutación con repeticiónLuego:

En el caso:

COMBINACIONESUna combinación de “n” objetos tomados r a la vez (r n) es cualquier selección (grupo) de r de os objetos en orden no importa.Por ejemplo, dados las letras Z, X, C, V, B, N y M.

I. MBNC; MNBZ; XBNZ; CBNZ y NVZX son combinaciones.

II. BBCV; CCCC; NZZV no son combinaciones.

III. ZXCV; ZXCV; VXCZ zon la misma combinación.

Ejemplo 2Las combinaciones de las letras a, b, c y d tomando tres a la vez son:

abc; abc; acd; bcd.

En gene5ral el número de combinaciones de “n” a la vez se denota con C(n, r); nCr o C y está dado por r! permutaciones de objetos en la combinación, o sea:

P = r! C , de donde

Por ejemplo, en un estante se tiene 6 litros de ciencias y 8 libros de letras. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 libros de ciencias y 2 libros de letras?

Solución:Se pueden escoger los litros de ciencia de C maneras y los de letra de C maneras. Por el principio fundamental del conteo.

OBSERVACIÓN:

P

C


1. Un alumno tiene 4 pantalones, 6 camisas y 2 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá vestir?a) 48 b) 120 c) 40d) 12 e) 24

2. La producción de autos se dan 4 modelos en carrocería, 2 clases de motores y 5 colores diferentes. ¿De cuántas formas diferentes puede presentarse un auto determinado?a) 11 b) 40 c) 24d) 48 e) 20

3. Toto proyecta ir de viaje y debe decidir entre el transporte por bus o tren. Si hay 4 rutas para el tren y 8 por el bus, ¿de cuántas maneras puede viajar?a) 32 b) 12 c) 24d) 20 e) 48

4. Cierto producto se vende únicamente en los mercados A; B; y C. En “A” se puede conseguir en 9 puestos distintos, en “B” es 7 puestos y en “C” en 8 puestos. ¿En cuántos puestos distintos puede comportarse el producto?a) 504 b) 432 c) 448d) 24 e) 20

5. Con seis pesas de 5; 10; 15; 20; 25 y 30 kg, ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse tomados aquellos de tres en tres?a) 15 b) 20 c) 120d) 60 e) 30

6. En un campeonato de voley donde jugaron todos contra todos se realizaron 105 partidos, ¿Cuántos equipos participaron?a) 16 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

7. ¿De cuántas maneras diferentes se debe seleccionar una consonante y una vocal de las letras de la palabra combinar?a) 10 b) 11 c) 15d) 6! e) 7!

8. ¿De cuántas maneras diferentes se debe ubicar a 4 personas en una barca de 400?a) 32 b) 28 c) 36d) 12 e) 24

9. De 5 estudiantes se quiere elegir un delegado y un subdelegado ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir?a) 24 b) 10 c) 20d) 12 e) 9

10. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1; 2; 4; 6 y 8?a) 120 b) 60 c) 21d) 15 e) 10

11. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra carretera, no importa si tienen sentido o no?a) 10240 b) 15120 c) 12430d) 216320 e) 14860

12. ¿Cuántas señales diferentes pueden imitarse con dos focos rojos, dos amarillos y tres azules, en un juego de luces que tiene 7 portafocos?a) 72 b) 120 c) 144d) 210 e) 60

13. Se desea enviar una pareja mixta de nadadores a las olimpiadas y se dispone de 6 varones y 8 damas. ¿Cuántas parejas deferentes se podrá formar?a) 14 b) 48 c) 24d) 80 e) 120

14. A la cumbre de una montaña condu7cen 5 caminos. El número de maneras que puede trepar un hombre una montaña y descender de ella, con la condición de que el ascenso y el descenso tiene lugar por caminos diferentes es:a) 40 b) 20 c) 30d) 12 e) 42

15. De cuántas formas diferentes se puede ir de “A” hacia “B”, si solamente se puede avanzar en:

a) 6 b) 5 c) 12d) 10 e) 15

16. ¿De cuántas maneras se pueden escoger dos de los números naturales del 1 al 15 de cómo que su suma sea par?a) 42 b) 56 c) 98d) 104 e) 124

17. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 6 personas alrededor de una fogata si dos siempre están juntas?a) 24 b) 48 c) 120d) 72 e) 60

18. ¿De cuántas formas pueden sentarse en una mesa circular de 6 asientos un equipo de 6 personas, si 2 de las personas no deben estar juntas?a) 96 b) 120 c) 60d) 72 e) 48

19. De cuántas maneras puede leer la palabra permuta en:

P E R ME R M UR M U TM U T A

a) 10 b) 70 c) 20d) 126 e) 7!

20. Se desea formar la letra N con un total de trece personas de tal manera que en los extremos y los vértices reubiquen necesariamente Pedro, Juan, Carlos y Diego; además en cada fila intervienen 5 personas, según la figura. Determinar de cuántas maneras se pueden ubicar.

a) 1!2! b) 2!11! c) 13!d) 3! x 9! e) 4! x 9!

A

B

TAREA

1. Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales sólo una es la correcta, ¿de cuántas maneras puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?a) 25 b) 54 c) 34

d) 35 e) 4

2. En una reunión hay 30 personas. ¿Cuántos apretones de manos se produjeron al saludarse rodos entre sí?a) 435 b) 275 c) 324d) 124 e) 29

3. Para ir de Lima a Huacho hay 5 líneas de transportes diferentes y entre Huacho y Barranca hay 3 líneas de combis diferentes. ¿De cuántas formas diferentes se puede ir de Lima a Barranca?a) 8 b) 15 c) 720d) 8 e) 4! x 2!

4. De cuántas maneras diferentes se pueden embolsar 4 pantalones, si se tienen pantalones diferentes, los cuales se deben colocar en una bolsa, además se cuenta sólo con un bolsa?a) 150 b) 180 c) 160d) 210 e) 120

5. En una reunión hay 10 hombres y 5 mujeres. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar si siempre deben estar dos mujeres en el grupo?a) 90 b) 50 c) 100d) 10 e) 80

6. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 personas en una banca de 5 asientos?a) 24 b) 120 c) 80d) 60 e) 100

7. De cuántas maneras diferentes se puede ir de “x” a “y” si solamente se puede avanzar en:

a) 216 b) 126 c) 120d) 180 e) 20

8. Se tiene tres cajas. De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir dos objetos M y N en dichas cajas, pudiendo ser que ambos queden en una misma caja.a) 3 b) 6 c) 1d) 9 e) 2

9. Carlos y Pepe, acuden a un restaurante, que ofrece un menú de 8 comidas diferentes. Si cada una desea pedir una comida diferent6e a lo que pide el otro, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerse el pedido?a) 45 b) 56 c) 100d) 120 e) 15

10. ¿De cuántas formas pueden sentarse 6 personas en un sofá si tiene solamente 4 asientos?a) 840 b) 120 c) 360d) 24 e) 10

x

y

aritmetica completo

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