lez.2 - aritmetica (1^ media)

ARITMETICA

2°Lezione

Rappresentazione dei numeri naturali - I numeri decimali

S.M.S Leonardo da Vinci - Mascalucia (Ct)A.S. 2011/2012

Corso di Matematica Prof. Spina Roberto - [email protected]



UGUAGLIANZA E DISUGUAGLIANZADue numeri naturali sono uguali se sono formati dalle stesse cifre nello stesso ordine

Es. 49 = 49

Due numeri non uguali vengono definiti disuguali e si indicano col simbolo ≠.

I membro II membrosegno di uguaglianza

Ad es. la scrittura 10≠35 si legge "10 e' diverso da 35"



Dati due numeri a e b, se a precede b nella successione dei numeri naturali allora si puo'scriverea<b o equivalentemente b>a

Il segno < si legge "minore"Il segno > si legge "maggiore"

Ulteriori considerazioni sul significato di ≤ (minore-uguale) e ≥ (maggiore-uguale)

Es. 7<12 e equivalentemente 12>7

Es. 15≥30 falsa 15≥15 vera

Se in una disuguaglianza si scambia il primo membro con il secondo membro occorre invertire anche il senso della disuguaglianza (da maggiore a minore o viceversa). Quindi 3<5 ⇔ 5>3



Possiamo allora affermare che ogni numero naturale e' maggiore del precedente e minore del successivo: infatti i numeri naturali sono infiniti e si succedono in modo ordinato.

Es. Ordinare in senso crescente i numeri 75, 12, 42, 108, 33, 112

Inoltre e'possibile scrivere i numeri:• in ordine crescente, cioe' dal minore al maggiore;• in ordine decrescente, cioe' dal maggiore al minore;

12 33 42 75 108 112

Es. Ordinare in senso decrescente i numeri 8, 67,132, 21, 84, 237

237 132 84 67 21 8



Quali sono i valori che a puo' assumere in modo da soddisfare contemporaneamente le due disuguaglianze?

Risposta:

che si legge "a compreso fra 15 e 20"

Consideriamo le disuguaglianze:a>15 a<20

a=16, a=17, a=18, a=19

Le due espressioni possono essere scritte, in modo piu' compatto, in una unica disuguaglianza:15 < a < 20



Se la disuguaglianza fosse stata: 15 ≤ a < 20 da quali numeri sarebbe stata soddisfatta?Risposta: a=15, a=16, a=17, a=18, a=19

Risposta: a=16, a=17, a=18, a=19, a=20

Se la disuguaglianza fosse stata: 15 < a ≤ 20 da quali numeri sarebbe stata soddisfatta?

Risposta: a=15, a=16, a=17, a=18, a=19, a=20

Se la disuguaglianza fosse stata: 15 ≤ a ≤ 20 da quali numeri sarebbe stata soddisfatta?



RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NATURALI SU UNA SEMIRETTA

1. Disegniamo una semiretta orientata r (con verso positivo verso dx);

2. Chiamiamo l'origine della semiretta immagine del punto 0 e fissiamo un segmento u come unita' di misura;3. Rappresentiamo la successione dei numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5, ....., n riportando sulla semiretta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

u

n

una, due, tre,cinque,

quattro,............,n volte l'unita' di misura u

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n



In questo modo possiamo far corrispondere ad ogni numero naturale un punto di una semiretta orientata r

Il punto cosi' individuato viene detto immagine del numero naturale

u

immagine del numero 0

immagine del numero 4

immagine del numero 8immagine del numero n

• Da svolgere in classe - pag. 22 N. 17-18

• Lezione da pag. 8 a pag. 10

n.b. Gli esercizi non completati in classe dovranno essere svolti a casa

• Esercizi pag. 22 N. 19-20-21-22-23

Prossima settimana



Esercizi:



Esercizi (da svolgere in classe)4.567.342 + 8.542.745

345.678 + 23.456

123.456 +143.678

7.876.122 + 4.567.222

2.874 - 1.567

145.765 - 122.566

789.456 - 456.156

567.122 - 522.368



I NUMERI DECIMALI

245,36

Un numero decimale e' formato da unita' intere e unita' decimali separate dalle precedenti con una virgola.

Analogamente al caso dei numeri naturali, le cifre dei numeri decimali hanno un valore relativo determinato dalla posizione occupata all'interno del numero

parte intera parte decimale

Es.



UNITÀ DECIMALI• decimo 0,1: corrisponde alla decima parte dell'unità e viene

definita unità decimale del 1° ordine;

• centesimo 0,01: corrisponde alla centesima parte dell'unità o alla decima parte del decimo e viene definita unità decimale del 2° ordine;

• decimillesimo 0,0001: corrisponde alla decimillesima parte dell'unità o alla decima parte del millesimo e viene definita unità decimale del 4° ordine;

• millesimo 0,001: corrisponde alla millesima parte dell'unità o alla decima parte del centesimo e viene definita unità decimale del 3° ordine;

• .........



Raggruppando 10 unita' decimali dello stesso ordine si ottiene una unita' dell'ordine che lo precede, cioé:

10 decimi 1 unitá

10 centesimi 1 decimo

10 millesimi 1 centesimo

10 decimillesimi 1 millesimo

.................... ....................

10 centomillesimi 1 decimillesimo



dato il numero 15,453782 riportare il valore relativo delle cifre intere e decimali:

Esempio:

15,453782

decine

unità

decimo

centesimo

millesimo

decimillesimo

centimillesimomilionesimo

Vediamo adesso come scrivere i numeri decimali in notazione polinomiale.



La scrittura polinomialeCiascun numero decimale puó essere scritto come somma dei prodotti del valore assoluto di ciascuna cifra per il corrispondente valore relativo.

Es. 3,456

Stesso discorso può essere eseguito anche con i numeri naturali:

Questa notazione viene definita polinomiale e ogni numero viene espresso in funzione delle potenze di 10

3,456 = 3 x 1 + 4 x 0,1 + 5 x 0,01 + 6 x 0,001

27.345 = 2 x 10.000 + 7 x 1.000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1

Es. 27.345

Esercizi (da svolgere in classe)Scrivere in forma polinomiale i seguenti numeri ed effettuare la somma come verifica:

345.678

23.456

123.456

143.678

7.876.122

13,234

133,5689

3.436,567

567.122

Esercizi (per casa) - Giovedì 13 OttobreScrivere in forma polinomiale i seguenti numeri ed effettuare la somma come verifica:

345.569

2.677.444

2.478.999

234,788

2.555,6789

345.677

223,4455

1.277,6789

2.345.766



RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI DECIMALI SU UNA SEMIRETTA

1. Disegniamo una semiretta orientata r (con verso positivo verso dx);

2. Chiamiamo l'origine della semiretta immagine del punto 0, fissiamo un segmento u come unita' di misura e lo riportiamo sulla semiretta;

3. Se vogliamo rappresentare un numero con unità decimali del 1° ordine suddividiamo in 10 parti uguali l'unità: ognuna di tali suddivisioni rappresenterà un decimo.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

u



4. Se vogliamo rappresentare un numero con unità decimali del 2° ordine suddividiamo in 10 parti uguali il decimo: ognuna di tali suddivisioni rappresenterà un centesimo.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2



4. Se vogliamo rappresentare un numero con unità decimali del 3° ordine suddividiamo in 10 parti uguali il centesimo: ognuna di tali suddivisioni rappresenterà un millesimo.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2

0,16 0,161 0,162 0,163 0,164 0,165 0,166 0,167 0,168 0,169 0,17

2



1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

Esempi:Rappresentare sulla retta il numero 1,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9.

2 - Dividiamo in 10 parti uguali la prima unità

3 - Dividiamo in 10 parti uguali la seconda unità

4 - Avanziamo all'interno della seconda unità fino ad arrivare alla nona suddivisione

1 - Riportiamo sulla retta le prime 2 unità perché 1,9 < 2



1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

Esempi:Rappresentare sulla retta il numero 1,37

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

2 - Dividiamo in 10 parti uguali la prima unità

3 - Dividiamo in 10 parti uguali la seconda unità

4 - Avanziamo all'interno della seconda unità fino ad arrivare alla terza suddivisione

1 - Riportiamo sulla retta le prime 2 unità perché 1,3 < 2

5 - Dividiamo in 10 parti uguali l'intervallo fra il decimo 1,3 e il decimo 1,4

6 - Avanziamo all'interno dell'intervallo 1,3 - 1,4 fino ad arrivare alla settima suddivisione

1,3 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,4.



Uguaglianza fra numeri decimaliDue numeri decimali sono uguali se sono formati dalle stesse unità intere e dalle stesse unità decimali.

Es. 0,8 = 0,8

Due numeri decimali uguali hanno la stessa immagine su una semiretta orientata.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.



Consideriamo il numero decimale 7,50: poiché 50 centesimi formano 5 decimi si ha che

7,50 = 7,5Analogamente se consideriamo il numero decimale 7,500 poiché 500 millesimi formano 50 centesimi e di conseguenza 5 decimi, si ha che

7,500 = 7,50 = 7,5

Quindi, in definitiva, il valore di un numero decimale non cambia se aggiungiamo degli zeri a destra dell'ultima cifra decimale.

I prezzi in euro, quando non sono numeri interi, vengono espressi in centesimi. Ad esempio 12,3 € si scrive 12,30 € e si legge "12 euro e 30 centesimi"



Disuguaglianza fra numeri decimaliConsideriamo due numeri decimali a e b disuguali (a ≠ b). Quando la parte intera di a é minore della parte intera di b si ha:

a<b

Esempio 1 Dati i numeri decimali 12,93 e 13,21 si verifica che:

Oppure se la parte intera di a é maggiore della parte intera di b si ha:

a>b

12,93 < 13,21

perché 12 é minore di 13




125,12 > 71,65

perché 125 é maggiore di 71

Se i due numeri decimali a e b hanno la stessa parte intera, si deve confrontare la prima cifra decimale di a con la prima cifra decimale di b.


34,12 > 34,03

perché 1 é maggiore di 0




45,67 < 45,76


Quando i due numeri decimali a e b oltre ad avere la stessa parte intera hanno anche la prima cifra decimale uguale, si deve confrontare la seconda cifra decimale di a con la seconda cifra decimale di b.

Esempio Dati i numeri decimali 15,676 e 15,689 si verifica che:

15,676 < 15,689




Nel caso di uguaglianza della seconda cifra decimale si considera la terza cifra decimale e così via..

Esempio Dati i numeri decimali 84,345 e 84,349 si verifica che:

84,345 < 84,349


Attenzione! Nel confronto di due numeri con la stessa parte intera non é corretto affermare che é maggiore il numero con il massimo numero di cifre decimali.

Esempio Se i due numeri decimali sono 3,563 e 3,4 si ha che:

3,563 > 3,4



Ma se i numeri sono 3,563 e 3,6 si ha che:

3,563 < 3,6

Infatti: 3,6 = 3,600 perché 6 decimi corrispondono a 600 millesimi. Allora si puó anche scrivere:

3,563 < 3,600

Esercizi (da svolgere in classe)Confronta le seguenti coppie di numeri decimali ed indica quale dei due é il maggiore:

- 3,4 e 5,8- 3,45 e 3,48- 12,456 e 12,546- 34,451 e 34,456- 173,898 e 173,890- 67,670 e 67,607- 0,568 e 0,566- 1243,3457 e 1243,3459- 89,098 e 89,908

Al termine della procedura ordina tutti i numeri in senso crescente

Compiti per casa

Giovedì 20 Ottobre

Aritmetica: studiare da pag.10 a pag. 15. Esercizi pag. 36 n.122-134-135-136-143.

Mercoledí 19 Ottobre

Geometria: studiare pag. 10-11-12

lez.2 - aritmetica (1^ media)

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