PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Oleh : Hidayati RusnedySMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA

1. Pengertian Penyelesaian Sistem Persamaan

Pasangan x = x0, y = y0 atau (x0, y0) dikatakan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel apabila pasangan tersebut memenuhi sistem persamaan itu. Memenuhi artinya jika disubstitusikan, maka nilai ruas kiri = nilai ruas kanan.

Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Mengubah sistem persamaan linear dua variabel menjadi persamaan satu variabel dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi, metode substitusi, atau metode gabungan eliminasi-substitusi. Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah dengan metode grafik.

2. Metode Substitusi

Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut :1. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x

= ...2. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian

selesaikan.3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah

(2) untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

Contoh Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi!• x ‒ 4y = 13• 2x + 3y = ‒71. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x = ...

x ‒ 4y = 13 ↔ x = 4y + 132. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian selesaikan.Substitusikan x = 4y + 13 ke 2x + 3y = ‒7maka diperoleh 2(4y + 13) + 3y = ‒7

8y + 26 + 3y = ‒7 11y = ‒33 y =-3

3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah (2) untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.Substitusikan y = ‒3 ke x = 4y + 13,maka diperoleh x = 4(‒3) + 13 = 1Jadi nilai x = 1 dan y = ‒3.

3. Metode eliminasi

Mengubah sistem persamaan linear dua variabel menjadi sebuah persamaan linear satu variabel dapat juga dilakukan dengan mengeliminir (menghilangkan) satu variabel untuk menentukan nilai variabel yang lainnya.

Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut.1. Perhatikan koefisien x (atau y). Jika sama, kurangi persamaan

yang satu oleh persamaan yang lain. Jika angkanya sama tetapi tandanya berbeda, jumlahkan kedua persamaan itu.

2. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan mengalikan kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai, kemudian jumlahkan atau kurangkan seperti pada langkah 1.

Contoh Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi!

5x = ‒3y + 2 2y = 3x ‒ 5

diubah menjadi 5x + 3y = 2 3x ‒ 2y = 5

Mengeliminasi variabel y

Mengeliminasi variabel x

Jadi x = 1 dan y = ‒1.

4. Metode eliminasi-substitusi (gabungan)

Dalam metode ini, nilai variabel pertama dicari dengan metode eliminasi, sedangkan nilai variabel kedua diperoleh dengan metode substitusi. Tentukan himpunan penyelesaian dari

5. Metode grafik

Misalkan grafik persamaan dari ax + by = c dan px + qy = r digambarkan sebagai berikut.

Dalam metode grafik, penyelesaian sistem persamaan linear duavariabel adalah titik potong kedua garis dari persamaan-persamaanlinear. Pada gambar disamping, yaitu A(xo, yo)

Contoh Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini dengan metode grafik

Pada gambar grafik, garis 2x + 3y = 12 dan‒x + y = ‒1 berpotongan pada x = 3 dan y = 2. Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(3,2)}.

Sistem persamaan linear tersebut jika digambarkan dengan dua garis lurus dalam satu bidang Cartesius akan memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

Kedua garis berpotongan, sehingga mempunyai satu penyelesaian

Kedua garis sejajar, sehingga tidak mempunyai penyelesaian

Kedua garis berimpit, sehingga mempunyai tak hingga penyelesaian

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah

Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel x, y, z adalah:

dengan ai, bi, ci, di bilangan real; i = 1, 2, 3.

Apabila nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel adalah x0, y0, dan z0, maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah { ( x0, y0, z0) }.Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel yaitu dengan metode gabungan eliminasi-substitusi

Contoh

Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan:

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 0, dan z = ‒2

C. Sistem Persamaan Linear dan KuadratBentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah:

dengan a, b, p, q, dan r bilangan real.

Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat digunakan dua cara yaitu metode substitusi dan metode grafik

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(‒4, 0), (3, 7)}

Apabila contoh sebelumnya diselesaikan menggunakan metode grafik, maka akan diperoleh grafik yang saling berpotongan antara garis y = x + 4 dengan parabola y = x2 + 2x ‒ 8, seperti gambar di bawah ini

Dari beberapa contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel:y = ax + by = px2 + qx + r

yang setelah diproses substitusi menjadi px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0

1. Memiliki dua penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 lebih dari nol. (D > 0) kurva memotong di dua titik.

2. Memiliki satu penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 sama dengan nol. (D = 0) garis dan parabola saling menyinggung .

3. Tidak memiliki penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 kurang dari nol. (D < 0) garis dan parabola tidak saling menyentuh

D. Sistem Persamaan Kuadrat

Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y adalah:

dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real

Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat digunakan metode-metode yang telah kita pelajari sebelumnya.

Perhatikan gambar di bawah! Misalkan parabola 1 dan parabola 2merupakan parabola-parabola dari sistem persamaan kuadrat:

Memiliki satu penyelesaian, jika (1) dan (2) saling menyinggung dan diskriminannya sama dengan nol (D = 0)

Memiliki dua penyelesaian, jika (1) dan (2) saling berpotongan dan diskriminannya lebih dari nol (D > 0)

Memiliki tak hingga penyelesaian, jika (1) dan (2) saling berimpit

Tidak memiliki penyelesaian, jika (1) dan (2) tidak saling berpotongan dan diskriminannya lebih kecil dari nol. (D < 0)

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 0), (6, 12)}.

E. Sistem Persamaan Bentuk Aljabar Berderajat Dua dengan Dua variabel

Bentuk umum dari sistem-sistem persamaan tersebut di antaranya:

dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r, s, t dan u bilangan real

Langkah pertama untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah dengan mengubah sistem persamaan itu menjadi persamaan satu variabel, lalu diselesaikan dengan metode substitusi, eliminasi, gabungan ataupun grafik.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 3) (‒ 3, ‒4)}.

F. Penerapan Konsep Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dalam Pemecahan Masalah

Konsep sistem persamaan linear dan kuadrat banyak diterapkan dalam memecahkan suatu masalah. Masalah tersebut biasanya ditampilkan dalam bentuk soal cerita. Sehingga langkah pertama untuk menyelesaikannya adalah menerjemahkan kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi model matematika yang menggunakan sistem persamaan.

Contoh

Dengan uang sebesar Rp 27.000,00, Rani telah membeli 2 buku, 3 pulpen, dan 4 penggaris di sebuah toko. Di toko yang sama, Riko telah membeli 1 buku, 2 pulpen, dan 1 penggaris dengan uang sebesar Rp 13.000,00. Begitupun Rini, dengan uang sebesar Rp 13.000,00, dia telahmembeli 2 buku dan sebuah pensil. Tentukanlah harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris!

Pembahasan

Misalkan: harga sebuah buku = x rupiah harga sebuah pulpen = y rupiah harga sebuah penggaris = z rupiah

Model matematika dari persoalan di atas adalah :

Mengeliminasi z dari (1) dan (2)

Mengeliminasi x dari (3) dan (4)

Substitusikan y = 3.000

Substitusikan x = 5.000 dan y = 3.000 ke x + 2y + z = 13.000

Jadi, harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris berturut-turut adalah Rp5.000,00; Rp3.000,00; dan Rp2.000,00.