TRIGONOMETRI

Oleh : Sherli Pitrah DewiSMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA

Ukuran Sudut1. Ukuran Derajat

Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°. Berarti 1°= 1/360 putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).Hubungan ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:

2. Ukuran RadianSatu radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

3. Hubungan Derajat dengan RadianUntuk mengubah sudut sebesar X ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:

Dan untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:

Contoh Soal

1. Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!Jawab :

2. Nyatakan sudut 154° ke satuan radian!Jawab:

B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah gambar berikut!

• Jika dipandang dari sudut, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring.

• Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka

C. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

Dalam satu putaran, yaitu 360 °, sudut dibagi menjadi 4 relasi, yaitu :

• Kuadran I : 0°≤ α ≤ 90°• Kuadran II : 90° < α ≤ 180°• Kuanran III : 180° < α ≤ 270°• Kuadran IV : 270° < α ≤ 360°

Perhatikan gambar berikut!

1. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran I

• Pada ∆ AOC, berlaku:

• Pada ∆ BOC, berlaku:

2. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran II

Pada ∆ AOC, berlaku: α = 180°-∠ ᶿ

3. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran III

• Pada ∆ AOC berlaku: AOP = ∠ α

4. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kadran IV

• sin (360° - ᶿ) = - sin ᶿ• cos (360° - ᶿ) = cos ᶿ• tan (360° - ᶿ) = - tan ᶿ• cosec (360° - ᶿ) = - cosec ᶿ• sec (360° - ᶿ) = sec ᶿ

5. Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360° atau Sudut Negatifa. Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360°Sin (k × 360° + ᶿ) = sin ᶿCos (k × 360° + ᶿ) = cos ᶿtan (k × 360° + ᶿ) = tan ᶿcosec (k × 360° + ᶿ) = cosec ᶿsec (k × 360° + ᶿ) = sec ᶿcotan (k × 360° + ᶿ) = cotan ᶿKeterangan:k = banyaknya putaran, dengan nilai k adalah bilangan bulat positif.

b. Perbandingan Trigonometri Sudut NegatifSin (- ᶿ) = -sin ᶿCos (- ᶿ) = cos ᶿtan (- ᶿ) = -tan ᶿcosec (- ᶿ) = -cosec ᶿsec (- ᶿ) = sec ᶿ

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Fungsi TrigonometriPerhatikan fungsi-fungsi yang ditentukan sebagai berikut:

a. f(x) = sin x o b. f(x) = cos x o c. f(x) = tan x o d. f(x) = 2 sin x o e. f(x) = cos 2x o

Fungsi-fungsi di atas merupakan contoh fungsi trigonometri

Kita dapat menentukan nilai suatu fungsi trigonometri, untuk setiap x anggota daerah asal yang diberikan.

ContohSuatu fungsi trigonometri ditentukan oleh f(x) = cos xo Hitung nilai funsi f untuk nilai x sebagai berikut : a. x = 60 b. x = 150 c. x = 225Penyelesaian

a. f(60) = cos 60o = ½

b. f(150) = cos 150o = - 3/2Ö

c. f(225) = cos 225o = - 2/2Ö

Ditentukan f(x) = cos xo, maka :

2. Membuat Grafik Fungsi Trigonometri

a. Grafik y = sin xo

x 0 30 90 150 180 210 270 330 360 y 0 ½ 1 ½ 0 - ½ -1 - ½ 0

x

y

O 30 90 150 180210 270 330 360

1

-1

- ½

½

xO 60 90

120 180 240270 300 360

1

½

-½

-1

y

x 0 60 90 120 180 240 270 300 360 y 1 ½ 0 -½ -1 - ½ 0 ½ 1

b. Grafik y = cos xo

c. Grafik y = tg xo

x

y

O 45 90135

180 225 270 315 360

1

-1

asimptot asimptot

x 0 45 90 135 180 235 270 315 360 y 0 1 td -1 0 1 td 1 0

Ox

yP(x, y)

Qa)

r

x

y

Rumus yang Menghubungkan Perbandingan Trigonometri

Perhatikan gambar ! Segitiga OPQ siku-siku di Q

x = r cos a

y = r sin aSehingga diperoleh :

1. x2 + y2 = r2

r2 cos2 a + r2 sin2 a = r2

cos2 a + sin2 a = 1 atau

2. tg a = y x = r sin a

r cos a

tg a = sin a cos a dan

cotg a = cos a sin a

cos2 a = 1 - sin2 asin2 a = 1 - cos2 a

3. sec2 a = 1 + tg2 a 4. cosec2 a = 1 + cotg2 a

Contoh

Diketahaui sin A = 0,28 dan A sudut tumpul, tentukan nilai cos A dan tg A

Jawab

cos2 A = 1 - sin2 A = 1 - (0,28)2 = 1 – 0,0784 = 0,9216cos A = + 0,96 Maka cos A = - 0,96 ,karena A sudut tumpul

tg A = =

= -

sin A cos A

0,28 - 0,96

7 24

Identitas TrigonometriDalam membuktikan identitas biasanya dilakukan dengan

- mengubah ruas kiri sehingga sama dengan ruas kanan atau

- mengubah ruas kanan sehingga sama dengan ruas kiri atau

- mengubah kedua ruas sehingga diperoleh hasil yang sama

Contoh

Buktikan identitas trigonometri + sin A cos A

cos A sins A

= 1 cos A sin A

Jawab

Ruas kiri = sin A cos A +

cos A sins A

= sin2 A + cos2 A cos A sinA

= 1 cos A sinA

= Ruas kanan ( terbukti )

ATURAN SINUS

Rumus aturan sinus digunakan untuk menghitung unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui jika sebelumnya telah diketahui tiga unsur lainnya. Kemungkinan unsur-unsur yang telah diketahui adalah :

• sisi, sudut, sudut• sudut, sisi, sudut• sisi, sisi, sudut

Jika a, b dan c masing-masing menyatakan panjang sisi segitiga ABC, maka berlaku rumus :

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

C

BA

ab

c

BA

ab

c

C

,AECDalam

CEAAC sin

E

AbCE sin …(1)

AsinAC

CE

BECDalamB

a

C

E

Bsin

BBCCE sin

BaCE sin …(2)

BC

CE

Dari (1) dan (2)

BbAa sinsin

BA

Ab

BA

Ba

sinsin

sin

sinsin

sin

B

b

A

a

sinsin

maka,

(Kedua ruas dibagi sin A dan sin B)

…(3)

BA

ab

c

C

E

D

,ADBDalam

AsinAB

BD

AABBD sin

AcBD sin …(2)

,CDBDalam

BA

ab

c

C

E

D

CsinBC

BD

CBCBD sin

CaBD sin …(5)

Dari (4) dan (5)

CaAc sinsin (Kedua ruas dibagi sin A dan sin C)

CA

Ca

CA

Ac

sinsin

sin

sinsin

sin

maka,

A

a

C

c

sinsin …(6)

Dari (3) dan (6)

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Contoh Soal:

.9847,35, CdanAcmcABCDalam

Hitung panjang sisi a dan b!!

Jawab:

C

c

A

a

sinsin

C

Aca

sin

sin

1.

98sin

47sin35

cma 8,25

2. 35)9847(180B

C

c

B

b

sinsin

C

Bcb

sin

sin

98sin

35sin35

cmb 3,20

1. Hitunglah unsur-unsur segita yang ditanyakan, jika unsur yang lain diketahui aseperti di bawah ini:

?,7560,6,. bCdanBcmaABCa

?,10530,8,. QRQdanPcmPQPQRb

?,4,62,54,123,. tUdanTcmsSTUc

KESIMPULANRumus aturan sinus digunakan untuk menghitung unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui jika sebelumnya telah diketahui tiga unsur lainnya. Kemungkinan unsur-unsur yang telah diketahui adalah

• sisi, sudut, sudut• sudut, sisi, sudut• sisi, sisi, sudut

Rumus Aturan Sinus :

C

c

B

b

A

a

sinsinsin