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Omnia

ISSN: 1315-8856

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Universidad del Zulia

Venezuela

Castro, Rexne; Mendoza, María Inés

Fundamentos Epistemológicos de un modelo de Instrucción Comunicacional para la Enseñanza y

Aprendizaje de la Matemática

Omnia, vol. 13, núm. 3, 2007, pp. 7-31

Universidad del Zulia

Maracaibo, Venezuela

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Omnia Año 13, No. 3 (2007) pp. 7 - 31

ISSN: 1315-8856

Fundamentos Epistemológicos de unmodelo de Instrucción Comunicacional

para la Enseñanza y Aprendizajede la Matemática

Rexne Castro* y María Inés Mendoza*

Resumen

Este artículo es una investigación de carácter cualitativa quetiene como propósito desarrollar los fundamentos epistemológi-cos que conceptualizan la génesis del conocimiento promovidopor un modelo de instrucción comunicacional para la enseñanzay el aprendizaje de la matemática, cuyo carácter dinámico de fun-cionamiento lo adquiere en las actividades de acciones prácticas,operaciones cognoscitivas e interacciones sociales ejecutadas enun aula de clases de pregrado del nivel de Educación Superior.Para tal efecto, se usó el tipo de indagación documental-abducti-vo, donde los hallazgos conseguidos describieron su principio deorigen documentado en tres dimensiones (comunicacional, fun-cional y operativa) que se conjugan entre sí en la práctica para irprogresivamente estructurando en el intelecto de los participan-tes, una secuencia de operaciones mentales que los dota de con-diciones para conseguir como logro, producir resultados deaprendizaje matemático.

Palabras clave: Epistemología, instrucción, interacción, comunica-ción, matemática.

Recibido: 08-02-07 � Aceptado: 15-05-07

* Profesores de la Facultad de Humanidades y Educación de la Universidad del Zulia.

Epistemological Bases for a CommunicationalInstruction Model for the Teaching and Learning

of Mathematics

Abstract

The purpose of this qualitative investigation was to develop theepistemological principles conceptualizing the genesis of knowledgepromoted by a communicational instruction model for the teaching andlearning of mathematics, whose functioning, dynamic nature is acquiredfrom the practical actions, cognitive operations and social interactionscarried out in an undergraduate classroom of higher education. For thispurpose, a documentary-abductive type of research was used, where thefindings obtained described their principle of origin, documented inthree dimensions (communicational, functional and operational) whichfit together in practice to progressively structure in the participants’intellect, a sequence of mental operations that provide them withconditions to achieve in the learning of mathematics.

Key words: Epistemology, instruction, interaction, communication,mathematics.

Introducción

El problema que aborda esta investigación se enmarca en elpregrado de la Educación Superior, declarada por la Ley Orgánicade Educación como el último nivel del Sistema Educativo Venezo-lano, y específicamente en carreras que requieran una avanzadaformación matemática. En este contexto es preciso señalar que enel proceso instruccional de esta disciplina, así como de otras, haycomo un acuerdo natural para aceptar que en la actualidad los do-centes actúan según las concepciones y creencias autodidactasque éstos manejan.

Para contribuir, por tanto, con la conformación de teoríasque brinden alternativas didácticas para ser usadas por los profe-sores en el momento que así lo consideren, se profundiza en unaserie de reflexiones epistemológicas tanto en la educación mate-mática, como en las interacciones comunicativas que en el mismose deben promover, mientras se desarrollan las actividades de en-señanza y aprendizaje.

Rexne Castro y María Inés Mendoza

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En esta perspectiva teórica-educativa, se pretende redimen-sionar la naturaleza epistemológica que está implícita en el modoconvencional de enseñar matemática en pregrado. De una cienciaestática eminentemente formal, basada en principios absolutos(González, 1994) que induce a los docentes a enseñarla con he-chos cargados de un formalismo carente de significado, se propo-ne un nuevo proceso que usa la ciencia ya estructurada, para or-ganizar las actividades didácticas que promuevan su recons-trucción a través de un esfuerzo común y compartido entre do-cente y alumnos, actuando en forma de interacción simétrica ycomplementaria.

Para responder a este requerimiento, se produce teórica-mente, un modelo que permite desarrollar acciones prácticas yoperaciones cognoscitivas, activándolas y regulándolas a travésde un proceso de interacción social de comunicación multidimen-sional que se realiza en las actividades instruccionales de las si-tuaciones didácticas.

El modelo provee las herramientas que hacen posible vincu-lar el corpus propio de la matemática con la didáctica pertinentepara el desarrollo de procesos mentales y, a través de las interac-ciones comunicativas que promueve, facilita progresivamente losefectos prácticos-cognoscitivos esperados en los participantes.

De aquí puede decirse que, el docente debe promover un con-junto de actividades que permitan desarrollar en los alumnos: a) elredescubrimiento de conocimientos matemáticos, para el cual secentrará en un trabajo responsable de acciones prácticas; b) la evo-lución de estructuras mentales de significantes y significados mate-máticos que se producen como resultado de haber consolidado ensu intelecto la validez o falsedad de los mismos; y c) la necesidad dereflexionar críticamente sobre las ideas y resultados matemáticosen las discusiones que se realicen en el aula de clases.

En consecuencia, los referentes educativos que caracteri-zan el modelo de instrucción comunicacional para la enseñanzay el aprendizaje de la matemática se organizan en tres dimensio-nes, que por razones puramente explicativas, se presentan se-paradas una de las otras; sin embargo, para lograr las dos fun-ciones indicadas anteriormente, se conjugan en las acciones di-dácticas para lograr su cometido. De esta manera se constituyeuna estructura que asegura una actuación más dinámica, parti-cipativa y significativa; éstas son: Dimensión Comunicacional,Funcional y Operativa.

Fundamentos epistemológicos de un modelo de instrucción comunicacional

para la enseñanza y apredizaje de la matemática 9

El estudio está centrado, por lo tanto, en describir los funda-mentos epistemológicos según las dimensiones comunicacional,funcional y operativa primordiales del proceso educativo de lamatemática, que permita la excelencia académica del profesor ylos alumnos en cuanto al manejo de significantes y significadosdel corpus propio de esta disciplina, que vaya a su vez, en buscade un fin personal y social.

Planteamiento del problema y objetivo

El proceso educativo de la matemática en pregrado puededescribirse desde la relación existente entre epistemología de lamatemática y la labor educativa de esta disciplina, puesto que“las concepciones sobre lo que es la matemática y lo que es el co-nocimiento matemático, permean los elementos que conformanlos procesos de enseñanza y de aprendizaje de dichos contenidos”(Moreno y Waldegg, 1992: 1). Es decir, “se reconoce la importan-cia que tiene una visión adecuada de la naturaleza de la matemá-tica como condicionante de los distintos modelos de instrucción,así como de la actuación de los profesores en clases” (Godino ycol., 1995: 1).

En la actualidad, la actividad matemática que realizan la ma-yoría de los matemáticos, se desarrolla dentro de las fronteras delenfoque formalista (Quevedo, 1998), orientada a su vez, por la utili-zación de tres sistemas sintetizados en: “objetos matemáticos1, rela-ción entre ellos y criterios para validar resultados2” (Moreno y Wal-degg, 1992: 3). La acepción expuesta, por tanto, hizo prevalecer enla enseñanza de la disciplina en cuestión, la condición formalista delos sistemas-matemáticos que Hilbert definió a finales del siglo XIXcomo un esquema axiomático-deductivo (Marcus col., 1978); enesta perspectiva educativa, la estrategia de trabajo del docente seacentúa en explicar las formas y las relaciones entre objetos mate-máticos que se derivan de una base axiomática de las teorías en símismas (González, 1994).

En atención a la condición de enseñanza de la matemáticaantes citada, tanto la posición idealista de Platón, según la cual elconocer significa trasladar el cuerpo de objetos y relaciones mate-máticas preexistentes en un mundo exterior de ideas e implantar-las en el intelecto del individuo; como la empírica de Aristótelesque asume la perspectiva educativa anterior, pero cambia elmundo de las ideas de Platón por el de la naturaleza material; die-ron lugar a una simbiosis en el aspecto formal (uso de sistemas


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formales) de la educación matemática a partir del empirismo lógi-co del siglo XX, denominado realismo-formalismo (Moreno y Wal-degg, 1992).

La conjunción realismo-formalismo en la enseñanza de lamatemática “exige extirpar el significado de los objetos matemáti-cos a fin de trabajar exclusivamente con las formas y con las rela-ciones entre dichos objetos” (Moreno y Waldegg, 1992: 3), consti-tutivos de los significantes correspondientes a los contenidos porestudiar.

Por su parte, la corriente idealista-formalista establece quees dentro de la propia estructura matemática, entendida como elcontexto real de acción (realismo) donde se produce el descubri-miento; y la empírica-formalista proporciona el mundo materialdonde se desarrolla el carácter de validez y justificación de los co-nocimientos matemáticos producidos (formalismo).

Sobre este aspecto, se observa un interés creciente en la co-munidad de investigación en educación matemática por el uso denociones y negociaciones de significados como centrales en el es-tudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje de esta discipli-na y admiten además que, se necesitan más investigaciones encuanto a la naturaleza y tipo de los objetos cuyos significados seponen en juego (Godino y Recio, 1996), a través del trabajo en unambiente social que estimula la participación colectiva de losalumnos en la producción del conocimiento.

A este respecto Beyer (1998) establece que en la educaciónmatemática, vista desde el aspecto social del aula, se produce uncomplejo sistema comunicacional en el cual interactúan el docen-te, los alumnos y el saber matemático, donde se “pretende que losalumnos logren un óptimo aprendizaje que contribuya a su for-mación integral” (Medina, 1997: 15).

En esta perspectiva educativa, se deben representar los con-tenidos matemáticos, como objetos de enseñanza y aprendizajeconstituidos por los signos lingüísticos, donde la relación com-prensión-interpretación permite a los participantes expresar susideas y resulta dos matemáticos. Por lo tanto, las interaccionescomunicativas proveen las condiciones intelectuales necesariaspara que los mensajes cargados de ideas y resultados matemáti-cos, se elaboren en la conciencia individual de los participantesde la acción didáctica.



Con el objeto de propiciar los cambios indispensables paralograr la excelencia en la educación matemática del pregrado, sepresentan los lineamientos generales de un modelo denominado:Modelo de instrucción comunicacional para la enseñanza yaprendizaje de la matemática. Éste se “fundamenta en un proce-so, donde los participantes (docente y alumnos), con un esfuerzocomún y compartido, puedan formalizar gradualmente el conoci-miento matemático por estudiar” (Castro, 2003: 96).

Este modelo se ubica dentro de “una teoría científica quecontiene elementos que representan de algún modo y hasta ciertogrado aspectos del mundo” (Escalona e Inciarte, 2004: 134), don-de se acepta en la instrucción matemática en pregrado una disci-plina de naturaleza epistemología (Escalona e Inciarte, 2004) quepermite establecer la génesis del conocimiento matemático parapoder dilucidar el cómo se logran producir resultados de aprendi-zajes en el escenario de una aula de clases.

En función a los planteamientos expuestos se infiere la for-mulación de la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los fundamentosepistemológicos que condicionan al modelo de instrucción comu-nicacional para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática enpregrado?, planteando como objetivo desarrollar los fundamen-tos epistemológicos requeridos en dicha interrogante.

De allí que, la temática a abordar por la presente investiga-ción está referida a la ciencia que condiciona las actuacionesprácticas y cognoscitivas que deben realizar los participantes queintervienen en las actividades didácticas de dicha disciplina. Enconsecuencia, el estudio se ubica en los fundamentos epistemoló-gicos que abarcan el cómo se logran promover resultados deaprendizajes matemáticos en aula, a fin de establecer algunos pa-rámetros implicativos que sirvan para orientar las tendenciasprescriptivas del modelo en cuestión.

Metodología

El proceso metodológico que se siguió para producir los fun-damentos teóricos indicados en el objetivo, fue conducido por untipo de indagación cualitativa, partiendo del estudio de referen-cias bibliográficas que se contrastaron con actividades de campodesarrolladas para corroborar, retroalimentar, reorientar y/o re-definir, a través de la mejor praxis ensayada, los hallazgos teóri-cos conseguidos. El estudio se dividió en dos fases, una de tipodocumental y la otra de tipo abductivo.


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La investigación documental se utilizó en el sentido de “obte-ner nuevos conocimientos, a partir del análisis de datos o infor-maciones recolectadas y registradas en distintas fuentes de con-sulta” (Rivas y Bellorín, 1997: 58). De allí se inició con el estudiode referencias teóricas de distintos autores y, sobre la base de losconstructos conseguidos, se desarrollaron los elementos teóricosprevios que definieron los principios epistemológicos del modelo.

Complementariamente se trabajó con la investigación ab-ductiva para consolidar la construcción de la teoría a través deobservaciones participativas sobre la práctica social de aula, don-de las representaciones evidencian una libertad, “más que unaapertura, para la aproximación a los fenómenos reales totales oparciales. Esta autonomía produce múltiples acercamientos a loreal, permitiendo asumir la mejor explicación y proyección del fe-nómeno y su permanencia como teoría” (Escalona e Inciarte,2004: 142).

En consecuencia, el método de abducción se aplicó parasustentar los elementos teóricos fundamentales con la aplicaciónde una experiencia ensayada del proceso de enseñanza y aprendi-zaje de la matemática, en un salón de clases del nivel de pregrado,donde el profesor y los alumnos actuaron como protagonistas quetrabajan conjuntamente, con el fin de alcanzar un propósito co-mún y compartido, guiados por un material instruccional que seelaboró para tal fin.

Los análisis que se hicieron de la información recolectadamediante el trabajo de campo, enriquecieron los aspectos teóricosprevios que permitieron elaborar las conceptualizaciones relacio-nadas con el origen y génesis del conocimiento que se debe pro-mover en el modelo de instrucción comunicacional para la ense-ñanza y el aprendizaje de la matemática.

Principios Educativos

La propuesta de modelo que se presenta en esta investiga-ción considera actividades de enseñanza y aprendizaje promovi-das en unidades curriculares de carreras que demanden un altocomponente de formación matemática. El mismo tiene como ac-ción fundamental, promover actividades instruccionales que per-mitan la producción compartida y significativa de conocimientosmatemáticos, la cual se activa y regula por los procesos de inte-racción comunicativos que realizan los participantes (docente-a-



lumnos) en el contexto de un salón de clases. Se ofrece por tantouna propuesta teórica para la educación formal de la matemáticaen el pregrado del nivel superior, que se convierte en un procesoque facilita una actuación más dinámica, participativa y signifi-cativa.

En este sentido se presentan las siguientes premisas gene-rales que orientan al modelo de instrucción comunicacional aquíestudiado:

• El modelo está constituido por un conjunto de actividadesdidácticas que permiten ver la matemática como un lenguajede conceptos y procesos factibles de comunicar en el contex-to de la educación superior, respetando las restriccionesinherentes a dicha analogía.

• Promueve el desarrollo de un proceso de comunicación inte-ractivo, con la intención de producir progresivamente el co-nocimiento matemático y el discurso en los participantes dela acción didáctica.

• La propuesta educativa contempla la formación de destrezasa través de las relaciones propias de la misma estructura deesta disciplina, configurando así la realidad matemática ex-presable como acción comunicativa (Castro, 2002: 26).

En consecuencia, el modelo se estructura con unos princi-pios educativos que proveen las capacidades comunicacionales yde producción de conocimientos matemáticos. Éstos se consoli-dan en tres dimensiones que se conjugan complementariamente:comunicacionales, funcionales y operativos.

Los elementos comunicacionales facilitan la producción gra-dual de los conocimientos por estudiar. Estos deben ser legitima-dos por la aplicación de un proceso de validación fundamentadoen la propia estructura de la matemática por medio de reglas pre-establecidas.

Los funcionales permiten consolidar en los comunicantes,competencias relacionadas con el dominio sintáctico y semánticopropios de la matemática, para configurar en su estructura men-tal la intencionalidad y uso que debe hacer del signo lingüístico ypatrones de expresión (pragmática). Igualmente proporcionan lasacciones psicológicas que permiten elaborar la base teórica quese va acumulando gradualmente en el intelecto de los participan-tes (docente-alumnos), conformando algunas representacionesmentales de patrones lingüísticos propios de la matemática (com-prensión) que, partiendo de la discusión interior del significado


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intrínseco de la clase de conjunto de símbolos diferenciados quelo constituyen (interpretación), les permita inferir y enunciar jui-cios relacionantes entre lo aprendido y lo nuevo (expresión).

De allí que en el ámbito de la comunicación de mensajes enaula, se da un complejo, exigente y permanente proceso de inter-cambio de componentes matemáticos, en el cual se utiliza un hí-brido entre el lenguaje natural (materno) y el artificial (matemáti-co) explicado por Beyer (1998) como un lenguaje mixto, donde elprimero se usa básicamente como medio que permite la comuni-cación y el segundo como cuerpo lingüístico que establece el códi-go que se desea transmitir en el mensaje.

Los elementos operativos están centrados en el desarrollo deesquemas mentales en evolución y/o de reforzar los ya existentesen el interior de los participantes; éstos propician la construccióngradual de conocimientos conceptuales y procedimentales de lageneralización matemática, a través de los momentos de comuni-cación que promueve esta propuesta (acercamiento, formaliza-ción y transferencia (Castro, 2000), para lograr los efectos espera-dos en las otras dos dimensiones.

Se aclara en este punto que los esquemas mentales referen-ciales desarrollados con anterioridad en los alumnos, adquieren através de los tres momentos operativos mencionados, una diná-mica de producción gradual, que incorpora continuamente nue-vos elementos que van enriqueciendo las estructuras y funcionesintelectuales de los participantes en el transcurso de una clase y alo largo del tiempo de un conjunto de ellas.

Epistemología como condicionante instruccional

La comprensión que maneja el profesor del conocimiento dela matemática y su comunicación, se refiere a su naturaleza,cómo se desarrolla, cómo se transforma, etc, determinando portanto el tipo de práctica educativa a la que se verán sometidos losestudiantes.

Por consiguiente, se requiere establecer las orientaciones deun sistema de convicciones que permitan fundamentar tanto elconocimiento como la génesis de su producción, que sirvan comobase teórica para producir la tendencia epistemológica del mode-lo de instrucción comunicacional en referencia, para lo cual sedescribe a continuación la tipología epistemológica en la ense-ñanza.



La epistemológica aplicada a la enseñanza

Lo que interesa a la epistemología en la enseñanza, es lo refe-rente a la cuestión básica de la comprensión del conocimiento hu-mano para saber cómo lograr resultados de aprendizajes; aplica-ción que se caracteriza por los argumentos que dan respuesta a lasiguiente interrogante ¿cómo se puede compaginar al mismotiempo una posición imparcial para analizar, comprender y dirigirel conocimiento escolar, es decir, aquel que se desarrolla tanto enlos profesores como en los estudiantes durante el intercambio di-dáctico, con la evidencia de la ingente diversidad de formas de co-nocer y de pensar que han existido, existen y existirán en el mun-do? (Toulmin, 1972).

Este problema se abordó como cuestión operativa en todoslos ámbitos del pensamiento, tal como se hacía en la tradición dela Grecia clásica y de la Europa del siglo XVII. Al respecto Toulmindecía:

Por su misma naturaleza, el problema de la comprensión hu-mana (el problema de reconocer las bases de la autoridad in-telectual) no puede ser abarcado por ninguna técnica o disci-plinas aislada, ya que los límites entre diferentes disciplinasacadémicas son ellos mismos; una consecuencia de las ac-tuales divisiones de la autoridad intelectual, y la justicia deestas divisiones es precisamente una de las principales cues-tiones que es necesario abordar de nuevo..., el campo de laepistémica es necesariamente un ámbito de indagación inter-disciplinaria. Media docena de disciplinas tienen aspectos,sectores o implicaciones epistémicas, por ejemplo, la filosofíade la percepción, la sociología del conocimiento y la psicologíade la formación de conceptos (Toulmin, 1972: 23).

En este contexto, se observa en la interrogante algunas no-ciones antagónicas. Por un lado, la posición de imparcialidad, hasido objeto de debate entre epistemólogos modernos lo que hizosurgir la necesidad de definir un criterio de racionalidad impar-cial, con el propósito de conseguir una descripción adecuada; cri-terio que generó un enfrentamiento entre racionalistas, que loubican exclusivamente en la razón, y positivistas o empiristas,que lo ubican en los hechos de la naturaleza; por otro lado, laconstatación histórica y psico-sociológica de una ingente diversi-dad de conceptos y formas de pensamientos, también presente enla interrogante, ha provocado, la emergencia de un potente pen-samiento relativista (Toulmin, 1972).


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Estas dos nociones, aparentemente contradictorias, carac-terizadas por la búsqueda de la imparcialidad racional absoluta ypor la defensa radical de la diversidad conceptual, son expresio-nes reduccionistas de lo que suele llamarse en el pensamientocientífico y epistemológico contemporáneo como: paradigma desimplificación. Toulmin (1972) niega la existencia absoluta deeste antagonismo y propone un macroconcepto denominado eco-logía para proporcionar la complementariedad dialéctica entreambas nociones; proceso instruccional dinamizado por las bon-dades del paradigma general educativo, donde el flujo de informa-ción se da a través de las interacciones ecológicas que se produ-cen entre los agentes participantes de las situaciones didácticas.

Por consiguiente, en la ecología académica las cuestiones deimparcialidad y de justicia racional no son consideradas en tér-minos lógico-formales sino en términos ecológicos y contextuales;con ésto Toulmin (1972) resuelve el antagonismo entre las posi-ciones relativistas radicales y absolutistas para explicar el desa-rrollo del conocimiento humano, lo cual implica sustituir el análi-sis sistemático de las actividades cognitivas por un análisis po-blacional de las mismas. En otras palabras, se abandona la supo-sición de que el conocimiento se organiza en sistemas proposicio-nales estáticos para reconocer que las ideas de cualquier tipoconstituyen poblaciones conceptuales en desarrollo históricotanto en el plano colectivo como en el individual.

Así, lo relacional de las actividades intelectuales no está aso-ciado, desde esta perspectiva, con la coherencia interna de losconceptos y creencias habituales de un individuo, sino a la mane-ra en que cada persona es capaz de modificar su posición intelec-tual ante experiencias nuevas e imprevistas. Es decir, se proponeun ejercicio de apertura mental, en la cual se rechacen los crite-rios formales y abstractos como paradigmas de la racionalidad,para sustituirlos por otros, acordes con la multiplicidad concep-tual (Toulmin, 1972).

La argumentación que se presenta está sustentada en la ne-cesidad de solucionar problemas planteados, lo que requiere deuna serie de exigencias teóricas y/o prácticas aplicadas a deter-minadas poblaciones conceptuales que provocan un mecanismode presión selectivo sobre las variantes conceptuales relativas adichos problemas, produciendo como resultado, o bien el aban-dono de las variantes aceptadas y su cambio por innovacionesmás ventajosas, o bien la perpetuación sin cambios de las mis-mas, lo que produce un doble mecanismo: el de selección crítica y



el de producción de innovaciones, convirtiéndose en el motor deldesarrollo y la evolución conceptual.

Este doble mecanismo se manifiesta a través de pequeñoscambios en períodos cortos de tiempo lo que da lugar a transfor-maciones lentas de las poblaciones conceptuales, transformacio-nes que ocasionalmente son relativamente rápidas. Postuladosque permiten sugerir una suerte de gradualismo en el sentido deque cualquier transformación, sea ésta lenta o rápida, siempre esparcial y está sometida a la selección crítica de la comunidad inte-lectual (Toulmin, 1972).

Principios teóricos previos y fundamentales

Llegar a la reconstrucción de nuevos conocimientos mate-máticos implica identificar las relaciones que se producen entreconceptos, entre procesos y entre conceptos y procesos. Se distin-gue, por tanto, una reestructuración de tramas conceptuales yprocedimentales con relaciones de orden superior. Ésto permiteasumir a la matemática como una estructura, pues, los conjun-tos de conocimientos pueden ser considerados ampliamente in-terconectados, incluyendo las rutinas necesarias para el ejerciciode las destrezas, las cuales se adquieren a partir de la utilizaciónde conocimientos matemáticos almacenados en la memoria, paraadaptar un concepto o un procedimiento a una nueva situación.

El carácter estructural que se acaba de describir se refiere en-tonces, “a las relaciones que se pueden establecer entre una seriede conceptos básicos, que permiten generar unas propiedades einferir algunas conclusiones destacadas, a las que se llaman teore-mas” (Llinares y Sánchez, 1990: 137). Con esta definición, vistadesde la perspectiva psicológica, la persona se considera como al-guien que está aprendiendo (e incluso en compañía con otros) paracompartir significados matemáticos que pueden evolucionar den-tro de esta comunidad.

De lo expuesto se deduce que tanto la psicología del aprendi-zaje humano como la epistemología de la producción de conoci-mientos, dirigidos al proceso de enseñanza y aprendizaje de la ma-temática, pueden centrar su atención en los procesos de produc-ción de significados matemáticos que impliquen la adquisición deconceptos y procedimientos, así como la relación entre éstos.


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Las tendencias recientes de la filosofía de la matemática,descritas por autores como Tymoszko (1986) y Ernest (1991), en-tre otros, consideran tres aspectos esenciales. Éstos se describena continuación en correspondencia con los componentes comuni-cacional, funcional y operativo, para constituirse en los princi-pios teóricos previos sobre los cuales se fundan los referentesepistemológicos del modelo de instrucción comunicacional aquípresentado:

a) El primer aspecto filosófico presenta a la matemáticacomo una actividad humana comprometida con la solución de si-tuaciones matemáticas de una cierta índole, socialmente com-partida. Se resalta aquí la utilización del concepto definido comoecología, que otorga al proceso instruccional, un flujo de informa-ción a través de las interacciones ecológicas entre comunicantes(Toulmin, 1972).

En esta perspectiva se aceptan los términos ecológico y con-textual para explicar el desarrollo del conocimiento humano; esdecir, asume un análisis poblacional en la producción de signifi-cados matemáticos que involucren la relación entre conocimien-tos aplicables tanto en el plano colectivo como el individual.

En consecuencia, este principio es denominado para el mo-delo como epistemología de lo comunicacional, y está dirigido ha-cia la promoción del flujo de información externa e interna de lacomunicación que permite mantener activadas las discusionespara lograr un consenso social en la significación de los conoci-mientos compartidos.

b) La segunda posición filosófica le asigna a la matemáticaun componente de lenguaje simbólico con el que se expresan lassituaciones problemáticas y las soluciones encontradas; este len-guaje es considerado como universal, donde la semántica y sinta-xis de los signos empleados son compartidos por los diferentesgrupos humanos apoyados en el lenguaje natural (materno). Portanto, se produce un discurso de la matemática para el cual seutiliza el lenguaje mixto (materno-matemático).

Se deduce, entonces, que los resultados de aprendizajes secaracterizan por las cuestiones básicas de la comprensión, inter-pretación y expresión del conocimiento humano, para constituir-se en realidad cultural que se adquiere tanto a nivel personalcomo institucional. La realidad cultural la forman los objetos ma-temáticos “cuya significación personal e institucional está ínti-



mamente ligada a los sistemas de prácticas realizadas para la re-solución de situaciones problemas” (Godino y col., 1995: 3).

Las posiciones descritas permiten asumir para el modelo unsegundo principio denominado epistemología de lo funcional, quetiende hacia la consolidación de significantes y significados mate-máticos tanto en el nivel intelectual como el externo, a través de laproducción de discursos que promuevan el consenso de los cono-cimientos matemáticos compartidos.

c) La tercera cuestión filosófica percibe a la matemáticacomo un sistema conceptual, lógicamente organizado y social-mente compartido. Estos componentes hacen surgir una parado-ja en su enseñanza; pues, su carácter sistémico no permite ense-ñar cada concepto adecuadamente en forma aislada, ni puedenenseñarse los diferentes conceptos simultáneamente, cabría pen-sar que no es posible su enseñanza. Este problema se resuelve, almenos parcialmente, con la utilización de un curriculum en espi-ral, en donde “cada concepto es tratado varias veces a lo largo dela enseñanza, las primeras veces de modo implícito; progresiva-mente se va tomando como objeto de estudio en sí mismo, aumen-tando el grado de complejidad y completitud en su estudio” (Godi-no y col., 1995: 3).

El motor de desarrollo de este modelo se logra a través de undoble mecanismo, el de selección crítica y el de producción de in-novaciones, sustentado en una perspectiva gradualista con res-pecto al cambio conceptual (Toulmin, 1972).

En consecuencia, se deriva un principio epistemológico delo operacional, dirigido a promocionar un conjunto de activida-des estructuradas como espiral virtuosa, que permitan recons-truir el conocimiento matemático de una manera gradual encuanto a la producción de tramas de conceptos y de proposicio-nes en evolución.

Las tres descripciones epistemológicas anteriores, se aplica-ron a la praxis ensayada a través del análisis de escenarios. La in-formación se obtuvo de la participación oral y escrita del docentey los alumnos en la ejecución de actividades instruccionales. Es-tas informaciones permitieron proveer los elementos teóricos fun-damentales como etapa de análisis, por cada una de las dimen-siones comunicacional, funcional y operativo

Para demostrar estos efectos en las dimensiones nombra-das, se presenta uno de los casos utilizados en las actividadesinstruccionales; en este ejemplo se describieron las tres dimen-


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siones en forma global. La temática en discusión, fue el conceptode integral doble, sustentado en los siguientes prerrequisitos es-tudiados previamente:

• Integrales definidas para funciones de una variable indepen-diente

• Funciones de dos variables independientes

• Dominio, contradominio y gráfica de una función Z = f(x,Y)

• Partición de un rectángulo y norma

A continuación se presenta la situación de enseñanza yaprendizaje que realizaron los estudiantes y el docente para defi-nir el concepto de integrales dobles:

Después de haber revisado los prerrequisitos, el profesor su-girió utilizar un proceso análogo al de integral definida para fun-ciones de una variable independiente, y promovió una discusiónentre grupos de alumnos con el propósito de reconstruir la defini-ción requerida.

La discusión fue dirigida por las siguientes preguntas:

i) Haga una ilustración para representar en el plano carte-siano, el dominio y el contradominio de la función Z = f(x,Y). Colo-ca todas las notaciones correspondientes.

ii) ¿Con cuáles datos se cuenta inicialmente para formular ladefinición de integral doble?. Responda con los datos obtenidosen la pregunta (i).

iii) ¿Qué se debe hacer con la región R formada en el plano XYde la ilustración de la pregunta (i)?. Ubique las notaciones Rk y�Ak, luego establezca sus significados.

iv) ¿Qué representa la longitud mayor de la diagonal de los Rk?.Exprese su notación simbólica con su correspondiente igualdad yestablezca su significado?.

v) ¿Qué se debe hacer para determinar los f(x*k , Y*k)?. Ubiquelas notaciones (x*k , Y* k) y f(x*k , Y* k), luego establezca sus significa-dos.

vi) En la ilustración de la pregunta (i), represente gráfica-mente los productos f(x*k , Y* k). �Ak.

vii) ¿Qué puede representar el resultado de la pregunta (vi)?.

viii) ¿Qué se puede hacer para que la región del espacio com-prendido entre el plano f(x,Y) y la región R del plano XY, sea cu-



bierto totalmente por el resultado de la pregunta (vi)? Coloca unanotación simbólica al respecto y explique su significado.

ix) Con sus propias palabras, haga una aproximación a ladefinición de integral doble definida.

x) Acuerde con todos los participantes (docente y alumnos)de la situación didáctica, ¿Cuál es la definición formal del concep-to de integral doble definida?. Responda en forma simbólica y es-criba su significado.

xi) Aplique la definición de integral doble para demostrar queel volumen de un paralelepípedo de dimensiones a, b, c respecti-vamente es V = a.b.c.

Dimensión comunicacional

Se observó el flujo de información que se produjo entre losdiscentes y el docente en el sistema aula, según el cual se percibióla existencia de una frecuente actuación práctica y discusión, enfunción de ir respondiendo a las preguntas formuladas en las ac-tividades instruccionales y aceptar o no en forma colectiva la ge-neralización del conocimiento matemático estudiado. El docenteparticipó en algunas ocasiones para reorientar la discusión.

Las sesiones de clases se iniciaron con discusiones dirigidasa recordar los conocimientos que sirvieron como prerrequisitos,luego, éstos fueron relacionados con los nuevos contenidos, lo-grando un flujo de información entre todos los participantes quepermitió mantener una discusión efectiva de ideas y resultadosmatemáticos en el salón de clases.

Con este proceso comunicacional, los alumnos lograron res-ponder satisfactoriamente las preguntas de la situación educati-va y se observó, además, que para llegar a ellas se produjo un flujode información externa caracterizado por: una permanente inte-racción entre los actores del sistema aula, así como en el inter-cambio de ideas y resultados matemáticos; y por una interaccióncentrada en la relación entre los mensajes previamente comuni-cados y los nuevos.

Se deduce que en los estudiantes se produjo, un flujo de in-formación interna, puesto que ellos tuvieron que realizar las si-guientes operaciones cognoscitivas:

• Configurar los significados matemáticos.

• Organizar las ideas y resultados matemáticos.


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• Estructurar el código matemático.

• Realizar un proceso de interacción mental que relacione lossignos lingüísticos matemáticos de esquemas referencialescon los nuevos.

Dimensión funcional

En las situaciones de enseñanza y aprendizaje se observó laparticipación de los aprendices en la realización de acciones prác-ticas para ir resolviendo las preguntas dadas por el profesor; fi-jando posición en cuanto a las dimensiones simbólicas y gráficasdel nivel matemático, a partir de las cuales lograron establecer lospatrones sintácticos requeridos. El enseñante intervino en lasocasiones donde los alumnos presentaron estancamientos queno les permitía continuar.

Posteriormente, los alumnos procedieron a escribir los signifi-cados correspondientes a los significantes obtenidos en las pregun-tas que orientaron las acciones prácticas, logrando como resultadola activación de su conciencia individual, mediante la asignación deinterpretaciones que definieron el concepto estudiado.

También se observó que este proceso de relación significante-significado fue desarrollado con la ayuda de los discursos generadosen grupos de discentes, entre éstos y con el docente. Las discusionesestuvieron dirigidas a expresar ideas y resultados matemáticos através del lenguaje materno; es decir, se produjeron relaciones entrelos códigos que estructuraron los significados matemáticos y losdiscursos emitidos por los comunicantes.

Dimensión operativa

Se prestó atención a la participación de los estudiantes encada una de las preguntas formuladas en las sesiones de clases.La ejecución se inició previa revisión de los prerrequisitos de lanueva exigencia, y en base a éstos, los alumnos, fueron respon-diendo a las preguntas que les permitieron expresar los resulta-dos matemáticos que iban logrando, hasta el punto de enunciarcon sus propias palabras, lo que consideraron como lo más apro-piado para definir el concepto estudiado. Apoyados en estos re-sultados y a través de una discusión entre todos los participan-tes, se consolidó la definición formal buscada tanto en el sentidosintáctico como en el semántico.



En general se puede inferir, basado en las observaciones quese logró utilizar el constructo matemático referencial para conso-lidar las condiciones teórico-prácticas que permitieron construirel nuevo conocimiento como prerrequisito para estudiar otroscontenidos.

Fundamentos epistemológicos del modelode instrucción comunicacional

Este apartado contempla los aspectos epistemológicos, diri-gidos a establecer cómo se logran producir resultados de aprendi-zajes matemáticos en el contexto de una aula de clases de pregra-do. Es decir, se requiere explicar por cada uno de los componen-tes estructurales del modelo, el origen y la naturaleza de las se-cuencias operativas que el sujeto debe realizar para describir elobjeto de conocimiento matemático, al cual se enfrenta en las si-tuaciones de enseñanza y aprendizaje de esta disciplina.

Epistemología de lo comunicacional

En esta dimensión, la comunicación y la cultura matemáticase juntan para promover un proceso de discusión de inferencias yjuicios, de ideas y resultados matemáticos, para lograr un consensoen la significación del conocimiento compartido, conceptualizadacomo un consenso social 3 (Villalobos, 1996), con la intención de irconstruyendo progresivamente la generalización y formalización deconceptos y procesos que estructuran dicha disciplina.

El consenso de conocimientos compartidos y el consenso so-cial se consideran como sinónimos, y para los efectos del modelopropuesto, éstos actúan como herramientas que estimulan en losparticipantes la producción de operaciones mentales generadasentre los referentes conceptuales (corpus matemática aprendidospreviamente) y los constructos conceptuales (corpus matemáticaque serán inferidos para estructurar el conocimiento que debe serconstruido).

La cultura en la educación matemática, por tanto, es vistacomo una función sistémica, donde el todo puede superar la sumade sus partes, en el sentido de que, además de los sujetos que inte-gran al sistema, se desarrolla un proceso entre ellos que permiteinferir los significados de conocimientos matemáticos por medio dela interacción comunicativa, la cual estimula una continua retroa-


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limentación de sus esquemas, para enfrentar situaciones nuevasque tiendan a reforzar los sistemas simbólicos comunes para en-riquecerlos, expresarlos e interpretarlos. Se refiere al proceso queestablece cómo se integran la comunicación y la cultura matemá-tica en la construcción del consenso social en aula.

En este sentido se busca registrar el cómo se produce el flujode información externa e interna de mensajes matemáticos, queresulta tanto de las funciones sociales que cumple el sistema deaula4 en el caso externo, por lo que se asume para esta parte unenfoque “estructural social”. El aspecto interno se concreta en elsistema de signos que organizan las secuencias operativas de re-laciones intrapersonales de los esquemas lingüísticos, lo que ori-gina la gramática y el discurso del lenguaje matemático, de allíque este último corresponda al enfoque “estructural lingüístico”.Se precisa que estas dos formas de información funcionan com-plementariamente.

El flujo de información externa es promovido por un procesode interacción comunicativa y producido por los alumnos y el pro-fesor en el sistema de aula, participando complementariamentepara ir regulando la manera de entender el mensaje a través de uncomplejo (exigente y permanente) intercambio de ideas o inferen-cias, que se van estructurando en forma simétrica. La génesis desu producción está condicionada por las implicaciones perma-nentes y continuas que se dan cuando se propicia de manera in-tencional el uso de relaciones entre los constructos manejados yorganizados sobre la base de otros previamente comunicados.

El flujo de información interna se constituye como un fac-tor básico en la organización de ideas y resultados matemáticosen el intelecto del comunicante, propiciando la configuraciónde los significados necesarios para estructurar el cuerpo lin-güístico matemático, que establece el código por medio delcual, los sujetos se interrelacionan entre sí a través del lengua-je natural (materno).

En este sentido se promueve en los comunicantes, a travésdel enfrentamiento con una situación nueva, un proceso de inte-racción psicológica entre, los signos lingüísticos estructuradospreviamente en los esquemas conceptuales referenciales, indu-ciéndolos a recordarlos para organizarlos y expresarlos según susvínculos con la nueva exigencia, y los significados de los cons-tructos matemáticos logrados con propósito de enunciación.



Este proceso forma un sistema de interacción mental, dondela génesis de su producción (que lo mantiene activo como tal),está condicionada por la actividad intelectual que realiza el edu-cando con los elementos del sistema, cuya intención es configu-rar las secuencias operativas que estructuran su origen, centra-das en el aspecto relacional que se mantiene entre estos elemen-tos, retroalimentándose permanentemente para enriquecer losesquemas lingüísticos y adquirir una función evolutiva. Funciónque logra un acoplamiento de la estructura mental matemática5

de manera tal, que los alumnos puedan estructurar secuencial-mente el conjunto de signos, que serán puestos en acto de comu-nicación en el instante que lo deseen.

Epistemología de lo funcional

El aspecto funcional de este modelo se desarrolla simultáneoy complementariamente con el componente anterior (comunica-cional), para constituirse en un proceso que adopta un estado di-námico en las discusiones, referidas a los significados del cuerpolingüístico de la matemática que serán producidos en el intelectode los comunicantes.

Se observan, por tanto, dos aspectos que se integran para lo-grar su cometido. El primero describe el cómo se producen las re-glas y códigos comunes, centrado en la consolidación de los nive-les sintáctico, semántico y pragmático del signo lingüístico de lamatemática. Estos niveles se relacionan entre sí para proveer lasleyes que estructuran el sistema de reglas que permiten formulary comprender el mensaje, adquiriendo un carácter de expresivi-dad. Por tanto se asume un enfoque “estructural lingüístico” en laproducción de reglas y códigos, donde la génesis de su produc-ción se encuentra en la relación significante-significado con in-tencionalidad de uso. Al mismo tiempo, se utiliza una perspectiva“racionalista” en la producción de significados, mediante la se-cuencia de operaciones que se originan en el sujeto, como resul-tado de las actividades intelectuales que realiza cuando opera so-bre los objetos, pero extrayendo conocimientos a partir de la ac-ción intrapersonal.

El segundo se refiere al cómo se produce el discurso. Está di-rigido a crear las herramientas para que se produzca el conjuntode palabras (discurso) del lenguaje natural (materno), por mediodel cual se expresan los comunicantes para interpretar las ideas yresultados matemáticos producidos en su interior, regulando con


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dicha participación las discusiones hasta lograr el consenso delos conocimientos compartidos. Este proceso se operacionalizamediante la intervención del componente semiótico, conformadopor los planos operativos de la comunicación lingüística, adapta-dos específicamente para este modelo.

Se presenta, entonces, una interrelación entre el código queestructura la significación del lenguaje matemático producidopor el propio sujeto y su discurso, cuya función es el intercambioy el aumento de constructos.

Estas consideraciones permiten asumir un enfoque “estruc-tural lingüístico” en la producción del discurso, en donde las se-cuencias operativas que estructuran el origen del conocimientose elaboran actuando sobre las relaciones entre los códigos y eldiscurso que establecen el nivel de significación que tiene el signolingüístico de la matemática dentro del lenguaje natural.

Epistemología de lo operativo

Este punto se desarrolla en el contexto de un complejo siste-ma de interacción, promovido por las actividades didácticas deacercamiento, formalización y transferencia seleccionadas estra-tégicamente, que permitan a los educandos relacionarse con elnuevo conocimiento que debe ser aprendido; cada actividad en-cierra un mecanismo de actuación permanente, originada encada caso por la puesta en práctica del componente comunicacio-nal y el funcional. Estos procesos pretenden dar un carácter evo-lutivo a las estructuras mentales de los participantes, medianteesquemas referenciales que van adquiriendo una dinámica de de-sarrollo gradual, incorporando continuamente valores agregadospara constituir nuevos constructos o ampliar los ya existentes ensu intelecto. Es decir, en este apartado se describe el cómo se pro-ducen las tramas de conceptos y proposiciones en evolución.

Se asume, por tanto, un enfoque estructural tanto en el nivelexterno como en el interno al individuo, donde las operacionesmentales activan en ambos casos el desarrollo de esquemas con-ceptuales en evolución y se centran en la elaboración de inferen-cias logradas cuando interactúan sobre las relaciones entre losconstructos matemáticos referenciales y la nueva exigencia (abs-trae propiedades y construye relaciones), con la intención de iracortando cada vez más la distancia entre los saberes alcanzadosy los que se desean alcanzar.



Consideraciones Finales

Los hallazgos obtenidos en esta investigación permitierondesarrollar los fundamentos epistemológicos de un modelo teóri-co de instrucción comunicacional para la enseñanza y el aprendi-zaje de la matemática, en pregrado del nivel de Educación Supe-rior. El mismo permite direccionar las actividades instrucciona-les de acciones prácticas, y realizar operaciones cognoscitivas einteracciones sociales en el contexto de un salón de clases, con elpropósito de facilitar la producción compartida y significativa deconocimientos matemáticos.

Esta conclusión de carácter general, se relaciona con las re-flexiones que se realizaron sobre la base del análisis de los resul-tados obtenidos. Al centrar la atención en el objetivo previsto enesta investigación, se generan otras conclusiones que dan res-puesta a la interrogante del problema que ocupa la atención deeste estudio; éstas se presentan a continuación según las distin-tas dimensiones formuladas:

• A nivel epistemológico los componentes comunicacional,funcional y operativo se conjugan para estructurar la se-cuencia de operaciones mentales que permitan establecercómo se logran producir resultados de aprendizajes matemá-ticos.

• La epistemología de lo comunicacional se fundamenta en unenfoque estructural socio-lingüístico aplicado a la produc-ción del flujo de información externa e interna al sujeto. Lassecuencias de operaciones se orientan mediante funcionesque van desde las relaciones sociales del sistema aula, hastael efecto que éstas generan en el sistema de significados enlas relaciones intrapersonales.

• La epistemología de lo funcional adopta dos aspectos: unopara describir el cómo se producen las reglas y los códigoscomunes del cuerpo lingüístico matemático, asumiendo unenfoque estructural lingüístico centrado en la relación signi-ficante-significado y apoyado en una perspectiva racionalis-ta en la producción intelectual de significados; y el otro, paraexplicar el cómo se produce el discurso de ideas y resultadosmatemáticos, mediante un enfoque estructural lingüísticooriginado en la relación código-discurso.


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• La epistemología de lo operativo responde al cómo se produ-cen las tramas conceptuales y proposiciones en evolución,aplicando, para tal efecto, un enfoque estructural que tienesu origen en la relación entre los referentes conceptuales ylos constructos matemáticos nuevos, adoptando, a su vez,una corriente constructivista en la producción del conoci-miento.

Notas

1. Conjunto de inventarios de símbolos elementales (Coumet ycol., 1978).

2. Grupo de axiomas y reglas que, mediante manipulacionespuramente mecánicas, permiten obtener los elementos de laclase precedente y solo ellos (Coumet y col., 1978).

3. Acción comunicativa que tiene sentido si los sujetos implica-dos tienen como norte y proceso, la necesidad del acuerdo(Habermas, 1990).

4. Sujetos que participan en una actividad de aula y están enconstante interacción comunicativa para compartir un sa-ber común.

5. Capacidad intelectual humana cuya función es ajustar(arreglo de lo junto) entre sí dos conocimientos matemáticos.



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