estimacion de parametros puntuales

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ESTADISTICA APLICADA

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ESTIMACION DE PARAMETROS, PUNTUALES, POR INTERVALOS O POR CONTRASTE DE HIPOTESISLa Estadstica inferencial o Inferencia estadstica estudia cmo sacar conclusiones generales para toda la poblacin a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significacin de los resultados obtenidos.Muestreo probabilsticoConsiste en elegir una muestra de una poblacin al azar. Podemos distinguir varios tipos de muestreo:Muestreo aleatorio simplePara obtener una muestra, se numeran los elementos de la poblacin y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra.Muestreo aleatorio sistemticoSe elige un individuo al azar y a partir de l, a intervalos constantes, se eligen los dems hasta completar la muestra.Por ejemplo si tenemos una poblacin formada por 100 elementos y queremos extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el intervalo de seleccin que ser igual a 100/25 = 4. A continuacin elegimos el elemento de arranque, tomando aleatoriamente un nmero entre el 1 y el 4, y a partir de l obtenemos los restantes elementos de la muestra.2, 6, 10, 14,..., 98Muestreo aleatorio estratificadoSe divide la poblacin en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un nmero de individuos de cada estrato proporcional al nmero de componentes de cada estrato.En una fbrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la seccin A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.

Un muestreo puede hacerse con o sin reposicin, y la poblacin de partida puede ser infinita o finita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una poblacin de partida infinita o a muestreo con reposicin.Si consideremos todas las posibles muestras de tamao n en una poblacin, para cada muestra podemos calcular un estadstico (media, desviacin tpica, proporcin, ...) que variar de una a otra. As obtenemos una distribucin del estadstico que se llama distribucin muestral.

Teorema central del lmiteSi una poblacin tiene media y desviacin tpica , y tomamos muestras de tamao n (n>30, cualquier tamao si la poblacin es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribucin:

Estimacin de parmetrosEs el procedimiento utilizado para conocer las caractersticas de un parmetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.Con una muestra aleatoria, de tamao n, podemos efectuar una estimacin de un valor de un parmetro de la poblacin; pero tambin necesitamos precisar un:Intervalo de confianzaSe llama as a un intervalo en el que sabemos que est un parmetro, con un nivel de confianza especfico.Nivel de confianzaProbabilidad de que el parmetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 .Error de estimacin admisible Que estar relacionado con el radio del intervalo de confianza.

Estimacin de la media de una poblacinEl intervalo de confianza, para la media de una poblacin, con un nivel de confianza de 1 , siendo x la media de una muestra de tamao n y la desviacin tpica de la poblacin, es:

El error mximo de estimacin es:

Cuanto mayor sea el tamao de la muestra, n, menor es el error.Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-, mayor es el error.Tamao de la muestra

Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamao de la muestra.Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamao de la muestra.

EJEMPLO No 1El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviacin tpica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.1. Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.

2. Indica el tamao muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

n 4

Estimacin de una proporcinSi en una poblacin, una determinada caracterstica se presenta en una proporcin p, la proporcin p' , de individuos con dicha caracterstica en las muestras de tamao n, se distribuirn segn:

Intervalo de confianza para una proporcin

El error mximo de estimacin es:

EJEMPLO No 2En una fbrica de componentes electrnicos, la proporcin de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analiz una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrndose que 90 de ellos eran defectuosos. Qu nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18E = 0.2 - 0.18 = 0.02

P (1 - z/2 k

2. A partir de un nivel de confianza 1 o el de significacin . Determinar:El valor z/2 (bilaterales), o bien z (unilaterales)La zona de aceptacin del parmetro muestral (x o p').3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.4. Si el valor del parmetro muestral est dentro de la zona de la aceptacin, se acepta la hiptesis con un nivel de significacin . Si no, se rechazaContraste bilateralSe presenta cuando la hiptesis nula es del tipo H0: = k (o bien H0: p = k) y la hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: k (o bien H1: p k).

El nivel de significacin se concentra en dos partes (o colas) simtricas respecto de la media.La regin de aceptacin en este caso no es ms que el correspondiente intervalo de probabilidad para x o p', es decir:

o bien:

EJEMPLO No 3Se sabe que la desviacin tpica de las notas de cierto examen de Matemticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hiptesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%? 1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:H0 : = 6 La nota media no ha variado.H1 : 6 La nota media ha variado.2. Zona de aceptacin Para = 0.05, le corresponde un valor crtico: z/2 = 1.96.Determinamos el intervalo de confianza para la media:(6-1,96 0,4 ; 6+1,96 0,4) = (5,22 ; 6,78)3. Verificacin. Valor obtenido de la media de la muestra:5,6 .4. DecisinAceptamos la hiptesis nula H0, con un nivel de significacin del 5%.

Contraste unilateralCaso 1 La hiptesis nula es del tipo H0: k (o bien H0: p k). La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: < k (o bien H1: p < k).Valores crticos1 z

0.900.101.28

0.950.051.645

0.990.012.33

El nivel de significacin se concentra en una parte o cola. La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

EJEMPLO No 4Un socilogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstencin en las prximas elecciones ser del 40% como mnimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estaran dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significacin del 1%, si se puede admitir el pronstico.1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:H0 : 0.40 La abstencin ser como mnimo del 40%.H1 : < 0.40 La abstencin ser como mximo del 40%; 2.Zona de aceptacin Para = 0.01, le corresponde un valor crtico: z = 2.33.Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3. Verificacin.

4. DecisinAceptamos la hiptesis nula H0. Podemos afirmar, con un nivel de significacin del 1%, que la abstencin ser como mnimo del 40%.

Caso 2La hiptesis nula es del tipo H0: k (o bien H0: p k). La hiptesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: > k (o bien H1: p > k).

El nivel de significacin se concentra en la otra parte o cola. La regin de aceptacin en este caso ser:

o bien:

Un informe indica que el precio medio del billete de avin entre Canarias y Madrid es, como mximo, de 120 con una desviacin tpica de 40 . Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 . Se puede aceptar, con un nivel de significacin igual a 0,1, la afirmacin de partida? 1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:H0 : 120 H1 : > 120 2.Zona de aceptacin Para = 0.1, le corresponde un valor crtico: z = 1.28 .Determinamos el intervalo de confianza:

3. Verificacin. Valor obtenido de la media de la muestra: 128 .4. DecisinNo aceptamos la hiptesis nula H0. Con un nivel de significacin del 10%. Errores de tipo I y tipo IIError de tipo I. Se comete cuando la hiptesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza.Error de tipo II. Se comete cuando la hiptesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta.

H0VerdaderaFalsa

AceptarDecisin correcta

Probabilidad = 1 Decisin incorrecta:

ERROR DE TIPO II

RechazarERROR DE TIPO I

Probabilidad = Decisin correcta

La probabilidad de cometer Error de tipo I es el nivel de significacin.La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parmetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n.

EjerciciosEjercicio 1En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan ms a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. 1. Explicar qu procedimiento de seleccin sera ms adecuado utilizar: muestreo con o sin reposicin. Por qu? 2. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2.500 nios, 7.000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado. Determinar el tamao muestral correspondiente a cada estrato.Ejercicio 2Sea la poblacin de elementos: {22,24, 26}.1. Escriba todas las muestras posibles de tamao dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. 2. Calcule la varianza de la poblacin. 3. Calcule la varianza de las medias muestrales. Ejercicio 3La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribucin normal de media 1,62