procesos puntuales - unam · procesos puntuales espaciales procesos puntuales espacio-temporales...

INTRODUCCIÓNPROCESOS PUNTUALES ESPACIALES

PROCESOS puntuales ESPACIO-TEMPORALES

PROCESOS PUNTUALES

CURSO ESTADISTICA ESPACIAL

PROCESOS PUNTUALES ESPACIALES

índice

1 INTRODUCCIÓN

2 PROCESOS PUNTUALES ESPACIALESIntroducciónIntensidades en los procesos puntualesModelosDensidades de probabilidad

3 PROCESOS puntuales ESPACIO-TEMPORALESClustering espacio-tiempoProcesos puntual espacio-tiempo Shot-noiseCombinación de efectos fijos y aleatorios

índice

1 INTRODUCCIÓN

índice

1 INTRODUCCIÓN

Patrones y procesos puntuales.

Qué es un patrón puntual?

Heuristicamente, es un conjunto de datos que se encuentran enuna región concreta A llamada "área de estudio"

Los puntos pueden representar cualquier poblaciónespacialmente explícitos, como los animales, nidos de aves,epicentros del terremoto, las galaxias, ...

A los puntos que forman el patrón se les llama también"eventos", con cordenadas s = (x, y)

Ejemplo 1. Bosque de Niebla en Puebla.

Mejía-Domínguez et al. Description and modelling of spatial interactions and species coexistence

atively affected by the presence of co- specific individuals, and c) the neutral theory, which postulatesthat species have equal chance of being in the community because they are equivalent and do not havespecific requirements ([2]). Many studies have provided evidence for these three hypothesis. However,few have included explicitly the spatial distribution or the spatial relationships between individuals in acommunity ([5]).

Point processes provide an appropriate tool to analyze at a local scale species coexistence ([6]).For instance, non random spatial patterns related to micro climate or topography would support theniche differentiation hypothesis. Further, the analysis of the spatial patterns of different stages of thelife cycle of the different species is also important. This is particularly true in the early stages, e.gan aggregated distribution of young individuals could be thinned and become a uniform distribution or arandom distribution for adult individuals. This thinning process assumes the Jennzen-Connel hypothesis,which assumes an aggregated distribution for early stages as compared to that of the adults of the samespecies.

We examined the role of some the processes and factors involved in the coexistence of tree species,analyzing the spatial pattern shown by the species present in the plot. We recorded the location of all theindividuals with dbh > 2.5cm in a 1-ha plot. Species name, dbh, and cover were also recorded. In ourstudy we only included those species with more than 30 individuals in the study plot (Fig. 1). In total,we considered 12 species in our analysis. For each species, the individuals were classified as juvenilesif dbh < 0.5∗q0.99, and as adults otherwise. For each species we computed the empirical L-function forjuveniles, for adults and for all the individuals in each species. CSR tests were performed.

CHPE CLME CLTH CODI

MISP ORXA PSGA QULA

RAJU TETE VAAU ZISP

Figure 1: Spatial distribution of dominant tree species in a montane cloud forest. Plot 100× 100 m. CHPE=Chiranthodendron pentadactylon, CLME= Clethra mexicana, CLTHE=Cleyera Theaeoides, CODI= Cornus dis-ciflora, MISP= Miconia sp.nov., ORXA= Oreopanax xalapensis, PSGA= Psychotria galeottiana, QULA= Quer-cus laurina, RAJU= Rapanea juergensenni, TETE= Ternstroemia tepezapote, VAAU= Vallesia aurantiaca, ZISP=Zinoweiwia sp.

We also checked if the observed spatial pattern of the different stages for each species was associated

METMAVI International Workshop on Spatio-Temporal Modelling 2

¿Las especies se distribuyen al azar o existe una dependenciaen cada una?

¿Alguna de estas especies tiene configuración espacialregular/cluster?

Afectan estas configuraciones espaciales, por ejemplo a losinventarios forestales?

¿Qué ha generado tales patrones?

¿Podemos reproducir estos patrones usando modelos?

Ejemplo 2.Células AmacrinasCelulas amacrinas

Los triángulos representan células en "on" mientras que loscírculos representan células en "off"

Proceso puntual marcado, donde cada localización tieneasociada una característica. En este caso, una característicacualitativa.

Posible cuestión científica: ¿Hay evidencia de que células "on" y"off" están independientemente localizadas?

Ejemplo 3. pinos LongleafPinos

Proceso puntual marcado con una variable cuantitativa(diámetros)

¿Están los árboles distribuidos aleatoriamente?

¿La distribución espacial de los árboles depende de sudiámetro?

Ejemplo 4. Incendios forestales con covariables

Incendios forestales en CLM con información complementariacomo elevación, pendiente,...

Para la predicción de patrones en el espacio y el tiempo y enevaluación de riesgos, tenemos que tener en cuenta lascovariables

IntroducciónIntensidades en los procesos puntualesModelosDensidades de probabilidad

Proceso puntual

Un Proceso puntual espacial es un proceso estocástico cuyasrealizaciones consisten en un conjunto numerable de puntos(eventos) xi en el plano

Escribimos N(B) para la variable aleatoria que representa elnúmero de puntos en una región plana B, N(B) = #(si ∈ B)

Proceso puntual

Un Proceso puntual espacial es un proceso estocástico cuyasrealizaciones consisten en un conjunto numerable de puntos(eventos) xi en el plano

Escribimos N(B) para la variable aleatoria que representa elnúmero de puntos en una región plana B, N(B) = #(si ∈ B)

Suposición AEC

Existen tres tipos de patrones puntuales: Regular, aleatorio yagregado o cluster.

MOTIVATING EXAMPLESSPATIAL POINT PROCESSES

SPATIO-TEMPORAL POINT PROCESSES

IntroductionPoint process intensitiesSecond-order characteristicsModelsProbability densitiesAnisotropic characteristics

CSR assumptionRegular Poisson Cluster

A convenient, and conventional, starting point for the analysis ofa spatial point pattern is to apply one or more tests of thehypothesis of complete spatial randomness (CSR)

(i) The number of points contained in any planar region A witharea |A| follows a Poisson distribution with mean λ|A|(ii) Points in the region A are an independent random samplefrom the uniform distribution in A

Whilst condition (i) implies that the intensity of points (number ofevents per unit area) in A is constant and equal to λ, condition (ii)suggests no interaction between events

Jorge Mateu Spatial and spatio-temporal point pattern analysis

Cada patrón es generado por un proceso puntual X .

Suposición AEC

Un punto de partida conveniente en el análisis de procesospuntuales espaciales es probar la hipótesis de AleatoriedadEspacial Completa (AEC) (complete spatial ramdomness ,CSR)

(i) El número de puntos contenidos en cualquier región plana Acon área |A| sigue una distribución Poisson con media λ|A|

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

EsteNorte

Suposición AEC

Un punto de partida conveniente en el análisis de procesospuntuales espaciales es probar la hipótesis de AleatoriedadEspacial Completa (AEC) (complete spatial ramdomness ,CSR)

(i) El número de puntos contenidos en cualquier región plana Acon área |A| sigue una distribución Poisson con media λ|A|

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

EsteNorte

Suposición AEC

(ii) Los puntos en la región A se distribuyen de maneracompletamente aleatoria, con una distribución uniforme en A

La condición (i) implica que la intensidad de puntos (número deeventos por unidad de área) en A es constante e igual a λ, lacondición (ii) sugiere no interacción entre eventos

Suposición AEC

(ii) Los puntos en la región A se distribuyen de maneracompletamente aleatoria, con una distribución uniforme en A

La condición (i) implica que la intensidad de puntos (número deeventos por unidad de área) en A es constante e igual a λ, lacondición (ii) sugiere no interacción entre eventos

Resumen estadístico funcional

Cuando se rechaza la AEC, las alternativas son: Patrón regular,o patrón agregado

Dos medidas ámpliamente usadas para construir resúmenes delpatrón observado son las distancias al vecino más próximo ypropiedades del momento de segundo orden

Las distacias al vecino más próximo pueden medirse desde unorigen arbitrario desde un evento arbitrario a su vecino máscercano.

Intensidades de los procesos puntuales

¿Cómo podríamos definir procesos puntuales análogos en lamedia y estructura de covarianza para patrones puntualesobservados?

Tomamos dx como una pequeña región que contiene el punto x

La función de intensidad de primer orden es

λ(x) = lim|dx|→0

{E[N(dx)]

La función de intensidad de segundo orden es

λ2(x, y) = lim|dx|→0|dy|→0

{E[N(dx)N(dy)]

|dx||dy|

λ(x) = lim|dx|→0

{E[N(dx)]

λ2(x, y) = lim|dx|→0|dy|→0

{E[N(dx)N(dy)]

|dx||dy|

λ(x) = lim|dx|→0

{E[N(dx)]

λ2(x, y) = lim|dx|→0|dy|→0

{E[N(dx)N(dy)]

|dx||dy|

λ(x) = lim|dx|→0

{E[N(dx)]

λ2(x, y) = lim|dx|→0|dy|→0

{E[N(dx)N(dy)]

|dx||dy|

La densidad de covarianza de un proceso puntual espacial es:

γ(x, y) = λ2(x, y)− λ(x)λ(y).

Si asumimos estacionariedad e isotropía:

λ(x) ≡ λ = E[N(A)]/|A|, (constante, ∀A)λ2(x, y) ≡ λ2(‖x− y‖) ‖ · ‖ = distanciaeuclideanaγ(u) = λ2(u)− λ2

La intensidad, λ, tiene una facil interpretación como el númeroesperado de eventos por unidad de áreaLa intensidad de segundo orden, λ2(u), es menos fácil deinterpretar

γ(x, y) = λ2(x, y)− λ(x)λ(y).

0.0 0.4 0.8

0.0 0.4 0.80.0

Estadísticas descriptivas

Dado que siempre existe una distancia entre eventos, una formade caracterizar a los procesos puntuales es mediante espaciovacío.Para contrastar una hipótesis o para estudiar la bondad deajuste de un modelo, son de gran utilidad las funciones dedistribución de las distancias mínimas evento-evento yevento-punto, G(h) y F(h) respectivamente.Definición: La función de distribucin del vecino ms prximo de unproceso puntual espacial es

G(h) = P[distancia de un evento al evento más cercano < h]

Definición: La función de distribución de un punto arbitrario alevento ms próximo de un proceso puntual espacial es

F(h) = P[distancia de un punto al evento más cercano < h]

Estimación de la intensidad

Existen varias formas de estimar la función de intensidad de unproceso puntual:

Métodos no paramétricos.- Se basan únicamente en la posición delos puntos y no hay ningún modelo involucrado.

Por lo general, se utilizan conteos de cuadrantes o estimacón porkernel.

Métodos paramétricos.- En ellos se propone un modelo paramétricopara el proceso puntual que generó el patrón observado, y por endepara la función de intensidad λθ(s).

Se utiliza Máxima Verosimilitud o Máxima Pseudoverosimilitud, por loque se necesita conocer la función de densidad del proceso

Estimación por cuadrantes

Se divide el área enc1, . . . , cM

cuadrantes conárea νi

Se cuenta elnúmero de eventosnien cadacuadranteSe estimaλ(ci) = ni

Ventajas:

Es un método sencillo y entendible

Puede ser rápido

Es intuitivo

Desventajas:

La calidad de la aproximación a λ depende de el tamaño de loscuadrantes

Ventajas:

Puede ser rápido

Es intuitivo

Desventajas:

Ventajas:

Puede ser rápido

Es intuitivo

Desventajas:

Ventajas:

Puede ser rápido

Es intuitivo

Desventajas:

Ventajas:

Puede ser rápido

Es intuitivo

Desventajas:

Estimación por kernel

Un kernel es una función ponderadora, utilizada para estimación noparamétrica de una densidad de probabilidad.

Es una función no negativa que satisface:∫ ∞−∞

κ(u)du = 1

κ(−u) = κ(u)

Estimación por kernel

Un kernel es una función ponderadora, utilizada para estimación noparamétrica de una densidad de probabilidad.

Es una función no negativa que satisface:∫ ∞−∞

κ(u)du = 1

κ(−u) = κ(u)

Modelos más comúnes:

gausker.pdf

Ejemplo:Proceso puntual en una dimensión

Otro Ejemplo: Kernel gaussiano en dos dimensiones

Estadísticas basadas en distancias

La función G(h) es simplemente la función de distribución empíricadel patrón puntual observado, es decir,

G(h) = P[distancia de un evento al evento más cercano ≤ h] (1)

Para cualquier proceso puntual,:

G(h) = P[al menos un evento en B(x, r)]

= 1− P[no eventos en B(x, h)]

= 1− P {n[B(x, h)] = 0} (2)

Para el proceso Poisson homogéneo, la ecuación anterior se traduceen:

1− P {n[B(x, h)] = 0} = 1− (λ|B(x, h|)0e{−λ|B(x,h)|}

= 1− e−λπh2

0 20 40 60 80 100

Un argumento similar nos lleva a la forma de F(h) para el procesoPoisson Homogéneo:

F(h) = 1− e−λπh2

El valor esperado y la varianza para las distancias entre eventos bajoAEC es:

E(h) =1

2√λ

; Var(h) =4− π4λπ

Para h tenemos entonces

E(h) =1

2√λ

; Var(h) =4− πn4λπ

Pruebas de CSR

Recordemos que si X ∼ N(µ, σ2), entonces

Z =X − µσ∼ N(0, 1)

Sustituyendo la media y la varianza de las distancias entre eventosobtenemos:

Z =h− [1/2

√λ]√

(4− π)/(4nπλ)∼ N(0, 1)

Si n es grande, entonces el IC para AEC tendrá la forma

h± Z1−α/2

√(4− π)/(4nπλ)

Pruebas de CSR

Otra forma de probar la hipótesis de AEC se basa en usar elestimado de λ obtenido mediante cuadrantes.

Si tenemos M cuadrantes en D con conteos {c1, . . . , cM}, unaestadística de prueba para CSR es

I =(n− 1)

∑Mi=1(ci − c)2

Bajo AEC, I ∼ χ2(M−1).

En el primer caso, rechazamos AEC si Z está fuera del IC. En elsegundo caso, rechazamos si la χ2

obs > χ2(M−1)

Tenemos 663 incendios en Castellón de la Plana, España.

plot(incendiosCS$x,incendiosCS$y)CSpoly<-locator(30)lines(CSpoly)

700000 720000 740000 760000 780000 8000004400000

4420000

4440000

4460000

4480000

4500000

4520000

incendiosCS$x

incendiosCS$y

w<-owin(xrange=c(689126,799638),yrange=c(4400064,4621263),poly=as.data.frame(CSpoly))cudrantcount<-quadratcount(as.ppp(cbind(incendiosCSx, incendiosCSy),w),nx=50,ny=50)

cudrantcount

0000010000000011320010000100111

0001000020110110111012001000100000100002002200000001001100000101220010030020000000101112010101000001000001010120310001120010100

00111001000000010210000020012000122000000000002001311300151500

0020000100101101012010100103202001230017121110000000000010101

00001112210010010100131110111010

00002032011211302120010420202000

000001001012021121321000200010010

00122163330012213211201010200510000100120000100001010210004013110

00031111103011212301200120022150

002201011011100014660141030441400

000302030012100101210207220011100

00010010001001211231312200110

010121201010112121114000221200102215242120010241642213001444020021212242532120322100011101

00200002130253010020100200000000100201122003302241010000010001022110 0010110000010010 01111

Ejemplo con conteos

Convertimos a vector los conteos

qqq<-as.numeric(cudrantcount)

length(qqq) es 749

748*var(qqq)/mean(qqq) nos da 1405.505

Como χ2obs > χ2

(M−1), rechazamos la hipótesis de AEC

Ejemplo con distancias entre puntos

Calculamos las distancias entre eventos

distanciasCS<-as.matrix(dist(cbind(incendiosCSx, incendiosCSy)))

Reemplazamos la diagonal por un valor muy alto

summary(diag(distanciasCS))diag(distanciasCS)<-2*max(distanciasCS)

Creamos un vector para las distancias al vecino más cercano

distmin<-rep(0,663) Calculamos la distancia al vecino más cercano

for(i in 1:663)distmin[i]<-min(distanciasCS[i,])

Necesitamos el estimado de λ

puntosCS<-as.ppp(cbind(incendiosCSx, incendiosCSy),w)summary(puntosCS)

Average intensity 9.73e-08 points per square unit

Calculamos el valor esperado y la varianza de h barra

hexpect<-1/(2*sqrt(9.73e-08))1602.926 varh<-(4-pi)/(663*4*9.73e-08*pi)

La media observada para las distancias al vecino más cercano es

mean(distmin) [1] 1357.255 Los límites superior e inferior del

intervalos son:

mean(distmin)-qnorm(.975)*sqrt(varh)1293.476> mean(distmin)+qnorm(.975)*sqrt(varh)1421.034

El intervalo para la media nos queda

(1293.476,1421.034) , el cual no contiene a la media 1602.926.Concluimos que las distancias son menores a lo esperado bajo AECy por lo tanto rechazamos AEC

La K de Ripley

Sabemos que se define como

K(h) = λ?1E[# extra de eventos dentro de B(x, h), xun evento arbitrario]

Bajo AEC entonces,

K(h) = πh2

La versión muestral es

K(h) = (n)−2|A|n∑

∑i 6=j

w−1ij 1(0 < ‖xi − xj‖ ≤ h)

La K de Ripley

Obtenemos la función K empírica

KCS<-Kest(puntosCS)

0 5000 10000 15000 20000 25000

0.0e+00

5.0e+08

1.0e+09

1.5e+09

2.0e+09

Kbord(r)Kpois(r)

La K de Ripley

Hay discrepancias con el modelo bajo AEC. Podemos verlas mejorgraficando

L(h) =

√K(h)

π− h

names(KCS)

"r" "theo" "border"

plot(KCSr, sqrt(KCS$border/pi)− KCS$r, type = ”l”)abline(h=0,col=2)

0 5000 10000 15000 20000 25000

La K de Ripley

KCSenv<-envelope(puntosCS)

plot(KCSenv)

0 5000 10000 15000 20000 25000

0.0e+00

1.0e+09

2.0e+09

KCSenv

Kobs(r)Ktheo(r)Khi(r)Klo(r)

procesos puntuales - unam · procesos puntuales espaciales procesos puntuales espacio-temporales...

Documents