estimacion de estado y de parametros (zarco y gomez)

ESTIMACIN DE ESTADO

Y DE PARMETROS

EN REDES ELCTRICAS

Pedro Javier Zarco Perin Antonio Gmez Expsito

DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

1999

Copyright P. Zarco & A. Gmez-Expsito

ndice General

1 Estimacin de Estado en Redes Elctricas 1

1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Hiptesis y datos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Resultados de la estimacin de estado . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Mtodos de Estimacin de Estado 25

2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Mnimos cuadrados ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Ecuaciones normales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Mtodo hbrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel . . . . . . . . . . . 33

2.7 Mtodo de pseudoinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.8 Mtodo de la matriz aumentada por bloques . . . . . . . . . . . 36

2.9 Mnimos valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.10 Mnima mediana de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Inuencia de Errores en los Parmetros sobre la Estimacin 45

3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Entorno de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Carcter local del efecto de los errores en los parmetros . . . . 50

3.4 Anlisis del nivel de error en las medidas . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Errores en la conductancia y en la susceptancia . . . . . . . . . 58

3.6 Inuencia de los ujos e inyecciones sobre las medidas estimadas 60

3.7 Inuencia de los errores en las medidas sobre la estimacin . . . 61

3.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

i


ii NDICE GENERAL

4 Estimacin de Parmetros en Redes Elctricas 69

4.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Identicacin de errores en los parmetros . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Clasicacin de los mtodos de estimacin de parmetros . . . . 71

4.4 Estimacin on-line frente a estimacin o-line . . . . . . . . 72

4.5 Carcter local de la estimacin de parmetros . . . . . . . . . . 73

4.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Mtodos de Estimacin de Parmetros 85

5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Mtodos basados en el anlisis de sensibilidad residual . . . . . 85

5.3 Mtodos que amplan el vector de estado . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.1 Resolucin mediante ecuaciones normales . . . . . . . . . 93

5.3.2 Resolucin basada en la teora del ltro de Kalman . . . 101

5.4 Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Resultados Experimentales de la Estimacin de Estado y de

Parmetros 113

6.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2 Estimacin de impedancias o admitancias . . . . . . . . . . . . 114

6.3 Inuencia del nmero de muestras utilizadas . . . . . . . . . . . 115

6.4 Relacin con el nivel de error en las medidas . . . . . . . . . . . 117

6.5 Inuencia del tipo de medidas disponibles . . . . . . . . . . . . 121

6.6 Estimacin de varios parmetros simultneamente . . . . . . . . 124

6.7 Optimalidad de los parmetros estimados . . . . . . . . . . . . . 125

6.8 Resultados del estimador con los parmetros mejorados . . . . . 128

6.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7 Aspectos Relacionados con la Estimacin 133

7.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2 Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2.1 Test de observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.2.2 Identicacin de redes observables . . . . . . . . . . . . . 137

7.2.3 Ubicacin de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.3 Errores no gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.3.1 Determinacin de la presencia de errores . . . . . . . . . 140

7.3.2 Identicacin de medidas errneas . . . . . . . . . . . . . 141

7.3.3 Eliminacin de medidas errneas . . . . . . . . . . . . . 143


NDICE GENERAL iii

7.4 Errores topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4.1 Identicacin y estimacin de errores topolgicos . . . . 145

7.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A Propiedades Estadsticas de la Estimacin de Mnimos Cua-

drados 159

A.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.2 Propiedades estadsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B Elementos de la Matriz Jacobiano 165

B.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

B.2 Elementos de la matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

C Fondos de Escala Utilizados en el Entorno de Simulacin 171

C.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.2 Fondos de escala de la red IEEE-14 . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.3 Fondos de escala de la red IEEE-118 . . . . . . . . . . . . . . . 174


ndice de Figuras

1.1 Error general de clase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Error de linealidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Error de reproducibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Errores lmites de relacin para transformadores de intensidad

de clase 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Errores lmites de fase para transformadores de intensidad de

clase 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Errores lmites para transformadores de intensidad de clase 0.5. 8

3.1 Red IEEE-14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Inuencia del error conjunto en la susceptancia y la conductan-

cia de una lnea sobre las medidas: (a): De toda la red (trazo

discontinuo); (b): Adyacentes (trazo continuo). . . . . . . . . . . 51

3.3 Inuencia del error de una lnea sobre las medidas estimadas a

distintas distancias: Error de las medidas estimadas con error

en una lnea / Error de las medidas estimadas sin error en la

lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Inuencia del error conjunto en la susceptancia y la conduc-

tancia de una lnea sobre las medidas adyacentes para distintas

clases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Inuencia del error de una lnea frente a la relacin entre los

errores de las medidas estimadas y las telemedidas (adyacentes). 55


distancia 1 para distintas clases: Error de las medidas estimadas

con error en una lnea / Error de las medidas estimadas sin error

en la lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

i


ii NDICE DE FIGURAS


distancia 2 para distintas clases: Error de las medidas estimadas

con error en una lnea / Error de las medidas estimadas sin error

en la lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8 Inuencia del error en la susceptancia y en la conductancia de

una lnea sobre las medidas adyacentes. . . . . . . . . . . . . . . 59

3.9 Inuencia del error en la susceptancia de una lnea sobre las

medidas adyacentes con diferentes tipos de medidas. . . . . . . . 61

3.10 Inuencia sobre las medidas de tensin adyacentes cuando todas

las medidas son exactas excepto las de tensin. . . . . . . . . . . 62

3.11 Inuencia sobre las medidas de inyeccin adyacentes cuando to-

das las medidas son exactas excepto las de inyeccin. . . . . . . 63

3.12 Inuencia sobre las medidas de ujo adyacentes cuando todas

las medidas son exactas excepto las de ujo. . . . . . . . . . . . 64

4.1 Red IEEE-118. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2 Resultado del anlisis de sensibilidad de la lnea que une los

nudos 49 y 51 en la red IEEE-118. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1 Modelo del transformador utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2 Modelo del transformador considerado. . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3 Error en la susceptancia estimada de la lnea que une los nudos

7 y 9 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parmetro. . 97

5.4 Error en la susceptancia estimada de la lnea que une los nudos

10 y 11 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parmetro. 98

6.1 Relacin entre el error de las medidas y el error del parmetro

estimado frente al nmero de estados procesados simultneamente.115


medidas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesa un

estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


medidas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesan

siete estados simultneamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


medidas adyacentes, con distintas clases, cuando: (a): No se

realiza estimacin de parmetros; (b): Se estima procesndose



NDICE DE FIGURAS iii

6.5 Media del error de las medidas / Error del parmetro estimado

frente al nmero de estados procesados simultneamente con

diferente redundancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.6 Inuencia del error en la susceptancia de cinco lneas sobre las

medidas de toda la red, con distintas clases. . . . . . . . . . . . 125

6.7 Inuencia del error en las susceptancias de cinco lneas sobre las

medidas de toda la red, con distintas clases, cuando se procesan



ndice de Tablas

1.1 Errores mximos admitidos en la norma CEI para transfor-

madores de intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Lmites del error de relacin y del desfase para transformadores

de tensin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.1 Inuencia del error de la susceptancia de una lnea sobre las

medidas cuando se estima el parmetro. . . . . . . . . . . . . . 116

6.2 Errores de las medidas adyacentes utilizadas sin estimar par-

metro y estimndolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3 Errores de los parmetros estimados para diferentes niveles de e-

rrores en las medidas y redundancia completa. (a): Error medio

de las telemedidas (%); (b): Error del parmetro estimado (%). 120

6.4 Inuencia del error de la susceptancia de una lnea cuando slo

se dispone de medidas de tensiones e inyecciones y se estima

dicho parmetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.5 Inuencia del error de la susceptancia de una lnea cuando slo

se dispone de medidas de tensiones y ujos y se estima dicho

parmetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.6 Valores estimados del parmetro para distintos valores de par-

tida de ste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.7 Valor estimado del parmetro cuando se parte de un valor esti-

mado previamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

C.1 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-14

en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . . . 172

C.2 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-14




i


ii NDICE DE TABLAS


en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). . . 176





C.7 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-

118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . 179


118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 180
















Captulo 1

Estimacin de Estado en Redes

Elctricas

1.1 Introduccin

Cuando en 1965 se produjo el incidente que dej sin alimentacin de energa

elctrica al nordeste de los Estados Unidos, las empresas elctricas tomaron

conciencia de que deban realizar un gran esfuerzo para desarrollar nuevas

tcnicas en la operacin de los sistemas de potencia que permitieran un elevado

nivel de seguridad en el servicio. Esto dio lugar a que los antiguos mtodos y

herramientas de operacin resultaran inadecuados.

Se comenz a hablar de anlisis de seguridad, ndices de seguridad, mejo-

ra de la seguridad, anlisis de estabilidad, optimizacin y se empezaron a

construir nuevos centros de control. Hasta entonces, el control y la decisin

de la operacin se basaban en un sistema de supervisin, que controlaba las

posiciones de los interruptores en las subestaciones, y un sistema separado,

generalmente anlogo al anterior, que controlaba de manera automtica la

generacin y el despacho econmico. Por lo tanto, los nicos datos que el ope-

rador tena disponibles en tiempo real eran el estado de los interruptores, la

frecuencia del sistema y el conjunto de medidas de potencia necesarias para el

control de la generacin.

Partiendo de esta situacin el esfuerzo se centr en conseguir cada pocos

segundos la informacin, tanto de los interruptores como de todas las medidas

de la red que se controlaba. Teniendo todos estos valores en tiempo real en

la base de datos era posible comprobar la seguridad continuamente, es decir,

se podan analizar las condiciones de operacin de cada equipo de la red y


2 Estimacin de Estado

detectar las situaciones anormales y alarmantes de funcionamiento. Este pro-

ceso de captacin, deteccin y sealizacin del sistema, junto con la utilizacin

de pantallas grcas y el almacenamiento de todos los eventos, constituy el

sistema de supervisin del control y adquisicin de datos (SCADA en ingls).

Con todo lo anterior, se pens que teniendo la base de datos actualizada

peridicamente, gracias al SCADA, se podra llevar el seguimiento y el control

de la seguridad del sistema con slo introducir las medidas en los programas de

control. Pero no era correcto y fue Schweppe el que reconoci desde el principio

que haba dos problemas fundamentales para la ejecucin de las funciones de

seguridad.

En primer lugar, aunque el nmero de medidas era generalmente muy

grande siempre haba inconsistencias, ya que ciertas medidas desaparecan

temporalmente o haba medidas con errores no gaussianos. En segundo lu-

gar, las nuevas funciones de seguridad necesitaban un punto de partida, es

decir, un reparto de cargas en tiempo real. Como consecuencia de lo primero,

los programas de reparto de cargas que se venan utilizando hasta esas fechas

no se podan utilizar en tiempo real, por lo que no haba forma prctica de

realizar funciones de seguridad.

Schweppe, con la estimacin de estado, resolvi tanto el problema de los

datos como el de la resolucin en tiempo real. Como l dijo, el estimador de

estado es un puricador de datos", utilizando una analoga con la puricacin

de la sangre en el cuerpo humano [13]. Pero es algo ms, el estimador de estado

es un reparto de cargas en tiempo real. Con esto se aseguraba la ejecucin de las

funciones de seguridad en los centros de control y el SCADA era reemplazado

por lo que hoy da se conoce como sistema de gestin de energa (EMS en

ingls).

1.2 Hiptesis y datos de entrada

Schweppe deni la estimacin de estado como un algoritmo de procesamiento

de datos que convierte las medidas redundantes y otra informacin disponible

en un estimado del estado del sistema elctrico [34]. Hoy en da, la estimacin

de estado es una parte esencial en los sistemas de gestin de energa de todo

el mundo. Ms an, son el corazn de los modernos sistemas de gestin de

energa y el rendimiento de otras aplicaciones, como las de anlisis de seguri-

dad, despacho econmico, etc., dependen en gran medida de la exactitud de

los datos que proporciona el estimador de estado.


Hiptesis y datos de entrada 3

Las fuentes de informacin necesarias para el estimador de estado son [15]:

Los valores de los parmetros de diseo (R, L, etc.).

La informacin topolgica o estructural (posicin de interruptores, etc.).

El modelo matemtico del sistema.

Los distintos tipos de medida:

Telemedidas: Son las que se obtienen en tiempo real desde las re-

motas de las subestaciones a travs del SCADA. Los datos tpicos

que se incluyen son:

Las tensiones e inyecciones de activa y reactiva en los nudos. Los ujos de potencia activa y reactiva en las lneas. Pseudomedidas: Son valores obtenidos basndose en los datos his-

tricos existentes, por lo que tienen menos precisin que si fuesen

medidos; por ejemplo, la potencia generada en las centrales o la

demanda de las subestaciones.

Medidas virtuales: Son aquellas que no requieren ser medidas, como

por ejemplo la inyeccin cero en las subestaciones de transporte

(nudos de trnsito).

Pero ocurre que los datos telemedidos contienen errores debido a la in-

exactitud de la calibracin de los transductores, el efecto de la conversin

analgica-digital, el ruido en los canales de comunicacin, el desequilibrio en-

tre fases, etc., y como se ha comentado previamente, la estimacin de estado es

un proceso que limpia los datos errneos ya que las medidas (ujos, tensiones,

etc.) estn relacionadas entre s mediante las leyes que gobiernan los circuitos

elctricos. Si hay redundancia en el conjunto de medidas (ms medidas que las

necesarias para determinar la condicin de la red), se puede utilizar un proceso

sistemtico que corrija los errores.

La exactitud de las medidas no slo depender del transformador de me-

dida, sino tambin de los transductores y convertidores y se tendr en cuenta

como error de las medidas un nico valor que sea conjuncin de la suma acu-

mulativa de los errores en los dispositivos que intervienen en todo el proceso.

Los parmetros que denen la exactitud de la medida son:



Clase: Se entiende por clase el error mximo que dicho aparato demedida puede tener, tomado en tanto por ciento, con respecto al valor de

fondo de escala o seal nominal de salida, en unas condiciones denidas

por normas nacionales o internacionales. En la Figura 1.1 se representan

los valores verdaderos con trazo continuo y los valores medidos con curva

discontinua.

Figura 1.1: Error general de clase.

Linealidad: Se entiende como error de linealidad el error relativo entanto por ciento, con respecto al valor de fondo de escala, que existe entre

el verdadero valor y el valor obtenido con el aparato de medida calibrado

perfectamente para la seal de fondo de escala, es decir, ajustado de

manera que a la entrada nominal le correspondiese exactamente la salida

nominal. En la Figura 1.2 se representan los valores verdaderos con trazo

continuo y los valores medidos con curva discontinua.

Reproducibilidad o histresis: Se entiende por error de reproducibil-idad o bien de histresis, el error que puede darse por diferencia de los

valores obtenibles en un convertidor de medida a igualdad de condi-

ciones ambientales, de temperatura, etc., pero repitiendo las medidas en



Figura 1.2: Error de linealidad.

condiciones dinmicas diferentes, es decir, aumentando la medida en un

momento y disminuyndola en otro momento (Figura 1.3).

Deriva trmica: Es el error que puede producirse por variacin de latemperatura en el medio ambiente en que se encuentra el instrumento

de medida, con respecto a la medida que tiene a una temperatura de

referencia. Esta diferencia de valor que se toma tambin en tanto por

ciento con respecto al fondo de escala, puede ser de cero, es decir, de la

salida que da el aparato de medida para una entrada que por su ajuste

debiera dar salida igual a cero, o bien puede ser de plena escala, es decir,

de la salida que da el aparato de medida para la entrada nominal. Este

error se suele dar en tanto por ciento por cada grado centgrado o bien

en tanto por ciento por cada diez grados centgrados.

Otras magnitudes: Otras magnitudes, tales como la frecuencia dered, tensin de alimentacin, impedancia de carga, pudieran tener algn

pequeo efecto sobre el aparato de medida y sobre su precisin, por lo que

en algunos de ellos se suele expresar la inuencia de dichas magnitudes.

Es necesario tener en cuenta que los tantos por ciento de error que se suelen



Figura 1.3: Error de reproducibilidad.

dar por variacin de magnitudes corresponden a unos determinados mrgenes

de operacin y no suelen ser extrapolables a otros valores operacionales.

Siendo la clase el parmetro que ms inuye en la exactitud de la medida

ser ste el nico que se tendr en cuenta. Las clases de precisin nominales

de los transformadores de intensidad son 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3 y 5. En los trans-formadores de estas clases, los errores de intensidad y fase, a la frecuencia

nominal, no debern sobrepasar los valores de la Tabla 1.1 cuando la carga

secundaria est comprendida entre el 25 y el 100 % de la carga de precisin.

A partir de los valores de la Tabla 1.1 y para cada clase de precisin, puede

trazarse una grca de lneas quebradas de errores lmites tanto de relacin

(Figura 1.4) como de fase (Figura 1.5) con los lmites de error admisibles.

Ambas guras son las correspondientes a la clase 0.5. Las curvas de errores

reales de un transformador debern quedar comprendidas entre las dos lneas

quebradas de dichas guras.

Las Figuras 1.4 y 1.5 se pueden unicar en una sola (Figura 1.6) en la

que los errores admisibles para clase 0.5 son los comprendidos entre ambos

paralelogramos.

Excepto la norma ANSI, todas las normas tienen, fundamentalmente, los

mismos valores que la CEI. La principal variante es que las normas UNE y VDE



Error de relacin en % Errores de fase para los

Clase para los valores de valores de la intensidad

de intensidad expresados en % expresados en % de la

precisin de la intensidad nominal intensidad nominal

1% 1 (minutos)10 20 50 100 120 10 20 100 120

0.1 0.25 0.2 - 0.1 0.1 10 8 5 5

0.2 0.5 0.35 - 0.2 0.2 20 15 10 10

0.5 1.0 0.75 - 0.5 0.5 60 45 30 30

1 2.0 1.5 - 1.0 1.0 120 90 60 60

3 - - 3 - 3 - - - -

5 - - 5 - 5 - - - -

Tabla 1.1: Errores mximos admitidos en la norma CEI para transformadores

de intensidad.

Figura 1.4: Errores lmites de relacin para transformadores de intensidad de

clase 0.5.



Figura 1.5: Errores lmites de fase para transformadores de intensidad de clase

0.5.

Figura 1.6: Errores lmites para transformadores de intensidad de clase 0.5.



Clase Error de relacin (u%) Desfase min. (u)0.1 0.1 50.2 0.2 100.5 0.5 201 1.0 403 3.0 No especicado

Tabla 1.2: Lmites del error de relacin y del desfase para transformadores de

tensin.

no admiten la clase 5. Tambin hay que tener en cuenta que la norma CEI

y la mayor parte de las normas europeas establecen que los errores indicados

no deben sobrepasarse para una potencia comprendida entre la nominal y su

cuarta parte, con cos = 0.8, mientras que la norma ANSI solamente exige elcumplimiento de la precisin para una potencia igual a la potencia nominal.

La clase de precisin de un transformador de tensin debe cumplirse en

todas las tensiones comprendidas entre el 80 y el 120 % de la tensin nominal

y a todas las cargas comprendidas entre el 25 y el 100 % de la precisin, bajo un

factor de potencia de 0.8 en retraso. En la Tabla 1.2 se muestran los lmites del

error de relacin y desfase en funcin de la clase de precisin. Estas exigencias

de precisin coinciden para todas las normas.

Hasta ahora se han denido las fuentes de informacin necesarias para el es-

timador de estado. stas son necesarias para poder llevar a cabo la estimacin,

que se realiza bajo las siguientes hiptesis:

Las condiciones de operacin son equilibradas.

El sistema trifsico se puede modelar por su circuito equivalente monofsi-co.

Las telemedidas se captan en el mismo instante de tiempo.

Los errores de las medidas:

Tienen valor medio nulo.

Son variables aleatorias independientes: E(eiej) = 0, por lo que su



matriz de covarianzas R es una matriz diagonal de valor

R = E(eeT ) =

2i

2i.

.

.

2m

(1.1)

Tienen distribucin gaussiana.

Se asigna un peso Wii a la medida i basado en su covarianza: Wii = 2i .Este peso reeja la exactitud esperada de la correspondiente medida.

Los parmetros de la red son conocidos e invariantes con el tiempo. Los estados de todos los interruptores obtenidos a travs del SCADA sonexactos, por lo que la topologa de la red tambin lo es.

El clculo de la desviacin tpica del error de las medida i, i , es propuestode diferentes maneras segn los autores y se pueden diferenciar cuatro grandes

grupos:

1. es un valor constante:

(a) En [1, 2, 6] se propone:

Para medidas de inyeccin: = 0.01 p.u. Para medidas de ujo: = 0.008 p.u. Para medidas de tensin: = 0.004 p.u.(b) En [5, 7, 8] se propone:

Para medidas de potencia: = 1 MW/MVAR. Para medidas de tensin: = 0.01 p.u.(c) En [16] se propone:

Para medidas de potencia: = 0.02 p.u. (sobre una base de100 MVA).

Para medidas de tensin: = 0.002 p.u.(d) En [17] se propone:

Para medidas de potencia: = 1 MW/MVAR. Para medidas de tensin: = 0.005 p.u.



(e) En [26, 27] se propone:

Para medidas de potencia: = 1.5 MW/MVAR en 132 KV y = 0.8 MW/MVAR en 33 KV.

Para medidas de tensin: = 0.005 p.u. Para medidas de inyeccin cero: = 0.2 MW/MVAR.(f) En [29, 30, 32] se propone:

Para medidas de potencia: = 0.5 1.1 MW/MVAR en 70KV y = 1.2 5.5 MW/MVAR en tensiones superiores.

Para medidas de tensin: = 0.005 p.u. Para medidas de inyeccin cero: = 0.3 MW/MVAR en 70KV y = 0.5 MW/MVAR en tensiones superiores.

2. es funcin del valor medido:

(a) En [3, 28] se propone: Para todas las medidas = 1% del valormedido.

(b) En [21] se propone: Para todas las medidas 2% del valor me-dido.

(c) En [22] se propone: Para todas las medidas 3% del valor me-dido.

(d) En [19, 24] se propone: Para todas las medidas = 2% del valormedido.

(e) En [31] se propone: Para todas las medidas = 0.01% del valormedido.

3. es funcin del fondo de escala:

(a) En [18] se propone: Para todas las medidas el ruido gaussiano

obtenido de un generador de nmeros aleatorios es multiplicado

por un porcentaje, sin especicar, del fondo de escala del aparato

de medida.

(b) En [20] se propone:

Para medidas de potencia: = 0.5% del fondo de escala, siendoste 1000 MW.

Para pseudomedidas: = 10 40% del fondo de escala.



(c) En [35] se propone: Para todas las medidas, a los estados exactos se

les suma un error gaussiano obtenido con un generador de nmeros

aleatorios a partir de la desviacin tpica de cada medida, siendo

sta funcin del fondo de escala y de la clase del aparato de medida.

4. es funcin del valor medido y del fondo de escala:

(a) En [4] se propone:

= 0.0067 VM + 0.00163 FE (1.2)siendo:

VM el valor medido.

FE el fondo de escala del aparato de medida.

(b) En [9] se propone:

= 0.015 VM + 0.003 FE (1.3)siendo un nmero aleatorio de media cero y desviacin tpica 1.0y los valores del fondo de escala:

Para medidas de potencia: Para generadores: 1.2 p.u. para potencia activa y 0.2 p.u.

para reactiva.

Para cargas: 0.2 p.u. para potencia activa y 0.1 p.u. para

reactiva.

Para medidas de tensin: 1.5 p.u.(c) En [10] se propone:

Para medidas de potencia: 2 = (0.006VM)2+(0.005FE)2. Para medidas de tensin: = 0.005 FE.no estando especicado FE.

(d) En [11, 12] se propone: Para las medidas de ujos de potencia

= (0.02 VM + 0.0035 FE) (1.4)siendo :

|| 1FE = 2000 MVA.


Resultados de la estimacin de estado 13

(e) En [14] se propone:

Para medidas de potencia: = 13(0.005 FE + 0.02 VM).

Para medidas de tensin: = 0.001 VM .no estando especicado FE.

(f) En [23] se propone:

= 0.012 VM + 0.0035 FE (1.5)siendo FE = 20 p.u.

(g) En [33] se propone:

3 = VM + FE (1.6)no estando especicado FE y siendo:

Para medidas de potencia: = 0.02, = 0.0052 y VM y FEson valores en MVA.

Para medidas de tensin: = 0.005, = 0.0026, VM = 1.0p.u., FE = 1.5 p.u.

Para medidas de inyeccin cero: es 20 veces superior al tpico de medidas de inyeccin reales.

En los aparatos de medida industriales existe una disparidad similar res-

pecto a la precisin del aparato. Dependiendo del fabricante y del modelo

sta es proporcional a la medida, al fondo de escala o a una suma de ambos

factores, pero nunca es constante [25].

1.3 Resultados de la estimacin de estado

El estimador procesa toda la informacin disponible del sistema interconecta-

do y genera una base de datos para las funciones de control y reparto. Los

resultados de la estimacin de estado son los estimados de las variables del

sistema elctrico que pueden incluir la generacin, las cargas activas y reacti-

vas, los ujos de potencia activa y reactiva de las lneas de transmisin y las

magnitudes y las fases de los ngulos de las tensiones en los nudos.

Con esta informacin se puede determinar, mediante el anlisis de sensi-

bilidad, cmo afectan los errores del modelo del sistema a los resultados de la

estimacin de estado. Adems, se pueden calcular las matrices de covarianza



de la estimacin y residual que permitirn evaluar la bondad de la estimacin

as como detectar errores no gaussianos (Apartado 7.3).

Asimismo, la informacin proporcionada por el estimador de estado o la

que se puede obtener fcilmente de l, inuir en:

1. Las funciones de control:

El control de carga y frecuencia. Es necesario obtener la estimacinptima de los ujos de potencia e inyecciones, especialmente de las

medidas que no se realizan en tiempo real pero que se estiman y

actualizan peridicamente por el operador.

El despacho ptimo de las potencias activa y reactiva. ste se basaen los nudos de carga, pudiendo realizar el estimador la estimacin

de las cargas no telemedidas.

La supervisin de la seguridad. El estimador de estado debe sumi-nistrar en tiempo real la informacin necesaria para la inspeccin

peridica de la generacin, las cargas de las lneas, las tensiones de

los nudos, la estabilidad transitoria de la red y la prediccin de los

efectos de las posibles contingencias.

La mejora de los sistemas de seguridad. Se genera una base de datosen tiempo real que permite la realizacin del anlisis de seguridad

y la deteccin de anomalas.

El programa de descargos. ste va a depender de las conclusionesque se obtengan de los anlisis que se realizan de los efectos que

pueden producir dichos cortes sobre la seguridad del sistema. Las

variables estimadas pueden servir de base para estos anlisis.

2. El operador:

Proporcionndole, junto con sus respectivas desviaciones tpicas,el estimado de los ujos de las lneas, las salidas de generadores,

cargas, niveles de tensin, ngulos de las fases, etc.

Indicndole las anomalas del sistema y su localizacin geogrca einformndole sobre los problemas de la red.

Proporcionndole salidas no registradas y su localizacin geogrcaque le ayudarn en el diagnstico de defectos.

Informndole de los costes marginales de potencia en los nodos im-portantes y en los de intercambio.



Facilitndole ndices de seguridad tales como reservas de generaciny transmisin o los mrgenes de estabilidad transitoria para alertarle

mientras se encuentre el sistema en un estado vulnerable.

Proporcionndole las acciones correctoras requeridas para solucio-nar las condiciones indeseables de potencia y tensiones y los pro-

cedimientos de restablecimiento del sistema.

3. El diseo y la planicacin de los sistemas de informacin:

Facilita el proceso de localizacin y denicin de la exactitud de lossensores necesarios para mejorar algunas variables de estado con el

menor coste posible.

La estimacin de estado obtendr, segn se deducir en el Apartado 2.2,

el estado estadsticamente ptimo. Este estado estimado constituye la base

de datos sobre la que trabajan el resto de las funciones del centro de control

pero tiene algunas limitaciones que el operador debe conocer. Ser conscientes

de ellas evitar sorpresas y desconanza en la estimacin de estado. Estas

limitaciones son:

1. Los cambios de estado no comunicados en reas no observables pueden

dar lugar a resultados errneos.

2. Los resultados de la inyeccin en los nudos pueden no ser realistas, ya

que las inyecciones mltiples en los nudos no pueden ser estimadas indi-

vidualmente y los errores no gaussianos no siempre se pueden identicar

individualmente.

3. Los errores no gaussianos en medidas crticas no pueden ser detectados.

4. Se acepta que las posiciones de los interruptores son correctas aunque

pueden no serlo.

5. El test de la 2 para la deteccin de errores no gaussianos no es siempreseguro.

Seguidamente se proceder a realizar una discusin en detalle de cada una

de estas limitaciones.

Areas no observables



El modelo de red utilizado por la estimacin de estado incluye habitualmente

redes que estn fuera del mbito de inuencia del centro de control. Tales

reas no observables pueden ser partes de redes de tensiones inferiores o partes

de interconexiones con sistemas externos. Para la estimacin de estado estas

subredes son no observables permanentemente. Adems, algunas zonas de la

red que estn siendo controladas pueden pasar a no observables debido a la

prdida de una medida crtica, a un fallo en el terminal remoto o en las vas de

comunicacin, o simplemente porque en dicha subestacin se est realizando

mantenimiento o est siendo reparada la unidad remota.

Con objeto de convertir en observables todas esas zonas no observables se

utilizan las pseudomedidas, las cuales se basan en las ltimas medidas y en

datos histricos. Por lo tanto, la estimacin de estado realiza una funcin

que un operador podra realizar de una manera ms lenta y proporciona una

informacin que el SCADA no puede suministrar.

Si el periodo durante el cual las zonas no observables permanecen en este

estado es elevado, la estimacin de estado puede no ser correcta, no por causa

de las pseudomedidas, sino por la posibilidad de cambios en el estado de dicha

zona.

Cuando se produce una isla no observable debido a una red de tensin

inferior, si la no observabilidad se debe a la prdida o a la no disponibilidad de

una medida crtica, se puede subsanar este problema comunicando el cambio

del estado desde la subestacin al centro de control y se actualizara el sistema.

Sin embargo, si la no observabilidad se debiese a la imposibilidad de acceder

a la subestacin por cualquier razn, entonces los cambios no se registraran. Si

el periodo de indisponibilidad llega a ser excesivamente prolongado, el operador

podra recibir informacin telefnica desde la subestacin por el personal de

operacin o mantenimiento y si fuese necesario, debido a la importancia de

la subestacin, tendra que haber personal que la controlase en modo local

temporalmente.

Por ltimo, si la zona no observable no es demasiado extensa, un cambio

en un interruptor se podra notar e incluso identicar en las zonas observables

adyacentes.

Resultados de la inyeccin en los nudos de la estimacin de esta-

do

Con objeto de que el usuario nal, por ejemplo el operador del sistema, apre-

cie el valor de la estimacin de estado y tenga conanza en sus resultados, es



necesario tener un especial cuidado en la determinacin y presentacin de si

las inyecciones en los nudos son simples o mltiples.

En ciertos casos, la distribucin de la inyeccin estimada en un nudo entre

los generadores y las cargas del mismo puede dar lugar a situaciones absurdas

si no se tiene un especial cuidado. Puede ocurrir que:

Las salidas de los generadores sean muy superiores a su capacidad. Los generadores absorban potencia del nudo. Haya valores de cargas excesivamente elevados. Haya cargas que aporten potencia al nudo. Aparezca una carga que en realidad no existe.Una vez que el estimador de estado ha obtenido su solucin, la distribucin

de la inyeccin en el nudo entre los generadores y las cargas ser tal que se

eviten resultados como los indicados anteriormente. En aquellos lugares en los

que la inyeccin estimada no pueda ser distribuida de una manera realista ser

necesario que se haga mencin mediante algn comentario o indicacin.

El algoritmo del estimador de estado estima la inyeccin en un nudo y no las

inyecciones individuales. La distribucin de la inyeccin entre las inyecciones

individuales se realiza proporcionalmente a los valores medidos.

Esta es una buena aproximacin mientras no existan datos con errores no

gaussianos en una o ms de las inyecciones. Si se detecta un error no gaussiano

en la inyeccin no se puede identicar cul de las inyecciones individuales es la

que ha introducido el error. Sin embargo, es posible que se pueda identicar

mediante mtodos heursticos.

Medidas crticas

Por denicin, en estimacin de estado un error en una medida crtica no

puede ser identicado. Por lo tanto, depender del operador la decisin de si

una medida crtica es correcta o no. Por este motivo, en la presentacin de los

resultados de la estimacin de estado, las medidas crticas se identicarn de

un modo especial.

Idealmente, habr suciente redundancia en el conjunto de medidas de

manera que no haya medidas crticas. Con este criterio se asegura la redun-

dancia local en la red pero en la prctica pueden existir varias medidas crticas.



El nmero de medidas crticas no permanece jo. Alguna de las medidas

puede convertirse en crtica debido a la no disponibilidad de alguna medida o

a que se rechace por ser detectada como medida con error no gaussiano.

La presentacin al operador de las medidas que son crticas le permitir

saber que en caso de que exista algn error no gaussiano en dichas medidas no

podr ser identicado.

Topologa de la red

En la estimacin de estado se supone que la informacin que se tiene en la

base de datos respecto a la posicin abierta o cerrada de los interruptores y

seccionadores es correcta. Esta suposicin es cierta si es supervisada por medio

del SCADA.

Se pueden producir errores en la estacin remota debido a la prdida de

conexin, a un problema de un cable, un fallo en algn rel, alguna tarjeta,

etc. Estos errores no suelen producirse pero si ocurriesen daran lugar a que

el congurador de la red proporcionase un modelo errneo de sta.

Si el interruptor o seccionador no se supervisa a travs del SCADA, la

actualizacin de su posicin la realiza manualmente el operador tras una serie

de operaciones que el operario de campo realiza. Puede ocurrir que el opera-

dor se olvide de actualizar la posicin de los equipos, lo que origina un error

topolgico en la red.

Este problema se puede obviar mediante el preprocesador del estimador de

estado. ste lo que realiza es la vericacin de cada nudo y si el residuo de

las potencias activa y reactiva superan un umbral se emite un mensaje que

avisar al operador. Por lo tanto, si se produce algn error en la informacin

que se tenga de un interruptor, sta se detectara por la correlacin que existe

entre la posicin del interruptor y los ujos de las ramas.

Identicacin de errores no gaussianos

En la mayora de los centros de control se utiliza el test de la 2 para ladeteccin de errores no gaussianos (se analizar en detalle en el Apartado 7.3).

En la prctica este test no es siempre correcto, aun cuando slo haya un nico

dato errneo, especialmente en redes grandes.

En el caso de que haya mltiples errores no gaussianos el test de la 2 seejecuta hasta un lmite, es decir, despus de que se hayan rechazado los errores

con los mayores residuos, el test puede indicar que no existen ms errores


Resumen 19

cuando en verdad s existen.

Por ello es conveniente que en la pantalla de ajuste de parmetros del

estimador de estado se presente la facilidad de que el operador pueda evitar la

realizacin del test de la 2. De esta manera el proceso ir directamente a larutina de identicacin mediante el examen de los residuos normalizados.

Hay que destacar que, incluso si no se detectan todos los errores no gaus-

sianos, el estimador de estado puede ofrecer una estimacin muy parecida al

valor verdadero.

1.4 Resumen

En este captulo se ha presentado el problema que exista en la operacin de

los sistemas de potencia y el cambio de mentalidad producido hacia los nuevos

sistemas de seguridad. Al producirse este cambio fue cuando emergi con gran

fuerza la estimacin de estado como solucin a los problemas de inconsistencia

y seguridad planteados.

Se han estudiado los datos de entrada necesarios para el estimador de es-

tado (Apartado 1.2), que adems de los datos proporcionados por el SCADA

necesita los valores de los parmetros, la informacin topolgica, el modelo

matemtico del sistema y las pseudomedidas. En este mismo apartado se

han analizado los parmetros que denen la exactitud de la medida y se ha

justicado la utilizacin de la clase como nico parmetro para denirla.

Por ltimo, se han analizado los resultados que se obtienen de la estimacin

de estado (Seccin 1.3), justicndose los motivos para realizarla, as como la

inuencia que tiene sta sobre las funciones de control, el operador y la plani-

cacin. Igualmente se han remarcado las limitaciones que tiene la estimacin

y que deben quedar completamente claras para el operador con objeto de que

ste pueda subsanarlas.


Bibliografa

[1] Abur A., A Bad Data Identication Method for Linear Programming

State Estimation. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 5, No. 3,

pp. 894-901, August 1990.

[2] Abur A., elik M., A Fast Algorithm for the Weighted Least Absolute

Value State Estimation. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 6,

pp. 1-8, February 1991.

[3] Allam M., Laughton M., A General Algorithm for Estimating Power

System Variables and Network Parameters. IEEE PES 1974 Summer

Meeting, Anaheim, CA, Paper C74 331-5, 1974.

[4] Allemong J., Radu L., Sasson A., A Fast and Reliable State Estimation

Algorithm for AEP's New Control Center. IEEE Transactions on Power

Apparatus and Systems, pp. 933-944, April 1982.

[5] Baldick, R., Clements K., Pinjo-Dzigal Z., Davis P., Implementing Non-

quadratic Objetive Functions for State Estimation and Bad Data Rejec-

tion. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 12, No. 1, pp. 376-382,

February 1997.

[6] elik M., Abur A., A Robust WLAV State Estimator Using Transforma-

tions. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 7, No. 1, pp.106-113,

February 1992.

[7] Clements K., Denison O., Ringlee R., The Eects of Measurement Non-

Simultaneity, Bias and Parameter Uncertainty on Power System State

Estimation. PICA Conference Proceedings, pp. 327-331, June 1973.

[8] Clements K., Ringlee R., Treatment of Parameter Uncertainty in Power

System State Estimation. IEEE Transactions on Power Apparatus and

Systems, Anaheim, Cal., Paper C74 311-7, July 1974.

21


22 BIBLIOGRAFA

[9] Clewer B., Irving M., Sterlig M., Topologically Independent State Esti-

mation. IFAC Symposium Power Systems. Modelling and Control Appli-

cations, Brussels, pp. 17.1.1.-17.1.13., September 1988.

[10] Debs A., Litzenberger W., The BPA State Estimator Project: Tuning

of Network Model. IEEE Transactions on Power Systems, Paper A 75

448-1, July 1975.

[11] Dopazo J., Klitin O., Stagg G., Van Slyck L., State Calculation of Pow-

er Systems from Line Flow Measurements. IEEE Transactions on Pow-

er Apparatus and Systems, Vol. PAS-89, No. 7, pp. 1698-1709, Septem-

ber/October 1970.

[12] Dopazo J., Klitin O., Van Slyck L., State Calculation of Power Systems

from Line Flow Measurements, Part II. PICA Conference Proceedings,

Boston, pp. 341-347, 1971.

[13] Dy Liacco T., The Role and Implementation of State Estimation in an

Energy Management System. Electrical Power & Energy Systems, Vol.

12, No. 2, pp. 75-79, April 1990.

[14] Falco D., de Assis S., Linear Programming State Estimation: Error

Analysis and Gross Error Identication. IEEE Transactions on Power

Systems, Vol. 3, No. 3, pp. 809-815, August 1988.

[15] Gmez A., Estimacin de Estado en Sistemas Elctricos de Potencia.

Automtica e Instrumentacin, No. 155, pp. 185-193, Febrero 1986.

[16] Handschin E., Schweppe F., Kohlas J., Fiechter A., Bad Data Analysis for

Power System State Estimation. IEEE Transactions on Power Apparatus

and Systems, Vol. PAS-94, No. 2, pp. 329-337, March/April 1975.

[17] Handschin E., Kliokys E., Transformer Tap Position Estimation and Bad

Data Detection Using Dynamic Signal Modelling. IEEE Transactions on

Power Systems, Vol. 10, No. 2, pp. 810-817, May 1995.

[18] Irving M., Owen R., Sterling M., Power System State Estimation Using

Linear Programming. IEE Proceedings, Vol. 125, pp. 879-885, September

1978.


BIBLIOGRAFA 23

[19] Kotiuga W., Vidyasagar M., Bad Data Rejection Properties of Weighted

Least Absolute Value Techniques Applied to Static State Estimation.

IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101, No.

4, pp. 844-853, April 1982.

[20] Larson R., Tinney W., Hajdu L., Piercy D., State Estimation in Power

Systems. Part II: Implementation and Applications. IEEE Transactions

on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-89, No. 3, pp. 353-362, March

1970.

[21] Liu W., Wu F., Lun S., Estimation of Parameter Errors from Measure-

ment Residuals in State Estimation. IEEE Transactions on Power Sys-

tems, Vol. 7, No. 1, pp. 81-89, February 1992.

[22] Liu W., Lim S., Parameter Error Identication and Estimation in Power

System State Estimation. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 10,

No. 1, pp. 200-209, February 1995.

[23] Lo K., Ong P., McColl R., Moatt A., Sulley J., Development of a Static

State Estimator, Part I: Estimation and Bad Data Suppression, Part II:

Bad Data Replacement and Generation of Pseudo-Measurements. IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102, pp. 2486-

2500, 1983.

[24] Masiello R., Schweppe F., A Tracking Static State Estimator. IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-90, pp. 1025-

1033, March/April 1971.

[25] Mayo J., Nievas J., Pastor A., Medidas de Potencia Elctrica: Vatmet-

ros. Automtica e Instrumentacin, No. 155, pp. 135-153, Febrero 1986.

[26] Mili L., Van Cutsem T., Ribbens-Pavella M., Hypothesis Testing Iden-

tication: A New Method for Bad Data Analysis in Power System State

Estimation. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol.

PAS-103, No. 11, pp. 3239-3252, November 1984.

[27] Mili L., Van Cutsem T., Ribbens-Pavella M., Bad Data Identication

Methods in Power System State Estimation. IEEE Transactions on Power

Apparatus and Systems, Vol. PAS-104, No. 11, pp. 3037-3049, November

1985.


24 BIBLIOGRAFA

[28] Mili L., Phaniraj V., Rousseeuw P., Least Median of Squares Estimation

in Power Systems. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 6, No. 2,

pp. 511-523, May 1991.

[29] Quintana V., Van Cutsem T., Real-Time Processing of Transformer Tap

Positions. Canadian Electrical Engineering Journal, Vol. 12, No. 4, pp.

171-180, 1987.

[30] Quintana V., Van Cutsem T., Power System Network Parameter Esti-

mation. Optimal Control Applications & Methods, Vol. 9, pp. 303-323,

1988.

[31] Ruiz J., Gmez A., A Line-Current Measurement Based State Estima-

tor. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 7, No. 2, pp. 513-519,

May 1992.

[32] Van Cutsem T.,Quintana V., Network Parameter Estimation Using On-

line Data with Application to Transformer Tap Position Estimation. IEE

Proceedings, Vol. 135, Pt C, No. 1, pp. 31-40, January 1988.

[33] Van Slyck L., Allemong J., Operating Experience with the AEP State

Estimator. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, No. 2, pp. 521-

528, May 1988.

[34] Wu F., Power System State Estimation. Electrical Power & Energy Sys-

tems, Vol. 12, No. 2, pp. 80-87, April 1990.

[35] Zarco P., Gmez A., O-line Determination of Network Parameters in

State Estimation. Proceedings 12th. Power System Computation Con-

ference, pp. 1207-1213, Dresden, Germany, August 1996.


Captulo 2

Mtodos de Estimacin de Estado

2.1 Introduccin

El estado de un sistema de potencia hace referencia a su condicin de operacin

y, matemticamente, todas las cantidades se pueden calcular una vez que se

conocen las magnitudes de las tensiones y los desfases de los ngulos. Por lo

tanto, el modelo matemtico de la estimacin de estado se basa en las relaciones

matemticas entre las medidas y las variables de estado.

Sea z el vector de telemedidas, x el vector de variables de estado (tensionesen los nudos y fase de los ngulos), h las ecuaciones que relacionan las medidascon las variables de estado y el vector de errores de las medidas. Entonces,el vector de medidas se modela como [25, 26]:

z = h(x) + (2.1)

Se supone (segn lo expuesto en el Apartado 1.2) que los errores 1, 2, . . . ,m son variables aleatorias independientes con distribucin gaussiana y mediacero, siendo m el nmero de medidas. La varianza 2i del error de la medidai, proporciona una indicacin de la exactitud de la medida. Una varianzaelevada indica que la medida no es muy exacta y una varianza pequea indica

que la medida es muy exacta.

Sea R la matriz de covarianzas de errores de las medidas:

R = E{T} =

21

22.

.

.

2m

(2.2)

25


26 Mtodos de Estimacin de Estado

y W = R1 .En las ecuaciones (2.1), x es el verdadero valor del estado desconocido y,como los errores son variables aleatorias, las medidas z tambin lo son. Msan, z tiene distribucin gaussiana con media h(x) y covarianza R y la funcinde densidad de probabilidad de z se puede escribir [2]:

f(z) = (2pi)m |W |(1/2) e 12 [zh(x)]TW [zh(x)] (2.3)

La ejecucin satisfactoria de la estimacin de estado en los modernos sis-

temas de gestin de energa durante los ltimos aos mediante el mtodo de

mnimos cuadrados ponderados ha incitado a la realizacin de estimadores que

abarcan redes cada vez ms grandes. Esto implica que cada vez sean mayores

los porcentajes de la red externa que se representan.

Con este crecimiento de los sistemas aparecen una serie de problemas que

cuando se trata de otros ms pequeos no existen. Uno de los principales prob-

lemas que se crea es el mal condicionamiento numrico. Cuando el sistema se

encuentra mal condicionado aparecen problemas de lentitud en la convergencia

a la solucin as como fallos en dicha convergencia.

El modo de solucionar el problema de la estimacin de estado es medi-

ante una secuencia de puntos x0, x1, x2, . . . En cada iteracin se resuelve unaparte del problema general en el que el siguiente punto xk+1 se calcula a par-tir del punto xk y del valor del parmetro p (impedancias, tensiones, etc.).Esto se puede representar mediante la siguiente funcin: x1 = f(x0, p), x2 =f(x1, p), . . . Este proceso converge si xn se aproxima a la solucin x.Por otro lado, como consecuencia de que un nmero x1 se almacena me-diante una aproximacin x1 aparece el error de redondeo que es la diferenciade ambos nmeros. El efecto del error de redondeo es que en lugar de utilizar

x2 = f(x1, p), en los clculos se emplea x2 = f(x

1, p

).Un algoritmo se dice que est mal condicionado si para un (x1, p) dado, ladiferencia entre f(x1, p) y f(x

1, p) o entre f(x1, p) y f(x1, p

) es grande siendox1 y x

1 o p y p

valores muy prximos y por lo tanto da idea de cmo de

amplicados pueden quedar los errores en la solucin ante errores en los datos

de entrada. El mal condicionamiento ocurre cuando:

Existe disparidad en los factores de peso [5].

Existe un nmero elevado de medidas de inyeccin [13].

Existe conexin entre lneas de transmisin cortas y largas [21].


Introduccin 27

A las medidas se les asignan diferentes factores de peso dependiendo de la

credibilidad que se les d. As, un valor elevado de dicho factor indica que la

medida es muy parecida a su valor exacto y, al contrario, si la credibilidad que

nos ofrece la medida es muy pequea, su factor de peso ser bajo. Un ejemplo

de mal condicionamiento cuando existe disparidad en los factores de peso es

asignar valores grandes a las medidas virtuales, es decir, se considera que se

trata de medidas ms exactas, y pequeos a las pseudomedidas, es decir, se

considera que se trata de medidas menos exactas.

Se han propuesto diversos mtodos para resolver el problema del mal condi-

cionamiento numrico:

Ecuaciones normales con restricciones [5, 31]. Transformaciones ortogonales [27, 28, 30]. Mtodo hbrido [21]. Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel [10, 18, 32]. Mtodo de pseudoinversas o de Peters y Wilkinson [7, 9, 13, 23]. Mtodo de la matriz aumentada por bloques [3, 22].En [3] se revisan los principales mtodos de resolucin del problema de

estimacin de estado y en [14] se comparan los siguientes mtodos:

Mtodo de ecuaciones normales convencionales. Mtodo de ecuaciones normales con restricciones. Mtodo de transformaciones ortogonales. Mtodo hbrido. Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel.desde el punto de vista de:

Estabilidad numrica. Eciencia computacional. Complejidad en la realizacin.



En dicho artculo se obtiene la conclusin de que el mtodo hbrido y el de

Hachtel son los que ofrecen mejores compromisos entre estabilidad numrica

y eciencia computacional, ya que, aunque el mtodo de transformaciones

ortogonales es numricamente ms estable, no se puede realizar con el mtodo

desacoplado rpido.

Otros mtodos de estimacin de estado no tan extendidos como los basados

en la resolucin de mnimos cuadrados son los de mnimos valores absolutos

[1] y mnima mediana de cuadrados [20].

2.2 Mnimos cuadrados ponderados

En el problema de estimacin de estado se reciben un conjunto de telemedidas

z basndose en el hecho de querer estimar el estado x. El conjunto x que ma-ximiza la funcin de densidad de probabilidad (2.3) es el estimado de mxima

verosimilitud x . Esto se basa en el hecho de que si se han observado dichasmedidas es porque el estado que dio lugar a ellas es, en sentido estadstico,

el ms probable, y si no lo es, se habran observado otras medidas con una

probabilidad bastante alta.

Siendo x el estimado de mxima verosimilitud, ste posee propiedades de-seables para un estimador segn la estadstica matemtica clsica, la cual toma

como criterio de bondad para un estimador la varianza del mismo. Es posible

armar que este estimador posee asintticamente (siendo m un valor elevado)las siguientes propiedades:

Insesgado: E(x) = x.

Suciente: Utiliza toda la informacin estadstica existente en la muestra.

Eciente: Alcanza la cota de Cramer-Rao [16]

E(lnf(x, )

)(lnf(x, )

)T(2.4)

Consistente: xm x si m.

As pues, desde el punto de vista estadstico, es posible armar que, como

mucho, se encontrar un estimador tan bueno como x, pero no mejor.


Mnimos cuadrados ponderados 29

Maximizar f(z) en (2.3) es equivalente a minimizar el trmino cuadrticodel exponente:

J(x) = [z h(x)]TW [z h(x)] (2.5)=

mi=1

[zi hi(x)]22i(2.6)

siendo J(x) la funcin objetivo.Como en este caso el estimador de mxima verosimilitud minimiza el error

cuadrtico ponderado con la exactitud de las medidas, ste es el estimado de

mnimos cuadrados ponderados.

La solucin del problema de mnimos cuadrados ponderados (2.5) propor-

ciona el estado estimado x que satisface la siguiente condicin de optimizacin:

J(x)

x= 0 g(x) = HT (x)W [z h(x)] = 0 (2.7)

donde

H(x) =h(x)

x(2.8)

es la matriz jacobiano.

Independientemente de la visin estadstica de la funcin J(x) es posibledar otra interpretacin geomtrica de dicha eleccin. Por analoga con mnimos

cuadrados lineales se puede decir que minimizar dicha funcin es encontrar el

estado que hace que la distancia desde las medidas obtenidas a las medidas

estimadas sea mnima.

La solucin x de la ecuacin no lineal (2.7) se puede obtener mediante unmtodo iterativo en el que el vector de estado en la iteracin k-sima es xk yen cada iteracin se resuelve la ecuacin lineal:

A(xk)xk = HT (xk)W [z h(xk)] (2.9)y de la que se obtiene la correccin xk = xk+1 xk. En (2.9), A(xk) esuna matriz no singular que depende del mtodo utilizado y mientras que la

secuencia de puntos xk generada por el mtodo iterativo converja, convergera la solucin de (2.7). La dependencia de x se omitir en lo sucesivo parasimplicar la notacin.

Un mtodo que garantiza convergencia cuadrtica local es el mtodo itera-

tivo de Newton, para el cual la matriz A(x) viene dada por:

A(x) =g

x(2.10)



siendo el elemento ij-simo de g/x:

gixj

=

(2h(x)

xixj

)TW [z h(x)]

(h

xi

)TW

(h

xj

)(2.11)

El mtodo de Newton ignora los trminos de derivadas segundas (en [4] se

discute lo signicativo que pueden llegar a ser estos trminos) y queda:

A(x) = HT (x)WH(x) (2.12)

por lo que la ecuacin (2.9) se transforma en:

G(x)x = HT (x)W [z h(x)] (2.13)donde

G(x) = HT (x)WH(x) (2.14)

es la matriz de ganancia . sta es dispersa, denida positiva y simtrica, lo que

asegura la observabilidad del sistema. Las ecuaciones (2.13) son las ecuaciones

normales del problema de mnimos cuadrados ponderados que se resuelven

mediante la factorizacin triangular de la matriz de ganancia

G = UTU (2.15)

siendo U una matriz triangular superior. Seguidamente se resuelve x medi-ante eliminacin hacia adelante y sustitucin hacia atrs de

(UTU)x = HTWz (2.16)

siendo z = z h(x).

2.3 Ecuaciones normales con restricciones

En el caso de existir medidas virtuales, las cuales representan relaciones ma-

temticas exactas, se pueden incorporar directamente en la formulacin de

la estimacin de mnimos cuadrados asignndoles un factor de peso elevado,

pero como se dijo en el Apartado 2.2 se ha observado empricamente que tal

disparidad en los factores de peso puede causar un mal condicionamiento.

Por ello, lo que se hace es proceder a la divisin del conjunto de medidas

en:

Telemedidas: z = h(x) + Medidas virtuales: c(x) = 0(2.17)


Ecuaciones normales con restricciones 31

por lo que la matriz jacobiano se divide en H y C siendo ahora H la submatrizjacobiano de las telemedidas solamente y C la de medidas virtuales. Si k es larelacin entre los factores de peso de las medidas virtuales y las telemedidas,

entonces, de las ecuaciones normales (2.13) obtenemos[HC

]T [1

k

] [HC

]x =

[HC

]T [1

k

] [zc

](2.18)

siendo c = c(x).Para valores de k muy elevados, el trmino kCTC es dominante en la matriz,sin embargo, no suele haber sucientes medidas virtuales como para que la

matriz C sea de rango completo y por tanto sea observable la red. Por lotanto, para valores de k grandes, la matriz de coecientes en (2.18) tiende aser singular causando problemas de mal condicionamiento.

Para evitar este problema las medidas virtuales se pueden separar de las

telemedidas tratndose como restricciones de igualdad y las medidas z incluirnsolamente las telemedidas y las pseudomedidas, si hay alguna. El problema que

se plantea en este caso ser el de encontrar un estimado del vector de estado xque minimice la funcin objetivo (2.5) satisfaciendo, adems, las restricciones

c(x) = 0.Para resolver este problema de minimizacin con restricciones [5, 31] se

puede utilizar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, obtenindose el

estimado x mediante un procedimiento iterativo en el que la ecuacin lineal-izada que se resuelve en cada iteracin es:[

HTWH CT

C 0

] [x

]=

[HTWz

c

](2.19)

Siendo

F =

[HTWH(x) CT

C 0

](2.20)

se realiza la factorizacin triangular

F = UTU (2.21)

y mediante eliminacin hacia adelante y sustitucin hacia atrs de

(UTU)

[x

]=

[HT (x)Wz

c

](2.22)

se obtiene x.



2.4 Transformaciones ortogonales

La funcin objetivo del problema de mnimos cuadrados en cada iteracin es:

J(x) = (z Hx)TW (z Hx)= (z Hx)T (z Hx)= z Hx2 (2.23)

donde

H = W 1/2H (2.24)

z = W 1/2z (2.25)

Siendo I la matriz unitaria, sea Q una matriz ortogonal, es decir QTQ = I,tal que

H = QT[U0

](2.26)

Entonces se tiene:

J(x) = (z Hx)TQTQ(z Hx)= Qz QHx2= y1 Ux2 + y22 (2.27)

donde [Q1Q2

]z =

[y1y2

](2.28)

El mnimo de (2.27) ocurre cuando

Ux = y1 (2.29)

es decir

Ux = Q1W1/2z (2.30)

y de esta ecuacin, mediante resolucin hacia atrs, se obtiene x.Resumiendo, el mtodo comienza realizando las transformaciones ortogo-

nales (2.26) y (2.28) de H y z y a continuacin se resuelve (2.29) mediantesustitucin hacia atrs. De esta manera se evita tener que construir G, pero Qes ms densa. Para la obtencin de Q se utiliza la transformacin de Givens.


Mtodo hbrido 33

2.5 Mtodo hbrido

Teniendo en cuenta (2.26) se obtiene:

G = HTWH = HT H = UTQQTU = UTU (2.31)

El mtodo hbrido resuelve las ecuaciones normales utilizando

UTUx = HTWz (2.32)

Los puntos principales de este mtodo son la transformacin ortogonal

(2.26) de H, con lo que se evita la necesidad de utilizar G, y la resolucin de lasecuaciones normales (2.32) mediante eliminacin hacia adelante y sustitucin

hacia atrs sin necesidad de tener que almacenar Q [12].

2.6 Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel

Para la resolucin del problema de minimizacin con restricciones de x seutiliza el mtodo de la matriz aumentada de Hachtel en el que las ecuaciones

se aumentan con el vector de residuos y se resuelven en cada iteracin las

siguientes ecuaciones: 0 0 C0 W1 HCT HT 0

11Wr

x

= cz

0

(2.33)siendo:

r = z Hx (2.34) es el multiplicador de Lagrange y es un parmetro utilizado para controlarla estabilidad numrica del problema [26].

Las variables que se calculan en cada iteracin son, adems de x:

= 1 (2.35)r = 1Wr (2.36)

(2.37)

Deniendo

K(x) =

0 0 C0 W1 HCT HT 0

(2.38)



se realiza la factorizacin triangular

K = UTU (2.39)

y mediante eliminacin hacia adelante y sustitucin hacia atrs de

(UTU)

r

x

= cz

0

(2.40)se obtienen las correcciones.

En el caso particular de que no existan restricciones de igualdad las ecua-

ciones a resolver son:[W1 HHT 0

] [1Wr

x

]=

[z0

](2.41)

Este mtodo tiene el inconveniente de destruir la simetra de la matriz

debido a los pivotamientos.

2.7 Mtodo de pseudoinversas

Este mtodo, tambin llamado de Peters y Wilkinson, realiza la minimizacin

del error de mnimos cuadrados mediante la siguiente transformacin del pro-

blema original:

H = W1/2H (2.42)

z = W1/2z (2.43)

con lo que el problema se reduce a:

minimizar J(x) = rtr(2.44)

siendo

r = Hxz (2.45)Factorizando H de manera que:

H = LU (2.46)

siendo L una matriz trapezoidal inferior y U una matriz triangular superior, ydeniendo:

y = Ux (2.47)


Mtodo de pseudoinversas 35

el problema se reduce a:

minimizar rtrsujeto a: r = Ly z (2.48)

De este problema transformado se obtiene y de la ecuacin:

[LTL] y = LTz (2.49)

no siendo LTL tan mal condicionado como G y obtenindose la solucin delproblema original mediante la resolucin del sistema triangular superior de

ecuaciones:

Ux = y (2.50)

La resolucin con restricciones [9] se puede expresar como:

[C

H

]x =

[cz

](2.51)

realizndose la misma factorizacin que en el mtodo sin restricciones. Se crea

una matriz triangular superior U no singular y una trapezoidal inferior L,teniendo sta la siguiente estructura:

[L11 0L21 L22

](2.52)

La resolucin se realiza calculando previamente una variable intermedia wde L11w = c mediante eliminacin hacia adelante. Seguidamente se obtieneotra variable intermedia y de:

LT22L22y = LT22z (2.53)

mediante factorizacin dispersa. Por ltimo se resuelve:

Ux =

[wy

](2.54)

y se obtiene x mediante sustitucin hacia atrs.



2.8 Mtodo de la matriz aumentada por bloques

La idea bsica de este mtodo se basa en organizar la formulacin del mtodo

de la matriz aumentada de Hachtel como una submatriz con estructura de

bloques que se ajuste a la forma de la matriz de incidencias de la red y de esta

manera queda como una matriz dispersa.

Toda la informacin asociada a las medidas se agrupa en ujos, incluyendo

tensiones, e inyecciones eliminndose toda formulacin explcita de los ujos

en la resolucin del sistema. Las nicas restricciones que se consideran estn

asociadas a inyecciones y todas ellas son, por tanto, informaciones nodales.

Separando en (2.33) la informacin en inyeccin (subndice i) o de ujo ytensiones (subndice f) y haciendo = 1 por claridad, se obtiene:

0 0 0 C0 W1i 0 Hi0 0 W1f HfCT HTi H

Tf 0

WiriWfrfx

=

czizf0

(2.55)

Seguidamente, permutando en la matriz de informacin las las y las colum-

nas que involucran a las restricciones y eliminando de ella HTf :W1f 0 0 Hf0 W1i 0 Hi0 0 0 CHTf H

Ti C

T HTf WfHf

WfrfWirix

=

zfzic

HTf Wfzf

(2.56)

En (2.56) se observa que la ecuacin asociada a los residuos de las medi-

das de ujos queda desacoplada del resto del sistema, por lo que la ecuacin

matricial que se ha de resolver es: W1i 0 Hi0 0 CHTi C

T HTf WfHf

Wiri

x

= zicHTf Wfzf

(2.57)La idea de reordenar este sistema de ecuaciones con objeto de obtener una

estructura particionada en bloques de manera que resulte fcil de factorizar

ha sido desarrollada en [29] y la razn es evitar la utilizacin de rutinas espe-

ciales que almacenen los pivotes pequeos o nulos necesarios para realizar una

eliminacin eciente y estable.


Mnimos valores absolutos 37

El modelo de (2.57) tiene una estructura intermedia entre (2.19) y (2.33),

siendo HTf WfHf un subconjunto de la matriz de admitancia nodal y estandotodas las variables de (2.57) relacionadas con los nodos de la red. El siguiente

paso se basa en realizar las necesarias permutaciones de las y columnas de

manera que estn agrupadas todas las variables de un mismo nodo [11].

2.9 Mnimos valores absolutos

El mtodo de estimacin de mnimos cuadrados se ha estudiado ampliamente

y as, tanto su estabilidad numrica como su eciencia computacional se han

ido mejorando grandemente. Posteriormente, se ha propuesto el mtodo de

mnimos valores absolutos para resolver el problema de estimacin de estado

[8, 15, 17].

El mtodo de resolucin de mnimos valores absolutos es un mtodo robusto

y la solucin que el mtodo propone es la que a continuacin se detalla.

El modelo del sistema que relaciona las medidas con los estados que se van

a estimar es (2.1), que linealizado en torno al punto de operacin x0 es:

z = H(x0)x+ (2.58)

donde

z = z h(x0) (2.59)H(x0) =

h

x

x=x0

(2.60)

x = x x0 (2.61)El estimador de mnimos valores absolutos se obtiene minimizando la sigu-

iente funcin objetivo:

J(x) =mi=1

wi|zi Hi(x0)x| (2.62)

Esta funcin objetivo se puede minimizar iterativamente resolviendo el si-

guiente problema de programacin lineal:

minimizar J(x) =mi=1

wi(ui + vi)

sujeto a: z0 = H(x0)xu H(x0)xv + u v(2.63)

donde



xu,xv, u, v 0 xu(i) = x(i) si x(i) 0 y 0 en los otros casos xv(i) = x(i) si x(i) 0 y 0 en los otros casos u y v son vectores no negativos de dimensinm x 1 tales quemin[u(i), v(i)] =0 y max[u(i), v(i)] = |zi Hi(x0)x|El problema de programacin lineal de las ecuaciones (2.63) se puede re-

solver en dos etapas. En la primera de ellas se obtiene una posible solucin

bsica y en la segunda se realiza la optimizacin iterativamente mediante el

mtodo Simplex hasta encontrar la solucin ptima.

La primera etapa se comienza eligiendo como solucin bsica una matriz

diagonal de dimensin m x m cuyos elementos son 1 -1, dependiendo el signodel correspondiente elemento del trmino independiente. A continuacin, se

obliga a que la base contenga todas las columnas de H(x0). De esta manerase puede conseguir un conjunto de medidas observables sin que las variables

u(i), v(i) se encuentren en la base resultante.En el caso de la estimacin de estado, el conjunto de medidas observables

obtenido para una conguracin de medidas particular se puede utilizar para

inicializar el estimador de mnimos valores absolutos siempre que no vare la

conguracin del sistema.

Los pasos a seguir para resolver dicho problema de programacin lineal

utilizando el mtodo Simplex se pueden resumir de la siguiente manera [19]:

1. Elegir una base inicial que determina un conjunto mnimo de medidas

que hacen completamente observable el sistema. Realizar la factorizacin

triangular de la base elegida.

2. Encontrar la solucin bsica, la cual puede ser no resoluble debido a

algn x(i) negativo. Si es as, cmbiese el signo de la correspondientecolumna de H(x0).

3. Determinar el costo relativo de las variables no bsicas. Si todos son

negativos, parar; se ha encontrado la solucin ptima. En caso contrario,

elegir la variable con mayor costo relativo negativo para introducirla en

la prxima base.

4. Determinar el trmino pivote (variable que abandonar la base). No

permitir que las variables de estado x abandonen la base.


Mnima mediana de cuadrados 39

5. Intercambiar las columnas de las variables que se incorporan y salen de

la base. Ir al paso 2.

Si se aplica directamente este mtodo al problema de programacin lineal

planteado en la ecuacin (2.63) se produce un cdigo de programacin ine-

ciente, por lo que en [1] se detalla un mtodo de resolucin ms ecaaz.

2.10 Mnima mediana de cuadrados

El mtodo de estimacin de estado de mnima mediana de cuadrados se basa

en el mtodo propuesto en [24], pero desarrollado para modelos no lineales y

utilizando tcnicas de matrices dispersas de manera que el tiempo usado en el

procesamiento numrico sea lo ms reducido posible [20].

Siendo N el nmero de nudos de la red y n = 2N 1, en el caso unidimen-sional y de regresin simple (n = 1 2), el estimador no minimiza la suma, sinola mediana de los cuadrados de los residuos. En el caso de regresin mltiple

la funcin objetivo que se minimiza es:

J(x) = r2W (k) (2.64)

siendo

k =[m

2

]+[n+ 1

2

](2.65)

y r2W (k) es el k-simo residuo cuadrado ponderado, donde el residuo ponderadoes:

rW =rii(2.66)

y

r = z z (2.67)es el residuo de las medidas, con z la medida estimada.Primeramente se elevan al cuadrado los residuos ponderados y a continua-

cin se ordenan de menor a mayor, siendo el k-simo el mayor de ellos.

En este mtodo se utiliza un procedimiento combinatorial repetidamente

para seleccionar muestras observables del sistema de tamao n. Para cadamuestra, el sistema no lineal se resuelve mediante el mtodo de Newton-

Raphson, hallndose a continuacin los residuos ponderados, elevndolos al

cuadrado y ordenndolos de menor a mayor. El estimado de mnima mediana

de cuadrados se obtiene minimizando la funcin objetivo entre las muestras

seleccionadas.



En principio, la bsqueda combinatorial incluira

(mn

)muestras, lo que

conduce a tiempos computacionales muy grandes incluso en el caso de pequeos

sistemas. Sin embargo, se pueden considerar solamente un cierto nmero ide selecciones aleatorias de manera que la probabilidad P de que al menosuna muestra no est contaminada con errores no gaussianos sea prxima a 1

(habitualmente 0.95).

Para hallar la expresin de P en trminos de i, se considera que es lafraccin de errores no gaussianos entre las m observaciones. Si m es grande,entonces es la probabilidad de que exista un error no gaussiano. Por lo tanto,la probabilidad de seleccionar n datos buenos es (1 )n y la probabilidad deseleccionar i muestras contaminadas de tamao n es (1 (1 )n)k.Luego

P = 1 (1 (1 )n)k (2.68)y para P , n y dados se puede hallar el mnimo nmero de muestras i quehay que considerar. En la prctica, es deseable no tener solamente un buen

conjunto de muestras, sino varios por lo que se toman 2 x i.

2.11 Resumen

En este captulo se han presentado diversos mtodos para resolver numrica-

mente la estimacin de estado. El primer mtodo analizado (Apartado 2.2) ha

sido el de mnimos cuadrados ponderados, el cual ha sido el ms ampliamente

utilizado debido a sus conocidas propiedades estadsticas.

En las Secciones (2.3 a 2.8) se han mostrado distintos mtodos para sol-

ventar el problema del mal condicionamiento numrico que se presenta en la

estimacin de estado. Cada uno de dichos mtodos le da ms prioridad a uno

de los siguientes aspectos:

Estabilidad numrica. Eciencia computacional. Complejidad en la realizacin.Por ltimo, en los Epgrafes 2.9 y 2.10 se han expuesto los mtodos de

resolucin de mnimos valores absolutos y mnima mediana de cuadrados.


Bibliografa

[1] Abur A., elik M., A Fast Algorithm for the Weighted Least Absolute

Value State Estimation. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 6,

pp. 1-8, February 1991.

[2] Allen A., Probability, Statistics, and Queueing Theory: with Computer

Science Applications. Academic Press, Inc., San Diego, California, 1990.

[3] Alvarado F., Tinney W., State Estimation Using Augmented Blocked

Matrices. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 5, No. 3, pp. 911-

921, August 1990.

[4] Amerongen R., On Convergence Analysis and Convergence Enhancement

of Power System Least-Squares State Estimators. IEEE Transactions on

Power Systems, Paper 95 WM 215-4 PWRS, January 1995.

[5] Aschmoneit F., Peterson N., Adrian E., State Estimation with Equality

Constraints. Tenth PICA Conference Proceedings, Toronto, pp. 427-430,

May 1977.

[6] Barrodale I., Roberts F., An Improved Algorithm for Discrete l1 LinearApproximation. SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 10, No. 5,

pp. 839-848, October 1973.

[7] Bjrck

A., Du I., A Direct Method for the Solution of Sparse Linear

Least Squares Problems. Linear Alg. and its Applic., Vol. 34, pp. 43-67,

1980.

[8] Clements K., Davis P., Frey K., An Ecient Algorithm for Computing

the Weighted Least Absolute Value Estimate in Power System Static State

Estimation. Proceedings of the IFAC International Symposium on Power

Systems and Power Plant Control. Seoul, Korea, pp. 785-790, August

1989.

41


42 BIBLIOGRAFA

[9] Clements K., Woodzell G., Burchett R., A New Method for Solv-

ing Equality-Constrained Power System Static State Estimation. IEEE

Transactions on Power Systems, Vol. 5, No. 4, pp. 1260-1266, November

1990.

[10] Gjelsvik A., Aam S., Holten L., Hachtel's Augmented Matrix Method -

A Rapid Method Improving Numerical Stability in Power System Static

State Estimation. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,

Vol. PAS-104, pp. 2987-2993, November 1985.

[11] Gmez A., Martnez J., Romero E., Ruiz J., Durn J., Luque A., Gonzlez

F., Development of a State Estimator Based on Line-Current Measure-

ments. Sociedad Espaola de Estadstica e Investigacin Operativa, Top,

Vol. 2, No. 1, pp. 85-104, 1994.

[12] Gmez A., Abur A., Martnez J., Monroy D., Peas J., Van Cutsem T.,

Power System State Estimation and Security Assessment. EES-UETP

1996 Course Program, Sevilla, June 1996.

[13] Gu J., Clements K., Krumpholz G., Davis P., The Solution of Ill-

conditioned Power System State Estimation Problems Via the Method

of Peters and Wilkinson. PICA Conference Proceedings, Houston, pp.

239-246, May 1983.

[14] Holten L., Gjelsvik A., Aam S., Wu F., Liu W., Comparison of Dierent

Methods for State Estimation. IEEE Transactions on Power Systems,

Vol. 3, pp. 1798-1806, November 1988.

[15] Irving M., Owen R., Sterling M., Power System State Estimation Using

Linear Programming. IEE Proceedings, Vol. 125, pp. 879-885, September

1978.

[16] Kashyap R., Rao A., Dynamic Stochastic Models from Empirical Data.

Academic Press, Inc., San Diego, California, 1976.

[17] Kotiuga W., Vidyasagar M., Bad Data Rejection Properties of Weighted

Least Absolute Value Techniques Applied to Static State Estimation.

IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101, No.

4, pp. 844-853, April 1982.


BIBLIOGRAFA 43

[18] Liu W., Wu F., Holten L., Gjelsvik A., Aam S., Computational Issues in

the Hachtel's Augmented Matrix Method for Power System State Estima-

tion. Proceedings 9th. Power System Computation Conference, Lisbon,

September 1987.

[19] Luenberger D., Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley,

1984.

[20] Mili L., Phaniraj V., Rousseeuw P., Least Median of Squares Estimation

in Power Systems. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 6, No. 2,

pp. 511-523, May 1991.

[21] Monticelli A., Murari C., Wu F., A Hybrid State Estimator: Solving

Normal Equations by Orthogonal Transformations. IEEE Transactions

on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-105, No. 2, pp. 3460-3468,

December 1985.

[22] Nucera R., Gilles M., A Blocked Sparse Matrix Formulation for the So-

lution of Equality-Constrained State Estimation. IEEE Transactions on

Power Systems, Vol. 6, No. 1, pp. 214-224, February 1991.

[23] Peters G., Wilkinson J., The Least Squares Problem and Pseudo-inverse.

The Computer Journal, Vol. 13, No. 4, pp. 1534-1542, 1970.

[24] Rousseeuw P., Leroy A., Robust Regression and Outliner Detection.

John Wiley, 1987.

[25] Schweppe F., Douglas B., Power System Static-State Estimation. IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-89, pp. 120-135,

1970.

[26] Schweppe F., Handschin E., Static State Estimation in Electric Power

Systems. Proceedings IEEE, Vol. 62, pp. 972-983, July 1974.

[27] Simes-Costa A., Quintana V., A Robust Numerical Technique for Power

System State Estimation. IEEE Transactions on Power Apparatus and

Systems, Vol. PAS-100, pp. 691-698, February 1981.

[28] Simes-Costa A., Quintana V., An Orthogonal Row Processing Algo-

rithm for Power System Sequential State Estimation. IEEE Transactions

on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-100, pp. 3791-3800, August

1981.


44 BIBLIOGRAFA

[29] Sun D., Ashley B., Brewer B., Hughes A., Tinney W., Optimal Power

Flow by Newton Approach. IEEE Transactions on Power Apparatus and

Systems, Vol. PAS-103, No. 10, pp. 2864-2880, October 1984.

[30] Wang J., Quintana V., A Decoupled Orthogonal Row Processing Algo-

rithm for Power System State Estimation. IEEE Transactions on Power

Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, pp. 2337-2334, August 1984.

[31] Wu F., Liu W., Lun S., Observability Analysis and Bad Data Processing

for State Estimation with Equality Constraints. IEEE Transactions on

Power Systems, Winter Meeting, New Orleans, WM103-5, February 1987.

[32] Wu F., Liu W., Holten L., Gjelsvik A., Aam A., Observability Analysis

and Bad Data Processing for State Estimation using Hachtel's Augmented

Matrix Method. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, pp. 604-

611 May 1988.

Copyright P

estimacion de estado y de parametros (zarco y gomez)

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