PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

ESTIMACIÓN INTERVÁLICA

CONTENIDO:

• Estimación puntual para el promedio y la proporción poblacional.

• Estimación interválica para el promedio y la proporción poblacional.

Al término de la sesión, el estudiante resuelve ejercicios, aplicando los diferentes tipos de estimación con información obtenida de una muestra, de manera precisa.

LOGRO DE LA SESION:

4

CASO DE APLICACIÓN 1:

ORTOFÓSFORO QUIMICO EN LAS ESTACIONES DEL RIO MASHCON

El departamento de investigación de una Universidad cajamarquina, llevó a cabo un estudio para estimar el contenido promedio de ortofósforo químico de una estación del rio Mashcón (mg/lt). Se reunieron 16 muestras que se detallan a continuación:

Se desea saber si con la información facilitada de las 16 muestra se puede determinar un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio real de ortofósforo químico, en la estación del Rio Mashcón.

2.26 2.40 3.02 3.21 2.98 3.12 3.05 3.122.85 3.10 3.03 2.88 2.92 3.15 3.22 3.14

INFERENCIA ESTADÍSTICA:

La inferencia estadística es la forma de tomar decisiones basadas en probabilidades y presenta dos aspectos: 

1. Estimación de parámetros: - Puntual

- Por intervalos

2. Prueba de Hipótesis con respecto a una función elegida como modelo.

En esta clase discutiremos el primer punto.

ESTIMACIÓN PUNTUAL:

Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido (como puede ser la media: µ, o la desviación estándar: σ), es un número que se utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetro poblacional.

Una estimación puntual es el valor de la estadística de la muestra correspondiente.

ESTIMACIÓN INTERVALICA

Es un rango de valores con una probabilidad asociada o un nivel de confianza 1-α. La probabilidad cuantifica la posibilidad de que el intervalo contenga el valor verdadero del parámetro de la población. Los límites del intervalo de confianza son: límite inferior (LI) y límite superior (LS).

FACTORES QUE AFECTAN A LOS INTERVALOS DE CONFIANZA.

Los factores que determinan el ancho del intervalo de confianza son:

1.El tamaño de la muestra, n.2.La varianza de la población, usualmente σ es estimada por s.3.El nivel deseado de confianza.

A. Estimación Puntual

• Es la determinación de un valor único y considerado como óptimo de un

parámetro desconocido

n

xxu

n

ii

1 na

pP

Media Poblacional (m) Proporción Poblacional (P)

Donde:a = todos los elementos que tienen la característica de interés.n = tamaño de la muestra

Ejemplo

El siguiente conjunto de valores se refiere al número de errores por cada 5

pruebas de cianuración que han desarrollado 20 ingenieros:

8, 9. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 12, 15, 8, 9, 16, 9, 14, 15, 8

Estime puntualmente el número promedio de errores por cada cinco pruebas que

han desarrollado los ingenieros.

n

xxu

n

ii

1

20

)8...12111098( xu

25.1120

225 xu

El número promedio de errores que ha cometido los ingenieros por cada cinco pruebas de cianuración, es de aproximadamente once.

Ejemplo

Luis García considera su candidatura a alcalde de la ciudad de Cajamarca. Antes

de presentar su candidatura, deciden realizar un sondeo de electores. Una

muestra de 400 reveló que 300 lo apoyarían en las próximas elecciones.

Estime puntualmente la proporción de los votantes que apoyarían al candidato

García.

La proporción de votantes que apoyaría al candidato García es de 0.75 ó del 75%.

400300pP

na

pP

75.0pP

B. Estimación Interválica

o Es la determinación de un intervalo aleatorio [Li, Ls] que tiene una

probabilidad (1-a).

o Se expresa de la forma siguiente:

nzx

nzx

*,* 2/12/1

COEFICIENTE DE CONFIANZA: Z

Es un valor tabular asociado a un nivel de confianza (1-a).

Cuando los parámetros son conocidos, generalmente se usa la

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA, con los siguientes

coeficientes z1-a/2 para los niveles de confianza de uso más común:

Nivel de confianza (1-a) a 1-a/2 Z1-a/2

90% 0.10 0.95 1.64

95% 0.05 0.975 1.96

99% 0.01 0.995 2.58

B.1. ESTIMACIÓN INTERVÁLICA PARA MEDIA POBLACIONAL (m)

CASO A: Cuando s es conocido

CASO B: Cuando s es desconocido

nzx

nzx

*,* 2/12/1

n

stx

n

stx nn *,* )2/1,1()2/1,1(

Ejemplo

Para tratar de estimar el consumo promedio por cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49 clientes. Si el consumo promedio de la muestra es de 24.80 soles y la desviación estándar poblacional es de 5 soles. Cuál es el intervalo de confianza de 95% para el consumo promedio de los clientes?

Tenemos: n = 49 = 24.80 soles s = 5 soles

N.C. = 95%, z1- /a 2 = 1.96

CASO A

49

5*96.180.24;

49

5*96.180.24

20.26;40.23

El consumo promedio de los clientes del restaurant está entre 23.40 soles y 26.20 soles, con un nivel de confianza del 95%.

Ejemplo

En un programa de adiestramiento en SENATI, el director de manufactura desea

contar con un programa asistido por computadora que se pueda usar para

adiestrar a los empleados de mantenimiento en las operaciones de reparación de

máquinas. Se espera que con el método de cómputo se reduzca el tiempo

necesario para el adiestramiento. Para evaluarlo el director de manufactura pide

una estimación interválica del tiempo promedio de adiestramiento necesario con el

programa asistido por computadora con un 95% de confianza.

Suponga que la gerencia aceptó adiestrar a 15 empleados con el programa asistido

por computadora. En la tabla veremos los datos de días necesarios de

adiestramiento por cada empleado en la muestra.

Empleado Tiempo Empleado Tiempo Empleado Tiempo

1 52 6 59 11 54

2 44 7 50 12 58

3 55 8 54 13 60

4 44 9 62 14 62

5 45 10 46 15 63

Tabla: Tiempo de Adiestramiento en días para el Programa Asistido por Computadora en Senati

Tenemos: n = 15 = 53.87 días s = 6.82 días

CASO B

65.57;09.50

El tiempo promedio de adiestramiento necesario para los empleados con el programa asistido por computadora se encuentra entre 50 días y 58 días con una confianza del 95%.

15

82.6*145.287.53;

15

82.6*145.287.53

145.2)975.0,14()2/05.01,115()2/1,1( ttt n

N.C. = 95%

B.2. ESTIMACIÓN INTERVÁLICA PARA LA PROPORCIÓN (P)

Si p = a/n es la proporción de éxitos en una muestra de tamaño n, el intervalo de confianza (1 - a) % para P estará dado por:

n

qpzp

n

qpzpP

**,

** 2/12/1

Ejemplo

En una encuesta de opinión empresarial, 320 de un total de 400 trabajadores

entrevistados, se pronunciaron a favor de una supervisión por áreas de parte del

ingeniero de planta.

Se desea establecer un intervalo del 95% para la proporción de trabajadores que

están a favor del pronunciamiento.

Tenemos: p = 320/400 = 0.80 N.C. = 95% z = 1.96

8392.0;7608.0P

La proporción de empleados que están a favor de la supervisión está entre el 76.08% y el 83.92%, con una confianza del 95%.

40020.0*80.0

*96.180.0;400

20.0*80.0*96.180.0P

¿QUÉ HEMOS VISTO?

o ¿Qué es un estimador?

o Fórmulas e interpretaciones de la

estimación puntual para el promedio y la

proporción poblacional.

o Fórmulas e interpretaciones de la

estimación interválica para el promedio y

la proporción poblacional.

BIBLIOGRAFIA BASICA:

1519.2 SCHE

SCHEAFFER Mc. CLAVEPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA

2005

2519.5 LEVI/P

LEVINE-KREHBIEL-BERENSON

ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN. 2006

3519.2HINE

WILLIAM W. HINESDOUGLAS C. MONTGOMERYDAVID M. GOLDSMANCONNIE M. BORROR

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENÍERIA

2011

Estimado estudiante, puedes revisar los siguientes textos que se encuentran en tu biblioteca: