Actividad Nº 4 – Educación Matemática: LOS NÚMEROS RACIONALES – 2° 4° En esta actividad, además de repasar los números racionales, sus distintas formas de expresión, y las cuatro operaciones básicas (que ya vimos en los trabajos anteriores, utilizando racionales positivos), vamos a estudiar el conjunto de los racionales negativos. Además de las explicaciones, en el apunte vas a encontrar enlaces para ver videos que te facilitarán la comprensión de algunos conceptos.

Los números racionales son los que se pueden expresar como fracciones 𝒎

𝒏,

siendo m, n números enteros y n o

Por ejemplo, son números fraccionarios: 3

5 ;

−2

7 ;

4

1 ;

−6

9 , ....

Los números enteros se pueden considerar fraccionarios con denominador 1.

De este modo : 2 = 2

1 ; −5 =

−51

; 0 = 0

1

En una fracción, el denominador indica el número de partes iguales en que se divide el entero y el numerador, cuántas de esas partes se deben considerar.

A la parte de arriba (“m”) se le llama numerador y a la parte de abajo (“n”) se le llama denominador.

𝑚

𝑛

Para encontrar la expresión decimal de una fracción, se halla el cociente entre el numerador y el denominador.

Las expresiones decimales pueden ser finitas o periódicas (cuando un número comienza a repetirse). Ejemplos:

a) 3

4 = 3: 4 = 0,75 b) −

23

= -2 : 3 =- 0,66666... = -0 , 6 ̂ (se repite el 6)

c) 7

30= 7 : 30 = 0,23333 ... = 0, 2 3 ̂ (𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑙 3)

d) 259

110= 259: 110 = 2,3545454. . . = 2,354̂ (se repite el 54)

2

1

5

1

0

1

a Numerador

b Denominador

2

3

3

numerador

denominador

(Al final del apunte podés encontrar un anexo que explica cómo pasar de número decimal periódico a fracción, por si no te acordás cómo se hacía, o ver el video explicativo). Un número racional se representa gráficamente a partir de su expresión fraccionaria o en la recta numérica. Por ejemplo:

Para recordar cómo se representa una fracción en la recta numérica, podés ver el video. Si las fracciones son negativas, este video te puede orientar. De la representación se desprende en el ejemplo a) que se trata de un número menor a la unidad o también se la conoce a la fracción como Propia. Esto va ocurrir siempre que el numerador sea menor que el denominador y su expresión decimal sea menor a 1. Otros ejemplos:

3

5 = 0,6 −

18

= -0,125 ; 1

4 = 0,25 ;

−7

10 = -0,7

En el ejemplo b) de la recta numérica la fracción representaría un número mayor a la unidad, también se la conoce a la fracción como impropia. A Las fracciones impropias también se las puede expresar como número mixto. Los cuales están formados por un número entero y una facción menor a la unidad. Por ejemplo:

5

2= 2

1

2 = 2,5

−7

4 = -1

3

4 = -1,75

17

5 = 3

2

5= 3,4

−31

10 = -3

1

10

= -3,1 Además de las fracciones propias e impropias existen otras con aspecto de números fraccionarios que en realidad son números enteros. Por eso las llamamos Fracciones Aparentes.

Por ejemplo : 25

5 = 5

−12

3 = -4

Ejercicio 1: Clasifica las fracciones en aparentes, menores a la unidad o mayores a la unidad.

a) 11

8 b)

−12

4 c)

7

10 d)

−22

5 e)

−3

14 f)

64

8 g)

18

7 h)

−2

7 i)

−6

13 j)

8

3

Ejercicio 2: Representa en la recta numérica los siguientes números:

a) 7

8 b)

−12

5 c)

9

4 d)

−2

3 e)

−15

7 f)

1

6

3

5

1

8

1

4

7

10

1

4

1

4

1

2

7

4

1

4

1

4

3

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

10

Número mixto En nuestra vida cotidiana es común la utilización de números que tienen una parte entera y otra parte, que no llega a ser un entero, expresada como una fracción propia. A este tipo de números se los llama números mixtos. Ejemplos: - Compré un kilo y medio de pan. (1 entero y ½ ) - Algunas botellas de gaseosa traen dos litros y cuarto. (2 enteros y ¼ ) Un número mixto se puede expresar como fracción, del siguiente modo: tomemos, por

ejemplo, el número mixto 32

5 . Significa que hay 3 enteros y dos quintos. En forma

gráfica, sería: Y si consideramos los 3 enteros divididos en 5 partes, como el último…

… podemos observar que hay en total 17

5 (15 de los tres enteros y 2 del último).

Una forma práctica para pasar de número mixto a fracción es multiplicar el denominador por la parte entera (5 x 3 = 15 en nuestro ejemplo), y sumarle el numerador (15+2 = 17). El resultado de esta operación será el numerador de la fracción buscada. El denominador será el mismo que había en el número mixto. +

3 2

5 =

5.3+2

5 =

17

5

X

FRACCIONES EQUIVALENTES

3

5 =

3.7

5.7 =

21

35

3

5 =

21

35 -

30

25 =−

30:525:5

= - 6

5

−30

25 =

−6

5

Amplificamos la fracción Simplificamos la fracción

Cuando simplificamos una fracción nos interesa obtener una fracción irreducible. Una fracción es irreducible cuando numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1. Para entender mejor cómo hallar fracciones equivalentes, te recomendamos este video. Ejercicio 3: Indica que pares de fracciones son equivalentes:

a) 5

2 ….

35

14 b)

−13

12 ……

−48

36 c)

44

16……..

11

2 d)

−125

300…..

−25

60 e)

7

6 ......

28

18

Ejercicio 4: Simplifica hasta obtener una fracción irreducible:

a) 84

24 b)

90

630 c)

−255

102 d)

85

420 𝑒)

132

60 f)

−105

150 g)

2100

4550 h)

280

630

¿Te acordás las reglas de divisibilidad? Recordemos las más comunes: Un número es divisible por … 2 si es par (los números terminados en 0, 2, 4, 6 y 8) 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (Ejemplo: 729 7 + 2 + 9 = 18, que es múltiplo de 3) 5 si termina en 0 o en 5 (Ejemplos: 720, 565, 4680) 6 si es múltiplo de 2 y de 3 (618, ya que es par y 6 + 1 + 8 = 15, que es múltiplo de 3) 10 si termina en 0 (Ejemplos: 500, 760, 1530).

Ejercicio 5: Elegí un número de la lista A, otro de la lista B y otro de la C con la condición de que los tres representen el mismo número racional:

Lista A : 1 3

10 ;

3

20 ;

−100

10 ; -3

1

4 ; -2

2

5 ; 2

1

2

Lista B : −130

13 ;

−12

5 ;

13

10 ;

5

2 ;

15

100 ;

−13

4

Lista C : 6

40 ;

130

100 ;

−60

25 ;

−20

2 ;

−100

40 ;

−26

8

3

5

3.7

5.7

21

35

3

5

21

35

6

5

3

5

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Para sumar o restar dos o más fracciones, se buscan fracciones equivalentes a las dadas con el mismo

denominador y se suman o restan los numeradores siguiendo la regla de los signos de los enteros.

Recordando un poco

6 + 7 = 13 (es la suma común de números naturales) 10 – 3 = 7 (resta común de números naturales, en donde el que resta, sustraendo, es más chico) Pero en enteros, además se pueden realizar las siguientes operaciones: 3 – 10 = - 7 (a 3 no le podemos sacar 10, así que hacemos 10 -3, pero el resultado tendrá el signo del número que tenía mayor valor absoluto, en este caso, el 10, que es negativo). – 6 – 4 = - 10 (si ambos son negativos, se suman sus valores absolutos, 6 + 4, pero el resultado será negativo también).

Veamos algunos ejemplos: a) -10 – 6 = - 16 b) 7 – 4 = 3 c) 10 – 50 = - 40 d) - 2 – 1 = - 3 e) – 6 + 8 = 2 f) – 10 + 4 = - 6

Si en el ejercicio aparecen más de dos términos, se puede resolver de la siguiente manera:

Se suman todos los que tienen signo + . Se suman todos los que tienen signo - . Finalmente, se calcula la suma de los positivos “menos” la suma de los negativos.

Por Ejemplo: -2+6+7-10-5-4+1-3= (6+7+1)-(2+10+5+4+3)= 14 – 24 = – 10

suma de positivos – suma de negativos

VEAMOS COMO SERÍA EN LOS NÚMEROS RACIONALES:

Suma y resta de fracciones Si las fracciones tienen igual denominador, la suma y resta es muy sencilla: se suman o se restan los numeradores, y el denominador queda igual. Ejemplos:

𝑎) 5

3+

2

3=

5 + 2

3=

7

3 𝑏)

3

4−

10

4=

3 − 10

4= −

7

4 𝑐)

2

5+

7

5−

6

5=

2 + 7 − 6

5=

3

5

Pero si los denominadores no son iguales, deben buscarse fracciones equivalentes que tengan igual denominador: Ejemplo:

3

4+

5

6

Como vemos, 4 es distinto que 6, por lo que habrá que buscar fracciones equivalentes que tengan igual denominador. Para esto, debemos obtener un denominador que sea múltiplo de 4 y de 6 (si es el más chico, mejor). Hagamos un listado de fracciones equivalentes a las dadas, multiplicado por 2, por 3, por 4…: 3

4=

6

8=

9

12=

12

16=

15

20=

18

24=

21

28

5

6=

10

12=

15

18=

20

24=

25

30

Si seguimos buscando fracciones equivalentes, van a aparecer muchas más con igual denominador. Tomaremos las que tienen el denominador igual (común) más chico, en este caso, el 12.

3

4+

5

6 =

9

12+

10

12=

19

12

Veamos algunos ejemplos más:

1) 2

5 −

1

2 =

4

10 -

5

10 =

4−5

10 =

− 1

10

2) -2 + 3

4 -

7

6 =

−24

12 +

9

12 -

14

12 =

−24+9−14

12 =

−38+9

12 =

−19

12

3) 0,25 - 13

8 +3 , 3̂ =

25

100 -

13

8+

30

9 =

1

4-

13

8+

10

3 =

6

24-

39

24+

80

24 =

6−39+80

24 =

86−39

24 =

47

24

(simplificando las fracciones para encontrar un denominador común más fácilmente)

Te dejamos este video explicativo, que te puede ayudar a sumar y restar fracciones.

Ejercicio 6: Resolver las siguientes adicciones y sustracciones:

a) 4 – 9 b) -3 – 5 c) -7 + 10 d) 12 -21 e) 7

3 -

1

2 -

3

5 f)

−5

3 +

1

5 - 2

g) 1

3 -

1

4 - 0,3 h)

13

4 – (

3

4 -

1

2 +

7

6 ) i)

1

2 - 0,25 +

3

4 - 0 , 6̂ j) 3 + 2,25 -

1

4 - 0, 13̂

Multiplicación y división de fracciones. Multiplicar y dividir fracciones es muchísimo más fácil que sumarlas o restarlas.

Para multiplicar fracciones, se multiplican todos los numeradores entre sí, y todos los denominadores entre sí. (“Los de arriba, por los de arriba. Los de abajo por los de abajo). Ejemplo:

3

2∙

7

5∙

6

10=

3.7.6

2.5.10=

126

100 simplificando por 2

126

100=

63

50

Para dividir fracciones, se invierte (se da vuelta) la fracción que está dividiendo y se realiza una multiplicación. (¡OJO! NO SE DIVIDE, TAMBIÉN SE MULTIPLICA).

Ejemplo:

2

5 ∶

3

4 =

2

5 ∙

4

3=

8

15

Se invierte la fracción que está dividiendo y se realiza una multiplicación

Recordemos que siempre que multiplicamos o dividimos, aplicamos la regla de los signos

Signo de un factor Signo del Factor Signo del Producto o Cociente

+ + +

+ - -

- + -

- - +

Algunos ejemplos más…

Ej 1:( - 8

9) .

6

5 . (

−7

4 ) =

336

180 =

28

15 ( se puede multiplicar primero y luego simplificar el resultado

como en este caso, en que se simplificó por 12)

3 3

Ej 2: 1,5 .(- 2 , 9̂) = 15

10 . (-

27

9 ) =

15

10 . (-

27

9 ) = -

9

2 ( también se puede simplificar primero y luego se

2 1 multiplica derecho como en este ejemplo)

8

9

28

15

9

2

Recordemos que se puede simplificar derecho en la división:

(dividiendo por 3) 13 1

ej 1: - 2

3 :

5

7 = -

14

15 ej 2 : (-0, 43̂ ) : ( -

3

30 ) = ( -

39

90 ):(-

3

30) =( -

39

90 ):(-

3

30) =

13

3

(dividiendo por 30) 3 1

Ejercicio 7: Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a) (-13) . (-5) b) -76 : (-4) c) 120 : (-3) : (-8) d) -9. (-4) . (-3) e) 12 . (-9) : (-12) f) -42 : (-6) . (-1)

g)( −18

5) . (

−10

9) h) (

−32

64) . (

−8

16 ) i) ( - 0 , 1̂) . 0,18 j) (

24

15) .(

−5

27) . ( −

9

10) k) (

−5

4) : (

35

12 )

l) (14

48) : (

−21

7 ) m) (-0,36) : ( - 0 , 6̂) n) (

−7

12) .(

8

2) : (

−16

6 ) ñ) (

5

4 ) : (

−2

3 ) .

1

2

o) ( −15

4 ) : (

−30

9 ) . (

−27

6 )

En las actividades anteriores vimos algunos ejercicios combinados, en los que teníamos que respetar un orden

especial para resolver las operaciones: las multiplicaciones y las divisiones se hacen primero, y después las sumas

y restas. (Esto también recibe el nombre de “separación en términos”). Te proponemos que resuelvas los siguientes

ejercicios combinados.

Actividades adicionales:

a) −1

2+

2

5 .

5

3= b)

5

2−

2

3∶

5

3= c)

4

5−

2

7 .

14

3= d)

1

2: (

−3

4) +

2

8 .

5

3+ 0,5 =

Como podes observar, un ejercicio combinado involucra todos los temas que venimos estudiando hasta el

momento: puede haber diferentes formas de expresión de números racionales, están las cuatro operaciones y

el orden en el que hay que resolverlas, y es necesario aplicar la regla de los signos cuando corresponda.

Esperamos que consultes todo lo que no entiendas, que realices la ejercitación, y que la entregues para que

podamos hacerte la devolución. Recordá que en breve estaremos subiendo la actividad Nº 5.

9

2

14

15 39

2

Anexo explicativo de pasaje de expresiones decimales periódicas