LI

MA

-

P

ER

Ú

20

14

PERÚ Ministeriode Educación

MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICAM A T E M Á T I C A F I N A N C I E R A

PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

EDUCACIÓN SECUNDARIA

1

La situación que narramos a continuación se desarrolla en un aula de cuarto de secundaria de una escuela urbana. En ella, a partir de la presentación de un problema, los estudiantes alcanzan a reconocer las características y su uso del interés simple y del interés compuesto, logrando comprender la diferencia entre ambos. Con esta situación, se busca que los estudiantes, a partir de sus experiencias y la movilización de sus saberes previos, lleguen a resolver situaciones similares que se les presente.

PRIMERA SITUACIÓN PARALA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA [[ DECISIONES

PARA AHORRAR: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

PROPÓSITOAPRENDIZAJES

QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES

PREPARACIÓNDE LA

ACTIVIDAD

REALIZACIÓNDE LA

ACTIVIDAD

CIERREDE LA

ACTIVIDAD

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de cantidad, buscando la toma de decisiones relacionadas con el interés simple y compuesto.

PROPÓSITO

Diseñan y ejecutan un plan de múltiples etapas orientado a la resolución de problemas.

Describennuméricaygráficamentelavariaciónporcentualenintervalosdetiempo.

Emplean procedimientos de cálculo con porcentajes al resolver problemas.

Justificanprocedimientosydiferenciasentreelinteréssimpleycompuesto.

Juzgan la efectividad de la ejecución de su plan al resolver el problema.

APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES

1. PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDADEl docente se prepara adecuadamente para desarrollar este tema, indaga y consulta las fuentes necesarias.

Garantiza tener todos los recursos necesarios para el desarrollo de la situación planteada:fichasdelectura,papelotes,plumones,etc.

Además, reconoce los aprendizajes previos que tendrían los estudiantes (los reconocerá en los indicadores del segundo grado, expresado en las matrices de las Rutas del Aprendizaje)yprevéunaformadeorganizar la información,afinde lograr lamejorcomprensión y resolución del problema.

2

2. REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD

El docente plantea la siguiente situación:

“Los estudiantes de sexto grado, como resultado de actividades pro fondos y de cuotas familiares, tienen un total de diez mil nuevos soles. Ellos han decidido ahorrarlos para el viaje de promoción de quinto de secundaria”.

Luego pregunta a los estudiantes si pueden ayudar a los de sexto grado de primaria a tomar la mejor decisión de ahorrocondichodinero.

Entonces les plantea la pregunta del problema:

¿Quétipodeahorroserámásprovechosopara los estudiantes de sexto grado: con interés simple o con interés compuesto?

Preguntas que inducen a los estudiantes la práctica del ahorro:

● ¿Podrá esta actividad motivar a que los estudiantes del grado ahorren para al-guna actividad común?

● ¿Qué estrategias de ahorro podrían considerar? ¿Por qué sería importante para ellos ahorrar?

● ¿Cuánto ahorraríamos en un año en el aula si todos nos comprometiéramos a dar cinco nuevos soles semanales?

● ¿Cuánto tiempo nos falta para el viaje de promoción, cuánto podríamos aho-rrar en ese tiempo?

El docente pregunta a los estudiantes qué saben de estos tipos de interés. Ellos compartenalgunasideas.Definen,enconjunto,interéscomoundineroadicionalquesegana sobre un dinero invertido. Luego, el docente sugiere que revisen el texto de cuarto grado de secundaria, página 63 (cuadro para comprender la diferencia entre interés simple y compuesto).

El docente evoca los saberes previos de los estudiantes tratando de asociar el desarrollo de los aprendizajes con situaciones cercanas.

El docente recoge las ideas de los estudiantes, en función de preguntas motivadoras:

● ¿Algunodeustedes tiene dinero ahorrado? ¿Dónde lotienen?

● ¿Alguno de ustedes sabe qué es el interés?● ¿Alguienharecibidoalgunavezunpréstamo?¿Pagóinteréspordichopréstamo?

● ¿Saben la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto?

A continuación, presenta las dos posibles opciones: el interés simple y el interés compuesto, y comparte los siguientes datos:

INTERÉS SIMPLE: INTERÉS COMPUESTO:TASA ANUAL: 11 % TASA ANUAL: 10 %

3

Editorial Santillana. (2012). Matemática 4. p. 53.

Un capital de S/. 2000 se coloca a un interés simple del 10 % anual durante dos años. ¿Encuántoseconviertedichocapital?¿Ysisecolocaainteréscompuesto?

Luegodelalectura,enfuncióndelocomprendido,ensayandefinicionescompartidasentre todos los estudiantes.

Esta secuencia didáctica es la planteada en el documento Rutas del Aprendizaje de Matemática 2015, ciclos VI y VII. Estas etapas son flexibles, en función de cada situación donde se desarrolla el aprendizaje.

Para aplicar esta situación, es necesario que los estudiantes ya hayan desarrollado razones y proporciones, así como tener un dominio en el desarrollo del procedimiento de la regla de tres simple directa.

A INTERÉS SIMPLE A INTERÉS COMPUESTO

Al finalizar el primer año: Interés ganado: 0,10 . 2000 = 200 Capital: 2000 + 0,10 . 2000 = 2200

Se retiran los intereses y el capital sigue siendo S/. 2000

Al finalizar el segundo año: Interés ganado: 0,10 . 2000 = 200 Capital: 2000 + 0,10 . 2000 = 2200

Al final de los dos años los S/. 2000 se convierten en:

2000 + 200 + 200 = S/. 2400 Se puede obtener directamente el interés

ganado en los dos años: i = 2000 . 0,10 . 2 = S/. 400

Al finalizar el primer año: Interés ganado: 0,10 . 2000 = 200 Capital: 2000 + 0,10 . 2000 = 2200

El interés se capitaliza, el nuevo capital es S/. 2200

Al finalizar el segundo año: Interés ganado: 0,10 . 2200 = 220 Capital: 2200 + 0,10 . 2200 = 2420

Al final de los dos años los S/. 2000 se convierten en:

2000 + 200 + 220 = S/. 2420 Se puede obtener directamente el capital

final al cabo de los dos años: Cƒ = 2000 . (1+0,10)2 = S/. 2420

a. Acción

Luegodehaberentendidoladiferenciaentreambostiposdeahorro,eldocenteplantea la siguiente interrogante:

¿Quétipodeahorroserámásprovechosoparalosestudiantesdesextogrado:con interés simple o con interés compuesto, según las tasas ofrecidas?

Aquísepreguntasobrecuálseráeltipodeahorromásrentableenfuncióndelastasas dadas en el cuadro anterior, asumiendo que dejarán el dinero en el banco porcincoaños(desdemediadosdesextogradohastamediadosdequintodesecundaria).

4

b. Formulación

c. Validación

El docente orienta a los estudiantes para que se organicen en grupos de trabajo y seplanteenhallarladiferenciadeintereses,queobtendríanconelinteréssimpley con el interés compuesto, para saber cuál es la decisión más conveniente.

En cada equipo, los estudiantes trabajan con cifras, organizan los datos obtenidos como resultado de los cálculos y van reconociendo regularidades que van a orientar el reconocimiento del interés simple y compuesto. Eldocenteseacercaacadagrupoyhacepreguntasparagarantizar que todos estén participando.

Eldocenteinvitaaunodelosgruposahacerelplanteamientodelinteréssimpley del interés compuesto delante de todos (copiándolo en un papelote).

A continuación, presentamos el trabajo de cada grupo.

Grupo 1

El docente promueve el trabajo cooperativo, buscando que cada estudiante se enriquezca con los aportes de los demás.

5

Docente: Porfavor,invitamosaunrepresentantedelgrupo2aexplicarnoselprocedimiento que siguió.

Felipe: Parahallarelinteréssimple,nosotrosmultiplicamoslatasadeinterésporeldineroahorrado,esdecir,porS/.10000,00,yesonosdiocomoresultado S/.1100,00 anuales, que por cinco años es S/. 5500,00.

d. Institucionalización

El docente pide a los estudiantes que expliquen los procedimientos seguidos.

Grupo 2

Grupo 3

6

El docente permite que los estudiantes revisen su trabajo y se den cuenta de su error.

Docente: ¿Están de acuerdo con el planteamiento del grupo 2? ¿Es correcto el procedimiento planteado por Felipe?

Sandro: Sí,escorrecto,nosotroshicimoselmismocálculoyhallamoselmismoresultado.

Docente: ¿Lohicierondelamismamanera?

Sandro: No, primero multiplicamos 11 % por 5 y nos dio como resultado 55 %; después calculamos el 55 % de S/.10 000,00 (es decir, multiplicamos ese dinero por 55 y luego lo dividimos entre 100), lo que nos dio como resultado S/. 5500,00.

Docente: ¿Qué opinan los demás? ¿Es también correcto?

Todos: Sí, profesor.

Docente: Felipe,¿nospuedesexplicarcómohallaronel interés compuesto?

Felipe: Nosotroscalculamosel10%deldineroaho-rrado y el primer año nos dio S/.1000,00; el segundo, S/.1100,00; el tercero, S/.1110,00, yasíhastasumarS/.11111,10.

Luana: A nosotros nos salió otro resultado. Nuestro cálculofueS/.6105,10¿Quiénlohizobien,profesor?

Docente: ¿Qué opinan los demás?

Felipe: Profesor,creoquenoshemosequivocado.El10%deS/.10000,00síes S/.1000,00 el primer año, pero no es S/.1100,00 el segundo; eso es solo sumarle el 10 % a lo ganado.

7

Docente: Buena apreciación. Por favor, realiza la corrección en los cálculos.Cuandohallamosun interéscompuesto,debemossumar loganadoaloahorrado(esdecir,elinterésalcapital)ysobreesenuevomontocalcular el 10 %.

Emily: ¿Escomosicadaañovolviéramosaahorrar?

Docente: Esunabuenamaneradeexpresarlo.Alfinaldelperiododecapitaliza-ción (en este caso, un año), se suma todo y se vuelve a calcular.

Felipe: Yaestá,profesor,ahoraloscálculossoncorrectos.

El docente, en lugar de validar las respuestas de los estudiantes, invita a los miembros de un grupo que expliquen cómo realizaron los cálculos y pide a los otros grupos que den su opinión sobre lo que están planteando en la pizarra. También, reconocequecadagrupohatenidodiversas formasdeexpresarsuprocedimiento y valora la variedad de representaciones matemáticas.

El docente pide a los estudiantes realizar un cuadro con los intereses acumulados anuales para ambos casos.

Luego les solicita analizar el cuadro presentado comparando los resultados ypregunta si esposiblehallarungráficode curvas comparativas conesainformación. Un estudiante argumenta que sí, porque eso es lo que ganan cadaaño.Otroargumentaqueno,porqueparacomparardeberíamosgraficarlos totales acumulados cada año. El docente pide opiniones sobre esas ideas. Los estudiantes convienen en que es mejor comparar los totales acumulados y realizan el cuadro en conjunto:

Simple11 %

1100,00

Final del año 1 S/. 11 100,00 S/.11 000,00

Final del año 3 S/. 13 300,00 S/.13 310,00

Final del año 2 S/. 12 200,00 S/.12 100,00

Final del año 4 S/.14 400,00 S/.14 641,00

Final del año 5 S/.15 500,00 S/.16 105,10

1100,00 1100,00 1100,00 1100,00 5500,00

1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 1464,10 6105,10Compuesto10 %

1 año

AÑO INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

2 años 3 años 4 años 5 años TOTAL

8

Acontinuación,realizanunagráficaparacompararambascurvas.

Comparación entre tasas de interés18 000

16 000

14 000

12 000

10 000

8000

6000

4000

2000

0

FINAL DEL AÑO 1 FINAL DEL AÑO 2 FINAL DEL AÑO 3

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

FINAL DEL AÑO 4 FINAL DEL AÑO 5

9

e. Evaluación

Revisan el cuadro en conjunto y el docente plantea otras preguntas:

Orienta el cierre de la actividad con preguntas que se responden en plenaria:

El docente indica que seguirán trabajando este tema y pide que, para la siguiente clase, los estudiantes traigan información sobre la tasa de costo efectivo anual (TCEA) que anuncian los diversos bancos y sobre el crédito de algún familiar para estudiar las tasas y los plazos.

En seguida, valida las respuestas de sus estudiantes pidiendo explicaciones de cada una, presentando los resultados en la pizarra y promoviendo el debate.

Tomar en cuenta que estos procedimientos matemáticos pueden tener diversas formas de representarse.

● ¿Ysiretiramoseldineroalfinalizarelprimeraño, seguirá siendo más rentable el interés compuesto?

● ¿Alfinaldequéañosetendrángananciasaproximadamente iguales?

● ¿Creen que las curvas seguirán separándose?

● ¿En qué se diferencian las tasas de interés simple y de interés compuesto?● ¿Es siempre más ventajosa la tasa de interés compuesto? ¿En qué casos? ¿El tiempo deahorrotienerelaciónconello?

● ¿Saben qué tipos de intereses ofrecen los bancos de nuestra ciudad, simples o compuestos? ¿Qué porcentaje de tasas ofrecen?

● ¿Cómohallaronloscálculosdeinteréssimpleeinteréscompuestoensusrespectivosequipos? ¿Qué procedimientos usaron, qué pasos siguieron?

● ¿Quéequipoplanteóelplanmásefectivopara resolverelproblema?¿Porquéconsideras que fue efectivo?

3. CIERRE DE LA ACTIVIDAD

El docente pide a los estudiantes una recopilación de lo comprendido en la clase y escribe con ellos el siguiente cuadro:

El interés de cada periodo no se reinvierte. El interés de cada periodo se reinvierte.

El interés se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable.

El interés se calcula sobre un capital que cambia cada cierto tiempo, llamado periodo de capitalización, que usualmente es de año a año.

El interés obtenido en cada intervalo de tiempo es el mismo.

El interés obtenido en cada intervalo de tiempo es cada vez mayor, porque se calcula sobre un monto mayor.

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

10

Finalmente, el docente sugiere que los delegados de aula lleven una propuesta a los representantes de sexto grado sobrecuálseríaelahorromásefectivo.

Reconoce cómo lo desarrollado en el aula se vincula con el contexto real de los estudiantes.

Factores que favorecen la comprensión de las tasas de interés

Factores que dificultan la comprensión de las tasas de interés

Proponer un problema real cercano a la realidad de los estudiantes.

Partir de la comprensión de los contenidos y permitir que se hallen los resultados de manera intuitiva.

Enfocarse en los procesos seguidos por los estudiantes y en las explicaciones de estos.

Usar diversas estrategias para representar lo hallado, cuadros, gráficos, etc.

Promover el trabajo cooperativo para que los estudiantes compartan sus dudas y estrategias.

Trabajar estos contenidos solo a partir de un ejercicio.

Limitarse a enseñar la resolución de fórmulas.

Enfocarse solo en los resultados correctos. Limitarse a una sola forma de presentar lo

hallado. Promover únicamente el trabajo individual.

11

RESUMEN DE LA SECUENCIA DIDáCTICADE LA SITUACIÓN

INICIO

DESARROLLO

CIERREEl docente a partir de interrogantes,expresa las ideas centrales respecto

del interés simple y compuesto.

Presentación de una situación relacionada con los estudiantes del sexto grado de primaria

para ver un tipo de ahorro.

EVALUACIÓNEl docente realiza un siguimiento del trabajo

desde los primeros borradores y bocetos hasta el producto final, como una forma de

evaluar el desempeño del estudiante.

INSTITUCIONALIZACIÓNEl docente cumple un rol de mediador, explica,

sintetiza, resume y rescata los conocimientospuestos en juego para resolver la situación

planteada.

VALIDACIÓNEl docente estimula y coordina las pruebas,

los ensayos, las exposiciones, los debates y lasjustificaciones respecto de las características

del interés simple y compuesto.

FORMULACIÓNEl docente orienta la organización de los equipos

de trabajo, garantizando la participación de todos,para reconocer regularidades a partir de

procedimientos con interés simple y compuesto.

ACCIÓNEl docente expone la situación y el propósito que se quiere lograr. Luego se asegura de que

los estudiantes comprendan las característicasdel interés simple y del interés compuesto.