SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu

Câu 1 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol

(P): y = - x2. a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2); b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.

Câu 2 (2 điểm)

a. Giải hệ phương trình

3x 2y 2x 1 y 12x 3y 10

x 1 y 1

;

b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y x 2 .

Câu 3 (2 điểm) a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là

hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất.

b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 23x 4x 1

.

Câu 4 (3 điểm) Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E. a. Chứng minh tam giác EAI cân;

b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID; c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b.

Câu 5 (1 điểm) Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.

---------------------------------------------------------------------------------Hết------------------------------------------------------------------------------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN

HDC CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)

Hướng dẫn chấm gồm có 2 trang

Chú ý: - Học sinh có thể giải theo những cách khác nhau, nếu đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa ứng với phần đó; - Đối với bài hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai hẳn, không cho điểm; - Điểm của bài thi không làm tròn, để lẻ đến 0,25 điểm.

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) <=> 2 = 2.1 – m + 1 0,5

a Vậy: m = 1 0,5 Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt <=> x2 + 2x – m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> ' m 0 0,25

Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25 Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2) Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5 0,25

Câu 1

2 điểm

b

Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25

Đặt x yu ; vx 1 y 1

0,25

Khi đó có hệ: 3u 2v 2 9u 6v 6 u 22u 3v 10 4u 6v 20 v 2

0,25

Từ: x y2 x 2; 2 y 2x 1 y 1

0,25

a

Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25

Ta có: x – y + 1 = 2 x y x 2 x y 1 2 x y x 2 0 . 0,25

Hay: 2x y 1 x 2 0 . 0,25

Suy ra: 2x y 1 x 2 0 x y 1 x 2 0 . 0,25

Câu 2

2 điểm

b

Vì vậy có: x = 2; y = 1. 0,25

Do: 0ADM AEM DAE 90 nên ADME là hình chữ nhật

0,25

Nên : DE = AM 0,25 DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AM BC 0,25

Câu 3

2 điểm

a

ED

B

A

CM Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25

A = 2 22

3x 4 A(x 1) 3x 4 Ax 3x A 4 0x 1

, (*) có nghiệm x 0,25

Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 0,25

Nếu A 0 có : 2 1 99 4A(A 4) 4(A 2) 25 0 A2 2

0,25

b

Vậy : 1 b 9 1min A khix 3; maxA khi x2 2a 2 3

0,25

Vẽ hình để chứng minh a

0,25

Do AD, CE là các đường phân giác nên : DC DB, EB EA

0,25

Do đó: DC EA DB EB 0,25

a

I

F

E

D

OA B

C

Suy ra: AIE IAE Vậy: tam giác EAI cân tại E 0,25

Ta có: AIE CID (đối đỉnh) 0,25

EAI DCI (cùng chắn cung DE) 0,25

Do đó : ICD IAE . 0,25

b

Suy ra: IC ID IC.IE IA.IDIA IE

0,25

AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0 0,25

Do: 0DIB IBA IAB 45 nên BID vuông cân suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2

0,25

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có: BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 <=> x2 - bx - a2 = 0 0,25

Câu 4

3 điểm

c

Có: x = 2 2b b 4a2

(loại), x = 2 2b b 4a2

. Vậy AB = 2 2b b 4a2

0,25

Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ 2014. n N* Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. 0,25

Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013 hay:

j sô 2014 i sô 2014 j í sô 2014 4i sô 0

20142014...2014 20142014...2014 20142014....20140000...0000 2013

0,25

Số có dạng 20142014…2014 . 104i 2013 Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n N* 0,25

Câu 5

1 điểm

Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25

--------------------------------------------------------------------------Hết-----------------------------------------------------------------------------------

(Cảm ơn thầy Bùi Văn Ngọc GV chuyên Chu Văn An – Lạng Sơn cung cấp)