TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠKHOA SƯ PHẠMBỘ MÔN TOÁN

----------------

BÀI BÁO CÁO MÔN GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

NHÓM 03CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ

GVHD: Lại Thị Cẩm

Các thành viên: 1. Trần Thị Kim Luyến MSSV: 1050042 2. Nguyễn Hoàng Anh MSSV: 1070109 3. Chế Ngọc Hà MSSV: 1070126 4. Lê Thúy Hằng MSSV: 1070127 5. Nguyễn Hòang Long MSSV: 1070142 6. Lý Sel MSSV: 1070157 7. Thạch Thanh Tâm MSSV: 1070163

Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009

TOÙM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ

I. Các định nghĩa: Vectô laø ñoaïn thaúng coù đònh höôùng Kyù hieäu :

; hoaëc ; Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng

ñieåm cuoái. Kyù hieäu . Giaù của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của

vectơ. Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song

song hoaëc truøng nhau. Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng

hoaëc ngöôïc höôùng. Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø

cuøng ñoä daøi. II. Tổng và hiệu của hai vectơ: Ñònh nghóa: Cho ; . Khi ñoù

Tính chaát : * Giao hoaùn : =

* Keát hôïp ( ) + = + )* Tính chaát vectô –khoâng + =

Quy taéc 3 ñieåm : Cho A, B ,C tuøy yù. Ta coù : + = Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình

haønh thì + = Quy taéc veà hieäu vectô : Cho , với điểm O tuøy yù

ta coù : . Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì . Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì . Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì .

III. Tích của vectơ với một số: Cho kR , k laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh:

* Neáu k 0 thì k cuøng höôùng vôùi ; k < 0 thì k ngöôïc höôùng vôùi

* Ñoä daøi vectô k baèng . Tính chaát : a) k(m ) = (km)

b) (k + m) = k + m c) k( + ) = k + k

d) k = k = 0 hoaëc =

cuøng phöông ( ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa =k .

Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho =k .

Cho khoâng cuøngphöông , luoân ñöôïc bieåu dieãn = m + n ( m, n duy nhaát ).IV. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ:

Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô coù ñoä daøi baèng 1.

Kyù hieäu truïc (O; ) hoaéc x’Ox A,B naèm treân truïc (O; ) thì = . Khi ñoù

goïi laø ñoä daøi ñaïi soá cuûa . Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox Oy. Kyù hieäu Oxy hoaëc (O; ; ).

Ñoái vôùi heä truïc (O; ; ), neáu =x +y thì (x;y)

laø toaï ñoä cuûa . Kyù hieäu = (x;y). Cho = (x;y) ; = (x’;y’) ta coù :

= (x x’;y y’) k =(kx ; ky) ; k R

cuøng phöông ( ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa x’=kx vaø y’= ky.

Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù:

P laø trung ñieåm MN thì xp = vaø yP =

= (xM – xN ; yM – yN). Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì

xG = vaø yG = .

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VECTƠ

1. Chứng minh đẳng thức vectơ:

Phương pháp chung: - Quy tắc 3 điểm: - Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn có:

- Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm AB luôn có: .

- Các tính chất của phép cộng,trừ vecctơ và phép nhân một số với một vectơ để thực hiện biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta lựa chọn một trong các biến đổi sau: + Biến đổi một vế thành vế còn lại Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức. Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ. + Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng. + Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh. + Tạo dựng các hình phụ. Ví dụ 1:Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: Giải: Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Thực hiện phép biến đổI VT, ta có: Nhận xét: Thực hiện việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo ra sự xuất hiện của các vectơ và . Do đó: trong lời giải ta xen điểm D vào còn điểm B vào vectơ Ta cũng sử dụng khi lựa chọn phép biến đổi VP thành VT. Cụ thể trong cách 2 Cách 2: Thực hiện phép biến đổi VP. ta có: Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là luôn đúng Ví dụ 2: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CD . Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: Ta có M là trung điểm của AB , với N bất kì thì (1) N là trung điểm của CD, với M bất kì thì (2) Lấy (2)-(1) ta được:

Chứng minh tương tự: VT = Cách 2: Gọi O la 1điểm tuỳ ý trên vectơ MN. Khi đó theo quy tắc trung điểm, ta có:

Lấy (2)-(1) ta được: 2 = 2 = (1) Ta cần chứng minh: VT= =

= VP (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR: ( a,b,c ) Giải: Dựng hình bình hành có // , // . Ta được: (1) Đặt: IB2 = b, IC2 = c và IC = IB = IA = a.

( 2)

(3)

Thay (2),(3) vào (1)

A

C2

B

C1

C

B2

B1I

Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơPhương pháp chung

-Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho , trong đó điểm O và đã biết-Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ v. Khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M Ví dụ :

Cho tam giácABC.a) Tìm điểm I sao cho: (1)b) Tìm điểm K sao cho: (2)

Giải: a) Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

(1)

3 điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB và thoảđiều kiện:

b)Từ kết quả câu a ta suy ra:AI=2IB VT(2)=

Vậy:

Theo giả thiết ta được:

Kết quả này cho ta 2 vectơ và là 2 vectơ cùng phương và vì I BC nên IK//BC.Vậy K là điểm thuộc miền trong tam giác, nằm trên đường thẳng qua I song

song với BC sao cho :

Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp chung:Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh:

;(kR) (1)Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai hướng

- Hướng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết- Hướng 2: Xác định thông qua một tổ hợp trung gian.

Ví dụ: Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng.

GiảiChọn tổ hợp 3 vectơ Khi đó:

(1)

Chọn E là trung điểm của BC và A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được:BH // CA1 cùng vuông góc với AC.CH // BA1 cùng vuông góc với AB.

Tứ giác A1BHC là hình bình hành. A1, E, H thẳng hàng .

Ta có: (2)Từ (1) và (2) suy ra:

O, G , H thẳng hàng.

C

A11

O H G

B

A

E

Dạng 4: Biểu diễn vectơ :Định lý: Cho trước hai vectơ và khác và không cùng

phương .Với mọi vectơ bao giờ cũng tìm được một cặp số thực duy nhất ,sao cho:

= +Bây giờ chúng ta sẽ quan tâm tới phương pháp thực hiện được miêu tả

trong bài toán sau:Bài toán: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG :Ta lựa chọn một trong hai hướng :Hướng1: Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai

triển vectơ cần biễu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc.

Hướng 2: Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa các đối tượng ,rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc.Chú ý: Trong một vài trường hợp cần sử dụng cơ sở trung gian.Ví dụ: Cho ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn vectơ theo và

Giải:

Từ giả thiết suy ra AB1CG là hình bình hành.

Ta được: = = - = = . ( + )= - ( + )

Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:Muốn chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau , ta lựa chọn một trong hai hướng:Hướng 1: Chứng minh Hướng 2: Chứng minh với O là điểm tùy ý .Ví dụ 1: Cho .Lấy các điểm A1 , B1 , C1 sao cho

Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm.Giải Gọi G,G1 theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 ta có :

=

Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.Giải :

Gọi G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý.Ta có:

= 1/3 ( ) (1) và =1/3 ( ) (2):

Do N là trung điểm của BC : = 1/2 ( )

Và P là trung điểm của CD: = 1/2 ( )

(1) => = 1/3 + 1/6 +1/6 + 1/6 ( * )

Mặt khác ta lại có: M là trung điểm của AB :=> = 1/2 ( ) Q là trung điểm của DA :=> = 1/2 ( )( 2) => = 1/3 + 1/6 +1/6 + 1/6 (**)Từ ( * ) và ( ** ) :

=

G1 Trùng G2 .

Dạng 6: Quỹ tích điểm.Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:

1. Nếu với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

2. với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB

3. Nếu ,với A,B,C cho trước thì Với điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC. Với điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với

BC theo hướng Với điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với

BC ngược hướng Ví dụ:Cho tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:

(1)GiảiTa biến đổi (1) về dạng:

M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

PHẦN BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh 1 đẳng thức vectơ

Bài tập 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR:

Giải:

Cách 1:

Ta có:

Cách 2: Ta có:

Bài tập 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR:a) b) Giải:

a)Cách 1: Ta có:

Ngoài ra: Ta cũng có thể chèn điẻm B vào . Nếu xuất phát từ vế phải ta có thể chèn diểm B vào hoặc C vào Cách 2: b)

Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng quy tắc chèn điểm để chứng minh.

Bài tập 3:Cho . Gọi M là một điểm trên đoạn BC sao cho MB=2MC.

CMR:

Giải:Cách 1:Ta có:

Cách 2: Ta có:

Mặt khác: MB=2MCC

A

MB

N

Cách 3: Chọn N thỏa NC=2NB. Khi đó: BN=NM=MC có:

có:

Bài tập 4: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng:

a)

b)c)

Giải:

a) Cách 1 : Ta có:

AE B

CDF

O

Cách 2: Ta có:

b) Cách 1 : Sử dụng kết quả câu a: (1) + (2) Cách 2:

c) Cách 1 : Sử dung kết quả câu b: Cách2: .

Bài tập 5: Cho . Chứng minh rằng:a) G là trọng tâm khi và chỉ khi b) G là trọng tâm khi và chỉ khi ( Với M là điểm bất kỳ ).

Giải:a) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC,

AC, AB.Ta có: ( tính chất đường trung tuyến)Mà:

Do đó: .b)

Bài tập 6: Cho và có trọng tâm lần lượt là và .Chứng minh rằng: . Từ đó, suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.Giải:

GC’ B’

A’C

A

B

Ta có:

Vì: - ĐK cần và đủ để 2 tam giác và có cùng trọng tâm là:

Bài tập 7: Cho lục giác ABCDEFGH. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,DE, EF, FA.Chứng minh rằng: Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.Giải:

Cách 1: Ta có:

Do đó: theo bài tập 6 và có cùng trọng tâm.Cách 2:Gọi G là trọng tâm . Khi đó:

(1)Lấy bất kỳ trong mặt phẳng, ta có:

(2)

Kết hợp (2) và (1) ta suy ra:

Trong : Có M là trung điểm của AB.

Tương tự, xét và ta được:

Thay vào (2) ta có:

Gọi là trọng tâm . Tương tự như trên:

A M B

N

C

P

DQE

R

F

S

=

Vậy

Dạng 2: Xác định một điểm thỏa mãn hệ thức vectơ

Bài tập 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M, biết: (1).Giải: Ta có:

Vậy điểm M hoàn toàn xác định được.Bài tập 2: Cho 2 điểm A, B và một vectơ . Xác định điểm M biết:

Giải:Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó:

Do đó: (1) .

Vậy điểm M hoàn toàn xác định được.Bài tập 3: Cho . Gọi M là trung điểm của AB. N là một điểm trên cạnh sao cho .

a) Xác định điểm K sao cho: 3b) Xác định điểm D sao cho:

Giải:

a) Ta thấy:

Suy ra

K là trung điểm MN.

b) Ta có:

Suy ra:

D là trung điểm BC.Bài tập 4: Cho . Dựng các điểm I, J, L thỏa các đẳng thức:

a) b)c) 2

Giải: a) Ta có: . Nên điểm I hoàn toàn xác định được.b) Có:

với M là trung điểm AC. Vậy L xác định được.c) Ta có

Vậy điểm J hoàn toàn xác định được. Bài tập 5: Cho tứ giác , M là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với mỗi điểm M.

a) (1)b) (2)c) (3)

Giải: a) Vì (1) thỏa mãn , do đó đúng với . Khi đó:

Vậy điểm I luôn xác định được.Mặt khác:

b) Vì (2) thỏa mãn , do đó đúng với , tức là: .

Khi đó: ( Với E là trung điểm của AB ) J là trung điểm CE. Ta xác định được J.

Tương tự như câu a:c) Vì (3) thỏa mãn do đó đúng

Khi đó: Gọi G là trọng tâm

K là trung điểm GD. Ta xác định được K.Mặt khác:

DẠNG 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài tập 1: Cho tam giác ABCa. Gọi P,Q là hai điểm lần lượt thỏa

(1) và (2)CMR:P, Q, A thẳng hàng.b. Gọi I là điểm đối xừng với B qua C, J là trung điểm của A, C, K là điểm trên AB sao cho AB = 3AK .CMR:I,J,K thẳng hàng.Giải:

a. ta cò: Mà (2)

=>

Vậy P,Q,A thẳng hàng.. b.

Ta có:

Vậy 3 điểm I,J,K thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa:

CMR: IJ đi qua trọng tâm cua tam giác ABC. Giải:

C

A

IB

JK

(2)-(1)

Vậy I, J,G thẳng hàng.Bài tập 3: cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho:

a) CMR: M,N,J thẳng hàng, với M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC.

b) CMR: J là trung điểm của BIGIẢIa) Ta có JM, JN lần lượt là trung tuyến của tam giác AJB, BJC Nên

Mà:

Vậy M, N, J thẳng hàngb)

vậy J là trung điểm BIBài tập 4: cho hình bình hành ABCD tâm O. lấy các điểm I, J sao cho :

CMR: I, J, O thẳng hàng.GIẢI:

A

M

J I

N

BC

Vậy I, J, O thẳng hang.