TUGAS MATA KULIAH GEOMETRI ECLUID DAN NON ECLUID

“APLIKASI GEOMETRI ECLUID DAN NON ECLUID”

DI SUSUN OLEH :

NAMA : CANDRA TUMANGGER

NIM : 4122230001

KELAS : MATEMATIKA NONDIK 2012

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2015

APLIKASI GEOMETRI

1. Aplikasi Geometri dalam kehidupan sehari –hari1.    Ilmu Geometri dalam Kehidupan ManusiaIlmu geometri tak luput dari perananya akan keberhasilan suatu bangunan, Ilmu geometri

merupakan salah satu ilmu yang perananya cukup terasa dalam perkembangan dunia dari dahulu hingga sekarang. Sehingga tak ayal kalau ilmu geometri semakin maju dan diharapkan terus akan perkembangan darinya untuk membantu kehidupan. Dalam kemajuan dibidang teknologi dan Iptek Ilmu geometri menyumbangkan fungsi dan perananya misalnya geometri fractal (kerjasama ilmu geometri transformasem lahasi, analisis dan ilmu) dan lain sebagainya.Geometri sekarang ini sudah berkembang menjadi sebuah bidang yang sangat luas.Hampir semua yang ada di dunia ini bisa dikaitkan dengan geometri.Dengan demikian, arsitektur pun tidak luput dari geometri. Arsitektur yang proses perancangannya sederhana (hanya merupakan susunan komposisi dan proporsi) sampai arsitektur yang proses perancangannya sangat kompleks (dengan memasukkan parameter-parameter kebutuhan computer manusia, bahkan parameter waktu) semuanya memiliki unsur-unsur geometri yang harus dikaji dan dipelajari. Ide apa pun yang ada di dalam kepala kita sebagai awal ide perancangan, bisa kita kaitkan ke geometri untuk lebih memperkaya, bukan hanya bentuk, melainkan juga sirkulasi dan esensi yang ada dalam rancangan kita. Oleh karena itu, dalam merancang sebuah arsitektur tidak bisa lari dari geometri.Geometri dalam arsitektur memiliki sifat mengikat, karena sebagai perancang tidak bisa tidak mempertimbangkan geometri.

Kesemua benda yang boleh dilihat oleh mata kasarmanusia mempunyai bentuk sama ada bentuk yang sekata atau tidak sekata dandibinaberasaskanbentuk-bentuk2Dimensidan3Dimensisepertisegiempat,bulatan, segi tiga, kubus, segi empat selari, dan lain-lain. Aplikasi Geometri meluas digunakan dalam bidang pembuatan. Contohnya,kon berwarna oren yang diletakkan di atas jalan raya adalah berbentuk kon. Tin airpula dibuatdalambentuk silinder.Begitu jugadengan sesetengah makan ringanyang menggunakan bekas bentuk silinder.Coklat “Toblerone” pula mebuat keunikandenganmenghasilkankotakyangberbentukprisma.Kotak-kotakhadiahkebanyakannya menghasilkan kotak berbentuk kubus dan juga koboid.

Dalam bidangseni bina pula, aplikasi Geometri boleh dilihat dengan jelaspada kubah-kubah masjid yang berbentuk seakan-akan separuh sfera. Piramid dipadangpasirpulaadalahberbentukpiramid,yangmanapadasetiappiramidterdapat 4 bentuk segi tiga yang membentuk sebagai dinding dan satu segi empatyang berfungsi sebagai tapak. Piramid adalah satu binaan yang sangat stabil keranamempunyaitapakyangluas.Begitujugadenganpembinaanjambatan.“TrussBridge” dibina dengan mengaplikasikan konsep Geometri.Jambatan dibina dengan menyusun kayu atau bahan penyokong dalam bentuk segi tiga agar kestabilan yang maksimum dapat dihasilkan.

Seterusnya,Geometrijugadiaplikasikandalam bidang seni hiasan.Kebiasaanya, bentuk-bentuk 2 Dimensi dijadikan ilham dalam membuat hiasan corakpada dinding-dinding bangunan.Begitu juga dengan mozek-mozek yang diletakkandilantaiataudidinding-dindingbangunan.Umumnya,corakmozekinimengaplikasikanilmu teselasiagar corakyangseragamdanmenarikbolehdihasilkan.

Geometrijugadigunakandalam bidang sukan dan permainan.Dalampermainanbolasepak,bolasepakitusendiridibuatberbentukbulatagarbolatersebutmudahuntukdisepak.Permukaanbolayangberbentukbulatitupuladihasilkandaripadagabunganbentukpentagondanheksagon.Bagipermainanlayang-layangpula,bentuklayang-layangjugadisenaraikansebagaisalahsatubentukdalamkeluargaparalelogram.Begitujugadenganpermainancongkak.Setiap “rumah” di atas papan congkak berbentuk separuh sfera agar pemain mudah mengambil guli-guli daripada setiap “rumah”.

Bidang geometri juga ada sumbangannya dalam alam semula jadi.Tuhanmenjadikan bentuk daun itu mempunyai satu paksi simetri, yang mana paksi simetriadalah salah satu ciri bentuk 2 Dimensi.Begitu juga dengan molekul protein dalamtubuh badan manusia dan haiwan.Setiap molekul-molekul protein itu diwakili olehsatubentuk2Dimensiyangmanasetiapbentukitumempunyaimaknayangtersendiri.Planet-planet,bulan-bulan,jugabintang-bintangdialamsemestainidijadikan dalam bentuk sfera.Paksi-paksi planet pula adalah berbentuk bujur.

Bentuk Geometri pada Batik

Keindahan batik dapat dinikmati dari bentuk-bentuk artistik yang dituangkan pada lembaran kain

tersebut.Bila diamati secara seksama, dalam bentuk-bentuk batik sesungguhnya terdapat sifat-sifa

tketeraturan yang berirama atau berpola.Beberapa bentuk keteraturan pada batik merupakan bentukan

transformasi geometris.

Bentuk geometri yang dapat dijumpai pada batik berupa titik, garis dan bidang datar.Bidang datar tersebut

misalnya lingkaran, elips, segiempat dan sebagainya. Bentukan artistik pada batik dihasilkan melalui

transformasi titik, garis atau bidang datar tersebut melalui translasi (pergeseran),rotasi (perputaran),

refleksi (pencerminan) atau dilatasi (perkalian).

2.         Peranan Ilmu Geometri dalam Kehidupan IslamDi awal perkembangan Islam, para pemimpin Islam menganjurkan agar menimba ilmu sebanyak

mungkin. Dalam era itu, Islam menyebar di Timur Tengah, Afrika Utara, Spanyol, Portugal, dan Persia.Para matematikawan Islam menyumbang pada pengembangan aljabar, asronomi, dan trigonometri. Trigonometri merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaian masalah geometri secara aljabar. Kita mengenalnya menjadi geometri analitik. Mereka juga mengembangkan polinomial.

Di wilayah timur, India dan Cina dikenal penyumbang  pengetahuan matematika yang handal. Di India, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar. Salah satu syaratnya adalah  bentuk boleh ( bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama. Misalnya, membuat bangunan pembekaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri 200 bata. Di antara dua tingkat yang urutan tidak boleh ada susunan bata yang sama persis.   Saat itulah muncul ahli geometri di India.  Tentu, bangunan itu  juga dilengkapi dengan atap. Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan India.Di sinilah berkembang teori-teori geometri.

Pada Zaman Pertengahan, Ahli matematik Muslim banyak menyumbangkan mengenai perkembangan geometri, terutama geometri aljabar dan  aljabar geometri. Al- Mahani (1.853) mendapat idea menguraikan masalah geometri seperti menyalin kubus kepada masalah dalam bentuk aljabar. Thabit ibn Qurra (dikenal sebagi Thebit dalam Latin) (836 – 901) mengendali dengan pengendalian arimetikal yang diberikan kepada ratio kuantitas geometri, dan menyumbangkan tentang  pengembangan geomeri analitik. Omar Khayyam (1048 -1131) menemukan penyelesaian geometri kepada persamaan kubik, dan penyelidikan selanjutnya yang terbesar adalah kepada pengembangan geometri bukan Euclid.

Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.Yang pertama, dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665).Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus.Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan secara sistematik dari geometri proyektif oleh Girard Desargues (1591-1661). Geometri proyektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, Cuma dengan menyelidik bagaimana hubungan antara satu sama lain.

Dua perkembangan dalam geometri pada abad ke-19,mengubah cara ia telah dipelajari sebelumnya. Ini merupakan penemuan Geometri bukan Euclid oleh Lobachevsky, Bolyai dan Gauss dan dari formulasi simetri sebagai pertimbangan utama dalam Program Erlangen dari Felix Klein (yang menyimpulkan geometri Euclid dan bukan Euclid). Dua dari ahli geometri pada masa itu ialah Bernhard Riemann, bekerja secara analisis matematika, dan Henri Poincaré, sebagai penggagas topologi algebraik dan teori geometrik dari sistem dinamikal.

Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsepsi geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeda, dan latar belakang semula hanya teori yang berlainan seperti analisis kompleks dan mekanik klasikal. Jenis tradisional geometri telah dikenal pasti seperti dari ruang homogeneous, yaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari poin ke poin mereka kelihatan sama.

Salah satu warisan budaya Islam yang terkenal adalah penggunaan pola geometri pada kesenian dan arsitektur Islam. Hal ini bisa dilihat dari bangunan sejarah yang masih ada di kota Granada, Andalucia, Spanyol, yaitu Alhambra.Pola pembuatan denah, fasade, dan ornamen yang menghiasi bangunan ditata dalam kesenian matematikasederhana.Islam pernah mengalami kejayaan di Eropa yang dimulai dari Andalusia, Spanyol bagian selatan, pada masa pemerintahan bani Umayah yaitu tahun 711 masehi atau 97 hijriah. Salah satu bangunan terkenal yang menjadi saksi kejayaan pada masa itu adalah Alhambra yang terletak di kota Granada dan Masjid Cordoba yang terletak di Cordoba.Kedua kota tersebut berada di Andalucia,Spanyol.Pembangunan kedua bangunan tersebut didesain tidak lepas dari seni islam yang berkembang pada saat itu. Kesenian islam yang dimaksud, menurut Prisse (1878) dalam Rabah (2004) terbagi dalam 3 bagian, yaitu bunga, geometri, dan kaligrafi. Ketiga seni islam tersebut yang menghiasi ruang dalam dan fasade bangunan.

Selain itu peranan geometri dalam kehidupan islam adalah Spherical geometri,yakni sangat penting untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sulit di dalam astonomi Islam. Umat Islam perlu menentukan waktu yang tepat untuk shalat,  Ramadhan, serta hari raya baik Idul Fitri maupun Idul Adha. Dengan bantuan spherical geometri, kini umat Muslimbisa memperkirakan waktu-waktu tersebut dengan mudah.

2. Aplikasi – aplikasi computer yang berhubungan dengan geometriAda banyak aplikasi computer yang berhubungan dengan geometri seperti corel draw, geozebra,

grafika computer, dan lain sebagainya. Disini akan ditunjukkan salah satunya yaitu dalam aplikasi corel draw

MEMBUAT OBJEK GEOMETRI DALAM CORELDRAW

A. Rectangle

Dalam suatu aplikasi grafis seperti CorelDraw dan lainnya, sebelum anda membuat objek hal yang dilakukan adalah mengaktifkan alat pembuat objek terlebih dahulu.Alat tersebut bisa diakses melalui property bar atau menggunakan tombol pintas. Untuk membuat rectangle anda harus mengaktifkan alat rectangle terlebih dahulu dengan cara klik kiri pada rectangle tool  atau tekan F6. Perhatikan bahwa pointer mouse pada layar telah berubah bentuk sebagai tanda bahwa alat telah aktif. Setelah itu anda dapat mencoba membuat :

1. Persegi Panjang

·  Tekan klik kiri pada area kerja sebagai titik pertama dan tahan.·  Geser secara diagonal memanjang untuk membuat titik kedua ·  Setelah muncul gambar preview bentuk yang sesuai anda inginkan kemudian lepaskan tombol klik kiri mouse.·  Tekan tombol spasi untuk kembali ke pick tool 

2. Bujur Sangkar

·  Tekan tombol control (Ctrl) dan tahan.·  Tekan klik kiri pada area kerja sebagai titik pertama dan tahan.·  Geser secara diagonal memanjang untuk membuat titik kedua ·  Setelah muncul gambar preview bentuk yang sesuai anda inginkan kemudian lepaskan tombol klik kiri mouse.·  Lepaskan tombol control.·  Tekan spasi untuk kembali ke pick tool.

Cara membuat bujur sangkar dengan sambil menekan tombol Ctrl

Selain membuat objek dengan menekan tombol Ctrl. Anda juga bisa menggunakan tombol Shift untuk membuat objek dimulai dari titik pusat atau dengan menekan tombol Ctrl + Shift untuk membuat objek dimulai dari titik pusat dan hasilnya berbentuk simetri.

3. Membuat Background Seukuran Kertas/Media Kerja

Ketika anda menginginkan sebuah background berbentuk segi empat maka anda cukup melakukan double klik kiri pada rectangle tool.

4. Sudut Tumpul

Rectangle selain memiliki bentuk sudut lancip juga memiliki bentuk sudut yang melengkung atau membentuk sudut tumpul.a)     Semua Sudut Tumpul Secara Realtime-       Aktifkan persegi empat yang ingin dibuat sudut tumpul dengan menggunakan pick tool.-       Setelah persegi empat aktif (ditunjukkan dengan adanya titik-titik transformasi disekitar objek) aktifkan Shape tool  pada toolbox atau tekan F10. Perhatikan titik-titik berupa kotak berwarna hitam pada bagian pojok sudut persegi empat.

 Titik-titik kotak berwarna hitam pada sudut-sudut persegi empat

-       Dengan menggunakan shape tool, tekan klik kiri pada salah satu titik sudut dan tahan kemudian gerakkan salah satu titik pojok tersebut kearah tengah-tengah sisi. Lakukan hingga anda mendapatkan bentuk seperti yang diinginkan.

Bentuk sudut persegi empat setelah diedit semua sudut sebagai sudut tumpul

Melalui Property Bar-       Aktifkan objek persegi empat yang akan diedit dengan menggunakan pick tool.-       Setelah objek aktif, akses property bar dari objek yang aktif tersebut.

Property bar objek persegi empat

-       Rubah isian prosentase kelengkungan sudut pada salah satu kotak isian corner roundness, isikan nilai antara 0 – 100. Tekan enter.

Mengisikan nilai corner roundness pada property bar

b)    Sebagian Sudut TumpulSecara Realtime-       Aktifkan objek persegi empat yang akan diedit.-       Setelah objek aktif, aktifkan shape tool atau tekan f10.-       Pilih salah satu sudut persegi empat dengan menekan klik kiri 1x pada salah satu sudut yang ingin dibuat tumpul. Perhatikan bahwa hanya titik sudut yang dipilih saja yang berbentuk kotak berwarna hitam. Pada sudut yang lain terdapat titik-titik yang berukuran kecil.

Tampilan ketika mengaktifkan titik sudut bagian pojok kiri atas

-       Geser titik tersebut ke arah tengah sisi persegi empat.

 Ketika titik digeser dengan menggunakan shape tool

Melalui Property Bar-       Aktifkan objek persegi empat yang akan diedit dengan menggunakan pick tool.-       Setelah objek aktif, akses property bar dari objek yang aktif tersebut.-       Non aktifkan tombol round corner together yang berbentuk gembok.

 Tanda tombol round corner together tidak aktif

-       Rubah isian prosentase kelengkungan sudut pada salah satu kotak isian corner roundness, isikan nilai antara 0 – 100. Tekan enter.

 Mengisikan nilai corner roundness pada salah satu kotak isian corner roundness

B. Ellips

Anda harus mengaktifkan alat terlebih dahulu dengan cara klik kiri pada ellipse tool  pada toolbox atau tekan tombol F7. Setelah alat tersebut aktif (ditunjukkan dengan bentuk pointer mouse) anda bisa membuat :

1. Ellips Penuh

Lakukan langkah-langkah seperti membuat persegi panjang.

2. Lingkaran Penuh

Lakukan langkah-langkah seperti membuat bujur sangkar.

3. Bentuk Pie

Secara Realtime-     Aktifkan objek elips yang ingin diedit dengan menggunakan pick tool.-     Aktifkan shape tool melalui property bar atau tekan F10.-     Perhatikan pada garis lengkung ellips terdapat titik kotak kecil berwarna putih, aktifkan titik tersebut sehingga berubah menjadi berwarna hitam.

 Titik berwarna hitam menandakan ellips siap untuk diedit

-     Tekan klik kiri pada titik tersebut dan tahan kemudian geser mengelilingi ellips dengan pointer berada di dalam ellips. Gerakkan sambil menekan tombol Ctrl untuk mengunci pada besaran sudut-sudut istimewa.

 Menggeser titik tersebut dengan pointer mouse berada di dalam objek ellips atau sambil menekan Ctrl untuk bergerak pada sudut istimewa

-     Setelah mendapat bentuk pie yang diinginkan, lepaskan tombol mouse.

Melalui Property Bar-     Aktifkan objek ellips yang ingin diedit dengan pick tool.-     Akses property bar objek ellips.

                         Property bar objek ellips

-     Tekan tombol pie pada property bar.

 Tombol pie ditekan untuk mengaktifkan bentuk pie

-     Set nilai starting dan ending angle pie pada property bar untuk mendapatkan bentuk yang diinginkan. Masukkan nilai antara 0 – 359.Posisi letak sudut seperti pada matematika trigonometri.

 Letak sudut sesuai dengan trigonometri pada ilmu matematika

 Pengisian nilai starting dan ending angle pada property bar

4. Garis Lengkung

Secara RealtimeLangkah-langkah sama seperti pembuatan bentuk pie, hanya saja ketika menggeser titik dengan menggunakan shape tool, pointer mouse berada di luar objek ellips. Tekan Ctrl apabila ingin terkunci pada sudut-sudut istimewa.

 Bentuk garis lengkung (arc) dengan cara menggerakkan titik dengan pointer mouse berada di luar objek ellips

Melalui Property BarLangkah-langkah sama seperti pada pembuatan pie hanya saja tombol yang diaktifkan adalah tombol arc.

 Tombol arc yang telah diaktifkan dan nilai starting dan ending angle yang telah diisikan

C. Polygon1. Polygon

Aktifkan alat untuk membuat polygon  pada toolbox atau tekan Y. Setelah pointer berubah bentuk, lakukan langkah-langkah untuk membuat objek seperti persegi panjang. Tekan Ctrl untuk membuat objek menjadi simetris.Setelah objek terbentuk tentukan jumlah sisi polygon melalui property bar.

 Menentukan jumlah sisi polygon dengan cara mengisikan jumlah sisi polygon pada property bar

Shaping PolygonPolygon memiliki sisi-sisi dan sudut-sudut yang saling beranalog dan berinteraksi satu sama lain. Apabila kita menggerakkan salah satu sisi maka sisi-sisi yang lain akan bergerak persis sama, begitu juga sudut-sudutnya. Anda bisa membuat ornamen atau objek lain dengan menggunakan fasilitas ini. Misalnya kita ingin membuat bunga, lakukan langkah-langkah seperti berikut ini :

-          Buat objek polygon sambil menekan Ctrl agar simetris.-          Buat jumlah sisi polygon menjadi 5 melalui property bar.-          Aktifkan shape tool (F10).-          Aktifkan salah satu titik pada sisi polygon, geser titik tersebut ke arah luar objek polygon sambil

menekan Ctrl sehingga objek berubah menjadi berbentuk bintang.

Salah satu sisi polygon yang telah diaktifkan menggunakan shape tool

 Bentuk objek bintang yang terjadi setelah titik digeser ke arah keluar objek

-          Aktifkan salah satu segment pada sisi objek bintang sehingga muncul bulatan berwarna hitam menandakan segment telah aktif.

 Bulatan hitam pada segment objek bintang

-          Klik kanan pada bulatan tersebut, setelah muncul menu pilih to curve sehingga segment yang tadinya berupa line berubah menjadi curve.

 Menu pilihan perintah untuk merubah segment line menjadi curve

-          Geser segment tersebut ke arah luar objek.

 Salah satu segment curve digeser keluar objek

-          Aktifkan segment yang lain, jadikan segment line menjadi curve seperti di atas. Kemudian geser seperti segment curve yang lain.

 Penggeseran segment yang lain sehingga polygon berubah menjadi bunga

-          Apabila ingin menambah jumlah mahkota bunga, isikan jumlah sisi polygon pada property bar

2. Star

Aktifkan star tool .Lakukan langkah-langkah seperti membuat objek polygon.

3. Complex Star

Aktifkan complex star tool.Lakukan langkah-langkah seperti membuat objek polygon.

D. Custom Shape

Selain objek-objek geometri di atas, CorelDraw juga dilengkapi dengan alat-alat untuk membuat custom shape yang langsung jadi seperti halnya pada objek drawing dalam ms. Word. Ada 5 macam kategori dari custom shape dan masing-masing memiliki bentuk-bentuk yang berbeda yang bisa kita akses melalui tombol perfect shapes pada property bar, yaitu :

1. Basic Shape

Alat ini berfungsi untuk membuat bentuk-bentuk dasar seperti jajaran genjang, trapesium, segitiga siku-siku dan lain-lain. Cara pembuatannya adalah dengan mengaktifkan alat basic shape pada custom shape tool kemudian anda pilih bentuk yang sesuai di tombol  perfect shapes pada property bar. Buatlah dengan cara seperti membuat objek-objek yang lain. Gunakanlah shape tool untuk mengedit bentuk dengan cara menggerakkan titk berwarna merah pada objek yang dihasilkan.

 Perfect Shapes pada property bar basic shape

2. Arrow Shape

Alat ini berfunsi untuk membuat berbagai macam bentuk anak panah. Cara pembuatannya sama seperti di atas.

 Perfect Shapes pada property bar arrow shape

3. Flowchart Shape

Alat ini berfunsi untuk membuat berbagai macam bentuk yang digunakan sebagai simbol dalam suatu bagan alir. Cara pembuatannya sama seperti di atas.

 Perfect Shapes pada property bar flowchart shape

4. Banner Shape

Alat ini berfunsi untuk membuat berbagai macam bentuk pita atau bendera. Cara pembuatannya sama seperti di atas.

 Perfect Shapes pada property bar banner shape

5. Callout Shape

Alat ini berfunsi untuk membuat berbagai macam bentuk balon kata sebagai tempat untuk menuliskan dialog dalam suatu ilustrasi. Cara pembuatannya sama seperti di atas.

Perfect Shapes pada property bar callout shape

REFERENSI

Hvidsten, Michael. 2005. Geometry With Geometry Explorer. New York: McGraw-Hill Education.

Hw, Moeharti. 1986. Modul Universitas Terbuka Sistem-sistem Geometri : Pengenalan Geometri Absolut.

Penerbit Karunika Jakarta

http://books.google.co.id/books?id=zHSKn-

li060C&pg=PA319&lpg=PA319&dq=bolyai+lobachevsky&source=bl&ots=A9L6614Qcr&sig=BAv3_q

PAvBdEtTh84TimE_yNNXI&hl=id&ei=ACAxSqfKCtSMkAX6-

Ly7Bw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5