algebra facto

8/18/2019 Algebra Facto

1/23

FACTORIZACIÓN

La factorización es una operación, que permite escribir una expresión comoproducto, sin alterar el valor de ella. En Algebra los factores pueden ser de trestipos: numérico, literal o completo: es decir contiene los dos primeros casos.

I.-FACTOR NÚUÉRICO:- Se busca el nmero m!s grande, que divida a todos loscoeficientes numéricos dados sin excepción. A este nmero, se le identificacomo "!ximo #omn $ivisor %"#$&.

'dentificar el "#$ ( factori)ar:

a& *+a*b b& /m-*0n

c& *1a-0x d& 02(-*/)

e& 30x02m f& ,+x-,*(

g& ,0+s,1t 4&*,+a-0,+b

i& ,1m,/n 5& 6+x*(

7& 60m 2/r l& *0s-*7

II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o las letras repetidas que est!ncontenidas en todos los términos dados8 considerando el menor exponente dado,respectivamente.

'dentificar el factor literal ( factori)ar:

a& 94 aa + b& 73 3 x x −

c& 32 54 mm + d& 274 hvh −

e& 5293 nmnm − f& dxd 512 5 +

g& yr r 87

76 + 4& amma +53

3

i& x x nn 26,0 − 5& 3264 ++ + mm aa

7& 2,+g-0,64 l&,*a.0m


2/23

III.-FACTOR COMÚN: Se caracteri)a por contener los dos casos anteriores enforma simult!nea, siendo generalmente el factor un monomio, pero también sed! el caso de polinomios:

*& 9actor comn monomio:

a& 364 x x + b& 33618 aax −

c& 96 2820 aa + d& 95 6,04,0 x x −

e& 432 7248 mnmn − f& 76 5,15,2 x x +

g& 245

12

9

4 x x + 4& abba 2,0

5

18 43 −

i& 39244

1575,0 jh jh − 5& 86

8

3125,0 p p +

7& 58

15

4

9 x xy − l& 1013

4

33

4

15 s s +

m& 32 862 x x x ++ n& 2522

y

x

y

x nn ++

+

& 925364 52 +++ +− nnn aaa o&b

a

b

a

b

a 96 23−+

p&3

6

27

8

9

16

81 x

x

−+ q& =−+ +++ qm pmnm

x x x

IV.-FACTORIZACIÓN CON USO DE PRODUCTOS NOTABLES:Ις En cada uno de los siguientes e5ercicios, utilice las recomendaciones de

factori)ación, dadas anteriormente ( una ve) que las 4a(a aplicado revise si elresultado obtenido, representa alguno de los productos notables antes vistos.

a& 1002 − x

b& 100202

+− x x c& 2961 aa ++

d& 26 9ba −

e& 53106 24169 nmnm ++


3/23

f& 22 1478412 y xy x +−

g& 23323 12123 ya xya xa +−

4& 247254 36 +− mm

i& 2462 6126 mamma +−

5& 189 2040 +− x x

7& 65 36 ++ x x

l& ( ) ( )baba −−− 72 *0

m& ( ) ( ) 1582 ++++ nmnm

n& x x 9,04,0 3 −

& 35 1622 aa −

o& xy y x 7512 3 −

p& mnnm 2045 3 −

q& abba 1805 3 −

r& 25102

++ y y

s& 108624 2 −− hh

t& 2753 x−

u& 6483 a−

v& 635 12898 y x x −

;& 23 20500 xy x −

(& 22

164 y

xa x −

)& 32 331 aaa −−+


4/23

Soluciones:'.-a&+%3a0b& b&2%0m-3n& c&2%2a-+x& d&1%2(-3)&

e& /%2x3m& f& )5

1(

2

1 y x − g& )

25

3

2

1(

2

1t s + 4& )53

2

1ba −

ii.-a& )1( 54

aa + b& )31( 43

x x − c& )54(2

mm + d&)1( 722 −vhh

e& )1( 452 −mnnm f& )512( 4 xd d + g& )76(7 ryr + 4&)13( 42 +maam

iii.-a& )32(2 2 x x + b& )2(18 2a xa − c& )75(4 36 aa + d& )32(5

1 45 x x −

e& )32(24 32 nmmn − f& )35(2

1 6 x x + g& )5

3

9

1(4 22 + x x 4&

)118(5

1 32 −baab

i& )51(4

3 524 jh jh − 5& )31(

8

1 26 p p + 7& )2

53(

4

3 4 x y x − l& )57(4

3 310 + s s

m& )43(2 2 x x x ++ n& )1(32

y

x

y

x nn +++ & )52( 41252 aaaa nnn +−++

o& )96( 2 −+ aab

ap& )

3

816

9

1(

9

1 36 x x −+ q& )( q pnm x x x x −+

iv-a&%x*&%x-*& b& 2)10( − x c& 2)31( a+ d& )3)(3( 33 baba +−e& 253 )43( nm + f& 2)72(3 y x − g& 23 )2(3 y xa − 4& 23 )23(6 −mi& 22 )1(6 −am 5& )3)(6( 2020 −− x x 7& )2)(3( 33 ++ x x l&%a-b-3&%a-b-2&

m&%mn+&%mn3& n& )32)(32(101 −+ x x x & )9)(9(2 3 −+ aaa

o&3x(%0x+&%0x-+& p& )23)(23(5 −+ mmmn q& )6)(6(5 −+ aaab

r& 2)5( + y s&1%24-


5/23

a& y x

y x

7550

2114

++

>p:25

7

b&nm

nm

4836

3627

−

− >p:

4

3

c&22

22

2 nmnm

nm

++−

>p:

nm

nm

+−

d& x x

x x

2

652

2

−+−

>p: x

x 3−

e& 331

2

4

−−

x

x

>p: 31

2 + x

f&16

1272

2

−+−

x

x x >p:

4

3

+−

x

x

g&65

232

2

+−+−

x x

x x >p:

3

1

−−

x

x

4&43

3

10075

25

x x

x

− >p:

x43

1

−

i&454

252

2

−−−aa

a >p:

9

5

−−

a

a

5&152

511424

24

−−−−

x x

x x >p:

5

172

2

−−

x

x

7&aaxax

a xa

209

16

2

222

++

− >p:

5

)4(

+−

x

xa

l&12

2

3

++− x x

x x >p:

1

)1(

+−

x

x x


6/23

m&22

33

ba

ba

−−

>p:ba

baba

+−+ 22

n&140155

422732

2

−−+−

x x

x x >p:

)4(5

)2(3

+−

x

x

& x x

x x

2

652

2

−+−

>p: x

x 3−

o&189

962

2

+−+−

mm

mm >p:

6

3

−−

m

m

p& bababa

33

2 22

+

++

>p: 3

ba +

q& x x x

x x x

44

10323

23

+−−+

>p:2

5

−+

x

x

r&1

12

3

++− x x

x >p: 1− x


7/23

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplifique ( redu)ca a la m!s m?nima expresión las siguientes fraccionesalgebraicas, revisando cuidadosamente cada numerador ( denominador,detectando si es posible factori)arlos.

a&1

15

5

1 32

+⋅

− x

x

x

x >p:

)1(3 2 − x x

b&1

1

1

12 22

−−

⋅+

+− x

x

x

x x >p: 2)1( − x

c&1811

107

158

1892

2

2

2

++++

⋅++++

aa

aa

aa

aa >p:

9

6

++

a

a

d&543

9

3

6223

2

−++⋅

+−

x x

x

x x

x x >p:

)3(

1

+ x x

e&672

2

32

942

2

+++

⋅+−

x x

x

x

x >p:

32

32

+−

x

x

f&93

1

1

272

2

3

3

++++

⋅−−

x x

aa

a

x >p:

1

3

−−

a

x

g&23

1

45

127

9

652

2

2

2

2

2

++

−⋅

+−

+−⋅

−

++ x x

x

x x

x x

x

x x >p:*

4&( )

( ) 2

2

2

2

2

422

2

4

8

2

4

64

+−

÷+

−⋅

−−

x

x

z pq

x

x

z q p >p:

28 z pq −

i& x x

x

x x

x x

2

12

2412

714223

2

+−

÷+−

>p:12

7

5&

276

4512

454

15142

2

2

2

−−

−−÷

−−

−−

x x

x x

x x

x x >p:

5

1

+

+ x

x

7& x x

x

x x

x x

x

x x

5

1

82

2

25

2022

2

2

2

++

÷−+−−

⋅−−−

>p:x

l&44

482

16

22

2

23

2

2

2

+++

⋅+

−−⋅

−+

x x

x x

x x

x x

x

x x >p:

1

1

+ x


8/23

m&82

32

152

43

76

1072

23

2

2

2

2

−−−−

⋅−+−−

⋅−−++

aa

aaa

aa

aa

aa

aa >p:

7

)1(

−+

a

aa

n&222

5

182

122

36

11

102

81 23

22

2

++⋅

+−⋅

−+⋅

+−

a

aa

a

a

a

a

aa

a >p:

)6(4

)9(

+−

a

aa

& =−−

⋅−−

⋅++

−+ x x

x x

x

x

x x

x x

153

328

16

25

2510

202

23

2

2

2

2

>p:

4

)4(8

+−

x

x x

o&

−+⋅

−+÷

−+

3

84

12663

1 32

x

x

a

aa

a

a >p:

)2(2

3

+− xa

x

p&5

245

20

56

49

12 2

2

2

2

2

+−−

÷−+−−

⋅−−−

x

x x

x x

x x

x

x x >p:

7

1

− x

q&3

100

93

10020

307

27 2

23

2

2

4

−−

÷++++

⋅−+

− x

x

x x x

x x

x x

x x >p:

10

)3(

−−

x

x x


9/23

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Proce!"!e#$o: %& De$er"!#'r e( ")#!"o co"*# "*($!+(o '(,er'!co +'r' e((o/e ee co#/!er'r (o/ /!,0!e#$e/ +'/o/:'1 U!c'r e( "c" #0"2r!co1 Se o$!e#e e( "c" (!$er'( co"o (' (e$r' re+e$!' 3o ('/14

+ero co# e( "'5or e6+o#e#$e 'oc1 Se !e#$!7!c' 0# re+re/e#$'#$e e c'' +o(!#o"!o4 +ero

co# e( "'5or e6+o#e#$e 'o.8& Se o+er'4 co# e( "!/"o "2$oo 90e ('/ 7r'cc!o#e/

/!"+(e/.& Se re/0e(;e# +'r2#$e/!/ 5 re0ce# $2r"!#o/ /e"e


10/23

4& =−−

+−

− 422

2

32 y

y

y y >p:

4

102 − y

i& 222

22

210

2

25 xy y x

y x

y x

xy

++

− >p: 22

2

25

5

y x

x

−

5&

+÷

++

b

a

ba

a 211 >p:

ba

b

+

7&

+−÷

+−

11

2

x

x x

x x >p:

2

)2)(1(

x

x x +−

l&

−÷

−a

a

a

111

2 >p:a

1

FRACCIONES ALGEBRAICAS COMPUESTAS

$esarrolle las siguientes fracciones, aplicando las propiedades de las 2operaciones b!sicas de ellas. #onviene que traba5es el numerador ( luego eldenominador, buscando reducir ( simplificar cada ve) que puedas.

*& y x

y x

11+

+ 0&

4

41

2

2

2

−+

−+

y

y

y y

3& x x

x

+

+

22

12

2&

y

x

x

+−1

11

+&

2

22

21

22

x−

−−

1&

x

11

11

1

+−

6&

11

11

1

2

2

−−

+

+−

a

a

a

a

a /&

x

x x

11

1

+

−


11/23

espuestas:

*&x( 0&(0 3& 2

1

x2& y x + +& 22 x

1&x*

6&-a-* /&x-*


12/23

DESPE?E DE FÓRMULAS

En todas las otras asignaturas, es comn la presencia de fórmulas paraconocer determinada variable. @e presentamos a continuación una técnica simple,que esperamos revises ( compartas con tus compaeros ( te a(uden a futuro entu formación profesional. 'nsiste ( organi)a tu tiempo de traba5o.

E5emplo: $espe5ar rB en la fórmula )3(3

1 2 hr hV −= π

*C Dermutar o dar vuelta la igualdad, para que la incógnita quede a la i)quierda de

ella. V hr h =− )3(31 2π

0C Eliminar fracciones sacando comn denominador8 en este caso es 3V hr h 3)3(

2 =−π

3C Eliminar paréntesis, si es necesarioV hhr 33 32 =− π π

2C Aislar el término que contiene la incógnita32

33 hV rh π +=

+C $espe5ar la letra o variable incógnita, en este caso rB2

3

3

3

h

hV r

π +=

1C Es posible que el resultado se pueda expresar de otra forma equivalente

32h

h

V r

π +=

E?ERCICIOS PROPUESTOS

'.- $espe5e la letra que se indica, usando el método propuesto u otro que le seam!s conveniente:

a& M D D pe 2+= " b& 22 hr S += r

c& 1,045,0 3 += D A $ d&( )

l

k d

2

1cos

−=α 7


13/23

e&( )

N

L E GT

+= E f&

EJ

Q L

3

= L

g& 332

π

! d = F 4&

12

4h J = 4

i&2

d D L

−= $ 5&

1000

DN V

π = G

7& 33

4r A π = r l& hr V 2

3

1π = r

m& "

E T π 2= E n& 2

2

1mv A = v

& Ld D

2tg

−

=α d o& Ld D

k

−

=

1

$

p&( )

E

S # L D

−= > q&

( )

$

% G L D

2

−= L

r& 22

4h

d S += d s& &

kt

%De +=

27

t&( )

A

% NLV

)1( += D u&

21

6

% %

T d

+=

2" %

v& A L

#!

2

2

+= A ;& hd S π = 4

(& ' ( µ 5,0= f )&(

x(

ω

1= c

A& ' π ω 2= f H& 1cossen 22 =+ α α α cos

#& α α 22 sectg1 =+ α tg $& 221 at v = t

E& ( )d LT += 43

2π L 9& bh A

2

1= b


14/23

''.- Las siguientes fórmulas espec?ficas son utili)adas en otras disciplinas, ( enellas se te pide, despe5ar la variable que se indica:

*& Area trape)oide ( ) 2 () bhah ) A +++= 4

0& Der?metro de una elipse ( )222 ba % +=π a

3& Iolmen pir!mide truncada ( )21123

A A A Ah

V ⋅++= 4

2& Iolmen de una #ua ( )

6

2 bh(aV

+= 4

+& Superficie de un pistón4

2 DS π = $B

1& Dotencia efectiva de un motor 60

2 N # %

⋅⋅⋅=

π

GB

6& Dotencia fiscal ( ) 6,0785,008,0. # D N '*s(al % ⋅= >B

/& #ilindrada total + L D

V ( ⋅⋅=4

2π

$B


15/23

*1& Jrea de un pol?gono regular de n lados

4

2

)2(tg

2

−

= n

nna

A

π

aB

*6& >adio ⊗ circunscrita a un tri!ngulo A

( #

sen2=

AB

*/& Jngulo en una ⊗r

ar(,A-=α rB

*adio c?rculo inscrito en un ∆ s

(ba

r

)(2

1++

= aB

0*& 9lu5o laminar 232

mD

VLhpl

γ

µ = $B

00& Ielocidad de un ventilador 2

2

1

2

1

=

N

N

h

h

""1

N

03& Dérdida de cabe)a debido a la fricción "D

L 'V h

2

4 2= LB

02& Gmero de >e(nold µ

ϕ Vd =Re dB

0+&La relación entre la temperatura 9 en la escala de 9a4ren4eit ( la temperatura# en la escala #elsius est! dada por

( )329

5−= & 9B

01& La resistencia total para dos resistencias 1 # ( 2 # conectadas en paralelo,est! dada por

21

21

# #

# # # +=

""1

#

APLICACIONES DEL DESPEJE DE FÓRMULAS


16/23

*& 9uer)a transmitida, al efectuar un ensa(o en un casco de seguridad:

)(2

1 22d D D D )- −−= π ""d

= fuer)a en 7g.

KH dure)a Hrinell$ di!metro de la bolita de ensa(o en mmd di!metro de la impresión en mm.

0& #!lculo de impuestos, est! dado por:)( D& . t $M −−= B

'" monto de impuesto@ tasa del impuesto sobre la renta ingresos# costos$ depreciación

3& "étodo de depreciación N

V#VA Dp

−= IAB

= Dp depreciación en el per?odo=VA valor de adquisición=V# valor de desec4o= N nmero de aos de vida til

2& #antidad de dinero, después de un nmero cualquiera de aosn*& S )1( += ""&

S suma de dinero al finali)ar el ao n

# capital iniciali tasa anual de interés que se paga sobre la cuentan nmero de aos que el dinero queda en la cuenta

+& Heneficios netos anuales, de cada uno de los aos de vida til de un pro(ectot t t & - -N −=""

t -

=t -N beneficio neto en el ao t =t - beneficios brutos en el ao t =t & costos en el ao t =t *,0,3,..@@ ltimo ao de la vida til del pro(ecto

1& Sistema de poleas fi5aη

1⋅=G ""G


17/23

=G carga suspendida=η rendimiento

6& #!lculo de conicidad:l

d D(

−= ""d

=− d D diferencia de di!metros=l altura del tronco del cono

/& 'ntensidad de corriente : #

% $ = "" %

' intensidad de corrienteDpotencia>resistencia


18/23

=na ve) aprendido el proceso que involucra traba5ar con fórmulas, esnecesario otorgarle valores a las variables, que te permitir!n conocer el valor a laincógnita. Sé ordenado ( riguroso, en el proceso de desarrollo de cada e5ercicio (no olvides de compartir con tus compaeros.

*& Si a3, b+ determinar

b

baba

a+−1

>p:-6

1

0& Si a-3

1determinar

a

aa 2123

−− +

>p:-06

3& Si a0, b2

1determinar

2

8

a

b >p: *

2& Si a -2

1determinar

1

21

1

11

−

−− −

a

aa >p:2

3

+& Si a08 b3

18 c

2

1entonces

a(

b

(

aba +−

5

4

3 2 >p: -3

10

1& Si a08 b+8 c-3 entonces2

2

⋅⋅

+

ab

b

(

b

a>p:-

2

1

6& Si 21−= x determinar 222 ++ x x >p: 24 −

/& Si a-2

1 determinar

a

aa

2

1−

−>p:

2

3

p:

2

11

*& Si a- 21 8 b- 43 valorar abba 223 −

>p:-128

105

**& Si r,+m8 40m valorar hr V (2

3

1π = >p:


19/23

*0& Si r4

1pulg, 40 pulg, valorar hr V 2π = >p:

*3& Si >3

2, "

2

3, valorar ( ) 2 M # + >p:

*2& Si 30 105 ⋅= D , G2/ valorar 2

0

+ N D

>p:

*+& Si Ω=101 # , Ω= 202 # , Ω= 303 # entonces321

111

# # #++ >p:

*1& Si k(q 2,11 = 8 k(q 8,12 = 8 r,0+m entonces 221

r

qq

+=

>p:

*6& Si D3,10+8 g,0 entonces " % 2

15,0 + >p:


20/23

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FÓRMULAS DE ESPECIALIDAD

*& En el per?odo de un ao, en una empresa se 4an producido * lesionesincapacitantes ( se traba5aron 0. K.K.

a& $eterminar, la tasa de frecuencia de lesiones incapacitantes por la fórmula)(exp.

.10 6

estrabajad,r ,s*(*0n ) )

) ) ntes*n(apa(*tales*,nesdenT

⋅°=

Solución:000.200exp

10

=

=°

bajad,res,s*(*0ntra ))

ntes*n(apa(*tales*,nesn⇒ 50

000.200

1010 6

=⋅

=T

b& Si a la empresa le significaron 2+ dias perdidos. $eterminar la tasa degravedad por la fórmula

)(exphom

..000.000.1)(

trabajadas,s*(*0ndebreh,ras

) ) D& DE% perd*d,sd*ast,tal TG

⋅+=

$ED d?as efectivamente perdidos por lesiones incapacitantes 2+ dias $# d?as cargo imputados por invalide) permanente %tabla& *+ dias

975000.200

10195 6=

⋅=

d*asTG

0& Se tiene un cable de #u de 2 metros de largo ( 3,1+ 2mm ( 3,1+ 2mm de

sección, sabiendo que la resistencia espec?fica del cobre es ,*6<

mt

mm2Ω.

a& calcular la resistencia eléctrica del conductor mediante la fórmula

Solución: D,*6<mt

mm2Ω.

S

%L #( =

L2mtS 3,1+ 2mm 2mm

Ω=⋅= 196,065,3

400179,0 #(

b& #onocida la resistencia eléctrica del conductor, calcular la potencia perdida $ #( %perd*da ⋅= , si la corriente que circula es de 00+ amperes.

Solución:

1atts %perd*da 1,44225196,0 =⋅=

3& #alcular la cantidad de madera que 4a( en 6+ tablas de igual medida, si sesabe que el anc4o es de *0B, el espesor de 3B ( el largo es de 1,+ mt a través

de la fórmula6,310 ⋅

= aeLN

&

Solución:a anc4o del tro)o del madera en


21/23

e espesor del tro)o de madera en L largo del tro)o en pieG nmero de tro)os iguales

"5,4876,310

755,6312=

⋅

⋅⋅⋅=&

2& #alcular el nmero de revoluciones, para perforar un acero #r-Gi con una

broca de *0 mm de acero r!pido, si la velocidad de corte es de 02m*n

m . =se

la fórmula1000

DN V (

π = para calcular G, sabiendo que:

$ di!metro de la brocaG nmero de revoluciones por min.

Solución: despe5amos primero GB de la fórmula dada ( luego la valoramos

rpm N 63768,37

000.24

==

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD LGEBRA EN LOS REALES

A continuación, te proponemos una evaluación formativa a desarrollar enforma individual, para luego compartir dudas e impresiones con tus compaeros,asesorados por el profesor. Dara sentirte que estas con los ob5etivos logrados parala siguiente unidad, de un total de */ preguntas debes contestar correctamente a


22/23

lo menos *2. En caso contrario, debes refor)ar lo antes posible los contenidosrespectivos.

*& M#u!l de las siguientes expresiones, es un cuadrado de binomio ( porquéN

a& 16129 2

+− x x b& 16249 2

−− x x c& 16249 2

++ x x

0& #alcular

−÷

− 1

11

aa

a >p:*a

3& Simplificar8158

245

283

242

482

35122

2

2

2

2

2

+−−+

⋅−−−−

⋅−++−

x x

x x

x x

x x

x x

x x >p:*

2& Si a0, b+, c-3, calcular 2

2

⋅⋅

+

ab

b

(

b

a>p:-*O0

+& >educir:23

⋅

y

y

y

y

x

y

y

x>p:

y

y

x

1& M#u!l de las siguientes proposiciones son verdaderasN Pustifica tu respuesta.

a& ( ) p

y

p

x y x p −=−−1 b&

( )

y

x

y

p

y

x p+=

+c& ( )

ab

baba

+=+

−−− 111

6& #alcular8

x

x1

1

1

1 2

−

− >p: x

11+

/& M#u!l es el resultado de2

11

x x− N

a& 2

1−

− x

xb& ( ) 21 −⋅− x x c& ( ) 11 −−÷ x x d&

x

x 12 −


23/23

a& 5 x b& 1−b c& 5− x d& x e& 2− x

**& #alcular ( ) ( ) 21 1 −−−− −÷− x x x x x x >p: x x x x −−

*0& Sea 2

5

5

2

−= x 8

1

2

5

5

2 −

÷= y entonces

11 −−+

y x >p: 21

11

*3& Si a0, b3

1, c

2

1entonces

a(

b

(

aba +− 5

4

3 2 >p:3

10−

*2& #alcular8ba

ba

ba

ab

ba

b

ba

a

+−

÷

−−

+−

− 222

>p: *

*+& Si2

1−=a , calcular

1

21

1

11

−

−− −

a

aa >p:2

3

*1& >educir 104

1

254

22 +

−− nnn

>p:104

1

−n

*6& Si 000170,0 n107,1 ⋅ entonces el valor de n es8 >p: -2

*/& #alcular !rea ( per?metro de un rect!ngulo, cu(os lados son %0x3& ( %1x-*&.

algebra facto

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