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1

Unidad 9. Convección libre o natural

• Consideraciones físicas• Ecuaciones gobernantes. Solución de similaridad para flujo laminar

ésobre placa vertical isotérmica• Transición de flujo laminar a turbulento• Correlaciones empíricas:

– Placas verticales isotérmicas– Placas verticales con flujo de calor constante– Placas inclinadas– Placas horizontales– Cilindros horizontales y verticales, flujo externo– Esferas– Recintos cerrados. Aplicación a colectores solares inclinados– Cilindros y esferas concéntricas

• Convección natural y forzada combinadas

Convección libre o natural• Fuerzas de volumen actúan (generalmente gravitacional) sobre un

fluido en el que existen gradientes de densidad (temperatura)

• Fuerzas de empuje sostienen el movimiento del fluido

• Velocidades más pequeñas que en convección forzada implican menores coeficientes de transferencia, – minimiza pérdidas de calor – reduce costos operativos– mayores resistencias al flujo de calor Importante en el – mayores resistencias al flujo de calor. Importante en el

diseño o rendimiento de sistemas con TC multimodo.

• Aplicaciones– HVAC, tuberías, líneas de transmisión, unidades electrónicas,

radiadores, ciencias ambientales

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2

Isotermas sobre objetos de 2D y 3D obtenidas con un Interferómetro

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3

Consideraciones físicas

La transferencia de calor por convección libre se da cuando existe un gradiente de densidad en el sentido de la gravedad.

convección libre conducción

Consideraciones físicas

Convección libre NO limitada por superficies

forma de pluma (Vi=0) forma de chorro (Vi≠0)

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4

Consideraciones físicas

u=0 en y=0 y en y ∞

Convección libre limitada por superficies

u=0 en y=0 y en y ∞

Asumimos:• SS• 2D

P t t ( l d )

Ecuaciones gobernantes

sT TT ∞+• Prop.constantes (evaluadas a )

• g actúa en dirección de x negativa• Fluido incompresible, pero consideramos efectosde densidad en F de empuje

Volumen de control diferencial de la CL hidrodinámica:

sfT ∞≡

2

Volumen de control diferencial de la CL hidrodinámica:

Ley del mov.de Newton: Suma Fuerzas=Variación de Cant.de Movimiento

Fuerzas Superficiales (α Área): viscosas + presión estáticaFuerzas de Volumen (gravedad ) no son despreciables

gvolumen/fuerza ρ−==Χ

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5

Ecuaciones gobernantes

2

21 gyu

xp

yuv

xuu −

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ ν

ρBCM(x)

2

2

yu)(g

yuv

xuu

0)(u gxp 0

yp

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

=−=∂∂

→=∂∂

∞

∞

νρρρ

ρ

Fuerza de empuje

BCM, Conv.Libre

BCM(y)

2

2

yu)TT(g

yuv

xuu

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

∞ νβ BCM, Conv.Libre

β: coeficiente de expansión volumétricagas perfecto: β=1/T, otros fluidos: Apéndice A

Ecuaciones gobernantes

∂∂ uu

F de empuje modifican el BCM (BM Y BE inalterables)

2

2

2

2

2

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

∞

yu

cv

yT

yTv

xTu

yu)TT(g

yuv

xuu

yu

xu

α

νβ

acopladas

⎠⎝ ∂∂∂∂ ycyyx p

0 (baja velocidad)

Solución: Exacta -> Similitud Aproximada -> Método Integral

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6

Similaridad

• Parámetros adimensionales

• BCM Y BE adimensionales

Se define la velocidad de referencia:

• Número de Grashof (adimensional):

= ReL2 = fuerzas empuje/fuerzas viscosas

con ReL= uo L/ν

• Balances adimensionales :

» Soluciones de la f m2

0*y*u

*x*u

=∂∂

+∂∂

forma

2

2

21

2

2

21

1

1

*y*T

PrGr*y*T*v

*x*T*u

*y*u

Gr*T

*y*u*v

*x*u*u

/L

/L

∂∂

=∂∂

+∂∂

∂∂

+=∂∂

+∂∂

Pr),Gr(NuNu LL =

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7

• Números adimensionales característicos

C ió t l

Efectos combinados de convección natural y forzada

» Convección natural:

» Convección forzada: ReL= u∞ L/ν

GrL/ReL2 Forma de la solución

Efectos ≈1 Pr)ReGr(NuNu LLL =comparables ≈1

Convección natural despreciable <<1

Convecciónforzada despreciable

>>1

Pr),Re,Gr(NuNu LLL =

Pr),(ReNuNu LL =

Pr),Gr(NuNu LL =

Solución de similaridad

• Condiciones de borde

• Introduciendo la variable de similaridad

• Y la función corriente:

• con

• El BM se satisface automáticamente y los BCM y BE se reducen a 2 EDO en función de η:

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Solución de similaridad

• con condiciones de borde:

• La solución numérica de estas ecuaciones se muestra en la siguiente figura

Solución numérica

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La figura anterior puede utilizarse para inferir la forma de una correlación de transferencia de calor

• Introduciendo la Ley de enfriamiento de Newton y la Ley de Fourier:

• De acuerdo a la figura 9.4b, el gradiente de T se ha reemplazado por una función del Pr

• Los resultados numéricos se correlacionan con un 0.5% de error con la función:

• Estas ecuaciones son válidas para Ts>T∞ y Ts<T∞. En este último caso, el eje x será positivo en dirección de la fuerza de gravedad

• Las propiedades se evalúan a la temperatura de la película:

sf

T TT ∞+≡

2

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Transición de flujo laminar a turbulento

• La amplificación de una perturbación depende de la magnitud relativa de las f s d j is s sfuerzas de empuje y viscosas

• Para placas verticales, la transición se define en función del número de Rayleigh

• Las ecuaciones anteriores se aplican si

• Para flujo turbulento se aplican correlaciones basadas en resultados experimentales

Ejemplo

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11

•

(laminar)

De la figura 9.4a para flujo laminar y Pr=0.7 η ≅ 6 y f’ ≅ 2.8 (umáx)

Como , haciendo y=δ, se obtiene el espesor de la CL de

convección natural:

Y la velocidad máxima en la CL laminar

• Convección forzada, u∞=5 m/s

(laminar)

Y por lo tanto:

Lo que indica que los efectos de convección natural son despreciables para este caso, y el espesor de CL puede obtenerse de la solución exacta obtenida en la Unidad 7:

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Correlaciones empíricasConvección natural

• Para geometrías inmersas (flujo externo), las ecuaciones son de la forma:

Flujo laminar: n=1/4 Flujo turbulento: n=1/3

donde: L es la longitud característiaa de la geometría

Propiedades evaluadas a: sf

T TT ∞+≡

2

Correlaciones Placas verticales Isotérmicas

Flujo laminar:

• La fuerza de empuje es paralela a la placa

Correlaciones de Churchill y Chu, 1975

104<Ra<109: n=1/4, C=0.59

Flujo turbulento: Ra>109: n=1/3, C=0.10

Para todo el rango de RaL

Para flujo laminar (RaL< 109)(mayor precisión)

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Correlaciones Placas verticales con flujo de calor constante

• Si qs”=constante -> Ts-T∞ varía con x

• Para calcular h se utilizan las mismas correlaciones que para Ts=constante, pero con Nu promedio y RaL calculados en: ΔTL/2= Ts,L/2-T∞

Metodología de cálculo: utilizar un método iterativo– suponer ΔTL/2, – calcular RaL : L /

Lg T LRa β

ναΔ

=3

2

– calcular h promedio con una correlación, – calcular ΔTL/2 y repetir el cálculo hasta el orden de error deseado:

– ΔT en cualquier x puede estimarse como:

"s

L /qTh

Δ =2/

x L /xT . TL

⎛ ⎞Δ = Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 5

21 15

• La expresión anterior surge de asumir para toda la placa:

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Correlaciones Cilindros verticales (altura L, diámetro D)

• Si δ<<D se cumple: D/L ≥ 35/GrL1/4 -> Se utilizan las mismas

correlaciones que para placa vertical

• Para cilindros delgados que no cumplen con esta condición la curvatura transversal influye en el desarrollo de la CL y aumenta la transferencia de calor, de modo que:

las correcciones C1 y C2 pueden obtenerse de gráficos siguientes:

cilindro placax ,cilindro x , placah C h h C h= =1 2

las correcciones C1 y C2 pueden obtenerse de gráficos siguientes:

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15

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16

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Convección libre sobre placas inclinadas

• La fuerza de empuje tiene 2 componentes:• Flujo tridimensional

gg cosθ

g senθθ

Placa fríaTs <T∞

Transf. de Calor:• Disminuye ensuperficie superior• Aumenta ensuperficie inferior

Placa calienteTs >T∞

Transf. de Calor:• Disminuye ensuperficie inferior• Aumenta ensuperficie superior

Correlaciones de convección en superficies inclinadas

• En superficies inclinadas (0≤θ≤60°), el coeficiente de convección para

superficie superior de placa fría o inferior de placa caliente puede superficie superior de placa fría o inferior de placa caliente puede

calcularse con las correlaciones vistas para Placa vertical, reemplazando

g por g.cosθ para computar el número de Rayleigh (RaL).

• Para las superficies opuestas donde el flujo es tridimensional esta Para las superficies opuestas, donde el flujo es tridimensional, esta

aproximación no es adecuada (ver referencias recomendadas en

Incropera)

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Convección libre sobre placa horizontal

Placa fría

• La fuerza de empuje es perpendicular a la placa

Placa fría(θ=90º)

Placa caliente(θ=90º)

Transf. de Calor:• Disminuye ensuperficie superior• Aumenta ensuperficie inferior

(θ=90 ) Transf. de Calor:• Disminuye ensuperficie inferior• Aumenta ensuperficie superior

CorrelacionesPlaca horizontal de diferentes geometrías

• Las correlaciones siguientes se aplican a diferentes geometrías (placa rectangular, cuadrada o circular) definiendo una Longitud característica

l l N R :para calcular Nu y Ra:L=As/P (As: área de la superficie, P: perímetro de la placa)

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20

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Convección libre sobre cilindro horizontal

Ts >T∞Nuθ: Nusselt local,Flujo laminarFlujo laminar(RaD<109)

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CorrelacionesCilindro largo horizontal

Morgan, 1975

Churchill y Chu, 1975

DNu : Nu promedio sobre toda la circunsferencia de un cilindro isotérmico

CorrelacionesEsferas

Para esferas sumergidas en fluidos, Churchill (1983) propone:

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Convección libre dentro de canales de placas paralelas(aletas)

• Las placas paralelas podrían constituir un arreglo de aletas utilizadas para aumentar la transferencia de calor o circuitos integrados para disi l d t s l t ó i s disipar calor de componentes electrónicos.

• Condiciones térmicas en la superficie: – Isotérmicas o isoflujo,

• simétricas:

• asimétricas:

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La longitud característica para calcular Ra en aletas se toma en general como S:

• Placas isotérmicas

• Isoflujo:

• Las fuerzas de empuje inducen el movimiento del fluido y se forman capas límites (CL) en cada superficie.

• Si S/L es grande, las CL se desarrollan en forma independiente (placas verticales o inclinadas aisladas*) . – Límite de placa aislada

• Si S/L es pequeña, las CL se unen y se logra la condición de flujo completamente desarrollado (fd).

Límite de flujo fd– Límite de flujo fd

* En esta sección el término aislado se utiliza en el sentido de CL independientes una de la otra. La imposibilidad de la placa de intercambiar calor se indicará como adiabática

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Placas paralelas verticalesCorrelación de Bar-Cohen y Rohsenow (1984), aplicable a todo el rango de S/L:

isotérmicaProp. evaluadas a:

isotérmica

isoflujo

NuS,L en el borde superior de la placa, donde Ts=Ts,máx

Sopt: máxima transferencia de calor de un arreglo de placasSmáx: máxima transferencia de calor de cada placa en el arreglo (o mínima Ts,L para isoflujo) (espesor aleta<<S)

Ejemplo

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Convección libre en recintos

• Cavidad rectangular: 2 paredes a diferente temperatura y el resto aisladas de los alrededores

• Para grandes w/L, el flujo de calor depende fuertemente de 0°≤τ≤180°y de H/L:

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27

LRa < 1708 No hay advección h=k/L y NuL=1τ = 0

Superficie inferior

LRa< < 41708 5 10 Movimiento en celdas giratoriaslongitudinales

Flujo turbulento

caliente

RaL > 5 104

Globe y Dropkin, 1959

(L/H pequeños)

h=k/L y Nu =1ºτ = 180 Conducción para todo RaL,c

Superficie inferior

ºτ = 90

h=k/L y NuL=1

LRa ≤ 310 Conducción

LRa > 310 Flujo celular, núcleo estático

Superficie inferior fria

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Correlaciones para flujo celular y diferentes H/L

• Propiedades computadas a la temperatura media:

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Aplicación de Cavidades InclinadasColectores solares de placa plana

Ra / cosτ= 1708

Correlación de Hollands et al.,

L,cRa / cosτ= 1708

,1976

corchetes

CorrelacionesColectores solares planos

Correlación de Catton (1974)

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Correlación de Ayyaswamy y Catton, 1973

Y para todas las relaciones H/L

Correlación de Arnold et al., 1975

H / L∀

H / L∀

Convección libreCilindros concéntricos horizontales largos

• Se define una conductividad efectiva keff de modo que el calor transferido por el fluido real

i i t i l l t sf id

El flujo anular se caracteriza por 2 celdas simétricas respecto del plano medioen movimiento equivale al transferido por un

fluido estacionario ficticio de conductividad keff

• La siguiente correlación permite calcular keff(Si keff/k < 1 keff=k )

plano medio

( )• :

Prop. evaluadas a:

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Convección libreEsferas concéntricas

Prop. evaluadas a:

(Si keff/k < 1 keff=k )

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11-Nov-13

33

Correlaciones empíricasConvección combinada

Clasificación de acuerdo a la dirección de los movimientos inducidos porempuje y forzados

ó• Flujo asistido: igual dirección (ejemplo: placa vertical caliente, flujoforzado hacia arriba y Figura b)

• Flujo opuesto: dirección opuesta (ej.: placa vertical caliente, flujoforzado hacia abajo)

• Flujo transversal: dirección perpendicular (movimiento horizontal sobrecilindro, esfera o placa horizontal caliente, y Figura a)

Correlaciones empíricasConvección combinada

Los resultados experimentales se correlacionan para flujos externos e internos en función del Nu obtenido para convección natural y forzada pura, vistas

i i d l fanteriormente, con expresiones de la forma:

+: flujo asistido y transverso

-: flujo opuesto

n=3, excepto en flujo transverso donde se utiliza n=3.5 ( placas horizontales ) y n=4 (cilindros o esferas)

Los efectos del empuje pueden aumentar significativamente la TC paraflujos de Convección forzada laminar., pero son generalmente despreciables

sobre Convección forzada en flujo turbulento.