Convección Libre (natural)• No hay en estos velocidad de flujo forzada. El movimiento del fluido se origina cuando actúan fuerzas de cuerpo en un fluido en que hay gradientes de densidad.

• Se produce un empuje. Generalmente se origina el gradiente de densidad por diferencias de temperaturas y la fuerza de cuerpo se debe al campo gravitacional.

• Como la velocidad es pequeña, las transferencias de calor también lo son, pero no se las puede menospreciar ya que tienen muchísimas aplicaciones prácticas.

Consideraciones fisicas

Veremos problemas en los que el gradiente de densidad se debe a un gradiente de temperatura y en los que la fuerza de cuerpo es gravitacional.

Viendo la figura, si la diferencia de tempe-ratura excede un va-lor crítico, las condi-ciones son inestables y las fuerzas de em-puje vencen a las vis-cosas. El fluido que baja se calienta y rea-limenta el ciclo.

Aquí se produce sólo conducción

Flujos de frontera libre

Penacho so-bre un alam-bre caliente

Chorro ascendente por una descarga caliente

Nosotros nos concentraremos en los flujos de convección libre limitados por una superficie, como la placa plana que se muestra a la derecha.

El fluido asciende al calentarse y es reemplazado por fluido de una zona de reposo.

La capa límite que se forma tiene ahora dos puntos de velocidad igual a cero ( y= 0 e y ).

Si la temperatura de la placa es inferior a la del fluido en reposo, se produce igual una capa límite, ahora descendente.

Ecuaciones gobernantesLas fuerzas inerciales y viscosas siguen siendo importantes, como así también la transferencia de energía por advección y difusión. La diferencia con los procesos forzados es que aquí el empuje juega un papel fundamental, y es de hecho quien sostiene al flujo.

Supondremos flujo laminar para la figura anterior, con propiedades bidimensionales estables y constantes y como excepción, que el fluido es icompresible (aproximación de Boussinesq).

Con estas consideraciones, la ecuac. 6.29 de cantidad de movimiento en x se reduce a la ecuac. de la capa límite, excepto por la retención de la fuerza de cuerpo X= - .g . Luego:

2

21

y

uvg

x

p

y

uv

x

uu

(9.1)

gx

p

(9.2)

2

2

y

uv

g

y

uv

x

uu

(9.3)

Como v << u, por lo cual v/x = v/y 0 y no se tienen fuerzas sobre el cuerpo en la dirección y, el balance de fuerzas da p/y = 0.

Así, la presión en la capa límite es igual a la presión en el fluido inmóvil, o sea p= p(x) = p(x) y p/x = p/x = - .g. (ecuac. 9.2, que se obtiene aplicando 9.1 al fluido estático) y sustituyendo en la 9.1

aplicable en cual-quier punto de la capa límite.

El primer término del miembro derecho es la fuerza de flotación. El origen de la variación de la densidad se puede explicar introduciendo el coeficiente volumétrico de expansión térmica.

PT

1 (9.4)

TTT

11Que se puede expresar en forma aproximada como

luego Y sustituyendo en la 9.3 TT

2

2

y

uvTTg

y

uv

x

uu

(9.5) Donde se ve claramente como la fuerza que impulsa al flujo se relaciona con la temperatura.

Las ecuaciones de conservación de masa y energía permanecen sin cambios, por lo cual el conjunto de ecuaciones gobernantes es entonces:

0

y

v

x

u(9.6)

2

2

y

uvTTg

y

uv

x

uu

(9.7)

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

(9.8)

Obviándose en esta última la disipación viscosa, lo cual es razonable teniendo en cuenta las pequeñas velocidades asociadas con la convección libre.

Desde el punto de vista matemático, estas ecuaciones están fuertemente acopladas (para resolver el problema hidrodinámico se tiene que conocer la distribución de T) y se deben resolver en forma simultánea.

Los efectos de la convección dependen de , el cual se puede obtener de tablas para los líquidos y en el caso de gases ideales, teniendo en cuenta que TRp

TTR

p

T Pidealgas

1112

(9.9)

Consideraciones de similitud

L

xx *

L

yy *

0

*

u

uu

0

*

u

vv

TT

TTT

s

*

2*

*2*

20

*

**

*

**

Re

1

y

uT

u

LTTg

y

uv

x

uu

L

s

(9.10)

2*

*2

*

**

*

**

PrRe

1

y

T

y

Tv

x

Tu

L

(9.11)

adimensionalizando

Donde L es una longitud característica y u0 es una velocidad de referencia arbitraria. Las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía se reducen a

El parámetro adimensional del primer término del lado derecho de 9.10 es una consecuencia directa de la fuerza de empuje, pero como se expresa en términos de una velocidad de referencia desconocida, no es conveniente tratarlo en esa forma. Se le suele trabajar con una forma alternativa que se obtiene de multiplicar por ReL

2= (u0 L / )2. Se define así el número de Grashof

2

32

020

LTTgLu

u

LTTgGr ss

L

(9.12)

Que expresa la razón de las fuerzas de empuje a las fuerzas viscosas.

Podrían darse casos de estudios combinados (forzado + libre). Pero si los efectos de convección libre se pueden ignorar, y si se ignoran los efectos de convección forzada.

1Re2 LLGr 1Re2 LLGr

Convección libre laminar sobre una superficie vertical

Se pondrá atención a una superficie vertical iso-térmica en un medio extenso en reposo. Para esas condiciones, las ecuaciones 9.6 a 9.8 se deben resolver con las condiciones de frontera de la forma

TTuy

TTvuy s

0

00

Ostrach obtuvo una solución de similitud a este problema, trans-formando variables con un parámetro de similitud de la forma

41

4

xGr

x

y (9.13)

41

44, xGrfyx (9.14)

Representando las componentes de la velocidad a partir de una función corriente definida por

fGrx

Gr

xf

Gr

yyu

x

xx

21

4141

2

4

1

44

(9.15)

Con lo cual se tiene para la componente de la velocidad en x

TT

TTT

s

* (9.16) Evaluando v de la misma manera e introduciendo la temperatura adimensional definida como

se tiene

023 *2 Tffff

0Pr3 **

TfT

(9.17)

(9.18)

Ecuaciones diferenciales ordinarias, donde f y T* son funciones sólo de . Se ve que f es clave para resolver la capa límite de velocidad. Las condiciones de frontera serán:

TTf

Tff*

*

0

100

Se obtiene así una solución numérica, mostrán-

dose en la figura siguiente resultados seleccio-nados. Obsérvese que definidos x e y se pueden a partir de la figura encontrar valores para u y T.

k

xTTq

k

xhNu ss

x

0

*41

04

d

dTGrTT

x

k

y

Tkq x

s

y

s

Pr44

41

0

*41

gGr

d

dTGr

k

xhNu xx

x

(9.19)

También a partir de la figura se puede sacar la correlación para la transferencia de calor. Por ley de enfriamiento de Newton tenemos

Luego, usando Fourier y expresando el gradiente de temperatura super-ficial en función de y T*, se tiene

Y luego

donde se manifiesta una dependencia del gradiente adimensional de temperatura en la superficie con el Pr (ver figura anterior). Los resultados se pueden correlacionar dentro de un 5 % mediante una fórmula de interpolación de la forma

4121

21

Pr328,1Pr221,1609,0

Pr75,0Pr

g (9.20) Aplicable para Pr0

2

3

xTTg

Gr sx

Ls

L

x

dxg

TTg

L

kdxh

Lh

0 41

41

20Pr

4

1

Usando 9.19 para calcular el Gr local

se puede luego calcular el coe-ficiente promedio de transfe-rencia de calor por convección

e integrando se obtiene

Pr43

441

gGr

k

LhNu L

L

(9.21) LL NuNu

3

4Comparando

con 9.19

TTsSi las condiciones se invierten con respecto a la pared caliente y la primera orilla está en la parte superior de la placa, utilizándose los mismos resultados.

Efectos de la turbulencia

La aparición de una inestabilidad hidrodinámica ocasionará el pasaje de laminar a turbulento luego de una zona de transición. La transición se dará en función de las magnitudes relativas de las fuerzas de empuje y viscosas. Se las suele correlacionar mediante el número de Rayleigh, definido como el producto de Gr por Pr.

Para placas planas el número crítico de Rayleigh es

93

,, 10Pr

xTTg

GrRa scxcx (9.23)

Como en convección forzada, la transición a la turbulencia tiene un fuerte efecto sobre la transferencia de calor.

Para flujo turbulento se requiere la utilización de resultados experimentales.

Correlaciones empíricas: flujos externos de convección libre

Las correlaciones adecuadas para la mayoría de los cálculos de ingeniería son de la forma

nLL RaC

k

LhNu (9.24)

3

PrLTTg

GrRa sLL

(9.25)

Placa vertical

Donde el RaL, se basa en la longitud ca-racterística L de la geometría. Normal-mente, n= ¼ y 1/3 para flujos laminar y turbulento respectivamente

Lo anterior implica que h promedio es independiente de L para flujo turbulento. Todas las propiedades se deben evaluar a temperatura de película.

Se han desarrollado ecuaciones de la forma 9.24 que se representan en la figura siguiente. Sobre todo el intervalo de RaL, Churchill y Chu recomiendan

2

278169

61

Pr492,01

387,0825,0

L

L

RaNu (9.26)

(9.27)

994169

41

10Pr492,01

670,068,0

L

LL Ra

RaNu

Para flujos laminares se obtiene una preci-sión algo mejor con la expresión

Los resultados anteriores son para placa isotérmica (Ts = constante).

Si la condición es de calor superficial constante (qs’’ = constante), la diferencia de temperaturas variará con x. Resultados experimentales muestran que las correlaciones de Nu de placa isotérmica se pueden usar con muy buena aproximación si Nu y Ra se definen en términos de l diferencia de temperaturas en el punto medio de la placa

TLTT sL 22

Luego, con se podría usar alguna de las correlaciones an-teriores (prueba y error) para deter-minar y de allí la

2Ls Tqh

2LT 2LTs

Si se supone que para toda la placa, se tiene que

41xx RaNu

4341 xTTk

xqs

ó51xT 2

51

251

51

15,12

LLx TL

xT

L

xT

y así (9.28)

Los resultados anteriores también se pueden aplicar a cilindros verticales de altura L, si el espesor de la capa límite es mucho menor que el diámetro D del cilindro, proponiéndose como límite

41

35

LGrL

D

Placas horizontales e inclinadas

En estos casos el empuje tiene una componente normal a la superficie por lo cual hay una reducción en la velocidad del flujo respecto a la placa.

El comportamiento de las caras superior e inferior no es igual. En una de ellas se desprenden “par-celas” de fluido obligando a un trata-miento tridimensional del problema.

Así, la reducción de transferencia de calor debida a la inclinación en las caras sin desprendimiento se ve compensada e incluso aumentada por los desprendimientos en la cara opuesta (disminuye y se reem-plaza fluido con alto T).

TTs

TTs

Para para el cálculo de Ra se reemplaza g por g cos y luego se utilizan las expresiones 9.26 ó 9.27, para el caso de parte superior de placa fría o cara inferior de placa caliente isotérmica. Para las superficies opuestas no hay recomendación y se debe consultar la literatura.

º600

En placas horizontales el empuje es exclu-sivamente normal a la superficie, como se ve en la figura, en los casos a) y d) la propia placa dificulta el movimiento del fluido, siendo en los casos b) y c) más efectiva la transferencia de calor.

TTs

TTs

Se adopta como longitud carac-terística el cociente entre el área y el perímetro de las placas P

AL s (9.29)

Se recomienda el uso de las siguientes correlaciones:

a) Superficie superior de placa caliente o superficie inferior de placa fría:

7441 101054,0 LLL RaRaNu (9.30)

11731 101015,0 LLL RaRaNu (9.31)

a) Superficie inferior de placa caliente o superficie superior de placa fría:

10541 101027,0 LLL RaRaNu (9.32)

Cilindro largo horizontal

Para un cilindro isotérmico se reco-mienda usar la expresión

nDL RaC

k

DhNu (9.33)

Donde C y n están dadas en la tabla siguiente.

Los números de Rayleigh y de Nusselt están basados en el diámetro del cilindro.

Para un cilindro frío, la columna de fluido desciende.

(9.34)

12

2

278169

61

10Pr559,01

387,060,0

D

DD Ra

RaNu

Para un amplio mar-gen de Ra otros au-tores recomiendan

Esferas

94169

41

Pr469,01

589,02

D

D

RaNu (9.35)

Se recomienda la correlación de la derecha para

11107,0Pr DRa

Convección libre dentro de canales de placas paralelasSi las placas son cortas o muy separadas, se las trata como placas aisladas en un medio infinito, pero si L/S es grande, la producción de capas límites en superficies opuestas se combinará para generar una condición de flujo completamente desarrollado que merecerá un estudio particular.

Se han analizado casos de paredes isotérmicas simétricas y asimétricas, como así también casos de flujo de calor superficial constante simétricos y asimétricos (ver texto de Incropera & DeWitt). Se definen Ra y Nu especiales para los distintos casos. Se tratan canales verticales e inclinados.

Recintos - Cavidades rectangulares, cilindros y esferas concéntricas, etc.

En la bibliografía se detallan distintas correlaciones que permiten evaluar la transferencia de calor que se produce cuando la convección libre se da dentro de recintos cerrados de diversas geometrías.