estudio numÉrico de la convecciÓn natural de calor

7/27/2019 ESTUDIO NUMRICO DE LA CONVECCIN NATURAL DE CALOR

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ESTUDIO NUMRICO DE LA CONVECCIN NATURAL DE CALORY MASA 2-D EN GRANOS ALMACENADOS EN SILOS CILNDRICOS

NUMERICAL STUDY OF THE NATURAL CONVECTION OF HEAT AND 2-DMASS OF GRAIN STORED IN CYLINDRICAL SILOS

Hugo Jimnez-Islas, Jos L. Navarrete-Bolaos y Enrique Botello-lvarez

Departamento de Ingeniera Bioqumica. Instituto Tecnolgico de Celaya. Avenida Tecnolgico yAntonio Garca Cubas s/n. 38010. Celaya, Guanajuato. Apartado Postal 57. Telfono: +52(461) 611-7575 ext. 209 y 323, Fax: +52(461) 611-7979. ([email protected])

RESUMEN

En este trabajo se estudi numricamente la conveccin natural

de calor y masa en granos almacenados en silos y originada por

los gradientes de temperatura producidos por las condiciones am-

bientales y el calor de respiracin del grano, utilizando las

ecuaciones de transporte de momentum, de energa y de masa

para medios multifsicos. Las ecuaciones gobernantes se resol-

vieron mediante discretizacin de las coordenadas espaciales me-

diante colocacin ortogonal con polinomios de Legendre con una

malla de 1919 nodos y la formacin de un esquema implcito

para el tiempo. El sistema no lineal se resolvi por el mtodo de

Newton-Raphson con factorizacin LU para cada etapa de inte-

gracin. Se utiliz como modelo el sorgo (Sorghum bicolor), al-

macenado en un silo cilndrico de 44 m3 de capacidad. El estudio

numrico se hizo para 42 d, analizando los patrones de flujo,

isotermas e isolneas de humedad tanto en el grano como en el

aire intersticial. El contenido de humedad en el grano es la va-

riable controlante, y comienza a estabilizarse a los 32 d de alma-

cenamiento. Con lo anterior, se establecen bases para la predic-

cin del efecto de las condiciones ambientales sobre la vida til

de los granos.

Palabras clave: Colocacin ortogonal, isotermas, medio poroso.

INTRODUCCIN

Los esfuerzos para aumentar la produccin de cerea-les han sido parcialmente neutralizados por las pr-didas despus de la cosecha del grano que, en Am-rica Latina, se calculan en alrededor de 20%. Esto refle-ja, indirectamente, las precarias condiciones del manejo

post-cosecha de la mayor parte de los granos (Marques yMarcal, 1991).En el almacenamiento de granos en silos se manifies-

ta la transferencia de calor y la de masa. Por tanto, el dise-o de sistemas ptimos de conservacin de cereales re-quiere comprender los fenmenos de transporte en el al-macenamiento a granel, as como los efectos ambientales

Recibido: Febrero, 2003. Aprobado: Marzo, 2004.Publicado como ARTCULO en Agrociencia 38: 325-342. 2004.

ABSTRACT

In this work a numerical study was carried out on the natural

convection of heat and mass in cereal grains stored in silos,

originated by the temperature gradients produced by

environmental conditions and respiration heat of the grain, utilizing

transport equations of the momentum, heat, and mass for

multiphasic-media. The governing equations were solved through

discretization of spatial coordinates using orthogonal collocation

with Legendre polynomials with a mesh of 1919 nodes, and the

formation of an implicit scheme for the time. The nonlinear system

was solved with the Newton-Raphson method with LU factorization

for each integration step. Sorghum (Sorghum bicolor) was used as

model, stored inside a cylindrical silo of 44 m3 capacity. The

numerical study was done for 42 d, analyzing the flow patterns,

isotherms, and humidity isolines in the grain as well as in the

intergranular air. Grain moisture is the controlling variable and

begins to become stable at 32 d of storage. With the above-

mentioned, bases for predicting the effect of environmental

conditions on shelf life of grain are established.

Key words: Orthogonal collocation, isotherms, porous media.

INTRODUCTION

The efforts to increase the production of cerealgrains have been partly neutralized by postharvestgrain loss, estimated to be about 20% in LatinAmerica. This indirectly reflects the precarious conditionof postharvest handling of most of the grains (Marquesand Marcal, 1991).

At storing grains in silos, the convection of heat and

mass becomes evident. Therefore, the design of optimalsystems for preserving cereal grains requires theunderstanding of transport phenomena at storage in bulk,as well as of environmental effects on flow patterns,temperature, and concentration in the silo (Singh andThorpe, 1993; Jimnez-Islas et al., 1996). There are manygeometries for the design of silos, cylindricalconfiguration being one of the most employed, mainlyfor relatively small amounts of grain (Lindblad andDruben, 1979).


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AGROCIENCIA VOLUMEN 38, NMERO 3, MAYO-JUNIO 2004326

sobre los perfiles de flujo, temperatura y concentracinen el silo (Singh y Thorpe, 1993; Jimnez-Islas et al.,1996). Existen muchas geometras para el diseo de lossilos, y la configuracin cilndrica es una de las ms em-pleadas, principalmente para cantidades de grano relati-vamente pequeas (Lindblad y Druben, 1979).

El grano respira, es decir, la semilla absorbe oxge-no del aire y consume carbohidratos de su estructura.Durante este proceso se libera calor a razn de 2817 kJmol1, CO2 y H2O (Wilson, 1999). La respiracin esms rpida cuando el grano est caliente y hmedo quecuando est fresco y seco. En condiciones normales dealmacenamiento, solamente se presenta la respiracinsuficiente para mantener vivo el embrin del grano. Esteproceso contina durante el almacenamiento por largosperodos, y es importante la forma en que el grano, lahumedad y la temperatura interactan. El grano alma-cenado con humedad mayor de 15% respira ms rpidoque el seco, produciendo ms calor y creando condicio-

nes favorables para el crecimiento de hongos (Ranalli yHowell, 2002) y para el ataque de insectos (Maniet al.,2001), debido a la formacin de puntos calientes. Ade-ms, si se satura el aire circundante, se presentar con-densacin de humedad, favoreciendo el crecimiento demicroorganismos que pueden producir toxinas y el de-terioro del grano (Xu y Burfoot, 1999; Can-Chun et al.,2000; Casada, 2000).

La temperatura externa del almacn no tiene efectoinmediato sobre el grano almacenado en silos grandes,pero puede afectar al grano almacenado en depsitos pe-queos con paredes metlicas, ya que los rayos solarescalientan el depsito, creando gradientes de temperatura

adicionales que inducen condiciones favorables para lareproduccin de hongos e insectos (Lindblad y Druben,1979; Jimnez-Islas et al., 1996).

Este problema ha sido tratado desde diversos puntosde vista. Trevisan y Bejan (1985) resuelven un problemaen estado estable de la transferencia simultnea de calory masa 2-D en una cavidad cuadrada que contiene unmedio poroso, usando el concepto de doble difusin, re-portando el efecto de la razn de flotacinNsobre latransferencia global de masa. Singh y Thorpe (1993) pro-ponen un modelo 3-D para simular los procesos de trans-porte debidos a la conveccin natural de calor en almace-nes de forma arbitraria, tomando como ejemplo numri-

co una bodega de forma rectangular con techo triangular.Ellos consideran generacin constante del calor de res-piracin, observando que la humedad del grano tiende aacumularse en la parte superior del silo. Estos autoressolamente proponen un balance combinado para mode-lar el contenido de agua en el aire y en el grano, sin con-siderar la influencia de la difusin de agua a travs delgrano ni los efectos de flotacin originados por gradientesde concentracin. Jimnez-Islas et al. (1996) desarrollan

Grain respires, that is, the seed absorbs oxygen fromthe air and uptakes carbohydrates from its structure.During this process, heat is released at a rate of 2817 kJmol1, CO2, and H2O (Wilson, 1999). Respiration is fasterwhen grain is hot and humid than when it is cool and dry.Under normal storage conditions, there is only enoughrespiration to keep the grain embryo alive. This processcontinues during long-term storage, and the way in whichgrain, humidity, and temperature interact is important.Grain stored at more than 15% moisture respires fasterthan dry grain, producing more heat and generatingfavorable conditions for the growth of fungi (Ranalliand Howell, 2002) and the attack of insects (Maniet al.,2001), due to the formation of hot spots. Furthermore, ifthe surrounding air becomes saturated, there will becondensation of humidity, favoring the growth ofmicroorganisms which may produce toxins and thedeterioration of grain (Xu and Burfoot, 1999; Can-Chunet al.,2000; Casada, 2000).

The external temperature of the storehouse does nothave a direct effect on grain stored in big silos, but it mayaffect grain in small containers with metal walls, sincethese are heated by the sunrays, which generate additionaltemperature gradients, inducing favourable conditions forthe reproduction of fungi and insects (Lindblad andDruben, 1979; Jimnez-Islas et al., 1996).

This problem has been treated from different pointsof view. Trevisan and Bejan (1985) solve a problem at asteady state of simultaneous transfer of heat and 2-Dmass in a square cavity, containing a porous medium,using the concept of double diffusion, reporting theeffect ofNbuoyancy ratio on global mass transfer. Singh

and Thorpe (1993) propose a 3-D model to simulate theprocesses of transportation, due to natural heatconvection instorehouses of arbitrary geometry, takingas numerical example a rectangular store with atriangular roof. The authors consider constant generationof respiration heat, observing that grain moisture tendsto accumulate at the top of the silo. They only propose acombined balance for modelling the water content inthe air and in the grain, without considering the influenceof water diffusion through the grain, or the buoyancyeffects originated by concentration gradients. Jimnez-Islas et al. (1996) develope a 2-D model for cylindricalsilos, analyzing the effect of respiration heat of sorghum

(Sorghum bicolor) and of two types of boundaryconditions on the flow patterns and isotherms, finding acritical value of dimensionless respiration heat, fromwhich a hot nucleus begins to form. Casada (2000)proposes a 2-D model for cylindrical silos taking intoaccount the effect of solar radiation on the upper airspace, but does not include the equilibrium between airhumidity and grain moisture, or the respiration heat ofthe grain.


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JIMNEZ-ISLAS et al.: CONVECCIN DE CALOR Y MASA 2-D EN SILOS CILNDRICOS 327

un modelo 2-D para silos cilndricos, analizando el efec-to del calor de respiracin del sorgo (Sorghum bicolor) yde dos tipos de condiciones de frontera sobre los patro-nes de flujo e isotermas, encontrando un valor crtico decalor de respiracin adimensional a partir del cual seempieza a formar un ncleo caliente. Casada (2000) pro-pone un modelo 2-D para silos cilndricos tomando encuenta el efecto de la radiacin solar sobre el espaciosuperior de aire, pero no incluye el equilibrio entre lahumedad del aire y la del grano ni el calor de respiracindel grano.

La humedad de equilibrio se define como el conteni-do de humedad de un material higroscpico despus deestar expuesto a un ambiente en condiciones controladasde temperatura y humedad relativa durante un lapso pro-longado. En el equilibrio higroscpico, la actividad deagua (aw) de los granos es idntica a la de la humedadrelativa del aire, es decir, el contenido de humedad delgrano es igual al contenido de humedad de equilibrio,

para las condiciones locales de temperatura y humedadrelativa del aire.El objetivo de este estudio fue proponer un modelo

matemtico y desarrollar un simulador de la dinmicaconvectiva de almacenamiento de granos en silos ciln-dricos, que incluya los fenmenos de interfaz entre lahumedad del grano y la del aire intersticial, tomando comobase resultados previos (Trevisan y Bejan, 1985; Singh yThorpe, 1993; Jimnez-Islas et al., 1996; Jimnez-Islaset al., 1999; Jimnez-Islas, 2001).

Este problema tiene una gran importancia prctica,ya que con los modelos de transporte de momentum, ca-lor y masa, se podr contribuir con una alternativa sus-

tentada en principios de la ingeniera. Esto, junto con laprediccin rigurosa de coeficientes efectivos de transporte,podr utilizarse como punto de partida para el diseo ter-modinmico de silos y el establecimiento de condicionesptimas de almacenamiento del grano, respecto a la vidade anaquel, temperatura, humedad relativa del aire, acti-vidad acuosa, tratamiento con agentes fumigantes, y ven-tilacin, entre otras variables.

MATERIALESY MTODOS

Ecuaciones de transporte

El estudio de los fenmenos de conveccin natural en el almace-

namiento de granos en un silo implica la inclusin de fenmenos de

transporte en dos fases. Howes y Whitaker (1985) desarrollaron un

modelo matemtico para el transporte de calor y masa en medios

porosos granulares, utilizando el mtodo y el Teorema del Promedio

Volumtrico (Carbonell y Whitaker, 1984) para obtener expresiones

para un medio efectivo que conjuga el efecto de la fase slida y de la

gaseosa. Para aplicar el enfoque de medio efectivo es necesario utili-

zar propiedades termodinmicas efectivas (viscosidad, densidad,

The humidity of equilibriumis defined as the moisturecontent of a hygroscopic material after being exposed toan environment under controlled conditions oftemperature and relative humidity during a prolongedlapse of time. In the hygroscopic equilibrium, the wateractivity (aw) of the grain is identical to relative humidityof the air; in other words, the grain moisture content isthe same as the moisture content of equilibrium for thelocal conditions of temperature and relative humidity ofthe air.

The objective of this study was to propose amathematical model and to develop a computer simulationof convective dynamics of grain storage in cylindricalsilos, including the phenomena of interphase betweengrain moisture and that of intergranular air, based onprevious results (Trevisan and Bejan, 1985; Singh andThorpe, 1993; Jimnez-Islas et al.,1996; Jimnez-Islaset al., 1999; Jimnez-Islas, 2001).

This problem is of great practical importance, since

with the models of transport of momentum, heat, andmass, it will be possible to contribute with an alternativesustained onengineering principles. This, together withthe rigorous prediction of effective coefficients oftransport, could be utilized as a starting point for thethermodynamic design of silos and the establishment ofoptimal grain storage conditions, with respect to shelflife, temperature, relative air humidity, water activity,treatment with fumigation agents, and ventilation, amongother variables.

MATERIALSAND METHODS

Equations of transport

The study of the phenomena of natural convection in the storage

of grain in silo implies the inclusion of transport phenomena in two

phases. Howes and Whitaker (1985) developed a mathematical model

for the transport of heat and mass in granular porous media, utilizing

the method and the Theorem of Average Volume (Carbonell and

Whitaker, 1984) to obtain expressions for an effective medium that

conjugates solid, and gas phase effects. To apply the approach of

effective medium, it is necessary to utilize effective thermodynamic

properties (viscosity, density, thermal conductivity, specific heat, and

diffusivity), which must be experimentally determined, or be deduced

from the mathematical analysis (Thorpe et al., 1991). In the case of

unventilated storage of grain in silos, the phenomena of transfer are

dominated by the natural convection originated by the gradients of

temperature (Singh and Thorpe, 1993), of concentration, and the

respiration heat of grain.

Definition of the problem

For the modelling,a cylindrical silo was defined, with R radius

andL height, containing grain with intergranular spaces saturated with


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conductividad trmica, calor especfico y difusividad), las que deben

determinarse experimentalmente o deducirse a partir del anlisis ma-

temtico (Thorpe et al., 1991). En el caso de almacenamiento no ven-

tilado de granos en silos, los fenmenos de transferencia estn domi-

nados por la conveccin natural originada por los gradientes de tem-

peratura (Singh y Thorpe, 1993), de concentracin y el calor de res-

piracin de los granos.

Definicin del problema

Para la modelacin se defini un silo cilndrico de radio R y

altura L que contiene un grano con espacios intersticiales satura-

dos con aire a una humedad absoluta inicial Y0 (kg agua1 kg aire

seco) y una temperatura de bulbo seco igual a T0. El grano es

isotrpico, con propiedades darcianas y presenta una humedad ini-

cialX0 (kg agua1 kg slido seco) y una temperatura igual a T0. Al

tiempo mayor que cero se establecen condiciones isotrmicas en la

superficie superior y en la superficie lateral exterior del silo, de tal

manera que la temperatura es igual a T1, mientras que el fondo est

aislado. La eleccin de las condiciones de entorno se hizo tratandode aproximar el comportamiento ambiental en el almacenamiento

de granos (Singh y Thorpe, 1993). En la Figura 1 se observa el

sistema geomtrico en cuestin y su dominio computacional, don-

de se consideran los efectos radial y axial. Adems, se tiene en

cuenta el efecto de la actividad acuosa del grano ( aw), el calor

volumtrico de respiracin como funcin de la temperatura, los

efectos de flotacin debidos a la temperatura y a la concentracin

y el calor latente de vaporizacin.

Las ecuaciones gobernantes para un medio poroso , donde

es la fase discontinua (grano) y es la fase continua (aire), se

obtienen a partir del Mtodo del Promedio Volumtrico de Carbonell

y Whitaker (1984) y Whitaker (1986), quienes utilizaron esta tcnica

para desarrollar modelos de una sola ecuacin (anlogas a las em-pleadas en medios homogneos) en sistemas multifsicos en rgi-

men laminar y fluido newtoniano:

Continuidad:

( )=i v 0 (1)

Momentum (Ley de Darcy):

( )

= +

vC v g

t

p1 (2)

Energa:

CT

tT

T Tp

TQ

p( )

+

=

( )+

v

K v: 00

(3)

air at Y0 (kg water1 kg dry air) initial absolute humidity, and the dry-

bulb temperature equal to T0. The grain is isotropic with darcian

properties and has anX0 (kg water1 kg dry solid) initial humidity, and

a temperature equal to T0. At time higher than zero, isothermal

conditions are established at the top surface and at the external lateral

surface of the silo, so that the temperature is equal to T1, while the

bottom is insulated.The choice of boundary conditions was made trying

to approximate environmental performance on grain storage (Singh

and Thorpe, 1993). In Figure 1 the geometrical system in question and

its computational domain are observed, where radial and axial effects

are considered. Furthermore, the effect of water activity of the grain

(aw), volumetric respiration heat as temperature function, buoyancy

effects due to temperature and concentration, and latent heat of

vaporization, are taken into account.

The governing equations for a porous medium , where is

the discontinuous phase (grain) and the continuous phase (air), are

obtained from the Method of Average Volume, a technique utilized

by Carbonell and Whitaker (1984) and Whitaker (1986) to develop

models of only one equation (analogous to those employed in

homogenous media) in multiphasic systems in laminar regimeandNewtonian fluid:

Continuity:

( )=i v 0 (1)

Momentum (Darcys Law):

( )

= +

vC v g

tp

1 (2)

Figura 1. Sistema geomtrico del silo y su dominio computacionalbidimensional (r, z).

Figure 1. Geometrical system of the silo and its bidimensional (r,z) computational domain.

R T/ z=0

r

T= 25 Co

T= 25 Co

L

z


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Masa para el componente A:

+ = +

C

tC C P

A

A A

v AD : 0 (4)

En las expresiones (1) a (4) las variables son del tipo

volumtricamente promediadas, aunque se ha preferido la notacinpara variables puntuales (Bird et al., 2002). Una discusin ms deta-

llada del tema est en los trabajos de Carbonell y Whitaker (1984),

Whitaker (1986) y Thorpe et al. (1991). Para obtener el modelo co-

rrespondiente al sistema geomtrico en cuestin, se han hecho las con-

sideraciones siguientes:

1. Medio efectivo, isotrpico, con propiedades termodinmicas cons-

tantes, a excepcin del calor de respiracin. En este caso el tensor

C de la ecuacin (2) se transforma en el escalar K que es el trmi-

no clsico que representa la permeabilidad del medio poroso. Una

situacin similar se presenta en las ecuaciones (3) y (4), en las

que los tensores K y D se transforman en la conductividad trmi-

ca efectiva keff y difusividad efectiva Deff(Jimnez-Islas, 2001).2. El silo es de construccin metlica, impermeable a la transferen-

cia de masa y totalmente lleno del grano.

3. Se usa la aproximacin de Boussinesq para calor y masa (Trevisan

y Bejan, 1985; Nield y Bejan, 1992; Gobin et al., 1998;

Zeytounian, 2003), que considera constante la densidad, excepto

en el trmino de fuerzas volumtricas. Se incluye el efecto com-

binado de las fuerzas de flotacin producidas por los gradientes

de temperatura y de concentracin, lo que origina el fenmeno

conocido como doble difusin (Trevisan y Bejan, 1985):

= ( ) ( ) 0 0 01 T T C C C (5)

CA B

RTM M

pM=

( )(6)

dondeMA,MB y M son los pesos moleculares del agua, del aire y pro-

medio, y T0 y C0 son temperatura y concentracin de referencia.

4. Es una cavidad con fronteras rgidas e impermeables y, por tanto,

no se presenta deslizamiento.

5. El nmero de Darcy (Da) en los granos es del orden de 108 (Singh

y Thorpe, 1993); por tanto, la ecuacin de momentum adecuada

es la ley de Darcy (Jimnez-Islas et al., 1999).

6. El equilibrio termodinmico entre la humedad del grano con lahumedad del aire intersticial se establece localmente, empleando

la isoterma de sorcin, las propiedades psicromtricas del aire y

el vapor de agua, y el coeficiente convectivo de transferencia de

masa ky.

7. Se incluye el efecto del calor de respiracin como funcin de la

temperatura y del contenido de humedad del grano y la corres-

pondiente generacin volumtrica de agua a partir del metabolis-

mo de la glucosa.

Energy:

CT

tT

T Tp

TQ

p( )

+

=

( )+

v

K v: 00

(3)

Mass for the A component:

+ = +

C

tC C P

A

A A

v AD : 0 (4)

In expressions (1) to (4), the variables are of the volumetrically-

averaged type, though the notation for punctual variables (Bird et al.,

2002) has been preferred. A more detailed discussion of the topic can

be found in the works of Carbonell and Whitaker (1984), Whitaker

(1986) and Thorpe et al. (1991). To obtain the model corresponding to

the geometrical system in question, the following considerations have

been made:

1. Effective, isotropic medium, with constant thermodynamic

properties, except for respiration heat. In this case, the C tensor of

equation (2) is transformed into the K scalar,which is the classical

term representing permeability of the porous medium. A similar

situation is presented in equations (3) and (4), where the K and D

tensors are transformed intokeffeffective thermal conductivity and

Deffeffective diffusivity (Jimnez-Islas, 2001).

2. The silo is a metal construction, impermeable to mass transfer

and completely filled with grain.

3. The Boussinesq approximation for heat and mass is used (Trevisan

and Bejan, 1985; Nield and Bejan, 1982; Gobin et al., 1998;

Zeytounian, 2003), which considers a constant density, except for

the term of volumetric forces. The combined effect of buoyancy

forces, produced by the gradients of temperature and concentration,

is included, which originates the phenomenon known as double

diffusion (Trevisan and Bejan, 1985):

= ( ) ( ) 0 0 01 T T C C C (5)

CA B

RTM M

pM=

( )(6)

where MA, MB and M are the molecular weights of water, air, and

average, and T0and C0are temperature and concentration of reference.

4. It is a cavity with rigid and impermeable boundaries, and therefore

there is no slip.

5. The Darcy number(Da) in grains is of the order of 108 (Singh

and Thorpe, 1993); therefore, the suitable equation of momentum

is the Darcys law. (Jimnez-Islas et al.,1999).


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Con estas consideraciones, y empleando coordenadas cilndricas

(r, z), se sustituy la aproximacin de Boussinesq en la ley de Darcy,

continuando con la adimensionalizacin de las ecuaciones, seguido

de la aplicacin del rotacional a la ecuacin de movimiento para eli-

minar el gradiente de presin p. Por ltimo, con el empleo de las

definiciones de funcin corriente para satisfacer la ecuacin de conti-

nuidad y de vorticidad que engloba al rotacional de la velocidad(Roache, 1972; Nield y Bejan, 1992), se obtiene el modelo:

Vorticidad (), funcin corriente ()

=

+

A

A

2 2

2 2

2

2

1 1 (7)

Movimiento combinado

= +

+

Fo Da

Ra A Ra ANf fPr

Pr Pr (8)

Balance de energa

=

+

+

+

+

Fo A

Q R

ke

2

2 2

2

2

02

1 1 1 1

fff

v y a v i

effT T

k a Y Y R

k T T1 0

2

1 0( )

( )

( ) (9)

Balance para la humedad adimensional en el grano (W)

=

+

+

+

W

Fo Le

W W

A

W W

W

1 1 1 1

1

2

2 2

2

2

+( )

( )

( )

P R

X X

k a Y Y R

X Xs

y a v i

s

02

1 0

2

1 0

(10)

Balance para la humedad adimensional en el aire ()

=

+

+

+

Fo Le Aa

1 1 1 1

1

2

2 2

2

2

+( )( )

k a Y Y R

X X

y v i2

1 0

(11)

Las velocidades adimensionales ur y uz se definen en trminos de la

funcin corriente :

u uA

r z=

=

12

(12a,b)

6. The thermodynamic equilibrium between grain moisture and

intergranular air humidity is locally established, employing the

isotherm of sorption, the psychrometric properties of the air and

the water vapor, and the convective mass-transfer coefficient ky.

7. The effect of respiration heat as a function of temperature and

grain moisture content, and the corresponding volumetric

generation of water from glucose metabolism, are included.

Considering this and using cylindrical coordinates (r, z), the

Boussinesq approximation in Darcys Law was replaced, continuing

with the adimensionalization of the equations, followed by the

application of the rotational to the equation of momentumin order to

eliminate the p gradient of pressure. Finally, employing the

definitions of stream function to satisfy the equation of continuity and

vorticity that includes the rotational of the velocity (Roache, 1972;

Nield and Bejan, 1992), the model is obtained:

Vorticity (), stream function ()

=

+

A

A

2 2

2 2

2

2

1 1 (7)

Combined momentum

= +

+

Fo Da

Ra A Ra ANf fPr

Pr Pr (8)

Energy balance

=

+

+

+

+

Fo A

Q R

ke

2

2 2

2

2

02

1 1 1 1

fff

v y a v i

effT T

k a Y Y R

k T T1 0

2

1 0( )

( )( )

(9)

Dimensionless moisture balance in the grain (W)

=

+

+

+

W

Fo Le

W W

A

W W

W

1 1 1 1

1

2

2 2

2

2

+

( )

( )

( )

P R

X X

k a Y Y R

X Xs

y a v i

s

02

1 0

2

1 0

(10)

Dimensionless humidity balance in air ()

=

+

+

+

Fo Le Aa

1 1 1 1

1

2

2 2

2

2

+( )( )

k a Y Y R

X X

y v i2

1 0

(11)


7/18


La ecuacin (8) toma en cuenta los efectos de flotacin trmica

(Raf) y de la flotacin debida a gradientes de concentracin (RafN); la

ecuacin (9) incluye los efectos conductivos y los convectivos, y los

dos ltimos trminos representan el calor generado por respiracin

del grano y el calor latente utilizado por el agua cuando cambia de

fase; la ecuacin (10) modela la concentracin de agua en el grano,

donde los dos ltimos trminos representan la generacin de agua de-

bido al metabolismo del grano y el flujo msico de agua que se trans-

fiere al aire intersticial o viceversa; la ecuacin (11) modela la con-

centracin de agua en el aire intersticial, donde el ltimo trmino re-

presenta el agua transferida entre el aire y el grano. El flujo y el senti-

do de transferencia del agua entre ambas fases estn determinados por

la isoterma de sorcin del grano, el coeficiente convectivo de transfe-

rencia de masa y la humedad absoluta puntual en el aire.

Las condiciones de frontera son:

C.F.1 = = = = =0 0 0 0 0 / / /W (13a)

C.F.2 = = = = =1 0 1 0 0 W/ / (13b)

C.F.3 = = = = =0 0 0 0 0 / / /W (13c)

C.F.4 = = = = =1 0 1 0 0 W / / (13d)

Para la vorticidad se us el criterio de Woods (Roache, 1972). Las

condiciones iniciales son:

C.I. Fo W= = = = =0 0 0 0 0 (14)

La humedad de equilibrio en la interfase (Yi) se define como:

YP a

p P ai

v w

v w

=( )

18

29

0

0 (15)

dondep = presin atmosfrica; aw = actividad acuosa del grano; Pv0 =

presin de vapor del agua.

Propiedades termodinmicas del sorgo

Para obtener las propiedades termodinmicas de los granos se se-

leccion al sorgo como ejemplo, con base en datos previos (Jimnez-

Islas et al., 1996); sin embargo, el anlisis es vlido para cualquier

grano, colocando en las ecuaciones (16) a (19) los valores correspon-

dientes al grano en estudio. Los datos para el calor de respiracin del

sorgo, reportados por Mohsenin (1980), se ajustaron por regresin no

lineal al modelo exponencial de la ecuacin (16):

Q T T

x

09 2

1 837 1 0 6 5351 0 4604 0 006526

87 804

= + ( )( )+

. exp . . .

exp . taanh .0 00269x( )

(16)

4.4


8/18


x = humedad del sorgo en base hmeda (b.h)

= X/(X+1) y Q0 est dado enJ

kg sorgo s

Para calcular la generacin de agua (P0) por el metabolismo, se

emple la estequiometra de la reaccin global (Wilson, 1999),

correlacionndola con la generacin de calor conocido de antemano.Efectuando los clculos se tiene la siguiente ecuacin:

P0=3.4118108Q0, donde P0 est dado en

kg agua

kg sorgo s

(17)

La isoterma de sorcin para el sorgo es (Brooker et al., 1974):

a T

x

w = +( )((

+ ( )

1 29 18 4 086 273 15

6 0346 0 010561

exp exp . . ln .

. ln . 44 273 15T x+( ) ( ))). ln

1.3o

C


9/18


de ecuaciones algebraicas no lineales obtenido en cada etapa de inte-

gracin, se resolvi usando el Mtodo de Newton-Raphson con

factorizacin LU (Burden y Faires, 1993) con una aproximacin inicial

de Xot=[ ]0 0 0 0 0, , , , para el inicio de la dinmica. Para las etapas res-

tantes se toma la solucin de la etapa i1 como aproximacin inicial

con un error de 105 en la convergencia. Con todo lo anterior se desarro-

ll el cdigo computacional NEWIMPC2 usando lenguaje FORTRAN

90. Los resultados se representaron en trminos de patrones de flujo,

isotermas e isolneas de humedad cuya precisin se verific usando

malleos de 1515 a 2929 y etapas de integracin entre 500 y 3000.

Las simulaciones se efectuaron en una computadora Pentium IV a 2

GHz, 1 Gb de memoria RAM con sistema Windows Millenium y

compilador Digital Visual Fortran v. 6.1a.

RESULTADOSY DISCUSIN

Datos computacionales

Los principales datos termodinmicos del sorgo y del

aire (Cuadro 1) se calcularon a una temperatura de refe-rencia de 20 oC. Las variables psicromtricas, la viscosi-dad y conductividad trmica del aire y el calor latente delagua (v) se calcularon usando el mtodo reportado porJimnez-Islas y Quintana-Hernndez (1984). Con losdatos anteriores se calcularon los nmeros adimensionalesnecesarios para efectuar la simulacin, los cuales se mues-tran en el Cuadro 2. Adems, una unidad del tiempoadimensional Fo equivale a 10.04 h.

El valor del nmero de Darcy indica que el modelodarciano de la ecuacin de movimiento es adecuadopara modelar este tipo de medio poroso (Jimnez-Islaset al., 1999). El valor positivo y mayor de uno de la

razn de flotacin (N) indica que los efectos de flota-cin causados por los gradientes de temperatura y deconcentracin son aditivos (Nield y Bejan, 1992), y que

humidity are expected. Therefore, the method of orthogonal collocation

grants good accuracy compared with other methods, such as that of

finite differences(Finlayson, 1980; Jimnez-Islas et al., 1994; Jimnez-

Islas et al., 1996; Jimnez-Islas, 2001).

The discretization of time was made with finite differences to form

an implicit scheme of forward integration. The set of nonlinear algebraic

equations, obtained at each integration step, was solved using the

Newton-Raphson Method with LU factorization (Burden and Faires,

1993), with an initial approximation of Xot=[ ]0 0 0 0 0, , , , for the

beginning of the dynamics. For the remaining steps, the solution of

step i1 is taken as initial approximation with an error of 105 in

convergence. Based on the previous, the NEWIMPC2 computer code

was developed, using FORTRAN 90 language. The results were

represented in terms of flow patterns, isotherms, and isolines of

humidity, whose precision was verified using a meshfrom 1515 to

2929 andintegration stepsbetween 500 and 3000. The simulations

were made on a Pentium IV computer at 2 GHz, 1 Gb of RAM

memory with Windows Millennium system and FORTRAN Visual

Digital compiler v. 6.1a.

RESULTSAND DISCUSSION

Computational data

The principal thermodynamic data of sorgum and air(Table 1) were calculated at 20 oC reference temperature.The psychrometric variables, viscosity and thermalconductivity of air, and the latent heat of water (v) werecalculated utilizing the method reported by Jimnez-Islasand Quintana-Hernndez (1984). With the previous data,the dimensionlessnumbers shown in Table 2, necessaryto make the simulation, were determined. Besides, a

dimensionless time unit Fo is equivalent to 10.04 h.The value of Darcy number indicates that the darcian

model of the equation of momentum is adequate for

Cuadro 1. Datos termodinmicos del sorgo y del aire.Table 1. Thermodynamic data of sorghum and of air.

Variable Valor Unidades

Humedad de referencia del sorgo (b.s) 0.12 kg agua1/kg s.s.Calor especfico del sorgo 1306.0 J kg1oC1

Conductividad trmica del sorgo 0.1326 W m-1oC1

Porosidad 0.43Humedad absoluta inicial del aire 0.01253 kg agua1/kg a.s.

Humedad absoluta alrededor del silo 0.01302 kg agua1/kg a.s.Permeabilidad del medio poroso 2.52108 m2

Difusividad de agua en sorgo 2.001011 m2 s1

Coeficiente de transferencia de masa 1.00104 m s1

Difusividad del agua en aire 2.4370105 m2 s1

Viscosidad del aire 1.8105 kg m1 s1

rea de la interfaz 1140.0 m2 m3

Singh y Thorpe (1993). Magaa-Ramrez y Jimnez-Islas (1998). Calculado por analoga de Chilton-Colburn (Bird et al., 2002). Jimnez-Islas y Quintana-Hernndez (1984).


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el mecanismo dominante es la transferencia de masa(Trevisan y Bejan, 1985). El valor del nmero deRayleigh para el aire (Raf) valida la consideracin dergimen laminar (Bird et al., 2002), y los valores delnmero de Lewis mayores de uno indican que los efec-

tos trmicos son ms intensos que los efectos msicos,siendo en el medio poroso (grano) el de mayor magni-tud. Por tanto, se espera que la concentracin de aguaen el grano controlar la dinmica del proceso.

La simulacin se hizo desde Fo = 0 aFo = 100 ( 42d almacenamiento), con un malleo de 1919 puntos decolocacin ortogonal y con 2000 etapas de integracinimplcita. El tiempo de cmputo fue 7.778 d debido a laalta no linealidad del sistema y a la rigidez inherente aeste tipo de problemas. Adems, para conocer con mayorprecisin la dinmica inicial del fenmeno, se hizo otracorrida desde Fo = 0 a Fo = 0.001 (36.14 s) con un malleode 3939 puntos de colocacin ortogonal y 1000 etapas

de integracin.En el Cuadro 3 se presenta los resultados de un anli-

sis de malleo con colocacin ortogonal y una compara-cin con el mtodo de diferencias finitas tomando, comoreferencia, las temperaturas mximas obtenidas dentrodel silo en el rango de integracin de Fo = 0 a Fo = 1,usando 2000 etapas de integracin. El error relativo ob-tenido entre los dos malleos de colocacin ortogonalmenor a 1%, ratifica que el malleo de 1919 es apropia-do para estudiar este problema, porque es necesario esta-blecer un balance entre la precisin de los resultados y eltiempo de cmputo requerido.

Patrones de flujo, isotermas eisolneas de concentracin

La dinmica del almacenamiento se inicia con un r-pido enfriamiento inicial del grano, el cual alcanza unatemperatura mnima de 25.76 oC a un valor Fo de 0.001(36.14 s). Este fenmeno se debe principalmente a la eva-poracin inicial del agua contenida en el grano debidoque, a 30 oC, la humedad relativa de equilibrio para el

representing this type of porous medium (Jimnez-Islaset al., 1999). The positive value, major than one, of thebuoyancy ratio (N) indicates that the effects of flotation,caused by the gradients of temperature and concentration,are additive (Nield and Bejan, 1992), and that thedominant mechanism is mass transfer (Trevisan andBejan, 1985). The value of the Rayleigh number for air(Raf) validates the consideration of laminar regime (Birdet al., 2002), and the values of the Lewis number, greaterthan one, indicate that the thermal effects are more intensethan the mass effects,being the greatest in the porousmedium (grain). Therefore, it is expected that the waterconcentration in the grain will control the dynamics ofthe process.

The simulation was done from Fo = 0 to Fo = 100(42 d of storage) with a mesh of 1919 nodes oforthogonal collocation and with 2000 steps of implicitintegration. The computing time was 7.778 d, due to thehigh nonlinearity of the system and to the stiffness

inherent to this type of problems. Besides, to understandthe initial dynamics of the phenomenon more precisely,another run was performed from Fo = 0 to F= 0.001(36.14 s) with a mesh of 3939 nodes of orthogonalcollocation and 1000 steps of integration.

The results of a meshing analysis with orthogonalcollocation and a comparison with the method of finitedifferences, taking as reference the maximum temperaturesobtained within the silo in the range fromFo = 0 to Fo= 1,using 2000 steps of integration, are shown in Table 3. Therelative error between the two meshing of orthogonalcollocation, less than 1%, confirms that the 1919 meshis appropriate for studying this problem, due to the need

to establish a balance between the accuracy of the resultsand the required computing time.

Flow patterns, isotherms, and isolines of concentration

The storage dynamics begin with a fast initial coolingof the grain, which reaches a minimum temperature of

Cuadro 2. Valores de los nmeros adimensionales empleados en lasimulacin de la dinmica de almacenamiento de sorgo.

Table 2. Values of dimensionless numbers employed in thesimulation of storage dynamics of sorghum.

Nmero adimensional Valor

A 2.0818

Pr 0.7308Da 7.5126109

Raf 5.9204108

RafDa 4.4478N 2.9722Le 4.6309106

Le para el aire (Lea) 3.8005

Cuadro 3. Temperaturas mximas obtenidas en el almacenamientode sorgo en el intervalo de tiempo adimensional de 0 a1, y el error relativo del mtodo de colocacin ortogonal.

Table 3. Maximum temperature obtained in the storage ofsorghum in the dimensionless time interval from 0 to 1,and the relative error of the method of orthogonal

collocation.

1919 CO 2929 CO 3535 DF Error relativoFo Tmax(

oC) Tmax(oC) Tmax(

oC) (%)

0.05 26.41 26.48 26.47 0.2640.10 27.13 27.17 27.18 0.1470.30 29.42 29.55 29.58 0.4401.00 30.18 30.31 30.53 0.429

Calculado tomando como referencia el malleo de 2929 de CO.


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Patrones de flujo (adimensional)

Isotermas (oC)

Isolneas de humedad absoluta en el aire (kg agua1 kg a.s)

Figura 2. Patrones de la dinmica de almacenamiento en el silo. a)Fo = 0.05; b)Fo = 0.10; c)Fo = 0.30; d)Fo = 1.0.Figure 2. Patterns of storage dynamics in the silo. a)Fo = 0.05; b)Fo = 0.10; c)Fo = 0.30; d)Fo = 1.0.


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Figura 3. Patrones de la dinmica de almacenamiento en el silo. a)Fo = 5; b)Fo = 10; c)Fo = 30; d)Fo = 100.Figure 3. Patterns of storage dynamics in the silo. a) Fo = 5; b)Fo = 10; c)Fo =30; d)Fo = 100.

Patrones de flujo (adimensional)

Isotermas (oC)

Isolneas de humedad absoluta en el aire (kg agua1 kg a.s)


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rea de transferencia hacia el medio ambiente, hacen quese disipe ms calor. Evidentemente, si se modela el mis-mo almacn en condiciones ms clidas, se incrementarla temperatura mxima alcanzada (Jimnez-Islas et al.1996).

La migracin de humedad en el grano prevalece, porlo cual se requiere mayor tiempo para que el contenidode agua en el grano comience a estabilizarse. Esto sugie-re que este mecanismo controla la dinmica de almace-namiento, situacin que explica el elevado valor obteni-do para el nmero de Lewis en esta simulacin. La hu-medad del grano que, inicialmente tena el mismo valoren todo el dominio, se va distribuyendo paulatinamenteen todo el medio poroso, principalmente por efecto delmovimiento del aire intersticial. Esto se debe a que elproceso difusivo es muy lento (Le>>>1), formandoestratificaciones de la humedad, cuya topologa varacontinuamente, debido a que el valor de la humedad enel grano depende constantemente de la isoterma de

sorcin. Esto, a su vez, involucra la humedad absolutadel aire y la temperatura, adems de la migracin de hu-medad que es inducida principalmente por las fuerzas deflotacin.

En la Figura 4 se aprecia la variable controlante de ladinmica que, como se esperaba (por los valores deNy

under hotter conditions, the reached maximumtemperature will increase (Jimnez-Islas et al., 1996).

The migration of moisture in the grain prevails;therefore, more time is required for the grain watercontent begins to stabilize. This suggests that thismechanism controlls the dynamics of storage, a situationthat explains the high value obtained for the Lewisnumber in this simulation. Grain moisture, havinginitially the same value in the whole domain, is going todistribute gradually in the entire porous medium, mainlybecause of the movement of intergranular air. This isdue to the diffusive process being very slow (Le>>>1),forming stratifications of moisture, whose topologyvaries continually, as the value of grain moistureconstantly depends on the isotherm of sorption. This,in turn, involves absolute air humidity and thetemperature, as well as the migration of moisture whichis mainly induced by thebuoyancy forces.

In Figure 4 it is shown the controlling variable of the

dynamics, which as expected (because of the valuesNandLeobtained for this simulation) was the grain moisturecontent (Figure 4c), since its variation rate begins todecrease from day 32 of storage, whereas temperatureand stream function considerably decrease their variationrate after 5 h of storage. The similarity in the topology of

Figura 4. Dinmica de las variables del almacenamiento: a) Tem-peratura mxima (Tmax) y del valor mximo de la fun-cin corriente (

max); b) valores mnimo (Y

min) y mxi-

mo (Ymax) de la humedad absoluta en el aire intersticial(kg agua1 kg a.s.); c) valores mnimo (Xmin) y mximo(Xmax) de la humedad en el grano (kg agua

1 kg s.s.).Figure 4. Dynamics of the variables of storage: a) Maximum

temperature (Tmax) and of the highest value of thestream function (max); b) minimum (Ymin) andmaximum (Ymax) values of absolute humidity inintergranular air (kg water1 kg a.s.); c) minimum(Xmin) and maximum (Xmax) values of grain moisture(kg water1 kg s.s.).

0 5 10 15 20 25 30Tiempo de almacenamiento (h)

27.0

27.5

28.0

28.5

29.0

29.5

30.0

30.5

Tmax(

C)

o

max

0.400

0.450

0.500

0.550

0.600

0.650

0.700

a

0 5 10 15 20 25 30

Tiempo de almacenamiento (h)

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

0.024

0.026

0.028

35 40 45

YY

min

max

Y(kgagua

kga.s

)

1

b

0 5 10 15 20 25 30Tiempo de almacenamiento (h)

35 40 45

XX

min

max

X(kgagua

kg

a.s

)

1

0.154

0.156

0.158

0.160

0.162

0.164

0.166

0.168

0.170

0.172

c


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Le obtenidos para esta simulacin), fue el contenido dehumedad en el grano (Figura 4c), ya que su tasa de varia-cin comienza a disminuir a partir del da 32 de almace-namiento, mientras que la temperatura y la funcin co-rriente disminuyen sensiblemente su tasa de variacindespus de 5 h de almacenamiento. La similitud en latopologa de T

maxy

max

(Figura 4a) permite inferir queel mayor aporte de fuerzas de flotacin se debe al calormetablico del grano. Al respecto, Jimnez-Islas et al.(1996) reportan una interrelacin similar, aunque lastemperaturas mximas fueron mayores, debido a que notomaron en cuenta la transferencia de masa entre el gra-no y el aire donde el calor latente absorbido tender aenfriar el sistema.

Con fines de comparacin, se simul la dinmica dela conveccin de calor y masa en el problema de la cavi-dad cuadrada que contiene un medio poroso, que repor-tan Trevisan y Bejan (1985), con los valores deRafDa =200, Le = 10,N= 1.5,A = 1.0, encontrando que los

patrones de flujo y las isotermas decrecen su tasa de va-riacin mas rpido, mientras que la concentracin de lasustancia controla el proceso. Este resultado coincide conlo que ocurre en la simulacin en el silo. A medida que seincrementa el tiempo, el sistema se estabiliza, obtenien-do esencialmente el mismo comportamiento que repor-tan Trevisan y Bejan (1985).

La humedad absoluta del aire (Figura 4c), Ymax pre-senta un incremento pronunciado en el primer da de al-macenamiento, disminuyendo sensiblemente su tasa devariacin en el tiempo, mientras que el valorYmin slo seincrementa ligeramente con el tiempo. Esta observacinconcuerda con el enfriamiento inicial que presenta el gra-

no, debido al calor latente empleado para evaporar la hu-medad. Para ambos casos, la disminucin de su tasa devariacin se hace palpable a partir del da 32 de almace-namiento, siendo similar al observado para el contenidode humedad en el grano. Esto se esperaba porque ambasvariables estn interrelacionadas por la isoterma desorcin.

Validez de la aproximacin de Boussinesq

Para validar la aproximacin de Boussinesq utilizadaen la modelacin, Gray y Giorgini (1976) plantearon unalgoritmo basado en la temperatura ms caliente (Th) y la

ms fra (Tc) del sistema estudiado, el cual es:

h c

h c

T T

T T

=

+ (20)

Si es pequea, los efectos de compresibilidad puedenomitirse. En este caso Th est asociada a la temperaturamxima obtenida al trmino de la simulacin, con un valor

Tmaxand max(Figure 4a) allows to infer that the greatestcontribution of buoyancy forces is due to the metabolicgrain heat. Regarding this, Jimnez-Islas et al. (1996)report a similar interrelation, though maximumtemperatures were higher, as mass transfer between grainand air was not taken into account, where the absorbedlatent heat will tend to cool off the system.

With the purpose of comparison, the dynamics of heatand mass convection were simulated in the problem ofthe square cavity containing a porous medium, which werereported by Trevisan and Bejan (1985) with the values ofRafDa = 200,Le = 10,N= 1.5,A = 1.0, finding thatflow patterns and isotherms decrease their variation ratefaster, while the concentration of the substance controlsthe process. This result agrees with the situation occurringin the simulation in the silo. As the time increases, thesystem stabilizes acquiring essentially the same behaviorreported by Trevisan and Bejan (1985).

Absolute air moisture (Figure 4c), Ymax, shows a

noticeable increment on the first day of storage,considerably diminishing its variation rate in time,whereas the Ymin value only slightly increases as time goeson. This observation agrees with the initial cooling offpresented by the grain, due to the latent heat employed toevaporate humidity. For both cases, the reduction of thevariation rate becomes obvious from day 32 of storage,being similar to the situation observed for grain moisturecontent. This was expected because both variables areinterrelated by the isotherm of sorption.

Validity of the Boussinesq approximation

To validate the approximation of Boussinesq utilizedin the modelling,Gray and Giorgini (1976) suggested analgorithm based on the hottest (Th) and the coldest (Tc)temperature of the studied system, which is:

h c

h c

T T

T T

=

+ (20)

If is small, the compressibility effects may be omitted.In this case, This associated to the maximum temperatureobtained at the endof the simulation, with a value of30.33 oC; Tc being related with the temperature fixedonthe walls of the silo (25 oC) and, therefore, = 0.09; andthe approximation of Boussinesq is adequate.

Produced water and loss of dry matter

In Figure 5 it is shown the isotherms and isolines ofrelative air moisture at the end of the simulation(Fo =100 42 d), where it can be observed that the hot regioncontains values of relative humidity higher than 70%,


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de 30.33 oC; Tc se relaciona con la temperatura fijada enlas paredes del silo (25 oC) y, por tanto, =0.09; y laaproximacin de Boussinesq es adecuada.

Agua producida y prdida de materia seca

En la Figura 5 se muestran las isotermas y lasisolneas de humedad relativa del aire al trmino de lasimulacin (Fo = 100 42 d), donde se aprecia que laregin caliente contiene valores de humedad relativa ma-yores de 70% lo que puede originar el crecimiento dehongos como Aspergillus restrictus y A. glaucus(Vzquez, 2001). En este punto destaca que aumenta lahumedad relativa del aire debido a la contribucin deagua generada por el metabolismo del grano, por la for-macin de regiones ms fras donde la capacidad de sa-turacin del aire es menor, y por la estratificacin de lahumedad en el grano. Para calcular la masa de aguagenerada durante los 42 d de almacenamiento, se

promedi la temperatura y la humedad del grano me-diante integracin discreta de los valores locales, dandoun valor de T= 27.72 oC yX= 0.1605 kg agua1kg s.s.Con estos valores, y usando las ecuaciones (16) y (17),se obtiene un valor aproximado de 10.5 kg de agua. Estacantidad de agua producida en la respiracin correspon-de a 17.5 kg de glucosa equivalente o a 21.74 kg desorgo, que representa 0.069% de la carga inicial de sor-go (31 460 kg). En este caso, la cantidad de alimentoque se pierde es pequea, pero es previsible que seincrementar en silos ms grandes y en periodos mslargos de almacenamiento. Con lo anterior, destaca laimportancia de conocer a priori estos fenmenos para

prevenir deterioros, con el fin de desarrollar sistemasadecuados de almacenamiento y ventilacin del grano.

CONCLUSIONES

Se propuso un modelo matemtico con base en elenfoque para medios multifsicos, que explica la trans-ferencia de momentum, calor y masa por conveccin na-tural con doble difusin que ocurre al almacenar un gra-no en silos no ventilados. La variable que controla ladinmica del almacenamiento del sorgo es el contenidode humedad en el grano, cuyo equilibrio con la hume-

dad del aire comienza a estabilizarse a partir del da 32de almacenamiento, mientras que los patrones de flujo ylas isotermas comienzan a estabilizarse despus de 5 hde almacenamiento. Las diferentes tasas de variacin enlas variables de respuesta se deben al elevado nmero deLewis obtenido en esta simulacin. El anlisis de los re-sultados permite inferir que el modelo propuesto es ade-cuado para estudiar la dinmica de almacenamiento engranos. Por tanto, en un siguiente nivel de sofisticacin,se podr expandir a geometras 3-D y condiciones de

which may originate the growth of fungi, such asAspergillus restrictus and A. glaucus (Vzquez, 2001).At this point, it stands out that the relative humidity ofair increases due to the contribution of water generatedby grain metabolism, by the formation of colder regionswhere the saturation capacity of air is lower, and by thestratification of grain moisture. To calculate the massof water generated during the 42 d of storage,temperature and grain moisture were averaged throughdiscrete integration of local values, resulting a value ofT = 27.72 oC and X = 0.1605 kg water1 kg s.s. Withthese values und using the equations (16) and (17), anapproximate value of 10.5 kg of water is obtained. Thisquantity of water, produced by respiration, correspondsto 17.5 kg of equivalent glucose, or to 21.74 kg ofsorghum, representing 0.069% of the initial load ofsorghum (31 460 kg). In this case, the amount of lostfood is small, but it is foreseeable that it will increasein larger silos and in longer storage periods. The above-

mentioned highlights the importance of a prioriknowledge of these phenomena in order to preventdeterioration, with the purpose of developing adequatesystems of storage and ventilation of the grain.

CONCLUSIONS

A mathematical model was proposed based onmultiphasic-media approach, explaining the transfer ofmomentum, heat, and mass by natural convection withdouble diffusion, which occurs when storing grain inunventilated silos. The variable that controls the storage

100100

8080

6060

4040

YY

2020

0000 XX 100100

Temperatura

25 26 27 28 29 30

% HR

67.385 69.385 71.385 73.385 75.385

Figura 5. Temperatura del medio poroso (oC) y humedad relativadel aire (%) aFo = 100 (42 d).

Figure 5. Temperature of the porous medium (oC) and relative airhumidity (%) atFo = 100 (42 d).


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frontera dependientes del tiempo. Con este modelo esposible efectuar un anlisis de sensibilidad, variando con-diciones de frontera y aspectos geomtricos, con el finde determinar las condiciones adecuadas para el alma-cenamiento del grano, amn de la prediccin de condi-ciones que pudiesen deteriorar el grano.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen el apoyo financiero del CONACYT a tra-

vs del Proyecto I-33605, del Consejo del Sistema Nacional de Edu-

cacin Tecnolgica (CoSNET) mediante el Proyecto 552-01p y de

CONCYTEG con el proyecto 03-09-K117-035.

LITERATURA CITADA

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dynamics of sorghum, is grain moisture content, whoseequilibrium with air humidity begins to stabilize fromday 32 of storage, whereas flow patterns and isothermsstart stabilizing after 5 h of storage. The different variationrates in the response variables are due to the high Lewisnumberobtained in this simulation. From the analysis ofthe results, it is inferred that the proposed model isadequate for studying grain storage dynamics. Therefore,on a following level of sophistication it may be expandedto 3-D geometries and boundary conditions dependenton time.With this model, it is possible to carry out ananalysis of sensitivity, varying boundary conditions andgeometrical aspects, with the purpose of determiningadecuate conditions for grain storage, as well as for theprediction of conditions that could deteriorate the grain.

End of the English version

source: a numerical study with Brinkman-extended Darcy model.Int. J. Heat Mass Transfer 42: 4185-4195.Lindblad, C., y L. Druben. 1979. Almacenamiento del Grano. Ed.

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NOMENCLATURA

A =Aspecto geomtrico,L/Rav =rea de la interfaz grano-aire, m

2 m3

aw =Actividad de agua, adimensionalC =Tensor de permeabilidades, m2

CA =Concentracin del componente A, kg m3

Cp =Calor especfico, J kg1 K

D =Tensor de difusividades, m2 s1

D =Difusividad escalar, m2 s1

Da =Nmero de Darcy, K/R2

Fo =Nmero de Fourier o tiempo adimensional, t/R2

g =Aceleracin de la gravedad, 9.81 m s2

L =Altura del silo, mLe =Nmero de Lewis, /Deff, /Da

K =Tensor de conductividades trmicas, J m1

s

1

K

1

K =Permeabilidad del medio poroso, m2

k =Conductividad trmica, J m1 s1 K1

ky =Coeficiente de transferencia de masa, m s1

N =Razn de flotacin, Co(Y1Y0)/(T1T0)P0 =Generacin volumtrica de agua por respiracin, kg m

3 s1

Pr =Nmero de Prandtl, Cp/keff0vP =Presin de vapor, mm de Hg

p =Presin atmosfrica, mm de HgQ0 =Generacin volumtrica de calor, J m

3 s1 o J kg1 s1

R =Radio del silo, mRa =Nmero de Rayleigh para medio poroso, RafDaRaf =Nmero de Rayleigh para fluido homogneo, 0g(T1T0)R

3/T =Temperatura, oC o Ku =Velocidad adimensionalv =Vector velocidad, m s1

W =Humedad adimensional en el grano, (XX0)/(X

1X

0)

X =Humedad del grano en base seca, kg agua1 kg s.s.x =Humedad del grano en base hmeda, kg agua1 kg s.h.Y =Humedad absoluta del aire, kg agua1 kg a.s.

Letras griegas =Difusividad trmica, keff/(Cp) =Coeficiente volumtrico de expansin trmica, K1

C =Coeficiente volumtrico de expansin msica, m3 kg1

=Razn de temperaturas caliente y fra, adimensionalv =Calor latente de vaporizacin del agua, J kg

1

=Densidad, kg m3

=Coordenada axial adimensional, z/L =Temperatura adimensional, (TT0)/(T1T0)

=Coordenada radial adimensional, r/R =Humedad absoluta adimensional en el aire, (YY0)/(Y1Y0) =Funcin corriente adimensional

=Vorticidad adimensional

Subndicesa =Aireeff =Propiedad de medio efectivoi =Interfaz grano-airemax=Valor mximomin =Valor mnimos =Grano0 =Estado de referencia o propiedad evaluada al tiempo cero1 =Propiedad evaluada en la pared lateral o superior del silo

NOMENCLATURE

A = Geometric aspect,L/Rav = Area of grain-air interphase, m

2 m3

aw = Water activity, dimensionlessC = Tensor of permeabilities, m2

CA = Concentration of theA component, kg m3

Cp = Specific heat, J kg1 K

D = Tensor of diffusivity, m2 s1

D = Scalar diffusivity, m2 s1

Da = Darcy number, K/R2

Fo = Fourier number or dimensionless time, t/R2

g = Acceleration of gravity, 9.81 m s2

L = Silo height, mLe = Lewis number,/Deff, /Da

K = Tensor of thermal conductivities, J m1

s

1

K

1

K = Permeability of the porous medium, m2

k = Thermal conductivity, J m1 s1 K1

ky = Mass-transfer coefficient, m s1

N = Buoyancy ratioCo(Y1Y0)/(T1T0)P0 = Volumetric water generation by respiration, kg m

3 s1

Pr = Prandtl number, Cp/keff0vP = Vapor pressure, mm of Hg

p = Atmospheric pressure, mm of HgQ0 = Volumetric heat generation, J m

3 s1 or J kg1 s1

R = Silo radius, mRa = Rayleigh number for porous medium,RafDaRaf = Rayleigh number for homogenous fluid 0g(T1T0)R

3/T = Temperature, oC or K

= Dimensionless velocityv = Velocity vector, m s1

W = Dimensionless grain moisture, (XX0)/(X

1X

0)

X = Grain moisture in dry basis, kg water1 kg s.s.x = Grain moisture in wet basis, kg water1 kg s.h.Y = Absolute air humidity, kg water1 kg a.s.

Greek letters = Thermal diffusivity, keff/(Cp) = Volumetric coefficient of thermal expansion, K1

C = Volumetric coefficient of mass expansion, m3 kg1

= Ratio of hot and cold temperatures, dimensionless,v = Latent heat of vaporization of water, J kg

1

= Density, kg m3

= Dimensionless axial coordinate, z/L = Dimensionless temperature, (TT0)/(T1T0)

= Dimensionless radial coordinate r/R = Dimensionless absolute air humidity, (YY0)/(Y1Y0) = Dimensionless stream function

= Dimensionless vorticity

Subscriptsa =Aireff = Property of effective mediumi = Grain-air interphasemax= Maximum valuemin = Minimum values =Grain0 = State of reference or property evaluated at zero time1 = Property evaluated on the silo side wall or top wall

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estudio numÉrico de la convecciÓn natural de calor

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