6. análisis cuasigeostrófico de flujos de gran escala extratropicales

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 1

6. Análisis cuasigeostrófico de flujos de gran escala extratropicales

Regiones de movimientos ascendentes estan generalmente asociadas con nubes y precipitación pues al ascender el aire se enfría por expansión. Este enfriamiento aumenta la humedad relativa del aire que eventualmente da lugar a la condensación y formación de nubes. Estas regiones están generalmente asociadas con divergencia de masa en la columna de aire y consecuentemente la presión de superficie baja y se hay ciclogenesis. Por el contrario, regiones de movimientos descendentes tienen por lo general cielos claros pues el aire tiende a disminuir su humedad relativa a medida que se mueve hacia la superficie. Estas regiones tienen asociada convergencia de masa en la columna por lo que la presión en superficie aumenta y hay anti-ciclogenesis. Por lo tanto, el pronóstico de regiones de ascenso y descenso en la atmósfera es de fundamental importancia para el diagnóstico del tiempo y para la predicción del futuro estado de la atmósfera. Este capítulo está destinado a investigar varios métodos para el diagnóstico de movimientos verticales en sistemas sinópticos de latitudes medias.

6.1 Naturaleza del viento ageostrófico

Recordemos que el viento geostrófico es no-divergente en un plano f, y por lo tanto solamente desviaciones con respecto al geostrofismo contribuyen a la divergencia horizontal y por lo tanto, por conservación de masa, a movimientos verticales.

El viento ageostrófico se podía escribir como

V ag=kf∧

d Vdt

Usando esta relación pudimos diagnosticar las regiones de movimientos ascendentes y descendentes para los dos casos en los cuales la aproximación geostrófica no es válida: máximo de vientos y regiones con curvatura.

La figura 6.1 muestra el ejemplo de un “jet streak” (máximo de vientos) en el H.N. a una altura de 300 mb. La línea punteada perpendicular al eje del jet divide el jet en las regiones de entrada (hacia la izquierda) y salida (hacia la derecha). Una parcela de aire ubicada en el extremo oeste de la región de entrada experimentará una aceleración en la dirección del flujo por lo que el vector dV/dt apunta hacia el este. Consecuentemente el viento ageostrofico apuntará hacia el norte en ese punto. El resultado de la distribución de viento ageostrófico en la región de entrada del jet es que existe convergencia en 300 mb hacia el norte de la posición indicada y divergencia hacia el sur. Dado que 300 mb

Notas: Prof. Marcelo Barreiro


es casi el tope de la tropósfera, la divergencia (convergencia) está asociada a movimientos ascendentes (descendentes) en la columna y por lo tanto existe una circulación vertical en la región de entrada del “jet streak”. Esta circulación vertical se dice térmicamente directa pues el aire mas cálido sube y el mas frío desciende.

En la región de salida del jet existe desaceleración por lo que la dirección del viento ageostrófico es la opuesta y las zonas de convergencia y divergencia en 300 mb son ahora tales que existe convergencia al sur y divergencia al norte del eje del jet. La circulación vertical resultante es térmicamente indirecta.

Figura 6.1 – Regiones de convergencia/divergencia en un máximo de vientos. La línea verde divide el jet en las regiones de entrada y salida del jet. El viento ageostrófico se

indica por flechas negras gruesa en las regiones de entrada y salida.

La figura 6.2 muestra el caso de un flujo con curvatura donde se muestra esquemáticamente una vaguada y dos cuñas en el H.N. La distancia entre líneas equipotenciales es constante por lo que la magnitud del viento es constante y su



dirección se asume paralelo a las equipotenciales. En estas circunstancias la aceleración del viento será consecuencia únicamente de cambios en la dirección. Por lo tanto entre los puntos A y B es necesaria una aceleración hacia el suroeste para torcer el viento. Como no existe cambio en la dirección entre B y C no hay aceleración. Entre C y D es necesaria una aceleración hacia el noreste. Entre D y E es necesaria una aceleración hacia el noroeste. Entre E y F no existe aceleración, y entre F y G es necesaria una aceleración hacia el sudeste. Dadas las aceleraciones es posible determinar la dirección del viento ageostrófico en la figura 6.2. El resultado muestra que el viento ageostrófico converge en el lado oeste de una vaguada en altura dando lugar a movimientos descendentes en esa columna. Por otro lado, el viento ageostrófico diverge al este de la vaguada lo cual da lugar a movimientos ascendentes en esa columna.

Figura 6.2 – Distribución de aceleración, viento ageostrófico y zonas de convergencia/divergencia en una situación de vaguadas y cuñas donde la velocidad tiene

módulo constante y sólo depende de la dirección.

6.1.1 Expresión de Sutcliffe para la divergencia ageostrófica neta en una columna

Consideremos el viento en superficie V0, el viento en un nivel superior V, y la diferencia vertical de viento entre las dos capas Vs=V-V0. Por lo tanto



por lo que

ó

Notemos que los términos de la izquierda son proporcionales a las velocidades ageostróficas en superficie y en el nivel superior. Entonces, esta expresión indica que si los términos de la derecha no son nulos (y tampoco su suma) existirá una diferencia entre los vientos ageostróficos de superficie y en altura por lo que existe una divergencia neta en la columna y por lo tanto un movmiento vertical.

Interpretemos el primer término de la derecha de la ecuación. Para ello lo consideraremos aisladamente y lo escribimos como

y consideramos el esquema mostrado en la figura 6.4: un mínimo de presión en superficie y los contornos de espesor de 1000-500 hPa. Evaluemos el término en el centro de la baja presión considerando que los vientos son geostróficos en todos lados, lo cual implica que el viento térmico esté dirigido en la dirección positiva del eje y (en el H.N.). Por lo tanto en el centro de la baja no existe cortante vertical en la dirección x,

o sea us=0. Asimismo ∂v0

∂ y=0 en el centro de la baja presión. Entonces, el término a

examinar se reduce a



y se tiene vs>0 y ∂u0

∂ y< 0 por lo que V s .∇ V 0< 0 . Como este término representa

la aceleración en el tope de la columna menos la aceleración en superficie, tomando el producto vectorial con el versor vertical obtenemos la dirección del diferencial viento ageostrófico en la columna. Un esquema de la situación es el siguiente

Vag C D

ΔVag

D C Vag yFigura 6.3 – Esquema de la circulacion alrededor de la columna definida por 1000-500

mb.

La figura 6.3 muestra que en este caso hay mayor divergencia (convergencia) ageostrófica en niveles superiores que en la superficie en la region norte (sur) de la baja en superficie lo cual implica ascenso (descenso) de aire. El ciclón en superficie se propagará hacia la dirección del ascenso de aire (divergencia neta) pues estará asociada a una disminución contínua de la presión en superficie (figura 6.4). Un razonamiento similar para el caso del anticiclón da lugar a la siguiente afirmación: la anomalía de presión en superficie se propagará en la dirección del viento térmico.



Figura 6.4 – Isóbaras en superficie (lineas solidas) y espesor en 1000-500 hPa (lineas punteadas) cerca de un centro de baja presión en desarrollo en el H.N. Las flechas

negras finas representan los vientos geostróficos a nivel del mar. Las flechas negras anchas representan V s .∇ V 0 . La flecha gris representa la diferencia entre el viento ageostrófico en altura y en superficie. Convergencia (divergencia) neta en la columna

está indicada por C (D).

Interpretemos ahora el segundo término de la derecha de la ecuación. La figura 6.5 muestra la líneas de espesor de 1000-500 hPa y el cortante del viento térmico en la capa en el H.N. en un tiempo T=0. Un tiempo mas tarde (T=T1) el gradiente horizontal de espesor ha aumentado por alguna razón tal como un flujo horizontal confluente. El resultado del aumento de baroclinicidad es un viento térmico mayor, también dirigido hacia el norte. Si asumimos que los vientos son geostróficos entonces la diferencia en los vectores viento térmico de las figuras 6.5a y 6.5b representa un cambio en el vector



cortante y puede ser representado por la expresión dVs/dt siempre y cuando el cambio haya sido medido siguiendo una parcela. Por lo tanto, dVs/dt está dirigida en la dirección positiva de y. El producto vectorial de dVs/dt con el versor k representa el diferencial viento ageostrófico en el ejemplo. Entonces, análogamente al caso anterior, la columna de aire en el lado cálido (frío) del gradiente de espesor experimenta una divergencia (convergencia) mayor en altura que en superficie y por lo tanto asciende (desciende). Por lo tanto, cuando el flujo horizontal actúa para aumentar el gradiente del espesor (temperatura) la respuesta es el desarrollo de una circulación vertical térmicamente directa en la cual aire cálido sube y aire frío baja. Por el contrario, si el flujo horizontal tiende a disminuir el gradiente horizontal de presión aparece una circulación vertical indirecta.

Figura 6.5 – Lineas punteadas indican espesor de 1000-500 hPa cuyo gradiente aumenta en magnitud de T=0 a T=T1. El aumento de la confluencia horizontal se muestra por flechas finas negras en (a). Las flechas grises finas representan Vs, el

cortante del viento térmico. En T=T1 el viento térmico es mayor y la flecha negra ancha en (b) representa el cambio lagrangiano en el cortante. La flecha gris en (b) representa la

diferencia entre el viento ageostrófico de altura y de superficie .

6.1.2 Otra perspectiva del viento ageostrófico

La expresión del viento ageostrofico es



y puede expandirse de la forma

Si asumimos que el viento real se puede aproximar por el viento geostrófico entonces

Supongamos que quiero diagnosticar el viento vertical a partir de esta expresión del viento ageostrófico. Claramente no puedo usar el término convectivo pues implica el conocimiento de ω, pero es posible analizar los otros dos términos.

Comencemos por el término de la tendencia local del viento que se puede reescribir en función de la altura del geopotencial

en coordenadas de presión, o en función de la presión

en coordenadas de altura. Esta contribución al viento ageostrófico se denomina viento isalobárico debido a su dependencia con el gradiente de las isalóbaras (líneas de igual tendencia de la presión). El conocimiento del viento isalobárico, como cualquier contribución al viento ageostrófico, solamente dice sobre la distribución del movimiento



vertical cuando conocemos la divergencia. Por lo tanto nos interesa particularmente la divergencia del viento isalobárico

en superficies de presión, ó

en coordenadas de altura. De las ecuaciones se observa que una tendencia negativa en la presión está asociada con convergencia del viento isalobárico, y vice versa. La figuras 6.6 y 6.7 muestran un ejemplo en el cual el término isalobárico juega un rol fundamental en el desarrollo del ciclón.

Figura 6.6 – Pronóstico del modelo ETA mostrando el cambio en la presión en las ultimas 6 horas (naranjas) y la presion en superficie (azul) para un cierto día. Se observa

una ciclogénesis muy rápida y el movimiento hacia el noreste del ciclón. El viento isalobárico es perpendicular a las líneas de igual tendencia de la presión y hacia la

región de disminución de presion.



Figura 6.7 – Esta figura muestra los mismos campos que la figura 6.6 y ademas muestra la intensidad del viento (color) y barbas de vientos. Notar que la contribución isalobárica al viento total aumenta la intensidad de los vientos donde los vectores son mas paralelos al viento gradiente (paralelo a las isóbaras) y causa mayor flujo a través

de las isóbaras cuando los vectores son mas perpendiculares.

La componente inercial advectiva del viento ageostrófico está dada por

Para interpretarla consideremos dos casos. Consideremos primero un flujo divergente en niveles altos (como la salida de un jet) mostrado en la figura 6.7(a). En el punto en questión la expresión anterior se simplifica pues vg=0 y dvg/dx=0. Por lo tanto

Notando que ug>0 y que dug/dx<0 en el punto indicado, el producto de estos términos apunta segun (-x). Por lo tanto VIA apunta segun (-y) y se tiene divergencia hacia el norte y convergencia hacia el sur. Por lo tanto se desarrollará una circulación



térmicamente indirecta; esta es la circulación que diagnosticamos en la región de salida del jet.

En el segundo ejemplo usamos VIA para considerar el efecto de la curvatura del flujo en los movimientos verticales. La figura 6.7(b) muestra una cuña en el H.N. Si la magnitud del viento geostrófico es constante, en el punto central de la figura vg=0 y dug/dx=0 y la expresión se reduce a

En la cresta de la cuña ug>0 y dvg/dy<0 por lo que V IA apunta en la dirección (x). Así, mostramos nuevamente que el flujo en una cuña es supergeostrófico y que esta circunstancia es debido al término advectivo en el viento ageostrófico.

Figura 6.7 – Viento ageostrófico advectivo en 300 mb en el H.N. para dos casos: (a) salida de un jet, (b) cuña. Flechas finas indican viento geostrófico.



6.2 Compensación de Dines

Como los movimientos de gran escala están en balance hidrostático la presión en la base de una columna fija de aire es proporcional a la masa de aire en la columna: si la masa total decrece también lo hará la presión en superficie y vice versa.

En un sistema de baja presión que se está desarrollando el viento isalobárico (y la fricción) contribuirá a la convergencia en niveles bajos. Dines mostró que la convergencia en niveles bajos debe estar acompañada de una divergencia en altura y que esta divergencia debe ser mayor para que la baja se profundice.

Puesto que la divergencia integrada es el resultado de contribuciones mucho mayores de diferente signo en diferentes niveles, no es práctico predecir los cambios en la presión de superficie integrando la divergencia horizontal. En particular, la presión en superficie está dada por

∂ ps

∂ t=−g∫o

∞

∇ .udz

la cual se denomina ecuación para la tendencia en la presión de superficie. En la práctica no es muy útil usar esta ecuación para la predicción pues los errores en las observaciones se propagan rápidamente y como resultado el término de la derecha no se puede calcular adecuadamente.

Figura 6.8 – Compensación de Dines: convergencia en superficie debe estar acompañada de divergencia en altura y vice versa.



6.3 Teorema de desarrollo de Sutcliffe

El desarrollo de la sección 6.1 puede refinarse de la siguiente manera. Sutcliffe mostró que es posible escribir la divergencia del viento ageostrófico como proporcional a la componente vertical de la vorticidad

Considerando las ecuaciones de movimiento horizontal sin fricción es posible escribir el término de la derecha en la forma

Entonces por el mismo procedimiento que derivamos la ecuación de vorticidad en coordenadas isobáricas obtenemos

la cual muestra que los cambios en la vorticidad son el resultado de la divergencia en el fluído (esta ecuación es similar a la derivada en el capítulo anterior pero no incluye el término de inclinación).

Si ahora asumimos que (1) el flujo horizontal y la vorticidad son geostróficos, (2) es posible despreciar la advección vertical de vorticidad, y (3) la vorticidad relativa puede ser despreciada en el término de divergencia es posible simplificar la ecuación anterior de la forma

Esta es la misma ecuación que derivamos en la sección 5.6 cuando derivamos las ecuaciones cuasi-geostróficas. En esta sección la reescribiremos como



pues

Si consideramos la diferencia en la divergencia entre el tope y la base de una columna de aire (por ej. entre los niveles de 1000 y 500 mb) podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma

donde

representa la razón de cambio en el tiempo del espesor de la columna. Por lo tanto el movimiento vertical estará dado por el cambio en la distribución vertical de la advección de vorticidad y por el laplaciano del cambio en altura de la tendencia del geopotencial.

El término de tendencia del espesor se puede escribir como

lo cual indica que el cambio en el espesor puede ocurrir debido a (A) calentamiento diabático, (B) advección horizontal y (C) advección vertical (cambio de temperatura por procesos adiabáticos).

Asumamos que las variaciones en el espesor son únicamente debido a la advección horizontal. En ese caso podemos escribir



donde las barras marcan los vientos geostróficos promediados en la columna. Usando las ecuaciones de viento térmico

f vg '=∂ '∂ x

f ug '=−∂ '∂ y

se obtiene

la cual puede ser reescrita como

mientras sea posible despreciar los términos de deformación del tipo

Estos términos de deformación son importantes en los frentes y hasta pueden dominar la dinámica, pero para escalas sinópticas son muy pequeños.

Los términos segundo y cuarto son nulos pues implican la divergencia del viento geostrófico. Por lo tanto

Recordando que

V g= V g V g0/2 V g '= V g− V g0

g=gg0/2 g '=g−g0



la ecuación anterior queda

Sustituyendo esta expresión en la ecuación

se obtiene

la cual se reduce a

o finalmente a

Para interpretar esta ecuación consideramos una columna de aire entre 500 y 1000 mb y asumimos que la divergencia en 500 mb es nula (nivel de no-divergencia). Usando al vorticidad térmica g ' la ecuación resulta en una ecuación de diagnóstico para la divergencia en 1000 mb

−∇ . V 0=−2f 0

V g ' .∇g0−1f 0

V g ' .∇g '−1f 0

V g ' .∇ f

El primer término de la derecha es proporcional a la magnitud del viento térmico y a la variación de la vorticidad de superficie en la dirección del viento térmico. En el centro del ciclón de superficie la velocidad es muy pequeña por lo que el centro de baja presión se propagará en la dirección del viento térmico, o equivalentemente el viento en 500 mb, con una velocidad propocional al viento térmico; esto representa un efecto de conducción.

Para analizar este término con mas detalle consideremos la figura 6.9 donde se muestra un centro de baja presión en superficie en el H.N. y un viento térmico en la dirección x. Para la situación de la figura 6.9 tanto el viento térmico como el gradiente de la vorticidad en superficie es en la dirección x. Entonces si consideramos únicamente el término de conducción la ecuación anterior se puede escribir como



−∇ .V 0=−2f 0

∣V ' g∣∂g0

∂ x

En una baja del H.N. la vorticidad es máxima en el centro y es positiva. Entonces, como ∂g0

∂ x0 detrás del centro (región I) vale que −∇ .V 00 por lo que existe

divergencia en esa zona. Por otro lado ∂g0

∂ x0 delante de la baja (zona II) por lo que

−∇ . V 00 y existe convergencia en esta otra zona.

I II

V'g x

Figura 6.9 – Esquema con baja superficial de estructura circular y viento térmico V'g

para interpretar término de conducción

Por lo tanto, un cortante de vientos actuando sobre un máximo de vorticidad (H.N.) estará asociado a un desarrollo ciclónico delante del máximo y a un desarrollo anticiclónico detrás lo cual da lugar a un desplazamiento en la dirección del viento térmico (V'g). Por lo tanto, en sentido amplio, en cada instante los ciclones se moverán en la dirección de las líneas de igual espesor sobre el centro de la baja.

El segundo término de la derecha es proporcional a la magnitud del viento térmico y a la variación de la vorticidad a lo largo del flujo. Este término crea convergencia en niveles bajos y aumento de la vorticidad ciclónica sobre la baja de superficie siempre y cuando la vaguada en altura este desplazada hacia el oeste con respecto a la baja (Figura 6.10). Este es un término de desarrollo pues es el principal contribuyente a la intensificación o decaimiento de los sistemas.



Figura 6.10 – Ilustración de las regiones favorables a ciclogénesis y anti-ciclogénesis de acuerdo a la teoría de Sutcliffe.

El tercer término de la derecha es el efecto de la variación de Coriolis con la latitud (efecto β) en la dirección del viento térmico, y es generalmente pequeño.

Debemos recordar que la teoría de Sutcliffe es una relación de diagnóstico y no de pronóstico y que las líneas de igual espesor también cambian en el tiempo. Por lo tanto los términos dan la tendencia de movimiento o, en términos prácticos, hacia donde se moverá en las próximas pocas horas. El campo de temperatura y por lo tanto la advección de vorticidad cambiará con el tiempo y por eso será necesaria una solución numérica. Esto se puede entender de la figura 6.11 que muestra una baja en superficie en una posición relativa a la estructura de espesor favorable a la profundización de la baja. En esta situación la baja causa advección de calor hacia el polo al este intensificando la cuña y de frío hacia el ecuador al oeste intensificando la vaguada. Por lo tanto el sitema de cuña-vaguada, y por lo tanto el forzante −V g ' .∇g ' , se intensifica al mismo tiempo que la baja (ver también sección 6.6).



Figura 6.11 – Esquema mostrando la posición de una baja en superficie relativo a un patrón de líneas de igual espesor en configuración favorable para ciclogénesis (H.N.).

El concepto de conducción fue un avance revolucionario en la compresión de la ciclogénesis pues implica que un ciclón no es llevado “como una burbuja” en un flujo, sino que el campo de presiones está siendo reconstituído continuamente por el campo de divergencia. Al mismo tiempo el campo de divergencia es debido a la advección de vorticidad y de calor. Por lo tanto, los sistemas de baja presión se mueven de un punto a otro pues la estructura del campo de presión en superficie está siendo reconstituído por los forzantes. Así, la presón disminuye adelante de una baja y aumenta detrás.

A pesar de que parece que la baja se mueve en la dirección de los vientos en 500mb y por lo tanto es conducido por el flujo en altura, la presión en superficie no se mueve como una entidad separada sino que se debe pensar en elevaciones y depresiones del campo de presión. La baja se mueve pues está siendo “llenada” por detrás y “profundizada” por delante debido a los patrones de convergencia y divergencia asociados a la advección geostrófica en altura.



La ecuación desarrolada por Sutcliffe en 1940's representó uno de los mayores avances de meteorología teórica para el pronóstico operacional. Esto es pues teniendo las alturas de geopotencial en 1000 y 500 mb es posible calcular gráficamente la distribución de isópletas de espesor y de ahi determinar la dirección y sentido del viento térmico V'. También es posible calcular la vorticidad en cada nivel pues es proporcional al laplaciano del geopotencial. Por lo tanto, dado únicamente la distribución de geopotencial en dos niveles es posible estimar los movimientos verticales a escala sinóptica.

6.4 La ecuación omega cuasi-geostrófica

En la sección anterior diagnosticamos los movimientos verticales considerando únicamente la ecuación de vorticidad cuasi geostrófica, la cual se puede escribir como

o, (1) dado que f no depende del tiempo, (2) usando la ecuación de continuidad y (3) la vorticidad relativa es el laplaciano del geopotencial

En esta sección consideraremos además la versión cuasi-geostrófica de la energía termodinámica derivada anteriormente (recordemos que Q̇=0 )

Para eliminar las derivadas temporales en ambas expresiones aplicamos el operador

f 0∂

∂ pa la ecuación de vorticidad y ∇2 a la ecuación termodinámica. Entonces



y sumando obtenemos

la cual se puede escribir de la siguiente forma

que se conoce como la ecuación omega cuasi-geostrófica. Esta ecuación permite diagnosticar la velocidad vertical ω a partir del campo de geopotencial instantáneo dado.

El término de la izquierda es un laplaciano 3-dimensional. Si el campo de velocidades

vertical tiene un perfil aproximadamente sinusoidal, entonces ∂2

∂ p2 ∝− . Asimismo,

como el laplaciano concierne derivadas segundas un máximo (mínimo) local en ∇2 implica un mínimo (máximo) local de ω. Esto se puede formalizar

considerando

entonces

lo cual muestra que el término de la izquierda es proporcional a – ω. Por lo tanto, si la suma de los términos de la derecha es positivo (negativo), entonces ω es negativo (positivo), o sea ascendente (descendente).

El segundo término de la derecha de la ecuación puede ser reescrito como



lo cual muestra que este término describe las variaciones horizontales de la advección de temperatura. En las regiones donde existe un máximo local de advección de aire cálido este término es positivo correspondiendo a movimientos verticales ascendentes (y viceversa, ver figura 6.12). Físicamente este patrón de movimientos verticales es necesario para mantener el campo de vorticidad geostrófica en los niveles mas altos en presencia de cambios en el espesor debido a la advección térmica. Notar que para diagnosticar el sentido de los movimientos verticales es necesario conocer la heterogeneidad en el campo de advección de temperatura.

Figura 6.12 – Advección de aire cálido al este de la baja de superficie: movimiento ascendente en la región del frente cálido. Advección fría al oeste de la baja de

superficie: movimiento descendente atrás del frente frío.

El primer término de la derecha representa la derivada vertical de la advección de vorticidad geostrófica: si la advección de vorticidad ciclónica aumenta con la altura este término es positivo implicando un movimiento vertical ascendente. Este término tiene por lo tanto un significado físico similar con el rol de la advección diferencial en el teorema de Sutcliffe. Consideremos la figura 6.10. En general la advección de vorticidad es pequeña en superficie, pero no en altura. En altura, arriba de una baja la advección de vorticidad es grande y positiva (H.N.) de tal forma que la columna presenta un movimiento ascendente. En altura, arriba de una alta la advección de vorticidad es grande y negativa por lo que la advección de vorticidad ciclónica disminuye con la altura y por lo tanto existe movimiento descendente. Notar que un



aumento en la vorticidad implica una disminucion del geopotencial. Por lo tanto el espesor de la capa entre superficie y 500 mb está decreciendo. Como la advección horizontal es pequeña arriba de una baja, la unica forma de disminuir el espesor es a través del enfriamiento adiabático asociado a los movimientos ascendentes. De esta forma los campos de viento vertical descritos por la ecuación omega cuasigeostrófica son aquellos movimientos verticales requeridos para mantener los balances geostrófico e hidrostático, o sea el viento térmico, en presencia de una advección diferencial de vorticidad. Asimismo, estos movimientos verticales son una muy buena aproximación de los movimientos observados a escala sinóptica en latitudes medias.

6.4.1 Versión Trenberth (1987)

La ecuación omega puede simplificarse pues los términos de la derecha tienden a cancelarse. Expandiendo los términos a la derecha de la ecuación de omega

quedan de la forma siguiente:

el primero f 0

∂ V g

∂ p.∇ g f V g .∇

∂∇2

∂ p

el segundo −[∇2 ug

∂∂ x

∂∂ p

∇2 v g

∂∂ y

∂∂ p

]− V g .∇∂∇

2

∂ p

Notando que los últimos términos de cada expresión se cancelan y que el primer término del segundo es mucho menor que el primer término del primero se llega a una forma aproximada de la ecuación omega cuasi-geostrófica

que establece que los movimientos verticales en latitudes medias están forzados por la advección del viento térmico de la vorticidad geostrófica absoluta, o sea que recuperamos los resultados del teorema de Sutcliffe.

En lo anterior hemos despreciado los términos de deformación (que también



despreciamos en la derivación del teorema de Surcliffe). Como se mencionó anteriormente en las zonas frontales esos términos dominan la dinámica. No obstante, estos términos de deformación también juegan un papel importante en ciclones ocluídos (figura 6.13) y por lo tanto despreciar los términos de deformación puede acarrear a errores importantes. En la sección siguiente derivamos una expresión alternativa para el forzamiento de movimientos verticales cuasi-geostróficos que incluye esos términos y es mas simple de evaluar gráficamente.

Figura 6.13 – Ciclón ocluído: ciclón en el cual la advección de temperatura es muy pequeña o inexistente. (Está asociado a un frente ocluído).

6.5 Vector Q

El vector Q fue introducido por Hoskins et al (1978) y permite apreciar mejor el rol de los movimientos ageostróficos en el flujo cuasi-geostrófico.

Consideremos las versiones cuasi-geostróficas de la ecuación de energia termodinámica y de la ecuación de movimiento en la dirección y

Despreciando por el momento el componente ageostrofico las expresiones anteriores se pueden escribir como



Aplicando a la ecuación de momento el operador f 0∂

∂ pse obtiene

Recordando que el viento geostrófico es no-divergente y la relación de viento térmico

f 0

∂ vg

∂ p=

∂2

∂ x ∂ p

f 0

∂ ug

∂ p=

−∂2

∂ y∂ p

es posible escribirla como

Tomando ahora −∂∂ x de la ecuación termodinámica



Notar que las tendencias siguiendo el movimiento geostrófico de f 0

∂ vg

∂ py

∂2

∂ x ∂ p(las componentes del viento térmico) son iguales pero opuestas. Por lo tanto

el viento geostrófico tiende a destruir el balance del viento térmico y por lo tanto a sí mismo. Para mantener el viento térmico es necesaria la circulación ageostrófica.

Definimos Q1 como la magnitud de la tendencia geostrófica

Si ahora reinsertamos los términos ageostróficos que habiamos despreciado obtenemos

y

Multiplicando esta ultima ecuación por (-1) y sumándosela a la anterior queda (usando el viento térmico)



Por otro lado, se puede proceder análogamente con la ecuación de momento en x obteniéndose

donde

Por último tomamos la derivada con respecto a x de la ecuación para Q1 y con respecto a y de la ecuación para Q2 y llegamos a

y usando la ecuación de continuidad

El término de derecha es idéntico al operador laplaciano en 3-D encontrado para la ecuación omega cuasi-geostrófica y sabemos que es proporcional a -ω. Por otro lado la función forzante está escrita como la convergencia de un vector 2-D, el vector Q, definido como Q=(Q1,Q2). Un Q convergente (divergente) indica/fuerza movimientos verticales ascendentes (descendentes). Notar que en la derivación de Q no se despreciaron los términos de deformación como sí se hizo al derivar la ecuación omega. El vector Q tiene la forma



ó, usando la ecuación hidrostática∂Φ∂ p

=−R T / p ,

La dirección y magnitud del vector Q en un punto dado en un mapa sinóptico puede ser estimado refiriendo el movimiento a un sistema de coordenadas cartesiano en el cual el eje x es paralelo a la isoterma local con el aire frío a la izquierda. En este caso usando

es posible escribir Q de la forma

o

Por lo tanto el vector Q puede ser obtenido evaluando el cambio vectorial de Vg a lo largo de la isoterma (con aire frio a la izquierda), luego rotandolo 90 grados en sentido

horario y multiplicando el vector resultando por ∣∂T∂ y

∣ . Así, el vector Q, y por lo

tanto el forzante del movimiento vertical, puede ser estimado a partir de observaciones de Φ y T en una superficie isobárica.

Consideremos dos ejemplos. El primer ejemplo consiste en un patrón de ciclones y anticiclones idealizado dentro de un viento térmico del oeste (figura 6.14) en el H.N por lo que el aire frío está al norte. Cerca del centro de la baja el cambio en el viento geostrófico moviéndose hacia el este a lo largo de la isoterma es de del norte a del sur. Por lo tanto el vector cambio de viento geostrófico apunta al norte y una rotación de 90° en sentido horario produce un vector Q paralelo al viento térmico. En las altas usando el mismo razonamiento los vectores Q son antiparalelos al viento térmico. El patrón de divergencia de Q resulta entonces en descenso en la región de advección de aire frío al oeste de la vaguada y ascenso en la región de advección cálida al este de la vaguada.



Figura 6.14 – Vectores Q para un patrón idealizado de altas y bajas en superficie en el H.N. Las líneas punteadas indican isotermas o líneas de igual espesor 1000-500 mb. Las

flechas gruesas indican los vectores Q.

El otro ejemplo consiste en un flujo geostrófico confluente de tal forma que el viento geostrófico aumente hacia el este a lo largo de las isotermas (figura 6.15). En este caso el cambio vectorial de Vg a lo largo de las isotermas es paralelo a ellas y los vectores Q son perpendiculares y dirigidas hacia el gradiente de temperatura. El movimiento ascendente ocurre donde los vectores Q son convergentes. Puesto que movimientos ascendentes implican un estiramiento de la columna habrá un aumento en la vorticidad ciclónica en niveles por debajo del nivel con vectores Q convergentes.

Figura 6.15 – Orientación de los vectores Q en la región de entrada de un “jet streak”. Las líneas punteadas indican las isotermas.



6.6 Predicción cuasi-geostrófica

En las secciones anteriores estudiamos varios métodos para diagnosticar los movimientos verticales: teoría de Sutcliffe, ecuación omega y vector Q. En esta sección desarrollaremos una ecuación para el pronóstico de la circulación geostrófica basada en las ecuaciones cuasi-geostróficas

Si escribimos la tendencia del geopotencial como

podemos escribir la tendencia en la vorticidad geostrófica como

y las ecuaciones cuasi-geostróficas quedan de la forma

Para eliminar ω en las ecuaciones anteriores aplicamos el operador f 0

2

∂∂ p

a la

segunda ecuación y la sumamos a la primera. Entonces obtenemos

la cual se conoce como la ecuación de tendencia del geopotencial cuasi-geostrófica. La ecuación provee una relación entre la tendencia local en el geopotencial y las distribuciones de advección de vorticidad absoluta y advección de espesor. Si se conoce la distribución de en un tiempo dado, los términos de la derecha se pueden considerar como funciones de forzamiento conocidas y la ecuación tiene como única



incógnita a χ.

El operador a la izquierda es el mismo que en la ecuación omega y se puede interpretar en forma similar: cuando

es menor (mayor) que cero entonces χ es mayor (menor) que cero.

Consideremos el término de advección geostrófica de vorticidad absoluta. La figura 6.16 muestra en forma esquemática una vaguada en altura con el máximo ciclónico de vorticidad asociado. Inmediatamente al este (oeste) hay advección de vorticidad positiva (negativa) por lo que el geopotencial tenderá a bajar (subir). Como el gradiente de vorticidad geostrófica es nulo en el eje de la vaguada, también lo es la advección de vorticidad, resultando en una tendencia nula del geopotencial en el eje. Por lo tanto la advección de vorticidad no puede intensificar una perturbación, sólo puede propagarla. Esta característica es válida en general, aunque a veces los máximos y mínimos no están colocados en el mismo lugar que los ejes de vaguada y cuña, respectivamente, por lo que este término también puede inducir una intensificación/decaimiento de la perturbación.

Figura 6.16 – Vaguada en altura en el H.N. Los vectores indican velocidad geostrófica y las líneas punteadas son contornos de vorticidad ciclónica, con la X marcando el

máximo. Regiones de gris claro (oscuro) indican regiones de advección de vorticidad positiva (negativa).

La figura 6.17 muestra un ejemplo real para el H.S en donde los signos son opuestos por la presencia de f0 en el término de advección de vorticidad. La vaguada en 500 mb se moverá hacia el este no como respuesta directa a la advección sino debido a cambios en el geopotencial causado por la advección de vorticidad (y temperatura).



Figura 6.17 – La línea punteada indica la posición inicial de la vaguada.


Adv. Vort Pos.

Como f0<0 altura del geoptendera aumentar

Adv. Vort Neg.

Como f0<0 altura del geoptendera disminuir

La vaguada se moverá al sureste


El mecanismo de amplificación o decaimiento de un sistema sinóptico en latitudes medias está contenido principalmente en el segundo término de la ecuación para la tendencia del geopotencial, o sea en el término de advección de espesor. La advección de espesor tiende a ser mayor en la tropósfera baja por debajo de las vaguadas y cuñas en 500 hPa. Notar que este término se puede escribir

ó, como

se puede expresar

la cual es la derivada vertical de la advección geostrófica de temperatura. Por lo tanto si la advección de temperatura aumenta (disminuye) con la altura el geopotencial tenderá a bajar (subir) (ver figura 6.18).

Figura 6.18 – Efecto de la advección de aire caĺido en una atmósfera de tres capas. En el caso superior existe un aumento de la advección de aire cálido (WAA) con la altura lo cual tiende a disminuir la altura del geopotencial. En el caso inferior hay un aumento de

la advección de aire frío con la altura lo cual tiende a aumentar la altura del geopotencial.


WAA

WAA

WAA

Z-top

Z-400mb

Z-700mbZ-bottom

ΔZ increasesΔZ

PressureSurfaces

Fell

CAACAACAA

Z-topZ-400mb

Z-700mb

Z-bottom

ΔZ decreasesΔZ PressureSurfaces

Rose


En general, el término de advección de temperatura aumenta las anomalías de geopotencial en niveles medios en la ciclogénesis. Por debajo de la cuña en 500 hPa existe advección de aire cálido asociado al frente caĺido por lo que el espesor aumenta y la cuña se intensifica. Debajo de la vaguada en 500 hPa hay advección de aire frío asociado al frente frío por lo que el espesor disminuye y la vaguada tenderá a profundizarse (figura 6.19).

Figura 6.19 – Esquema de desarrollo de una onda baroclínica. Se muestra los contornos de geopotencial en 500 hPa (líneas gruesas), en 1000 hPa (líneas finas) y el espesor

1000-500 hPa.

Por encima de los 500 hPa el gradiente de temperatura es pequeño y las isotermas se vuelven paralelas a los contornos de altura de tal forma que la advección de temperatura es muy chica. Por lo tanto el término de advección de temperatura, a diferencia del término de advección de vorticidad, está concentrado en niveles bajos.

De acuerdo a lo anterior, a lo largo de los ejes de las vaguadas (trough) y cuñas (ridge) donde la advección de vorticidad es nula, pero donde el gradiente de temperatura es grande la ecuación de la tendencia del geopotencial para una onda baroclínica en desarrollo establece que

De lo anterior se deduce que si no existe una liberación de calor diabática, para que un sistema sinóptico se intensifique debe existir advección horizontal de temperatura. Esto implica una conversión de energía potencial en energía cinética y es la base del



desarrollo de una perturbación a través de procesos baroclínicos.

La figura 6.19 muestra un esquema de la estructura vertical de la onda.

Figura 6.19 – Sección este-oeste a través de una onda sinóptica en desarrollo mostrando la relación entre la advección de temperatura con las tendencias del geopotencial en altura. Recordemos que las bajas (altas) en superficie están al este de las vaguadas

(cuñas) en altura. A y B marcan, respectivamente, las regiones de advección de aire frío y cálido en la

tropoósfera baja. Este patrón de advección es consecuencia directa de que las vaguadas en 500 hPa están al oeste de la baja de superficie de tal forma que el viento geostrófico medio en la capa 500-1000 hPa está dirigido a través de las líneas de espesor constante hacia espesores mas anchos al oeste y hacia espesores mas delgados al este. Notar que los ejes térmicos de la onda en desarrollo están inclinados hacia el este con la altura. Esto se debe a que (1) en general el centro de los ciclones (anticiclones) en superficie coincide con el máximo (mínimo) de temperatura y (2) por la ecuación hipsométrica

mínimos (máximos) de geopotencial en altura deben estar arriba de columnas relativamente frías (cálidas).



6.7 Modelo idealizado de una perturbación baroclínica

En esta sección combinaremos los resultados de los análisis de la ecuación omega y de tendencia del geopotencial para ilustrar las características escenciales de una onda baroclínica en desarrollo.

La figura 6.20 muestra la relación entre el campo de vientos vertical y el geopotencial en 500 y 1000 hPa. Asimismo se indican los procesos físicos que dan lugar a la circulación vertical en las diferentes regiones. La tabla 1 indica los procesos físicos para las columnas verticales ubicadas en (A) la vaguada en 500 hPa, (B) la baja de superficie y (C) la cuña en 500 hPa. Se puede observar de la tabla 1 que en todos los casos los movimientos verticales y el campo de divergencia actúan para mantener el viento térmico.

Es posible considerar los movimientos ageostróficos verticales como una circulacion secundaria necesaria para mantener los balances geostrófico e hidrostático. Sin esta circulación la advección geostrófica tiende a destruir el viento térmico. Claro que, esta circulación secundaria está a su vez forzada por pequeñas desviaciones del flujo del balance geostrófico.



Figura 6.20 – Circulación secundaria asociada a una onda baroclínica en desarrollo. (arriba) contornos de 500 hPa (solido), 1000 hPa (punteado) y frentes en superficie.

(abajo) perfil vertical a través de la línea II' indicando el campo de movimiento vertical.

Tabla 1.

Referencias principales

– Mid-latitude atmospheric dynamics, J. Martin– An introduction to dynamic meteorology, J. Holton.


6. análisis cuasigeostrófico de flujos de gran escala extratropicales

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