UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

“ 1ª PRACTICA CALIFICADA”

CURSO:

CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS

TEMA: Tracción Simple

ALUMNO:

Soto Asuncion, Adrian Gioginio 20120047I

SECCION:

MC 516 - E

PROFESOR:

Ing. Ronald Cueva Pacheco

Lima, 18 de Setiembre del 2015

PROBLEMA Nº1

Considere la placa delgada (acero) de la figura .La placa tiene un espesor uniforme t = 150mm, módulo de Young E =3.0x105 N/mm2 y peso específico γ = 8.0gr-f/cm3. Además de su propio peso, la placa está sometida a una carga concentrada PA= 50000N en el punto indicado.

Modele la placa con tres elementos finitos.

Escriba expresiones para las matrices de rigidez del elemento y vectores fuerza de

cuerpo del elemento.

Ensamble la matriz de rigidez estructural K y el vector de carga global.

Evalúe los esfuerzos en cada elemento.

Determine la fuerza de reacción en el soporte.

SOLUCIÓN:

Datos:

E =3.0x105 N/mm2 t = 150mm PA= 30000N γ = 8.0gr-f/cm3

1.- MODELADO DEL CUERPO REAL

Consideraremos tres elementos finitos a analizar. Para facilitar los cálculos los dos primeros serán de longitud de 250mm y el tercero de 500mm.

El ancho de cada elemento se calcula tomando el punto medio de cada elemento finito.

Hallando las bases medias por proporcionalidad:

b3=1200−2∗600∗5002000

=900mm

b2=450mm

b1=150mm

Las áreas se calculan de la siguiente relación:

Ai=bi x t

Luego se obtiene el Cuadro de conectividad:

e NODOS GDL le(mm)

Ae(mm2)(1) (2) 1 2

1 1 2 1 2 250 150002 2 3 2 3 250 450003 3 4 3 4 500 90000

2.- GRADOS DE LIBERTAS NODALES (Vector Desplazamiento)

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento será:

Q=[Q1

Q2

Q3

0]mm

Donde Q4 = 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.

3.- VECTOR CARGA:

Debido a que la densidad es: γ = 8.0gr-f/cm3= 8.0x10^-3gr-f/mm3

Se hallara el peso con este valor asumiendo que este se distribuye de manera simétrica en cada nodo.

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

F11=

−γ (Axl )12

=−15000

F21=

−γ (Axl )12

=−15000

F22=

−γ ( Axl)22

=−45000

F32=

−γ ( Axl )22

−FA=−45000−3058103.97

F33=

−γ (Axl )3

2=−180000

F43=

−γ (Axl )32

+R4=−180000+R4

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

F1=F11=−15000 grf

F2=F21+F2

2=−60000grf

F3=F32+F3

3=−3283103.97 grf

F4=F43+F4

4=−180000+R4

Entonces el vector carga se expresara de la siguiente manera:

F=[F1

F2

F3

F4]=[ −15000

−60000−3283103.97−180000+R4

]grf= 9.811000

x [ −15000−60000

−3283103.97−180000+R4

]N4.- MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:

K i=( AEl )1[ 1−100

−1100

0000

0000]+( AEl )

2[0000

01

−10

0−110

0000]+( AEl )

3[0000

0000

001

−1

00

−11

]

Reemplazando los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad tenemos:

K i=15000 x3 x105

250 [ 1−100

−1100

0000

0000]+ 45000 x 3x 105

250 [0000

01

−10

0−110

0000]+ 90000 x3 x105

500 [0000

0000

001

−1

00

−11

]

K i=[ 18000000−18000000

00

−1800000072000000

−540000000

0−54000000108000000−54000000

00

−5400000054000000

]N /mm

5.- ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICION DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i=K i x Q

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

9.811000

x [ −15000−60000

−3283103.97−180000+R4

]=[ 18000000−18000000

00

−1800000072000000

−540000000

0−54000000108000000−54000000

00

−5400000054000000

] x [Q1

Q2

Q3

0]

Para poder resolver este sistema de ecuaciones tomamos la siguiente submatriz:

9.811000

x [ −15000−60000

−3283103.97]=[ 18000000−18000000

0

−1800000072000000

−54000000

0−54000000108000000 ]x [Q1

Q2

Q3]

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

[Q1

Q2

Q3]=[−0.6318

−0.6236−0.61 ]um

Para obtener la reacción en el empotramiento tomamos la siguiente submatriz:

9.811000

x [−180000+R4 ]=[ 0 0 −54000000 54000000 ] [Q1

Q2

Q3

0]

Reemplazando los valores de Q obtenemos:

9.811000

x [−180000+R4 ]=[ 0 0 −54000000 54000000 ] [−0.63−0.62−0.61

0]

R4=3357978.165 grf

6.-ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

σ e=( El )e [−1 1 ] [ QiQi+1]

Y obtenemos lo siguiente:

σ 1=( 3.0 x105

250 )1

[−1 1 ][−0.6318−0.6236] x 10−3=0.00984MPa

σ 2=( 3.0 x105

250 )2

[−1 1 ][¿−0.6236−0.61 ] x10−3=0.00984MPa

σ 3=( 3.0 x105

500 )3

[−1 1 ][−0.610 ] x 10−3=0.366MPa

7.- RESULTADOS

Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

R4=3357978.165 grfσ 1=0.00984MPaσ 2=0.00984MPaσ 3=0.366MPa

8.- DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOS

CONSTANTES : E, f, t

VECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F=

[AL1γ

2+R1

AL2γ2

+ AL1γ

2AL3 γ

2+ AL

2 γ2

+PA

AL3 γ2

] ; K=

[EA1

L1−EA1

L10 0

−EA1

L1

EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2

EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 −EA3

L3

EA3

L3

]TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

[AL1 γ

2AL2γ

2+ AL

1γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ

2+PA

AL3 γ2

]=

[−1 −EA1

L10 0

0EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2

EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 − EA3

L3

EA3

L3

] [R1

Q2

Q3

Q4]

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

R1 , Q2 , Q3 , Q4 , E1 , E2 , E3

FIN

9. FUNCIÓN EN MATLAB:

// Entradas

H=input('Ingrese la altura de la placa= ');

B=input('ingrese la base de la placa= ');

pa=input('Ingrese la carga PA= ');

t=input('Ingrese el espesor de la placa= ');

j=input('Ingrese la densidad del material= ');

E=input('Ingrese el modulo de elasticidad= ');

h=[3*H/10 3*H/10 4*H/10];

j=j*9.81*10^(-6);s=0;

w=zeros(4);K44=zeros(4);

for i=1:3

a(i)=(s+h(i)/2)*B/H*t;

s=s+h(i);

w(i,i)=1;w(i,i+1)=-1;w(i+1,i)=-1;w(i+1,i+1)=1;

K44=K44+a(i)*E/h(i)*w;

w=zeros(4);

end

p=[];

p(1)=pa-a(1)/2*h(1)*j; p(2)=-a(1)/2*h(1)*j-a(2)/2*h(2)*j;

p(3)=-a(2)/2*h(2)*j-a(3)/2*h(3)*j+pb;

k44=K44(1:3,1:3);Q=k44\p';Q=[Q;0];k=K44(4,1:4)*Q;

R=k+a(3)/2*h(3)*j;

es=[];

for i=1:3

es(i,1)=E/h(i)*[-1 1]*Q(i:i+1,1);

end

clc;

%MOSTRANDO LOS RESULTADOS

disp('..............................');

disp(' RESULTADOS');

disp('============');

disp('EL VECTOR DESPLAZAMIENTO');

disp(Q);

disp('LA REACCION EN EL APOYO(N)');

disp(R);

disp('..............................');

disp('EL VECTOR DE ESFUERZOS(MPa)');

disp(' e1 e2 e3');

disp(es');

USO DEL PROGRAMA DE MATLAB

10. CONCLUSIONES

Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de micras), además todas son hacia abajo que es el sentido opuesto al asumido como referencia.

Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro sistema de referencia.