1 nmeros reales - la casa de gauss | .2012-10-02  unidad 1. nmeros reales 1 pgina 27 reflexiona

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  • Unidad 1. Nmeros reales 1

    Pgina 27

    REFLEXIONA Y RESUELVE

    El paso de Z a Q

    Di cules de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cules esnecesario el conjunto de los nmeros racionales, Q.a) 5x = 60 b)7x = 22 c) 2x + 1 = 15

    d)6x 2 = 10 e) 3x 3 = 1 f) x + 7 = 6

    Se pueden resolver en Z a), c), d) y f).Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).

    El paso de Q a

    Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:

    a) x2 9 = 0 b)5x2 15 = 0 c) x2 3x 4 = 0

    d)2x2 5x + 1 = 0 e) 7x2 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0

    a) x2 9 = 0 8 x = 3

    b) 5x2 15 = 0 8 x2 = 3 8 x =

    c) x2 3x 4 = 0 8 x = = =

    d) 2x2 5x + 1 = 0 8 x = = =

    e) 7x2 7x = 0 8 x2 x = 0 8 x = 0, x = 1

    f) 2x2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = 32

    5 + 17

    4

    5 17

    4

    5 17

    45 25 8

    4

    4

    1

    3 52

    3 9 + 162

    3

    NMEROS REALES1

  • Nmeros irracionales

    Demuestra que es irracional. Para ello, supn que no lo es: = . Eleva

    al cuadrado y llega a una contradiccin.

    Supongamos que no es irracional. Entonces, se podra poner en forma de fraccin:

    = 8 2 = 8 p2 = 2q2

    En p2, el factor 2 est un nmero par de veces (es decir, en la descomposicin defactores primos de p2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q2. Por tan-to, en 2q2 el exponente de 2 es un nmero impar. De ser as, no se podra cumplirla igualdad.

    Suponiendo que = llegamos a una contradiccin:

    p2 = 2q2, pero p2 no puede ser igual a 2q2.

    Por tanto, no puede ponerse en forma de fraccin. No es racional.

    Obtn el valor de F teniendo en cuenta que un rectngulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectngulo que resulta de suprimirle un cuadrado.

    = 8 F(F 1) = 1 8 F2 F 1 = 0

    F = =

    Como F ha de ser positivo, la nica solucin vlida es F = .5 + 1

    2

    1 + 5

    2

    1 5

    (negativo)2

    1 1 + 42

    1F 1

    F1

    F 1

    F

    1

    2

    pq

    2

    p2

    q2pq

    2

    2

    pq

    22

    Unidad 1. Nmeros reales2

  • Pgina 28

    1. Sita los siguientes nmeros en el diagrama:

    ; 5; 2; 4,5; 7,)3; ; ; ;

    2. Sita los nmeros del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada n-mero puede estar en ms de una casilla.

    Aade un nmero ms (de tu cosecha) en cada casilla.

    NATURALES, N 5; 64

    ENTEROS, Z 5; 2; 64;

    327

    RACIONALES, Q 5; 2; 4,5; 7,)3;

    327;

    64

    REALES, 3; 5; 2; 4,5; 7,

    )3;

    36;

    64;

    327

    NO REALES 8

    NATURALES, NENTEROS, ZRACIONALES, QREALES, NO REALES

    Q

    Z N

    4,5

    25

    7,)3

    3

    8

    64 = 8

    3

    6

    327 = 3

    Q

    Z N

    832764363

    Unidad 1. Nmeros reales 3

    1UNIDAD

  • Pgina 29

    3. Representa los siguientes conjuntos:

    a) (3, 1) b) [4, +@) c) (3, 9] d) (@, 0)

    4. Representa los siguientes conjuntos:

    a) {x / 2 x < 5} b) [2, 5) (5, 7]

    c) (@, 0) (3, +@) d) (@, 1) (1, +@)

    Pgina 30

    1. Halla los siguientes valores absolutos:

    a) |11| b) || c) | |

    d) |0| e) |3 | f) |3 |

    g) |1 | h) | | i) |7 |

    a) 11 b) c)

    d) 0 e) |3 | = 3

    f) |3 | = 3 g) |1 | = 1

    h) | | = i) |7 | = 7

    2. Averigua para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

    a) |x| = 5 b) |x| 5 c) |x 4| = 2

    d) |x 4| 2 e) |x 4| > 2 f ) |x + 4| > 5

    a) 5 y 5 b) 5 x 5; [5, 5]

    c) 6 y 2 d) 2 x 6; [2, 6]

    e) x < 2 o x > 6; (@, 2) (6, +@) f) x < 9 o x > 1; (@, 9) (1, +@)

    50502332

    2222

    5

    503222

    5

    a)

    c)

    b)

    d)0 1

    0 52 2 0 5 7

    0 3

    a)

    c)

    b)

    d)

    3

    3

    1 0

    0 96

    0

    0

    4

    Unidad 1. Nmeros reales4

  • Pgina 31

    1. Simplifica:

    a) b) c)

    d) e) f)

    a) = b) =

    c) = y2 d) = =

    e) = = = f ) = =

    2. Cul es mayor, o ?

    Reducimos a ndice comn:

    = ; =

    Por tanto, es mayor .

    3. Reduce a ndice comn:

    a) y b) y

    a) = ; = b) = ;

    4. Simplifica:

    a) ( )8 b) c) a) ( )8 = k b) = c) = x

    Pgina 32

    5. Reduce:

    a) b) c) d)

    a) =

    b) =

    c) =

    d) = = = 212251221712(23)3 (22)412441283

    82782822824

    63563634

    152815231525

    34488242263395232

    6x63x215x108k

    3(x )653x10

    k

    9132650

    9132651

    351

    36a14

    18a7

    36a15

    12a5

    9132 65035118a712a5

    431

    1228561

    313

    1229791

    431

    313431

    383488134322926964

    2623685y10

    3x212x84x3

    12x9

    88196468

    5y1012x812x9

    Unidad 1. Nmeros reales 5

    1UNIDAD

  • 6. Simplifica:

    a) b) c) d)

    a) = = b) 6

    =

    c) 6

    = 6

    = d) 4

    = 4

    = 4

    7. Reduce:

    a) b) c) d

    a) = b) 6

    = =

    c) 10

    = = d) 4

    = = 3

    8. Suma y simplifica:

    a) 5 + 3 + 2

    b) +

    c) +

    d) + +

    e)

    a) 10

    b) 3 + 5 = 7

    c) + = + =

    = 3 + 5 2 = 5

    d) + + = 3 5 + 2 + 2 = 5 3

    e) = 5 3 = 22a2a2a2 32 a2 52 a

    2323232322 32 523322222

    2322 522 32825018

    2222

    x

    18a50a

    8125027

    825018

    225 29 2

    xxx

    434 36321081023 2825

    332634 363263 3433

    47293

    5162

    933

    332

    3

    ab c1c ab c5 a3 b5 ca2 b6 c66a1 1a a3a4

    6a ba3 b3a2 b2x2 1x2 x3x5

    4a3 b5 ca b3 c3

    6a33a2

    a b3a b

    5x3x

    Unidad 1. Nmeros reales6

  • Pgina 33

    9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

    a) b)

    c) d)

    e) f)

    g) h)

    i ) j )

    a) =

    b) = =

    c) = =

    d) = =

    e) = = =

    f) = = = =

    g) = =

    h) = = = =

    i) = = = =

    j) = = = = 3105

    2 31010

    2 32 52 5

    2322 52

    23100

    362

    3 366

    3 32 32 3

    3322 32

    3336

    32510

    35210

    1

    235

    2323 5

    1340

    2 355

    2352

    2325

    223

    426

    4

    324

    2 324

    18

    3210

    3

    523

    2 523

    50

    aa2

    1

    a a1

    a3

    213

    7373

    3 322

    3322

    334

    577

    5

    7

    23100

    3336

    1340

    2325

    4

    183

    50

    1

    a37 3

    334

    5

    7

    Unidad 1. Nmeros reales 7

    1UNIDAD

  • 10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

    a) b)

    c) d)

    e) f)

    g) + + h) +

    a) = = 1

    b) = =

    c) = = + 1

    d) =

    e) = =

    f ) = = = 5 + 2

    g) + + = + 2 =

    h) =

    Pgina 36

    1. Halla:

    a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1

    e) log4 64 f) log7 49 g) ln e4 h) ln e 1/4

    i ) log5 0,04 j ) log6 )1216(

    2x

    x y

    x +

    y +

    x

    y

    x y

    53

    222

    2

    2 1

    1

    2 + 1

    122

    630 + 126

    6

    18 + 12 + 126

    6

    (32 + 2

    3 )2

    18 12

    23 +

    5

    7

    23 +

    5

    12 5

    23 +

    5

    (23

    5 ) (2

    3 +

    5 )

    x + y + 2 x y

    x y(

    x +

    y) (

    x +

    y)

    (x

    y ) (

    x

    y )

    a(a 1) (a + 1)

    (a 1)

    (a 1) (a + 1)

    (a 1) (

    a + 1)

    xx x

    y + y

    x y

    y

    x y(x + y) (

    x

    y )

    x y(x + y) (

    x

    y )

    (x +

    y ) (

    x

    y )

    22 1

    2 1

    2 1

    (2 + 1) (

    2 1)

    1

    x +

    y

    1

    x

    y

    1

    2 + 1

    1

    2 1

    1

    2

    32 + 2

    3

    32 2

    3

    1

    23

    5

    x +

    y

    x

    y

    a 1

    a 1

    x + y

    x +

    y

    1

    2 + 1

    Unidad 1. Nmeros reales8

  • a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2

    2 = 2

    c) log9 1 = 0 d) log10 0,1 = log10 101 = 1

    e) log4 64 = log4 43 = 3 f) log7 49 = log7 7

    2 = 2

    g) ln e4 = 4 h) ln e1/4 =

    i) log5 0,04 = log5 52 = 2 j) log6 = log6 6

    3 = 3

    2. Halla la parte entera de:

    a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43 000

    d) log10 0,084 e) log9 60 f) ln e

    a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64

    5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,

    b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125

    4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,

    c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000

    4 < log10 43 000 < 5 8 log10 43 000 = 4,

    d) 102 = 0,01 ; 101 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1

    2 < log10 0,084 < 1 8 log10 0,084 = 1,

    e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81

    1 < log9 60 < 2 8 log9 60 = 1,

    f) ln e = 1

    3. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:

    a) log2 1 500 b) log5 200

    c) log100 200 d) log100 40

    En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin.

    a) = 10,55; 210,55 1500 b) = 3,29; 53,29 200

    c) = 1,15; 1001,15 200 d) = 0,80; 1000,80 40log 40log 100

    log 200log 100

    log 200log 5

    log 1500log 2

    8

    )1216(14

    Unidad 1. Nmeros reales 9

    1UNIDAD

  • 4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula:

    a) log5 b) log5

    a) log53

    = [2 log5 A log5 25 log5 B] =