§1: không gian vector
TRANSCRIPT
§1: Không gian vector
Hiệu trưởng
Trưởng
phòng
Đào tạo
Trưởng
phòng
hành chính
Trưởng
phòng
Tài vụ
Trưởng
phòng
nghiên cứu
Khoa học
Cơ cấu tổ chức của trường đại học
§1 : Không gian vector
Giám đốc
Trưởng
phòng
kinh doanh
Trưởng
phòng
hành chính
Trưởng
phòng
tài vụ
Trưởng
phòng
kế hoạch
Cơ cấu tổ chức của công ty
§ 1 : Không gian vector
1.1. Khái niệm.
1.1.1. Định nghĩa.
Cho tập V khác rỗng và một trường số K,
cùng hai phép toán:
" " :V V V
(u,v) u v
- Phép nhân với vô hướng
" ." : K V V
(k,v) kv
- phép cộng:
§ 1 : Không gian vector
Bộ ba (V;+;.) gọi là một không gian vecto
(KGVT) trên K hay một K-không gian vecto
nếu thỏa mãn 8 tiên đề:
§1: Không gian vector
1.1.2. Ví dụ
VD1: Tập các số thực R là một R - không gian
vecto với
- véc tơ không là số 0
- vecto đối của u là số đối (-u)
§1: Không gian vector
Tổng quát
(x ;x ;...;x )|xn
n i,i ,n
1 21
với hai phép toán:
n n
n n
" " : (x ;x ; ...; x ) ( y ; y ; ...; y )
(x y ;x y ; ...; x y )
1 2 1 2
1 1 2 2
n n
" ." : k(x ; x ; ...; x ) (kx ;kx ;...;kx )1 2 1 2
là một R-kgvt với vecto không θ=(0;0;…;0) và
vecto đối của v= (x1, x2,…, xn) là
(-v)=(-x1,- x2,…, -xn)
§1: Không gian vector
VD6. Không gian nghiệm của hệ phương trình
thuần nhất
Xét tập nghiệm của hệ AX=0:
V={X∈Rn| AX=0}
Với phép toán cộng và nhân với vô hướng của Rn,
ta có V là một không gian véctơ với vec tơ không
là nghiệm tầm thường (0;0;…;0)
§1: Không gian vectơ
-Vectơ không θ là duy nhất.
-Vectơ đối (-v) của vectơ v là duy nhất.
- Ta có v
v
0
1.1.3. Một số tính chất đơn giản của không gian
vectơ
Cho V là một K-kgvt. Khi đó ta luôn có
§2: Không gian vectơ con
2.1. Không gian con.
a. Định nghĩa.
Cho không gian vectơ (V,+,.). Một tập con W
khác rỗng của V gọi là không gian con của V nếu
(W,+,.) là một không gian vectơ.
§2: Không gian vectơ con
b. Định lý. Tập con khác rỗng W của không gian
vecto V là không gian con của V nếu W đóng kín
đối với hai phép toán của V, tức là:
W W
W W
i ) x , y : x y
ii ) x , k K : kx
Chú ý: Các điều kiện (i) và (ii) tương đương với
W Wx, y , k ,l K : kx ly
§2: Không gian vectơ con
Để chứng minh một tập con W của không gian vecto
V là không gian con của V ta cần chỉ ra:
(i)
(ii) W đóng kín đối với hai phép toán của V:
W W
W W
x, y : x y
x , k K : kx
W ( W)
Chú ý: -Mọi không gian con đều chứa vectơ không.
-Một kgvt V bất kì luôn có 2 không gian con
tầm thường là {θ} và V.
§2: Không gian vectơ con
Thật vậy, rõ ràng W W( ; ) 0 0
Mặt khác, ta có W, kx (a, ), y (b, ) 0 0
W
W
x y (a b, )
kx (ka, )
0
0
Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
§2: Không gian vectơ con
3. Tập nghiệm của hệ AX=0 là một không gian con của . n
Chứng minh.
§2: Không gian vectơ con
Bài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là
không gian vectơ con của các không gian
vectơ tương ứng không?
2
2( ) [ ] / 0M x t at bt c P t a b c
3( , , ) / 2 3 0U x y z R x y z
2( , ) / 2 1W x y R x y
| t
nN A M A A
2.2. Tổ hợp tuyến tính-Hệ sinh.
a.Định nghĩa Cho hệ vectơ S={v1, v2,…,vn} trong
không gian vectơ V. Vectơ
với gọi là một tổ hợp tuyến tính
của S.
Khi đó, ta nói v được biểu diễn tuyến tính qua
v1, v2,…,vn .
n nv c v c v ... c v
1 1 2 2
ic , i ,n 1
§2: Không gian vectơ con
VD1: Cho x ( ; ), x ( ; ), x ( ; )
1 21 2 3 1 5 3
Ta có 2.(1;-2)+(3;1)=(5;-3)
hay x x x1 2
2
Vậy x là tổ hợp tuyến tính của hệ
hay x được biểu diễn tuyến tính qua .
{x , x }1 2
x , x1 2
§2: Không gian vectơ con
§2: Không gian vectơ con
b. Định nghĩa. Cho hệ vectơ S={v1, v2,…, vm} trong không gian vectơ V. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S gọi là bao tuyến tính của hệ S, kí hiệu là span(S) hoặc
span(v1, v2,…, vm)
c. Định lý. W= span(v1, v2,…, vm) là một không gian con của không gian vectơ V. Hơn nữa, nó là không gian con nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa {v1, v2,…, vm}.
Chứng minh:
§2: Không gian vectơ con
d. Hệ sinh
tức là n
V span(x ,x ,...,x )1 2
- Khi đó, ta cũng nói là V được sinh bởi
{ }n
x ,x ,..., x1 2
- Hệ vectơ gọi là hệ sinh của
không gian V nếu
{ }n
x , x , ..., x1 2
n n
x V : x x x ... x 1 1 2 2
§2: Không gian vectơ con
Thật vậy, x , x (a , b )2
Khi đó,
x (a; b ) a( ; ) b( ; ) a.e b.e1 2
1 0 0 1
§2: Không gian vectơ con
Thật vậy, x , x (a , b )2
Khi đó,
x (a; b ) a( ; ) b( ; ) .( ; )1 0 0 1 0 2 5
§2: Không gian vectơ con
Thật vậy, x , x (a , b, c )3
Khi đó,
a( , , ) b( , , ) c( , , ) (a , b, c )1 0 0 0 1 0 0 0 1