BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THU HƢƠNG

SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ

BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN

TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận

tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các

thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trƣờng

Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm

luận văn.

Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè

đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để

tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Phạm Thu Hương

LỜI CAM ĐOAN

Dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên

ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán với đề tài “Sức căng mặt ngoài của

ngƣng tụ khí Bose – Einstein hai thành phần trong không gian nửa vô hạn”

đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ

luận văn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các

nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Phạm Thu Hương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1

2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2

5. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................. 2

6. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2

Chƣơng 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE –

EINSTEIN ......................................................................................................... 3

1.1. Hệ hạt đồng nhất ..................................................................................... 3

1.2. Thống kê Bose – Einstein ....................................................................... 4

1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein .............................. 13

1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein ........................................... 16

1.4.1. Ngƣng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium ............. 16

1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ......................................... 18

1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngƣng tụ

polartion .................................................................................................... 19

1.4.4. Chất siêu dẫn mới ........................................................................... 22

1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose -

Einstein...................................................................................................... 24

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ................................................................................ 26

Chƣơng 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN

THÀNH HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU....................................... 27

2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii .............................................................. 27

2.2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian ........................ 27

2.2.2 Phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ....... 28

2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ......... 30

2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép ..................................... 32

KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ................................................................................ 36

Chƣơng 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN

HAI THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN TRONG

GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP ....................................................................... 37

3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài ......................................................... 37

3.2. Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần trong

không gian nửa vô hạn trong gần đúng parabol kép .................................... 40

KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ................................................................................ 45

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 47

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Ngƣng tụ Bose - Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng

bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K

hay -2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng

thái lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở nên rõ rệt ở

mức vĩ mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô.

Hiện tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử

với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về

một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một

năm. Einstein sau đó mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng

minh đƣợc rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ

này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo

nên trạng thái mới của vật chất.

Năm 1995, trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein đƣợc tạo ra đầu tiên trên

thế giới (BEC - Bose - Einstein condensation) từ những nguyên tử lạnh. Điều

này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam

chung trong trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, đã mở ra nhiều triển vọng

nghiên cứu trong Vật lý. Chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng Vật lý

trong trạng thái BEC mà các dạng vật chất khác không có.

Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kĩ

thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh ngƣời ta đã tạo ra đƣợc

các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau.

Những nghiên cứu này đã và đang thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà

Vật lý trên thế giới. Từ đó phát triển đƣợc các phƣơng hƣớng nghiên cứu đầy

triển vọng. Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng nghiên cứu trạng thái BEC,

tôi lựa chọn đề tài “Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai

thành phần trong không gian nửa vô hạn” làm đề tài nghiên cứu của mình.

2

2. Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng

mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong không gian nửa

vô hạn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành

phần trong không gian nửa vô hạn trên cơ sở thống kê Bose - Einstein,

phƣơng trình Gross-Pitaevskii tổng quát.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Các phƣơng trình Gross-Pitaevskii.

- Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành

phần trong không gian nửa vô hạn.

5. Những đóng góp mới của đề tài

Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein hai

thành phần trong không gian nửa vô hạn có những đóng góp quan trọng

trong Vật lý thống kê và cơ học lƣợng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết

nói chung.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Sử dụng gần đúng parabol kép.

- Tính số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica.

- Đọc tài liệu liên quan.

- Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lƣợng tử và các

phƣơng pháp giải tích toán học.

3

Chƣơng 1

TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN

1.1. Hệ hạt đồng nhất

Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính.

Trong trƣờng hợp này toán tử Hamilton có thể viết dƣới dạng

2

1 21

ˆˆ ˆ ˆ, ,..., W,2

Ni

Nii

pH V r r r

m

(1.1)

trong đó V là toán tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ

của tất cả các hạt, W là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng

tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài…

Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng

ˆ 1,2,..., , 0,i H N tt

(1.2)

với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin

của các hạt 1, 2, 3,…, N .

Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin,…không

phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một

hệ nhƣ thế, làm thế nào có thể phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lý

học cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo

các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lƣợng của từng

hạt. Nhƣng biện pháp này không thể áp dụng đƣợc trong cơ học lƣợng tử.

Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt đƣợc bằng cách đặt

chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng

đƣờng hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho

nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa.

Tính không phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ

học lƣợng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất

4

chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho

nhau.

Dựa vào tính chất nội tại của các hạt ngƣời ta chia hệ hạt đồng nhất thành

hai nhóm cụ thể là:

+ Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermi, đó là các hạt có spin bán nguyên

(1 3

, ,...2 2

); ví dụ nhƣ electron, các nucleon,… Hệ này bị chi phối bởi nguyên

lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ đƣợc tìm thấy ở tại

cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của hàm

sóng trên các fermion.

+ Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ

nhƣ photon, - meson, K – meson… Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý

loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí.

Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng

thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ

Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ một

hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc.

1.2. Thống kê Bose – Einstein

Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở

trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.

Xuất phát từ công thức chính tắc lƣợng tử [2],

1

W exp ,!

kk k

Eg

N

(1.3)

trong đó kg là độ suy biến.

Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có

0

,k l ll

E n

(1.4)

5

ở đây, l là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ, ln là số chứa đầy tức là số hạt

có cùng năng lƣợng l .

Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ

suy biến kg trong (1.3) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác

nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị kE đó chính là số mới

vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống

kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố

chính tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.

Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng

0 10

1W , ,... exp ,

!l l k

l

n n N n gN

(1.5)

trong đó 0

,ll

N n

là thế nhiệt động lớn, là thế hóa.

Sở dĩ có thừa số 1

!Nxuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu

đƣợc do hoán vị các hạt.

Ta kí hiệu

0 1, ,... .!

kgG n n

N (1.6)

Khi đó (1.5) đƣợc viết lại nhƣ sau

00 1 0 1W , ,... exp , ,... .

l ll

n

n n G n n

(1.7)

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) nhƣ sau:

Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các ln nên ta có thể đoán

6

nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có 0n hạt nằm trên mức 0, ln hạt

nằm trên mức ,l nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này

ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng

0 1

0 1... W , ,...l ln n

n n n n

0 1

00 1... exp , ,... .

l ll

ln n

n

n G n n

(1.8)

Hai là đại lƣợng 0 1, ,...G n n xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các

trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ

fermion, tức là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các

phép hoán vị đều không đƣa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó

hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng

một trạng thái lƣợng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có

0 10 1

1, ,... .

! !...G n n

n n (1.9)

Tìm kg

Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của

tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng l . Do đó số tổng cộng các trạng

thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng !N chia

cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho 0 1! !...n n

Khi đó

0 1

!,

! !...k

Ng

n n (1.10)

thay giá trị của kg vào (1.6) ta thu đƣợc (1.9). Để tính trị trung bình của các

số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau) ta gắn

7

cho đại lƣợng trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thế hóa

học l . Và cuối phép tính ta cho l .

Tiến hành phép thay thế nhƣ trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa

nhƣ sau

0 1

0 1...W , ,... exp 1,n n

n n Z

(1.11)

với

0 1

00 1...exp , ,... ,

l l ll

n n

n

Z G n n

(1.12)

nghĩa là ln .Z (1.13)

Khi đó đạo hàm của theo l dựa vào (1.12) và (1.13)

0 1

00 1

1... .exp , ,... .

l l ll

kl l n n

nZ

n G n nZ

(1.14)

Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l thì theo (1.8) vế phải của công

thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy ln tức là ta thu đƣợc

.ll

n

(1.15)

Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ

0 ) và 0 1, ,... 1G n n do đó theo (1.11) ta có

8

0 1

0

00

...exp exp

l l ll l l

n n nl

n

Z n

0

1,

1 exp l ll

(1.16)

khi đó

0

ln 1 exp .l l

l

(1.17)

Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình

1,

exp 1l

l

n

(1.18)

ta có (1.18) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học trong

công thức (1.18) đƣợc xác định từ điều kiện

0

.ll

n N

(1.19)

Đối với khí lí tƣởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt

trung bình có năng lƣợng trong khoảng từ d bằng

,

exp 1

dNdn

(1.20)

trong đó dN là số các mức năng lƣợng trong khoảng .d

Tìm dN

Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem

nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN bằng cách áp

9

dụng công thức

2

2,

2

k VdN k dk

cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k k dk

2

2V.

2

k dkdN k

(1.21)

Theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng p và véc tơ sóng k

,p k (1.22)

khi đó (1.21) có thể đƣợc viết dƣới dạng

2

2 3.

2

p dpdN p V

(1.23)

Đối với các hạt phi tƣơng đối tính tức là hạt có vận tốc v c thì 2

2

p

m

suy ra

2 2 ,p m

2 32 ,p dp m d

do đó (1.23) có dạng

3

2 3

2.

2

m VdN d

Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt 2 1g s . Do đó, số các mức

năng lƣợng trong khoảng d là

3

2 3

2.

2

m VgdN d

(1.24)

Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng d là

10

3

2 3

2.

2 exp 1

m Vg ddn

(1.25)

Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phƣơng trình sau

3

2 30 0

2.

21kT

m VgN dn d

e

(1.26)

Phƣơng trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học . Ta xét

một số tính chất tổng quát của thế hóa học đối với khí Bose lí tƣởng. Đầu

tiên ta chứng minh rằng

0. (1.27)

Thực vậy, số hạt trung bình dn chỉ có thể là một số dƣơng, do đó, theo

(1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dƣơng (nghĩa

là khi 0, để cho exp

luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của ).

Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng, giảm dần khi nhiệt độ tăng

lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.26) ta có:

00

00

11

11

kTkT

kTkT

ddN TTeT e

NTd

de

e

11

2 2 2

0 0

2 20 0

1

1 1

1.

1

1 1

kT kT

kT kT

kT kT

kT kT

e ed d

kT

e e

Te e

d dkT

e e

(1.28)

Nhƣng do (1.26) nên 0, do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế

phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của , vì vậy 0T

. Từ các tính

chất 0 và 0T

của hàm ta thấy khi nhiệt độ giảm thì tăng (từ giá

trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ 0T nào đó

sẽ đạt giá trị cực đại bằng không max 0 .

Xác định nhiệt độ 0T

Chọn 0 và 0T T . Khi đó phƣơng trình (1.26) trở thành

0

3

2 30 0

2.

21

kT

m VgN dn d

e

Đặt 0

xkT

suy ra

3/2

0 02 302 1x

m Vg xN kT kT dx

e

3/2 3/23/2

0 0

2 3 2 30 0

.2 1 2 1x x

m Vg kT mkT Vgx xdx dx

e e

(1.29)

12

Mà ta biết

0

2.311x

xdx

e

, nên từ (1.29) và 0 0kT , ta đƣợc

1/34 2 2/3

00 2/3

2.

2.31

NT

k Vg mk

(1.30)

Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng

hạn nhƣ đối với 4He [2], ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào

cỡ 120kg/m3 ta đƣợc 0

0 2,19T K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ 0 0T có ý

nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 00 T T .

Khi giảm nhiệt độ xuống tới 0T thì thế hóa học tăng tới giá trị max 0 ,

mà 0T

nên không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ

00 T T thì 0 .

Với nhiệt độ 0T T số hạt có năng lƣợng là

3/23

2 3 2 30 0

20

2 2 11

x

kT

mkT Vgm Vg xN d dx N

ee

(1.31)

So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy

3/2

0

0T

N NT

hay

3/2

0

.N T

N T

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc

đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi 0T T thì N N chỉ ra rằng số hạt

toàn phần N chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo các mức năng

lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là

13

3/2

2 3 3/20

.2 2.31exp 1 exp 1

m Vg d N ddn

(1.32)

Các hạt còn lại N N , cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi,

chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là chúng

hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng tụ.

Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn 0T , một phần các hạt của khí bose sẽ

nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ

đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật /

1

1e . Hiện tƣợng mà ta

vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lƣợng

không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi

là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( 0T ) tất cả các hạt bose sẽ

nằm ở mức không.

1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein

Ngƣng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị

làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay -

2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái

lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ

mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô. Hiện

tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với

spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tƣởng về một

phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một năm để

giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó

mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và

Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống

kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với

14

spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm

photon cũng nhƣ các nguyên tử Heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng trạng thái

lƣợng tử nhƣ nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử

boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng

thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm

cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời

nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4].

Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC nhƣ là một cơ chế giải

thích cho tính siêu chảy của 4He cũng nhƣ tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của

một số vật liệu.

Năm 1995, khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bởi nhóm của Eric

Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu

chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí

nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này,

Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra đƣợc ngƣng tụ

Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000 nguyên tử này

trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà

Cornell, Wieman, Ketterle đƣợc nhận giải Nobel Vật lý năm 2001.

Các hạt trong Vật lý đƣợc chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và

lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là

các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê

Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài

ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion

không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử”.

Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,

giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi

cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến

15

thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí

bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn nhƣ khí điện tử tự do trong

kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý

cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lƣợng

0 , do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có 0E . Còn

đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ 00T K các hạt lần lƣợt chiếm các

trạng thái có năng lƣợng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lƣợng của cả hệ khác

không ( 0E ).

Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay

spin bằng không (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó

các electron và nucleon là chẵn, …) đƣợc gọi là các hạt boson hay khí bose.

Hình 1.1: Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trƣờng hợp này là các

nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị

trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển

động chậm. Bên trái là trƣớc khi xuất hiện ngƣng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau

khi ngƣng tụ. Bên phải là trạng thái ngƣng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngƣng tụ, rất

nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lƣợng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.

(Ảnh: Wikipedia)

Ngƣng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin

nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã

16

đƣợc quan sát trong một vài hệ Vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và vật lý

chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ của

vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn

ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ

giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý

thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng

tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình

cộng hƣởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein.

Trong một số thí nghiệm gần đây, ngƣời ta đã tiến hành nghiên cứu với khí

photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, ngƣời ta đã

mô tả lại ngƣng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết

định cả thế giam cầm và sự không ảnh hƣởng bởi khối lƣợng các photon, làm

cho hệ tƣơng đƣơng với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta

thấy dấu hiệu của ngƣng tụ Bose – Einstein, năng lƣợng photon phân bố chủ

yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ

và dạng hình học của hốc thế đƣợc dự đoán từ trƣớc.

1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein

1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium

Các chất khí lƣợng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một

hệ lí tƣởng để nghiên cứu những hiện tƣợng Vật lý cơ bản. Với việc chọn

Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý

Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì

những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để

nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực Vật lý lƣợng tử.

“Erbium tƣơng đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới

một trạng thái lƣỡng cực cực độ của các hệ lƣợng tử”, Ferlaino cho biết.

Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phƣơng pháp đơn

17

giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phƣơng tiện laser

và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một

đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngƣng tụ Bose –

Einstein từ tính. Trong một ngƣng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng

và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với Erbium

cho phép chúng tôi thu đƣợc kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tƣơng

tác phức tạp của những hệ tƣơng quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại

những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lƣợng tử với những nguyên

tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.

Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý

ở Innsbruck đã cho ngƣng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột

phá quan trọng đã đƣợc thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của

ông hồi năm 2002 khi họ thu đƣợc sự ngƣng tụ của Sesium, dẫn tới vô số

những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một ngƣời nhận tài trợ

START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của

Rudolf Grimm, là ngƣời đầu tiên hiện thực hóa một ngƣng tụ của Strontium

hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố

Erbium.

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm

cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời

nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang

Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngƣng tụ

Bose – Einstein đầu tiên. Ngƣng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên đƣợc tạo ra

ở Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chƣớc những hiệu ứng phát sinh từ

sự tƣơng tác tầm xa. Loại tƣơng tác này là cơ sở của cơ chế động lực học

phức tạp có trong tự nhiên, ví dụ nhƣ xảy ra trong các xoáy địa Vật lý, trong

các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.

18

1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý

Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bƣớc đột phá trong lĩnh vực Vật lý khi

cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang

trạng thái đốm màu.

Cũng giống nhƣ các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một

trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein”, nó

từng đƣợc tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một

chất khí, nhƣng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt

photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng.

Hình 1.2: Một “siêu phonon” đƣợc tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái

vật chất đƣợc gọi tên là “trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein” .

(Ảnh: LiveScience)

Tuy nhiên, bốn nhà Vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và

Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành

“nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”.

Các hạt trong một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein truyền thống đƣợc

làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên

không thể phân biệt đƣợc, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng

cho rằng, các photon sẽ không thể đạt đƣợc trạng thái này vì việc vừa làm

19

lạnh ánh sáng vừa ngƣng tụ nó cùng lúc dƣờng nhƣ là bất khả thi. Do photon

là các hạt không có khối lƣợng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi

trƣờng xung quanh và biến mất – điều thƣờng xảy ra khi chúng bị làm lạnh.

Theo trang LiveScience, bốn nhà Vật lý Đức cuối cùng đã tìm đƣợc cách

làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lƣợng của chúng. Để nhốt giữ

các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm

bằng những tấm gƣơng đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một

phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gƣơng, nhóm nghiên cứu đặt các

phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lƣợng nhỏ chất nhuộm màu).

Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó

đƣợc tái phát.

Các tấm gƣơng đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến –

lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử trao

đổi nhiệt lƣợng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và

cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng.

Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhƣng nó

đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngƣng tụ Bose -

Einstein.

Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin thuộc

trƣờng Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là

“một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho

biết thêm rằng, công trình của họ có thể giúp mang tới những ứng dụng trong

việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bƣớc sóng vô

cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím.

1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ

polartion

Các nhà Vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của

20

một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt đƣợc làm

lạnh đƣợc gọi là polarition. Mặc dù những khẳng định tƣơng tự đã từng

đƣợc công bố trƣớc đó, nhƣng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này

vẫn hoài nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của chùm laser đƣợc

dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngƣng tụ.

Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy

polartion từ các chùm.

Lần đầu tiên đƣợc tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử Rubidi, trạng thái

ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lƣợng lớn các

hạt boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản

giống nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển

ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển nhƣ một trạng thái kết hợp, và rất có ý

nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lƣợng tử ví dụ nhƣ siêu chảy trong một

hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thƣờng chỉ xảy ra ở

nhiệt độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối.

Tuy nhiên, các polariton – các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống

và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể

tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự

ngƣng tụ này đƣợc công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học

Tổng hợp Joseph Fourier. Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy

Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các

polariton trong một vi cầu chất bán dẫn đƣợc giữ ở nhiệt độ khá cao là 19K.

Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu

hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong

lĩnh vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhƣng

bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng đƣợc kích thích

bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp đƣợc rồi.

21

Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp

Pittsburgh và các cộng sự ở Phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tƣơng

tự mà trong đó các polartion đƣợc tạo ra bởi các tia laser sau đó di chuyển

khỏi vùng kích thích của laser. Điều này đƣợc thực hiện nhờ một ghim nhỏ

chiều ngang 50 micrô, để tạo ra một ứng suất bất đồng nhất trên vi cầu, có

nghĩa là tạo ra nhƣ một bẫy để tích lũy các polartion. Và ở hệ này, trạng thái

BEC vẫn chỉ đạt đƣợc ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K.

Hình 1.3: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007).

Mặc dù ở nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của

Kasprzak đã công bố, nhƣng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi

xuất bản công trình này, nhóm đã tạo ra hiện tƣợng này ở nhiệt độ cao tới 32

K: “Có hàng trăm nguyên nhân để hi vọng chúng tôi có thể đạt tới nhiệt độ

cao hơn, cao hơn nữa… dù không thể giả thiết có thể đạt tới nhiệt độ phòng

nhưng trên 100K không phải là không thể đạt được trong khả năng của

22

chúng tôi”.

Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc – microcavity) đƣợc tạo ra bởi vật liệu

bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tƣơng tự từng đƣợc dùng trong các khí

nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác.

Hình 1.4: Phân bố xung lƣợng của các polariton (Science 316, 1007).

Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm

Snoke là trạng thái BEC trong các xu hƣớng truyền thống hay không vì các

polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt đƣợc trạng

thái chuẩn cân bằng. “Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm

BEC cho một hệ ở trạng thái cân bằng thực sự” – Snoke nói – “Mặt khác, lại

có một số người khác muốn tổng quát hóa cùng trong một loại hệ hỗn hợp

bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì

đúng hơn”.

1.4.4. Chất siêu dẫn mới

Mới đây, các nhà khoa học thuộc Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ quốc gia

cùng phới hợp với trƣờng đại học Colorado (Mỹ) đã thành công trong việc tạo

23

ra một loại chất mới. Loại vật chất này là một dạng cô đặc của các hạt cơ bản:

electron, proton và neutron.

Đó còn là dạng vật chất thứ sáu đƣợc con ngƣời khám phá sau những

dạng: chất khí, chất rắn, chất lỏng, khí plasma và Bose – Einstein cô đặc đã

đƣợc tạo ra từ năm 1995. Deborah Jin (đại học Colorado) cho biết, loại vật

chất mà các đồng nghiệp của bà vừa tạo ra là đột phá khoa học trong việc

cung cấp một kiểu mới cho hoạt động của cơ học lƣợng tử.

Loại vật chất mới này có khả năng tạo ra một mối liên kết giữa hai lĩnh

vực hoạt động khoa học là chất siêu dẫn và Bose – Einstein, tạo cơ sở phát

triển những ứng dụng thiết thực khác. Hiện nay, theo ƣớc tính có khoảng 10%

lƣợng điện ta sản xuất ra bị tiêu hao trên đƣờng chuyển tải, làm nóng đƣờng

dây. Nếu ứng dụng vật liệu chất siêu dẫn vào làm dây dẫn điện thì quá trình

chuyển tải điện không còn bị hao hụt bởi điện trở nữa. Ngoài ra, chất siêu dẫn

còn cho phép sáng chế ra những loại xe lửa bay trên đệm từ trƣờng dựa trên

cơ sở nguồn năng lƣợng hiện đang đƣợc sử dụng. Do đƣợc giải phóng khỏi

ma sát, đoàn tàu sẽ lƣớt đi theo đƣờng từ trƣờng ở tốc độ cao hơn.

Jin cùng với hai đồng nghiệp Eric Cornell và Carl Wieman đã đoạt giải

Nobel Vật lý năm 2001 cho phát minh ra vật chất Bose – Einstein cô đặc.

Loại vật chất này đƣợc tạo ra từ tập hợp của hàng nghìn phần tử cực lạnh tạo

thành trạng thái lƣợng tử đơn, tƣơng tự một siêu nguyên tử. Còn loại vật chất

mới mà nhóm nghiên cứu của bà vừa tạo ra khác với Bose – Einstein. Nó

đƣợc tạo thành từ những khối hạt vật chất là proton, electron và neutron trong

môi trƣờng chân không đƣợc làm lạnh xuống gần tới độ không tuyệt đối. Tại

nhiệt độ đó, các phần tử vật chất ngừng hoạt động. Sau đó, từ trƣờng và tia

laser điều khiển để những nguyên tử kết đôi lại với nhau. Loại nguyên tử mới

này có sức hút mạnh hơn những nguyên tử thông thƣờng, đem đến cho thế

giới nhiều ứng dụng mới thiết thực cho cuộc sống hàng ngày của con ngƣời.

24

1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose -

Einstein

Các nhà nghiên cứu ở Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc gia Mỹ vừa

lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một chất khí gồm những nguyên tử

cực lạnh. Hiệu ứng Hall là một tƣơng tác quan trọng của từ trƣờng và dòng

điện thƣờng xảy ra với kim loại và chất bán dẫn. Các biến tấu của hiệu ứng

Hall đã đƣợc sử dụng trong kĩ thuật và trong Vật lý với các ứng dụng đa dạng

từ những hệ thống tự đánh lửa tự động cho đến những phép đo cơ bản của

điện học. Khám phá mới có thể giúp các nhà khoa học hiểu rõ hơn về cơ sở

Vật lý của các hiện tƣợng lƣợng tử ví dụ nhƣ sự siêu chảy và hiệu ứng Hall

lƣợng tử.

Đƣợc Edwin Hall phát hiện ra vào năm 1879, hiệu ứng Hall dễ hình dung

nhất ở một chất dẫn điện hình chữ nhật nhƣ một tấm đồng khi có một dòng

điện chạy dọc theo chiều dài của nó. Một từ trƣờng đặt vuông góc với dòng

điện (vuông góc với tấm đồng) làm lệch đƣờng đi của các hạt mang điện

trong dòng điện (electron chẳng hạn) bằng cách gây cảm ứng một lực theo

chiều thứ ba vuông góc với cả từ trƣờng và dòng điện. Lực này đẩy các hạt

mang điện về một phía của tấm kim loại và gây ra một điện thế, hay “hiệu

điện thế Hall”. Hiệu điện thế Hall có thể dùng để đo những tính chất tiềm ẩn

bên trong các hệ thống điện, ví dụ nhƣ nồng độ hạt mang điện và dấu điện

tích của chúng.

“Các hệ nguyên tử lạnh là một nền tảng quan trọng để nghiên cứu nền Vật

lý phức tạp vì chúng gần nhƣ không có tạp chất gây cản trở, các nguyên tử

chuyển động chậm hơn nhiều so với các electron trong chất rắn, và các hệ

cũng đơn giản hơn nhiều”, phát biểu của nhà nghiên cứu NIST Lindsay

LeBlanc. “Thủ thuật là tạo dựng những điều kiện sẽ khiến các nguyên tử hành

xử theo kiểu thích hợp”.

25

Việc đo hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose – Einstein xây dựng dựa trên

công trình NIST trƣớc đây tạo ra điện trƣờng và từ trƣờng nhân tạo. Trƣớc

tiên, nhóm nghiên cứu sử dụng laser buộc năng lƣợng của các nguyên tử với

xung lƣợng của chúng, đƣa hai trạng thái nội vào một liên hệ gọi là sự chồng

chất. Việc này làm cho các nguyên tử trung hòa điện tác dụng nhƣ thể chúng

là những hạt tích điện. Với đám mây gồm khoảng 20.000 nguyên tử tập trung

thành một quả cầu loãng, sau đó các nhà nghiên cứu cho lực bắt giữ biến thiên

tuần hoàn – đẩy các nguyên tử trong đám mây lại với nhau và rồi hút chúng ra

xa – để mô phỏng chuyển động của các hạt mang điện trong một dòng xoay

chiều. Đáp lại, các nguyên tử bắt đầu chuyển động theo kiểu giống hệt về mặt

toán học với cách các hạt tích điện chịu hiệu ứng Hall sẽ chuyển động, tức là

vuông góc với cả chiều của dòng “điện” và từ trƣờng nhân tạo.

Theo LeBlanc, việc đo hiệu ứng Hall đó mang lại một công cụ nữa dành

cho nghiên cứu cơ sở Vật lý của sự siêu chảy, một điều kiện lƣợng tử nhiệt độ

thấp trong đó các chất lỏng chảy mà không có ma sát, cũng nhƣ cái gọi là hiệu

ứng Hall lƣợng tử, trong đó tỉ số của hiệu điện thế Hall và dòng điện chạy qua

chất liệu bị lƣợng tử hóa, cho phép xác định các hằng số cơ bản.

26

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1

Trong chƣơng này, chúng tôi đã nêu đƣợc tổng quan về ngƣng tụ Bose –

Einstein: xây dựng thống kê Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đƣa

ra ngƣng tụ Bose – Einstein đối với khí bose lý tƣởng.

27

Chƣơng 2

TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN THÀNH

HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU

2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii

2.2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian

Xét hệ ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần, hàm tác dụng S có dạng

1 2 1, ,S dtL dtdrL (2.1)

với mật độ hàm Lagrangian trong phƣơng trình Gross-Pitaevskii [8], [11] là

2

1 1 2 1 21

, , ,j

jj

L it

(2.2)

trong đó hàm Hamilton có dạng

22 4 2 22

1 2 12 1 21

, ,2 2

jjj j j

jj

gg

m

(2.3)

ở đây, hạt j , ,j r t là hàm sóng ở trạng thái cơ bản; jm là khối lƣợng

hạt; 12,jjg g là các hằng số tƣơng tác dƣơng, chúng đƣợc xác định qua độ dài

tán xạ sóng s theo công thức

2 1 12 .jj jj

j j

g am m

(2.4)

Bằng cách cực tiểu hóa hàm tác dụng S theo j

0,

j

S

(2.5)

ta thu đƣợc phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian

22 221

1 11 1 12 2 11

,2

i U g gt m

(2.6)

28

22 222

2 22 2 12 1 22

,2

i U g gt m

(2.7)

với 1 2,U U là thế năng tƣơng tác ngoài.

2.2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian

Để tìm phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta

giả sử sự tự phân tách diễn ra dọc theo trục Oz và gọi ngƣng tụ bên phải mặt

phân cách là “1” ( 0z ) và ngƣng tụ bên trái mặt phân cách là “2” ( 0z )

/

,ji tj j z e

(2.8)

với j là hàm sóng ở trạng thái cơ bản, j là thế hóa.

Thay (2.8) vào (2.6) và (2.7), thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian ta

thu đƣợc

2 2

2 211 1 1 11 1 1 12 2 12

1

0,2

dU g g

m dz

(2.9)

2 2

2 222 2 2 22 2 2 12 1 22

2

0.2

dU g g

m dz

(2.10)

Phƣơng trình (2.9) và (2.10) đƣợc gọi là phƣơng trình Gross-Pitaevskii

không phụ thuộc vào thời gian.

Nếu 1 2 0U U thì (2.9) và (2.10) trở thành

2 22 21

1 1 11 1 1 12 2 121

0,2

dg g

m dz

(2.11)

2 22 22

2 2 22 2 2 12 1 222

0.2

dg g

m dz

(2.12)

Nhƣ vậy thế tƣơng tác trong lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng

29

2 4 2 212 1 2

1,2

2 2 4 4 2 211 221 1 2 2 1 2 12 1 2

2

= .2 2

jjj j j

j

gV g

g gg

(2.13)

Sử dụng chiều dài tƣơng quan

,2

jj jm

(2.14)

và mật độ khối của hạt thứ j là 0 /j j jjn g và đƣa vào các đại lƣợng

không thứ nguyên

1

2 12

1 0 11 22

,

, , ,j

jj

z z

gK

n g g

(2.15)

thì ta có

1

2 2

2 2 21

1,

1.

d d dz d

dz dz dz dz

d d

dz dz

Do đó

2 2 2 2

11 102 2 2

1 1 1

1.

2 2

d dn

m mdz dz

Thay biểu thức của 1 vào biểu thức trên ta đƣợc:

2 2 21 1

11 10 102 21

.2

d dg n n

m dz dz

(2.16)

Ta có:

30

1 1 11 10 10

2 211 1 1 11 10 10 1 1

2 212 2 1 12 20 10 2 1

,

,

.

g n n

g g n n

g g n n

(2.17)

Thay (2.16) và (2.17) vào (2.11) ta đƣợc:

23 21

1 1 2 120.

dK

dz

(2.18)

Ta có:

22 2 2 2

22 202 2

2 2 2

.2 2

d dn

m mdz dz

(2.19)

Thay biểu thức của 2 vào biểu thức trên ta đƣợc:

2 2 222 2

22 20 202 22

.2

d dg n n

m dz dz

(2.20)

Ta có

2 2 22 20 20

2 222 2 2 22 20 20 2 2

2 212 1 2 12 10 20 1 2

,

,

.

g n n

g g n n

g g n n

(2.21)

Thay (2.20) và (2.21) vào (2.12) ta đƣợc

22 3 22

2 2 1 220.

dK

dz

(2.22)

Lƣu ý rằng ở đây ta đang xét hệ trong trạng thái cân bằng pha nên áp suất

của hai thành phần phải bằng nhau, tức là

1 2,P P

trong đó 20 / 2.j jj jP g n

2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA)

Để hiểu về phép gần đúng parabol kép ta đi xét ngƣng tụ Bose – Einstein

31

một thành phần. Thế tƣơng tác trong phƣơng trình Gross-Pitaevskii theo

(2.12) có dạng

2 4 .2

GPg

V (2.22)

Bằng cách đƣa vào các đại lƣợng không thứ nguyên nhƣ ở (2.15), thế

tƣơng tác (2.22) có thể viết dƣới dạng

2 41.

2GPV (2.23)

Ở gần mặt phân cách tham số trật tự giảm dần từ 1 nên ta đặt

1 ,a (2.24)

với a là số thực và nhỏ.

Thay (2.24) vào (2.23) ta đƣợc

2 4

2 2 3 4

2 3 4

11 1

2

1 = 1 2 1 4 6 4

2

1 1 = 2 2 .

2 2

GPV a a

a a a a a a

a a a

Khai triển GPV giữ đến gần đúng bậc hai ta đƣợc

22 1 1

2 2 1 ,2 2

DPAV a (2.25)

trong đó DPAV là thế gần đúng trong parabol kép.

Ta có đồ thị của hai thế GPV và DPAV nhƣ sau

32

Hình 2.1 Đồ thị của thế GPV và thế DPAV

Đƣờng màu xanh là đồ thị của thế GPV , đƣờng màu đỏ là đồ thị của thế

DPAV . Ta thấy GPV có hai cực tiểu nhƣ hình vẽ và khi thay vào phƣơng

trình Gross-Pitaevskii thì ta không giải trực tiếp đƣợc phƣơng trình. Do đó

ta thay bằng thế DPAV là hai parabol ghép với nhau và đƣợc gọi là parabol

kép. Khi thay thế DPAV vào phƣơng trình Gross-Pitaevskii ta có thể giải

đƣợc phƣơng trình.

2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép

Với sự có mặt của tƣờng cứng tại 0z , điều kiện biên cho các thành

phần có dạng sau

1 2 2

1

0 0 0,

1.

(2.26)

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ.

Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí z , khi đó ta khai triển

tham số trật tự j quanh giá trị đƣợc chuẩn hóa theo mật độ khối 0jn tức là

1 , ,j j j j

33

với , 1,2j j khi z và , 2,1j j khi z . Cần chú ý rằng j và

j là các số thực, nhỏ và ta đã bỏ qua thừa số pha trong các khai triển này.

• Ở miền z ( là vị trí biên) ta đặt

1 21 , , , 1a b a b (2.27)

Thay vào (2.18) và (2.22) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta đƣợc hệ

phƣơng trình

2

2 0,

1 0.

a a

b K b

(2.28)

Thay (2.27) vào (2.28) và đặt 2, 1,K ta đƣợc phƣơng trình

Gross-Pitaevskii trong DPA

21 1

2 22 2

1 0,

0.

(2.29)

• Ở miền z ta đặt

1 2, 1 , , 1b a a b (2.30)

Thay vào (2.18) và (2.22) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta đƣợc hệ

phƣơng trình

2

1 0,

2 0.

b K b

a a

(2.31)

Do đó

21 1

2 22 2

0,

( 1) 0.

(2.32)

Trong miền z , nghiệm của phƣơng trình (2.29) có dạng

1 1

2 1

1 ,

.

z

z

A e

B e

(2.33)

34

Trong miền z , do bị triệt tiêu tại vị trí đặt tƣờng cứng nên nghiệm của

(2.32) bị ràng buộc bởi điều kiện biên (2.26) có dạng

1 2

2 2

2 sinh ,

2 sinh 1,

z

A z

zB e

(2.34)

với 1 2 1 2, , ,A A B B là các hằng số tích phân.

Trong DPA, các tác giả [10] đã chứng minh đƣợc rằng các tham số trật tự

và đạo hàm bậc nhất của chúng phải liên tục tại mặt phân cách

,

.

j j

j jd d

dz dz

(2.35)

Thay (2.33) và (2.34) vào (2.35) ta tìm đƣợc

1 2

2

1 22 2

csch, ,

2[ coth ]2 tanh

1

, .

eA A

e e

eB B

e e

(2.36)

Xét trong phân tách mạnh, giới hạn khi K là

2 2

1 2lim 0,K

K

và từ (2.33) và (2.36) ta có

11 , z ;

0, z ,

ze

(2.37)

2

0, ;

1 cosh sinh tanh , .2

z

z zz

(2.38)

35

Hình 2.2 và 2.3 biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự theo z tại

1, 3K và K .

Hình 2.2 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại 1, 3K . Đƣờng nét liền và

đƣờng nét đứt tƣơng ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2.

Hình 2.3 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản trong trƣờng hợp K và 1.

Đƣờng nét liền và nét đứt tƣơng ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2.

36

KẾT LUẬN CHƢƠNG 2

Trong chƣơng này, chúng tôi đã nêu đƣợc phƣơng trình Gross-Pitaevskii

phụ thuộc thời gian, phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian,

trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách yếu

trong gần đúng parabol kép và sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị

biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự theo z.

37

Chƣơng 3

SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN

HAI THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN TRONG

GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP

3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài

Trƣớc tiên ta xét khái niệm sức căng mặt ngoài ở chất lỏng.

Ta tƣởng tƣợng tách riêng đƣợc một phân tử A nào đó trong khối chất

lỏng và nghiên cứu tác dụng của tất cả các phần tử khác lên nó. Ta hãy vẽ một

hình cầu bán kính r có tâm là tâm phân tử A. Ta chỉ cần nghiên cứu tác dụng

của tất cả những phân tử có tâm nằm trong hình cầu bán kính r lên phân tử A.

Khoảng cách r gọi là bán kính tác dụng phân tử, hình cầu có bán kính r là

hình cầu tác dụng phân tử.

Phân tử A nằm trong lòng khối chất lỏng nên lực hút giữa các phân tử

trong hình cầu tác dụng của phân tử A lên phân tử A hƣớng theo mọi phía và

tính trung bình thì chúng cân bằng nhau (hình 3.1), do đó lực tƣơng tác tổng

hợp của các phân tử chất lỏng lên phân tử A bằng 0

1f 2f d r

B

f

A

Hình 3.1

Đối với một phân tử nằm gần mặt thoáng thì lại khác. Ta hãy xét phân tử

B (hình 3.1) nằm cách mặt thoáng một khoảng nhỏ hơn r . Một phần của hình

cầu bán kính r nằm ngoài khối lỏng.

Giả sử phần trên mặt thoáng của khối lỏng là thể khí, (thí dụ hơi của chất

r

rr

38

ở thể lỏng đó). Vì số các phân tử ở pha hơi nằm trong hình cầu tác dụng của

phân tử B là ít nên tác dụng của chúng lên B rất nhỏ ta không cần chú ý tới.

Ta chỉ cần chú ý tới tác dụng của các phân tử thuộc khối lỏng nằm trong hình

cầu. Rõ ràng là các lực hỗ trợ tác dụng lên B theo mọi phƣơng không thể cân

bằng nhau và phân tử B chịu tác dụng của một hợp lực f hƣớng vào trong

khối lỏng. Độ lớn của lực này càng tăng lên khi phân tử B càng đến gần mặt

giới hạn (mặt thoáng).

Tuy nhiên cần chú ý rằng tuy có lực f tác dụng lên nhƣng phân tử B

không chuyển động vào trong lòng chất lỏng mà vẫn thực hiện dao động nhiệt

chung quanh vị trí cân bằng. Đó là vì khi phân tử B dƣới tác dụng của lực f

tiến theo hƣớng đi vào trong lòng chất lỏng để lại gần các phân tử khác hơn

nữa thì sẽ xuất hiện lực đẩy chống lại lực f . Đối với các phân tử khác nằm

trong lớp mặt ngoài có chiều dày d r cũng chịu tác dụng của những lực f

hƣớng vào trong khối chất lỏng tƣơng tự nhƣ phân tử B. Hình ảnh chuyển

động nhiệt của các phân tử nằm ở lớp mặt ngoài cũng nhƣ đối với các phân tử

ở trong lòng chất lỏng nghĩa là dao động hỗn loạn chung quanh các vị trí cân

bằng một thời gian nào đó và sau đó do sự tƣơng tác với các phân tử chung

quanh thỉnh thoảng lại thay đổi vị trí cân bằng. Nói cách khác nếu bỏ qua dao

động nhiệt thì tuy chịu tác dụng của lực f nhƣng phân tử ở lớp mặt ngoài

vẫn đƣợc coi nhƣ nằm tại vị trí cân bằng.

Ta biết, hợp lực f vuông góc với mặt thoáng chất lỏng không dịch

chuyển phân tử B theo phƣơng vuông góc cũng nhƣ phƣơng nằm ngang đối

với mặt thoáng. Bây giờ, chúng ta chú ý đến các thành phần theo phƣơng nằm

ngang (tức theo phƣơng tiếp tuyến với mặt thoáng) của lực tƣơng tác của

phân tử chất lỏng lên phân tử B. Dĩ nhiên các thành phần này của lực theo hai

39

chiều ngƣợc nhau phải có độ lớn bằng nhau 1 2f f (hình 3.1) vì vậy chúng

cân bằng nhau. Khác với trƣờng hợp của lực f đã nhận xét ở trên, độ lớn

của lực 1f hoặc 2f sẽ càng giảm khi phân tử B càng đến gần mặt giới hạn

(mặt thoáng).

Nếu giả sử vì một lý do nào đó một phía của phân tử B không có chất lỏng

nữa thì dƣới tác dụng của lực thành phần theo phƣơng tiếp tuyến với mặt

thoáng ( 1f hoặc 2f ) phân tử B sẽ chuyển động ngang. Ta tƣởng tƣợng các

phân tử nằm trong lớp mặt ngoài tạo thành một đoạn cong nguyên tố l thì

tổng hợp tất cả các lực thành phần lên các phân tử này theo phƣơng tiếp tuyến

với mặt phân cách và ở về một phía xác định của đoạn cong l đƣợc gọi là

lực căng mặt ngoài kí hiệu là f . Vì l đủ nhỏ nên có thể coi nhƣ lực căng

mặt ngoài f vuông góc với l .

Vậy rõ ràng là dƣới tác dụng của lực căng mặt ngoài f , lớp mặt ngoài

luôn luôn muốn co về diện tích nhỏ nhất. Tính chất này làm cho lớp mặt ngoài

của chất lỏng gần giống nhƣ một màng căng (chẳng hạn màng cao su), vì vậy

hiện tƣợng mà ta đang xét đƣợc gọi là hiện tƣợng căng mặt ngoài.

Ta cần chú ý sự khác nhau căn bản giữa lớp mặt ngoài chất lỏng với

màng cao su. Lớp mặt ngoài khối lỏng tăng diện tích là do có những phân tử

đi từ trong lòng khối lỏng ra mặt ngoài và do đó bề dày của nó không đổi

( d r ), còn đối với màng cao su thì sự tăng diện tích là nhờ có sự giảm bề

dày của màng.

Nhƣ đã trình bày, mỗi phân tử ở lớp mặt ngoài có chiều dày r chịu một

lực hƣớng vào trong khối lỏng.

Việc di chuyển phân tử trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài đòi hỏi phải

tiêu thụ một công để thắng lực cản nói trên. Trong trƣờng hợp khối lỏng

40

không trao đổi năng lƣợng với ngoại vật thì công này đƣợc thực hiện do sự

giảm động năng của phân tử nhờ đó mà thế năng phân tử sẽ tăng lên, tƣơng tự

nhƣ trƣờng hợp công đƣợc thực hiện khi một vật chuyển động trong trọng

trƣờng từ dƣới lên trên (động năng của vật giảm, thế năng của vật tăng).

Ngƣợc lại khi phân tử đi từ lớp mặt ngoài vào trong lòng chất lỏng, nó sẽ thực

hiện một công do sự giảm thế năng của phân tử để chuyển thành động năng

của phân tử. Vậy mỗi phân tử ở lớp mặt ngoài khác với phân tử ở trong lòng

khối lỏng là có một thế năng phụ.

Tổng thế năng phụ của các phân tử ở lớp mặt ngoài đƣợc gọi là năng

lƣợng tự do. Năng lƣợng tự do chính là một phần nội năng của khối lỏng.

Khi có nhiều phân tử di chuyển từ trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài

(tức diện tích mặt ngoài khối lỏng tăng) thì năng lƣợng tự do tăng.

Sự tăng năng lƣợng này hoặc do sự giảm động năng của các phân tử hoặc

do công của ngoại vật thực hiện lên chất lỏng hoặc do cả hai nguyên nhân vừa

nêu. Ngƣợc lại khi chất lỏng giảm diện tích mặt ngoài, năng lƣợng tự do giảm

đi làm cho chất lỏng hoặc sẽ nóng lên hoặc sẽ sinh công cho ngoại vật hoặc sẽ

xảy ra đồng thời cả hai hiện tƣợng vừa kể.

Và ngƣời ta định nghĩa:

“Độ tăng năng lƣợng tự do mặt ngoài trên một đơn vị diện tích là sức căng

mặt ngoài”

A

(3.1)

Trong đó: là năng lƣợng tự do mặt ngoài, A là diện tích mặt phân

cách

3.2. Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần

trong không gian nửa vô hạn trong gần đúng parabol kép

Sau những thành công của thực nghiệm, các nghiên cứu về ngƣng tụ Bose

41

– Einstein (BEC) hai thành phần đã và đang phát triển mạnh mẽ trong hơn hai

thập niên qua [9], [12], [13]. Trong các nghiên cứu này thì các nghiên cứu về

tính chất tĩnh của BECs nhƣ sức căng mặt ngoài, chuyển pha dính ƣớt đã có

những bƣớc tiến rất quan trọng. Dựa trên lý thuyết Gross – Pitaevskii (GP)

các nhà nghiên cứu đã tính toán đƣợc sức căng mặt ngoài và chuyển pha dính

ƣớt của hệ vô hạn [6], [10] và hệ bán vô hạn [7].

Để tính sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein trong DPA,

trƣớc hết ta cần tính thế chính tắc lớn [5]

1

22

1,2

,2

j j jjj V

dr r U r r Vm

(3.2)

với

1 1

2 4 2 212 1 2

1,2

,2

jjj j j

j V V

gV dr r r g dr r r

(3.3)

trong đó 1V là thể tích, V là thế tƣơng tác.

Thế chính tắc lớn ở (3.2) dƣới dạng không thứ nguyên là

2 2 20 1 1 1 2 2

0

2 ,z zP A dz V

(3.4)

trong đó A là diện tích mặt phân cách. Chú ý ở đây ta khảo sát hệ trong trạng

thái cân bằng pha với

20

1 2 02

jj jg nP P P là áp suất cân bằng.

Căn cứ vào điều kiện biên (2.26) chúng ta có thể viết lại (3.4) dƣới dạng

sau [6], [7]

2 22

0 1 1 2

0

2 .z zP A dz V

(3.5)

Với sự có mặt của tƣờng cứng ứng với điều kiện biên (2.26) thì ta có

“hằng số chuyển động”[7]

42

4

2 22 2 2 21 2 1 2

1,2

1,

2 2

jz z j

j

K

(3.6)

từ đó (3.5) có thể viết lại

2 22

0 1 1 2

0

4 ,b z zP A dz

(3.7)

với 0 1b PV là thế chính tắc khối. Sức căng mặt ngoài là độ biến thiên của

thế chính tắc lớn trên một đơn vị diện tích. Chia (3.7) cho diện tích bề mặt

ta có

2 22

12 0 1 1 2

0

4 ,bz zP dz

A

hay

2 2 2 22 2

12 0 1 1 2 1 2

0

4 .z z z zP dz dz

(3.8)

Thay phƣơng trình (2.33) và (2.34) vào (3.8) ta tính đƣợc sức căng mặt

ngoài trong DPA

12 0 1 2 ,P M N (3.9)

ở đây

2

2 2 2

2

2 sinh 2 cosh 2

sinh cosh

2 2 2 cosh sinh

,

sinh cosh

M

43

2 2 cosh 1 sinh

.

sinh cosh

N

(3.10)

Sử dụng (3.9) chúng ta có thể khảo sát sự phụ thuộc của sức căng mặt

ngoài vào các thông số của hệ nhƣ hằng số tƣơng tác K và tỉ lệ các độ dài đặc

trƣng .

Hình 3.2 biểu diễn sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài vào giá trị 1/ K

tại 1 (đƣờng màu đỏ), 0.6 (đƣờng màu xanh lá cây), 0.2 (đƣờng

màu xanh da trời). Kết quả cho thấy sức căng mặt ngoài khác 0 tại 1K .

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài vào giá trị 1/ K .

Trong giới hạn phân tách yếu, 1K mở rộng (3.9) trong chuỗi lũy thừa

của 1K ta có

12 0 1 21 ,P Q K P (3.11)

với

2

2

2 2 1tanh sech ,

1 1P

44

2

sech 1 2 tanh sech .1

Q

(3.12)

Trong pha dính ƣớt hoàn toàn 22P và 22Q thì

12 0 22 2 2 1 .K P (3.13)

Ở trạng thái 1K , (3.9) trở thành

212 0 1 2

4 22 tanh 2 sech .

1P

(3.14)

Khi theo công thức (3.14) ta có

12 0 22 2 0.P (3.15)

Xét trong trƣờng hợp phân tách mạnh ( K lớn), mở rộng (3.9) trong chuỗi

lũy thừa của 1/ K chúng ta đƣợc

212

20 1

2 4 tanh 4 sech

1 2 2 sinh tanh sech .P

K

(3.16)

Trong pha dính ƣớt hoàn toàn và phân tách mạnh (3.16) đƣợc viết nhƣ sau

12 0 1 22 2 2 .P (3.17)

Ta thấy giá trị của sức căng mặt ngoài lớn hơn so với giá trị tƣơng ứng

của hệ vô hạn một lƣợng là 0 22 2 .P [10]

Trong pha dính ƣớt hoàn toàn, sức căng mặt ngoài (3.9) có dạng

012 1 2 12 0 22 2 2 2 2 ,

PP

(3.18)

với

12 0 1 21

2 2 ,2 1

KP

K

là sức căng mặt ngoài của hệ vô hạn [10]

45

KẾT LUẬN CHƢƠNG 3

Trong chƣơng này, chúng tôi đã nêu đƣợc biểu thức giải tích của sức căng

mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần trong giới hạn phân

tách yếu, phân tách mạnh, trong pha dính ƣớt hoàn toàn và chỉ ra đƣợc sự phụ

thuộc của sức căng mặt ngoài vào hằng số tƣơng tác và tỉ lệ độ dài đặc trƣng.

Dựa trên kết quả này, chúng tôi dự kiến sẽ khảo sát chuyển pha dính ƣớt

của hệ trong không gian nửa vô hạn.

46

KẾT LUẬN

Luận văn “Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành

phần trong không gian nửa vô hạn” hoàn thành đã thu đƣợc các kết quả sau

- Tổng quan về ngƣng tụ Bose – Einstein: xây dựng thống kê Bose –

Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đƣa ra ngƣng tụ Bose – Einstein đối với

khí bose lý tƣởng.

- Phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc

thời gian.

- Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách

yếu trong gần đúng parabol kép.

- Tính giá trị của sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein hai

thành phần trong giới hạn phân tách yếu, phân tách mạnh và trong pha dính

ƣớt hoàn toàn.

Dựa trên kết quả này, chúng tôi dự kiến sẽ khảo sát chuyển pha dính ƣớt

của hệ trong không gian nửa vô hạn.

47

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2.

[2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[3] Lê Văn (1978), Vật lý phân tử và nhiệt học, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[4] www.wikipedia.org.

Tiếng Anh

[5] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of Many – particles

Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971).

[6] B. V. Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624 (2008).

[7] B. Van Schaeybroeck and J. O. Indekeu, Phys. Rev. A 91, 013626

(2015).

[8] C. J. Pethick, H. Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute

gases, Cambridge University Press, New York.

[9] I. E. Mazets, Phys. Rev. A 65, 033618 (2002).

[10] J. O. Indekeu, C. Y. Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck, T. H. Phat

(2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate

mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615.

[11] L. Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose – Einstein condensation,

Clarendon Press. Oxford, New York.

[12] P. Ao and S. T. Chiu, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998).

[13] R. A. Barankov, Phys. Rev. A 66, 013612 (2002).

48

49

50