BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ THANH NGA

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đóng vai trò quan trọng trong toán học và khoa học ứng dụng. Trong hai thập kỷ qua, sự phát triển của lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đã thu hút sự chú ý đáng kể do nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, bất đẳng thức tuyến tính.... Năm 2006, Mustafa và Sims đã đưa ra khái niệm không gian metric suy rộng, gọi là không gian G-metric (xem [4]). Sau đó, Mustafa và các cộng sự đã đưa ra nhiều định lý điểm bất động trên không gian G-metric và các không gian suy rộng của không gian G-metric (xem [4], [5]). Từ đó đến nay, bài toán điểm bất động trên không gian G-metric đã thu hút rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Với các lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý điểm bất động trong không gian G- metric”. Chúng tôi mong muốn tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết điểm bất động cũng như mong muốn đưa ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian G-metric. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết điểm bất động. 3.2 Phạm vi nghiên cứu là các định lý điểm bất động trong

không gian G-metric.

2

4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức. 4.2. Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động trong không gian G- metric”. 4.3. Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài. 4.4. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 5. Đóng góp của đề tài Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham khảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về điểm bất động trong không gian G-metric. 6. Cấu trúc của luận văn Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương Chương 1. Giới thiệu các kiến thức cơ bản liên quan đến không gian metric. Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất về không gian G-metric. Chương 3. Trình bày và chứng minh chi tiết một số định lý điểm bất động trong không gian G-metric.

3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian metric nhằm làm tiền đề cũng như phục vụ cho việc chứng minh Chương 2 và Chương 3 của luận văn. 1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN METRIC

1.1.1. Định nghĩa. Cho X là tập hợp khác rỗng. Ánh xạ × → ¡:d X X được gọi là một metric trên X nếu nó thỏa các tiên đề

sau. (1) ≥( , ) 0d x y với mọi ∈,x y X

=( , ) 0d x y ⇔ x = y.

(2) =( , ) ( , )d x y d y x với mọi x, y ∈ X.

(3) ≤ +( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y với mọi x, y, z ∈ X.

Tập X cùng với metric d xác định trên nó được gọi là không

gian metric và được ký hiệu là ( ), .X d

1.1.2. Định nghĩa. Cho X là một tập con của ¡. Số ∈x X được gọi là một cận trên của X nếu ≤y x với mọi y ∈ X.

1.1.3. Định nghĩa. Cho X là một tập con của ¡. Số ∈x X được gọi là một cận dưới của X nếu ≤x y với mọi y ∈ X.

1.1.4. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Khi đó, cận trên bé nhất của X được gọi là supermum của tập X. Ký hiệu là sup X.

1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Khi đó, cận dưới lớn nhất của X được gọi là infimum của tập X. Ký hiệu là inf X.

1.1.6. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là một không gian metric,

∈x X và ⊂ .A X Ta đặt ( ) = ∈, inf{ ( , ) : }.d x A d x y y A

4

Khi đó, ( ),d x A được gọi là khoảng cách từ x đến A.

1.1.7. Nhận xét. Nếu ∈x A , thì ( ) = 0, .d x A

1.1.8. Mệnh đề. Giả sử ( ),X d là một không gian metric và

⊂ .A X Khi đó, với mọi ∈, ' ,x x X ta có

− ≤( , ) ( ', ) ( , ').d x A d x A d x x

1.1.9. Định nghĩa. Giả sử { }nx là một dãy trong không gian

metric X và ∈0 .x X Khi đó, dãy { }nx được gọi là hội tụ đến 0x nếu

→∞=0lim ( , ) 0.nn

d x x

Ký hiệu là →∞

= 0lim nnx x hay → 0.nx x

1.1.10. Nhận xét. (1) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. (2) Nếu → 0nx x thì mọi dãy con của { }nx cùng hội tụ về 0 .x

(3) Nếu → 0nx x và → 0ny y thì → 0 0( , ) ( , ).n nd x y d x y

1.1.11. Ví dụ. 1.1.12. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là một không gian metric,

∈0x X và > 0.r Khi đó,

(1) Tập hợp

{ }= ∈ <0 0( , ) | ( , )B x r x X d x x r được gọi là hình cầu mở tâm 0 ,x bán kính r.

(2) Tập hợp

[ ] { }= ∈ ≤0 0, | ( , )B x r x X d x x r

được gọi là hình cầu đóng tâm 0 ,x bán kính .r

Ngoài ra, ta ký hiệu =0 0 0* ( , ) ( , ) \ { }.B x r B x r x

Từ định nghĩa, ta có

5

[ ]⊂ ⊂0 0 0* ( , ) ( , ) , .B x r B x r B x r

1.1.13. Định nghĩa. Cho ( ),X d là một không gian metric. Tập

⊂A X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại > 0r sao cho ⊂0( , ) .B x r A

1.1.14. Nhận xét. (1) Mỗi hình cầu mở ( , )B x r là một lân cận của .x

(2) Nếu 1 2, ,..., nA A A là những lân cận của ,x thì =∩

1

n

ii

A cũng là

một lân cận của .x

1.1.15. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric,

∈x X và ⊂ .A X Khi đó, (1) Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu A là một lân

cận của .x (2) Điểm x được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại lân cận

V của x mà ∩ = ∅.V A (3) Điểm x được gọi là điểm biên của A nếu với mọi lân cận

V của x ta đều có ∩ ≠ ∅V A và ∩ ≠ ∅( \ ) .V X A

1.2. TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric và ⊂ .A X

Khi đó, A được gọi là tập hợp mở nếu A là lân cận của mỗi điểm thuộc .A

1.2.2. Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric và ⊂ .A X Khi đó, A được gọi là tập hợp đóng nếu \X A là tập hợp mở.

1.2.3. Định lý. Giả sử ( ),X d là không gian metric. Khi đó,

(1) Hợp của một họ tùy ý những tập hợp mở là tập hợp mở. (2) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp mở là tập hợp mở.

6

(3) Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là tập hợp đóng. (4) Hợp của một họ hữu hạn những tập hợp đóng là tập hợp

đóng.

1.2.4. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric và A là

tập con của .X Khi đó, tập mở lớn nhất nằm trong A được gọi là

phần trong của tập .A Ký hiệu là ( )int A .

1.2.5. Định lý. Giả sử ( ),X d là không gian metric, ⊂A X và

⊂ .B X Khi đó,

(1) Nếu ⊂ ,A B thì ( ) ( )⊂int int .A B

(2) ( ) ( ) = int int int .A A

(3) ( ) ( ) ( )∩ = ∩int int int .A B A B

(4) ( ) ( ) ( )∪ ⊂ ∪int int int .A B A B

1.2.6. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric và A là

tập con của .X Khi đó, tập đóng nhỏ nhất chứa A được gọi là bao

đóng của tập .A Ký hiệu là A .

1.2.7. Định lý. Giả sử ( ),X d là không gian metric, ⊂A X và

⊂ .B X Khi đó,

(1) Nếu ⊂ ,A B thì ⊂ .A B

(2) ∩ ⊂ ∩ .A B A B

(3) ∪ = ∪ .A B A B 1.2.8. Định lý. Giả sử X là không gian metric, ⊂ .F X Khi đó,

F là tập hợp đóng trong X khi và chỉ khi với mọi dãy ⊂ →{ } , n nx F x x ta đều có ∈ .x F

7

1.3. KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric. Khi đó,

dãy ⊂{ }nx X được gọi là dãy Côsi (hay dãy cơ bản) nếu

→∞=

,lim ( , ) 0.n mn m

d x x

1.3.2. Nhận xét. Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy Côsi.

1.3.3. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric. Khi đó,

X được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Côsi trong X đều hội tụ.

1.3.4. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là một không gian metric, Y

là một tập con khác rỗng của X và ρ × → ¡: Y Y là một ánh xạ

được xác định bởi

( ) ( )ρ =, ,x y d x y với mọi ∈, .x y Y

Khi đó, ρ là một metric trên Y và không gian metric ( )ρ,Y được

gọi là không gian con của ( ),X d .

1.3.5. Định lý. Giả sử ( ),X d là không gian metric và Y là

một không gian con của .X Khi đó, (1) Nếu Y là không gian con đầy đủ, thì Y là tập con đóng

trong .X (2) Giả sử X là không gian đầy đủ và Y là tập hợp đóng trong

.X Khi đó, Y là không gian con đầy đủ.

1.3.6. Định lý. Giả sử ( ),X d là không gian metric đầy đủ. Khi

đó, mọi dãy gồm các hình cầu đóng, lồng và thắt đều có chung một điểm duy nhất.

8

1.3.7. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d và ( )ρ,Y là hai không gian

metric. Ta nói rằng ánh xạ →:f X Y liên tục tại ∈0x X nếu với mọi

ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ∈x X mà δ<0( , )d x x , ta đều

có

( )ρ ε<0( ), ( ) .f x f x

1.3.8. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d và ( )ρ,Y là hai không gian

metric và →:f X Y là một ánh xạ. Khi đó, f được gọi là liên tục

trên X nếu f liên tục tại mọi ∈ .x X

1.3.9. Định lý. Giả sử →:f X Y là một ánh xạ và ∈0 .x X Khi

đó, ánh xạ f liên tục tại 0x nếu và chỉ nếu với mọi dãy ⊂{ }nx X mà → 0nx x ta đều có → 0( ) ( )nf x f x .

1.3.10. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d và ( )ρ,Y là hai không gian

metric và →:f X Y là một ánh xạ. Khi đó, f được gọi là liên tục

đều trên X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi

∈1 2, x x X mà δ<1 2( , )d x x ta đều có

( )ρ ε<1 2( ), ( ) .f x f x

1.3.11. Định lý. Giả sử X và Y là hai không gian metric và →:f X Y là một ánh xạ. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.

(1) Ánh xạ f là liên tục.

(2) −1( )f G là mở trong X với mọi tập G mở trong .Y

(3) −1( )f F là đóng trong X với mọi tập F đóng trong .Y

9

1.4. KHÔNG GIAN COMPACT 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric và

⊂ .K X Khi đó, tập con K được gọi là tập compact nếu mọi dãy

{ } ⊂nx K đều có một dãy con hội tụ tới một phần tử của .K

1.4.2. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric và

⊂ .K X Khi đó, tập K được gọi là compact tương đối nếu bao đóng

K là tập compact. 1.4.3. Mệnh đề. Mỗi tập con đóng của tập compact trong

không gian metric là tập compact.

1.4.4. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric và

⊂ .A X Khi đó, A được gọi là tập hợp bị chặn nếu nó là một tập hợp con của một hình cầu nào đó.

1.4.5. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là không gian metric. Khi đó,

X được gọi là không gian compact nếu bản thân nó là tập compact.

1.4.6. Định lý. Giả sử ( ),X d là không gian metric và ⊂A X

là tập compact. Khi đó, A là tập hợp đóng và bị chặn. 1.4.7. Định nghĩa. Giả sử X là một tập khác rỗng và →:f X X là một ánh xạ. Khi đó, điểm ∈x X được gọi là một điểm

bất động của ánh xạ f nếu =( ) .f x x 1.4.8. Định nghĩa. Giả sử ( ),X d là một không gian metric và

→:f X X là một ánh xạ. Khi đó, f được gọi là ánh xạ co nếu tồn

tại hằng số α ∈[0,1) sao cho

( ) α≤( ), ( ) ( , )d f x f y d x y với mọi ∈, .x y X

1.4.9. Nhận xét. Mọi ánh xạ co đều là ánh xạ liên tục.

10

1.4.10. Định lý. Giả sử ( ),X d là một không gian metric đầy

đủ và →:f X X là một ánh xạ co. Khi đó, f có duy nhất một điểm

bất động.

11

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN G-METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của không gian G-metric. 2.1. KHÔNG GIAN G-METRIC

2.1.1. Định nghĩa ([6]). Giả sử X là tập hợp khác rỗng và +× × → ¡:G X X X là một ánh xạ. Khi đó, G được gọi là một G-

metric trên X nếu nó thỏa các tiên đề sau. 1( )G =( , , ) 0G x y z nếu và chỉ nếu = =x y z .

2( )G <0 ( , , )G x x y với mọi ∈,x y X mà ≠x y .

3( )G ≤( , , ) ( , , )G x x y G x y z với mọi ∈, ,x y z X mà ≠z y .

4( )G =( , , ) ( { , , }),G x y z G p x y z trong đó p là các hoán vị

của , ,x y z (tính chất đối xứng).

5( )G ≤ +( , , ) ( , , ) ( , , )G x y z G x a a G a y z với mọi ∈, , ,x y z a X

(bất đẳng thức hình chữ nhật). Tập hợp X cùng với một G-metric G xác định trên nó được gọi là không gian G-metric.

2.1.2. Bổ đề ([4]). Giả sử ( ),X G là không gian G-metric. Khi

đó, với mọi ∈, , ,x y z X các khẳng định sau đây là đúng.

(1) ≤ +( , , ) ( , , ) ( , , ).G x y z G x x y G x x z

(2) ≤( , , ) 2 ( , , ).G x y y G y x x

2.1.3. Định nghĩa ([4]). Không gian G-metric ( ),X G được gọi

là không gian G-metric đối xứng nếu ( , , )G x y y = ( , , )G y x x với mọi ∈,x y X .

2.1.4. Mệnh đề ([5]). Giả sử ( ),X G là không gian G-metric.

Đặt

12

= +( , ) ( , , ) ( , , )Gd x y G x y y G y x x với mọi ∈, .x y X

Khi đó, (1) Gd là một metric trên X.

(2) Với mọi ∈,x y X , ta có ≤ ≤3

( , , ) ( , ) 3 ( , , ).2 GG x y y d x y G x y y

(3) Nếu ( ),X G là không gian G-metric đối xứng, thì

=( , ) 2 ( , , )Gd x y G x y y với mọi ∈, .x y X

Chứng minh. (1) Ta có

(1.1) Theo tiên đề (G1), (G2) của Định nghĩa 2.1.1 ta suy ra

= + ≥( , ) ( , , ) ( , , ) 0Gd x y G x y y G y x x với mọi ∈, .x y X

(1.2) Với mọi ∈, ,x y X ta có

= +

= +=

( , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , ).

G

G

d x y G x y y G y x x

G y x x G x y y

d y x

(1.3) Áp dụng tiên đề (G5) của Định nghĩa 2.1.1 cho trường

hợp = ,a z ta được

≤ +( , , ) ( , , ) ( , , ),G x y y G x z z G z y y

≤ +( , , ) ( , , ) ( , , ).G y x x G y z z G z x x

Suy ra

[ ] [ ]= +

≤ + + +

≤ +

( , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , ) ( , ).

G

G G

d x y G x y y G y x x

G x z z G z x x G z y y G y z z

d x z d z y

(2) Theo Bổ đề 2.1.2, ta có

≤ ≤( , , ) 2 ( , , ) 4 ( , , )G x y y G y x x G x y y với mọi ∈, .x y X

13

Suy ra

[ ]≤ + ≤3 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) 6 ( , , )G x y y G y x x G x y y G x y y với mọi ∈, .x y X

Do đó,

≤ ≤3 ( , , ) 2 ( , ) 6 ( , , )GG x y y d x y G x y y với mọi ∈, .x y X

Bởi vậy,

≤ ≤3

( , , ) ( , ) 3 ( , , )2 GG x y y d x y G x y y với mọi ∈, .x y X

(3) Nếu ( ),X G là không gian G-metric đối xứng, thì từ Định

nghĩa 2.1.3, ta suy ra

=( , ) 2 ( , , ).Gd x y G x y y □

2.2. TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN G-METRIC 2.2.1. Định nghĩa ([5]). Giả sử * *( , ), ( , )X G X G là các không

gian G-metric và → * *: ( , ) ( , )f X G X G là một ánh xạ. Khi đó,

(1) f được gọi là G-liên tục tại điểm ∈a X nếu với mọi

ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

[ ] ε<( ), ( ), ( )G f a f x f y với mọi ∈,x y X mà δ<( , , ) .G a x y

(2) f được gọi là G-liên tục trên X nếu f là G-liên tục tại

mọi điểm ∈ .a X

2.2.2. Định nghĩa ([5]). Giả sử ( ),X G là không gian G-metric

và { }nx là một dãy các điểm trong .X Ta nói dãy { }nx là G-hội tụ

tới ∈x X nếu

→∞=

,lim ( , , ) 0,n mn m

G x x x

nghĩa là với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại ∈¥0n sao cho

ε<( , , )n mG x x x với mọi ≥ 0, .n m n

14

Lúc đó, điểm x được gọi là điểm giới hạn của dãy { }.nx Ta viết

→ .Gnx x

2.2.3. Mệnh đề ([5]). Giả sử ( , )X G là không gian G-metric. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.

(1) { }nx là dãy G-hội tụ tới x.

(2) →( , , ) 0n nG x x x khi → ∞n .

(3) →( , , ) 0nG x x x khi → ∞n .

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Hiển nhiên.

(2) ⇒ (3). Giả sử →( , , ) 0.n nG x x x Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2

(2), ta có

≤ ≤0 ( , , ) 2 ( , , ).n n nG x x x G x x x

Suy ra

→( , , ) 0.nG x x x

(3) ⇒ (1). Giả sử →( , , ) 0.nG x x x Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2

(1), ta có

≤ ≤ +0 ( , , ) ( , , ) ( , , ).n m n mG x x x G x x x G x x x

Mặt khác, theo tiên đề (G4) của Định nghĩa 2.1.1, ta suy ra

≤ ≤

≤ +

0 ( , , )

( , , ) ( , , ).n m

n m

G x x x

G x x x G x x x

Bởi vì

→( , , ) 0nG x x x

nên ta suy ra

→∞=

,lim ( , , ) 0.n mm n

G x x x

15

Do vậy, { }nx là dãy G-hội tụ tới .x □

2.2.4. Định lý ([4]). Giả sử * *( , ), ( , )X G X G là các không gian

G-metric. Khi đó, ánh xạ → * *: ( , ) ( , )f X G X G là G-liên tục tại điểm

∈0x X nếu và chỉ nếu nó là G-liên tục theo dãy tại 0 ,x nghĩa là với

bất kỳ dãy { }nx là G-hội tụ tới 0x trong ( ),X G ta đều có { ( )}nf x là

dãy G-hội tụ tới 0( )f x trong * *( , ).X G

2.2.5. Định lý ([4]). Giả sử ( ),X G là không gian G-metric,

⊂{ },{ },{ }k m nx y z X sao cho → → →, , .G G Gk m nx x y y z z Khi

đó,

( ) ( )→, , , , .k m nG x y z G x y z

2.2.6. Định nghĩa ([7]). Giả sử ( ),X G là không gian G-

metric. Khi đó,

(1) Dãy ⊂{ }nx X được gọi là G-Côsi trong ( ),X G nếu với

mọi ε > 0, tồn tại ∈¥0n sao cho

ε<( , , )m n lG x x x với mọi ≥ 0, , ,n m l n

nghĩa là →( , , ) 0m n lG x x x khi → ∞, ,n m l .

(2) Không gian G-metric ( ),X G được gọi là không gian G-

metric đầy đủ nếu mỗi dãy G-Côsi trong ( ),X G là G-hội tụ trong

( ), .X G

2.2.7. Mệnh đề ([7]). Giả sử ( ),X G là không gian G-metric.

Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.

(1) Dãy { }nx là G-Côsi trong ( ),X G .

(2) Với mọi ε > 0 tồn tại ∈¥0n sao cho

16

ε<( , , )n m mG x x x với mọi ≥ 0, .n m n

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử dãy { }nx là G-Côsi trong ( ), .X G

Khi đó, theo Định nghĩa 2.2.6, ta suy ra với mọi ε > 0, tồn tại

∈¥0n sao cho

ε<( , , )m n lG x x x với mọi ≥ 0, , .n m l n

Mặt khác, theo tiên đề (G3), (G4) của Định nghĩa 2.1.1, ta suy ra

( ) ε≤ <, , ( , , ) .n m m m n lG x x x G x x x

Do đó, với mọi ε > 0, tồn tại ∈¥0n sao cho

ε<( , , )n m mG x x x với mọi ≥ 0, .n m n

(2) ⇒ (1). Giả sử khẳng định (2) thỏa mãn. Khi đó, với mọi

ε > 0, tồn tại ∈¥0n sao cho

( ) ε<, ,n m mG x x x với mọi ≥ 0, .m n n

Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.2 (1) ta có

≤ +( , , ) ( , , ) ( , , ).m n l m m n m m lG x x x G x x x G x x x

Hơn nữa, theo tiên đề (G4) của Định nghĩa 2.1.1, ta có

=

=

( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ).m m n n m m

m m l l m m

G x x x G x x x

G x x x G x x x

Suy ra

ε≤ + <( , , ) ( , , ) ( , , ) 2m n l n m m l m mG x x x G x x x G x x x với mọi ≥ 0, , .n m l n

Do vậy, { }nx là dãy G-Côsi trong ( ),X G . □

2.2.8. Định nghĩa ([3]). Giả sử T là một ánh xạ trong không gian metric X và A là một tập con khác rỗng của .X Ký hiệu

17

( ) ( ){ }δ = ∈sup , : , ,A d a b a b A

= L2( , ) { , , , , }nO x n x Tx T x T x với mọi ∈¥* ,n

∞ = L2( , ) { , , , }O x x Tx T x với mọi ∈ .x X

Khi đó, X được gọi là đầy đủ T-quỹ đạo nếu mọi dãy Côsi

⊂ ∞{ } ( , )nx O x đều hội tụ trong ( ), .X d

2.2.9. Định nghĩa ([3]). Giả sử ( ),X d là không gian metric.

Ánh xạ →:T X X

được gọi là tự ánh xạ nếu tồn tại hằng số ∈[0,1)k sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }≤, max , ; , ; , ; , ; ,d Tx Ty k d x y d x Tx d y Ty d x Ty d y Tx

với mọi ∈, .x y X

2.2.10. Định lý ([3]). Giả sử T là một tự ánh xạ trong không

gian metric ( ),X d và n là một số nguyên dương bất kỳ. Khi đó, với

mọi ∈x X và ∈ …, {1,2, , },i j n ta có

( )δ ≤ ( , ) ,i jd T x T x k O x n với mọi ∈¥*, .i j

2.2.11. Chú ý ([3]). Từ Định lý 2.2.10 ta thấy rằng, nếu T là

một tự ánh xạ trong không gian metric ( ), ,X d thì với mọi ∈¥* ,n

tồn tại ≤k n sao cho

( )δ = ( , ) , .kd x T x O x n

18

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG

GIAN G-METRIC Trong chương này, chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết một số định lý điểm bất động trong không gian G-metric trong các tài liệu [2], [3], [7]. 3.1. MỘT MỞ RỘNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH. Mục này dành cho việc trình bày và chứng minh chi tiết định lý điểm bất động đối với tự ánh xạ trong không gian metric đầy đủ T-quỹ đạo.

3.1.1. Định lý ([3]). Nếu T là một tự ánh xạ trong không gian

metric ( ),, X d thì ( )δ ∞ ≤ −1

, ( , )1

O x d x Txk

với mọi ∈ .x X

3.1.2. Định lý ([3]). Cho T là một tự ánh xạ trong không gian

metric đầy đủ T-quỹ đạo ( )., X d Khi đó,

(1) T có duy nhất điểm bất động ∈ ;u X

(2) →∞

=lim n

nT x u với mọi ∈ ;x X

(3) ≤−

( , ) ( , )1

nn k

d T x u d x Txk

với mọi [ )∈ 0,1 .k

3.2. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ TRÊN KHÔNG GIAN G-METRIC ĐẦY ĐỦ.

3.2.1. Định nghĩa ([7]). Giả sử Φ là tập hợp tất cả các hàm không giảm

[ ) [ )φ +∞ → +∞: 0, 0,

thỏa mãn điều kiện φ→∞

=lim ( ) 0n

nt với mọi ∈ +∞(0, ).t Khi đó, mỗi

hàm φ ∈Φ được gọi là một Φ -ánh xạ.

19

3.2.2. Bổ đề ([7]). Giả sử φ là một Φ -ánh xạ. Khi đó,

(1) φ <( )t t với mọi ∈ +∞(0, );t

(2) φ =(0) 0.

Chứng minh. (1) Giả sử ngược lại rằng khẳng định (1) không đúng.

Khi đó, tồn tại ∈ +∞(0, )t sao cho φ ≥( ) .t t Mặt khác, vì φ là một

hàm không giảm nên

[ ]φ φ φ φ

φ φ φ φ

= ≥ ≥

= ≥ ≥

2

3 2

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) .

t t t t

t t t t

Bằng quy nạp, ta suy ra φ ≥( )n t t với mọi ∈¥*.n Suy ra

φ→∞

≥ >lim ( ) 0.n

nt t

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của φ.

(2) Giả sử ngược lại rằng khẳng định (2) không đúng. Khi đó,

φ >(0) 0. Mặt khác, vì φ là một hàm không giảm nên

φ φ≥ >( ) (0) 0t với mọi ∈ +∞(0, ),t

[ ] [ ]φ φ φ φ φ φ= ≥ ≥ >2 ( ) ( ) (0) (0) 0t t với mọi ∈ +∞(0, ).t

Bằng quy nạp ta thu được

φ φ> >( ) (0) 0n t với mọi ∈ +∞(0, ).t

Suy ra

φ φ→∞

≥ >lim ( ) (0) 0n

nt với mọi ∈ +∞(0, ).t

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của φ. □

20

3.2.3. Định lý ([7]). Giả sử →:T X X là một ánh xạ trong

không gian G-metric đầy đủ ( ),X G và φ là một Φ -ánh xạ thỏa

mãn.

( ) ( )φ≤( ), ( ), ( ) ( , , )G T x T y T z G x y z với mọi ∈, , .x y z X (3.2)

Khi đó, (1) T có duy nhất một điểm bất động ∈ ;u X (2) T là G-liên tục tại u. Chứng minh. (1) Giả sử ∈0 ,x X ta đặt

( )−= 1n nx T x với mọi ∈¥.n

Khi đó, ta có thể giả thiết rằng −≠ 1n nx x với mọi ∈¥.n Bây giờ, ta

chứng minh { }nx là dãy G-Côsi trong .X Thật vậy, với mọi ∈¥,n

ta có

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )

φ

φ

φ

+ + −

−

− − −

=

≤

≤

≤

M

1 1 1

1

22 1 1

0 1 1

, , ( ), ( ), ( )

, ,

, ,

, , .

n n n n n n

n n n

n n n

n

G x x x G T x T x T x

G x x x

G x x x

G x x x

(3.3)

Giả sử ε > 0 . Khi đó, nhờ Bổ đề 3.2.2 ta suy ra

( )( )φ→+∞

=0 1 1lim , , 0n

nG x x x và ( )φ ε ε<

Bởi thế, tồn tại ∈¥0n sao cho

( )( ) ( )φ ε φ ε< −0 1 1, ,n G x x x với mọi ≥ 0 .n n (3.4)

Do đó,

( ) ( )ε φ ε+ + < −1 1, ,n n nG x x x với mọi ≥ 0 .n n (3.5)

21

Bây giờ, ta chứng minh khẳng định sau bằng quy nạp theo m.

( ) ε<, ,n m mG x x x với mọi ≥ ≥ 0.m n n (3.6)

(1.1) Giả sử = +1.m n Khi đó, từ (3.5) ta có

( ) ( ) ( )ε φ ε ε+ += < − <1 1, , , ,n m m n n nG x x x G x x x với mọi ≥ 0 .n n

Do vậy, (3.6) đúng khi = +1.m n

(1.2) Giả sử (3.6) đúng khi = > +1,m k n nghĩa là

( ) ε<, ,n k kG x x x với mọi ≥ ≥ 0.m n n

Ta phải chứng minh (3.6) đúng với = +1.m k Thật vậy, theo tiên đề

(G5) của Định nghĩa 2.1.1, tính chất của Φ và sử dụng (3.5) ta suy ra

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ε φ ε φ

φ ε φ ε ε

+ + + + + + +≤ +

< − +

< − + =

1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,

( , , )

.

n k k n n n n k k

n k k

G x x x G x x x G x x x

G x x x

e

(3.7)

Từ (3.6) ta suy ra { }nx là dãy G-Côsi trong .X Do vậy, tồn tại ∈u X

sao cho { }nx là G-hội tụ tới .u Với mọi ∈¥,n theo tiên đề (G4),

(G5) của Định nghĩa 2.1.1, sử dụng (3.2) và Bổ đề 3.2.2 ta suy ra

( ) ( )( ) ( )+ + +

≤ =

≤ +1 1 1

0 , , ( ) ( ), ,

( ), , , ,n n n

G u u T u G T u u u

G T u x x G x u u (3.8)

( ) ( )( ) ( )( )

φ+ + +

+

+

+

≤ +

< +

1 1 1

1

1

= , , , , ( )

, , ( , , )

, , ( , , ).

n n n

n n n

n n n

G u u x G x x T u

G u u x G x x u

G u u x G x x u

Mặt khác, vì { }nx là G-hội tụ tới u nên theo tiên đề (G4) của Định

nghĩa 2.1.1 và Mệnh đề 2.2.3 ta suy ra

( )+ → →1, , 0, ( , , ) 0.n n nG u u x G x x u

22

Do đó, từ (3.8) ta thu được ( ) =, , ( ) 0,G u u T u kéo theo =( ) .T u u

Như vậy, u là điểm bất động của .T

Cuối cùng, ta chứng minh rằng u là điểm bất động duy nhất

của .T Thật vậy, giả sử v cũng là điểm bất động của T với ≠v u .

Khi đó, theo (3.2) và Bổ đề 3.2.2 ta suy ra

( ) ( )

( )φ

=

≤

<

, , ( ), ( ), ( )

( , , )

( , , ).

G u u v G T u T u T v

G u u v

G u u v

(3.9)

Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Như vậy, u là điểm bất động duy nhất

của .T

(2) Giả sử dãy ⊂{ } ,ny X { }ny là G-hội tụ tới u. Khi đó, với mỗi

∈¥,n theo (3.2) ta có

( ) ( )

( ) ( )φ

≤ = ≤

≤ <

0 , , ( ) ( ), ( ), ( )

( , , ) , , .

n n

n n

G u u T y G T u T u T y

G u u y G u u y (3.10)

Mặt khác, vì { }ny là G-hội tụ tới u nên theo Mệnh đề 2.2.3 và tiên đề

(G4) của Định nghĩa 2.1.1 ta suy ra ( ) →, , 0.nG u u y Do đó, từ (3.10)

ta thu được

→+∞=lim ( , , ( )) 0.nn

G u u T y

Hơn nữa, lại theo Mệnh đề 2.2.3 và tiên đề (G4) của Định nghĩa 2.1.1 ta suy ra { ( )}nT y là dãy G-hội tụ tới = ( ).u T u Do vậy, áp dụng Định

lý 2.2.4, T là G-liên tục tại .u □

23

3.2.4. Định lý ([2]). Giả sử ( ),X G là không gian G-metric đầy

đủ và →:T X X là một ánh xạ thỏa mãn một trong các điều kiện sau với mọi ∈, .x y X

{}

≤( , , ) max ( , , ), ( , , ),

( , , ), ( , , ) ,

G Tx Ty Ty k G x y y G x Ty Ty

G y Ty Ty G y Tx Tx

hoặc

{

}≤( , , ) max ( , , ), ( , , ),

( , , ), ( , , )

G Tx Ty Ty k G x y y G x x Ty

G y y Ty G y y Tx

với mọi ∈[0,1).k Khi đó, (1) T có duy nhất điển bất động ∈ ;u X (2) T là G-liên tục tại u.

24

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

(1) Hệ thống một số kiến thức về không gian metric.

(2) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian G-

metric. Tìm hiểu được các khái niệm G-liên tục, G-hội tụ, G-Côsi

trong không gian metric suy rộng.

(3) Chứng minh chi tiết một số kết quả về định lý điểm bất

động trong không gian G-metric.

Do hạn chế về mặt năng lực và thời gian nghiên cứu luận văn

nên chúng tôi vẫn chưa chứng minh được nhiều kết quả về điểm bất

động trong không gian suy rộng G-metric.