3. không gian vector(full)
TRANSCRIPT
www.hoasen.edu.vn
uu1
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Chương 3
KHÔNG GIAN VECTOR
www.hoasen.edu.vn
uu2
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
1. Định nghĩa không gian vector. Không gian
vector con
2. Độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính
3. Hệ sinh, cơ sở, số chiều của không gian vector
4. Hạng của hệ các vector
5. Ma trận chuyển cơ sở
Nội dung
www.hoasen.edu.vn
uu3
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép
toán:
1. Phép cộng: u, v ϵ V, u + v ϵ V
2. Phép nhân vô hướng: u ϵ V, r ϵ R, ru ϵ V.
1. Định nghĩa không gian vector
(vector space)
www.hoasen.edu.vn
uu4
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: V được gọi là không gian vector trên trường số
thực R nếu đối với 2 phép toán đó thỏa mãn các tiên đề:
(a) u,v ϵ V: u + v = v + u
(b) u,v, w ϵ V: (u + v) + w = u + (v + w)
(c) 0 ϵ V: u + 0 = 0 + u = u, u ϵ V
(d) u ϵ V, tồn tại vector đối -u ϵ V: u + ( - u) = 0
(e) r ϵ R, u,v ϵ V: r(u + v) = ru + rv
(f) r, s ϵ R, u ϵ V: (r + s)u = ru + su
(g) r, s ϵ R, u ϵ V: r(su) = rs(u)
(h) 1 ϵ R, 1u = u , u ϵ V
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu5
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định lý: V là không gian vector, u ϵ V, r ϵ R:
(a) 0u = 0
(b) r0 = 0
(c) (-1)u = - u
(d) Nếu ru = 0 thì hoặc r = 0 hoặc u = 0
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu6
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ:
1. Tập các số thực R với 2 phép toán cộng và
nhân là không gian vector.
2. Tập R2 = {(x,y): x, y ϵ R} với 2 phép toán
cộng và nhân vô hướng
(x,y) + (x’,y’) = (x + x’,y + y’)
r(x,y) = (rx,ry)
là không gian vector
Chứng minh:…
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu7
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Tập các ma trận cấp m.n, kí hiệu Mmn là một
không gian vector.
Chứng minh:…
1. Định nghĩa không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu8
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: Ta gọi không gian vector con của
một không gian vector V (trên trường số thực
R) là một tập con W của V thỏa mãn các tính
chất:
(a) Nếu u ϵ W và v ϵ W thì u + v ϵ W
(b) Nếu u ϵ W và r ϵ R thì ru ϵ W
1. Không gian vector con (subspace)
www.hoasen.edu.vn
uu9
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ:
1. Chứng minh tập W = {(x,0) ϵ R2} là không
gian vector con của R2.
2. Kiểm tra xem các tập sau có phải là không
gian vector con của các không gian tương
ứng?
1. Không gian vector con (tt)
2
2( ) [ ] / 0M x t at bt c P t a b c
2( , ) / 2 1W x y R x y
3( , , ) / 2 3 0U x y z R x y z
www.hoasen.edu.vn
uu10
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: V là không gian vector trên R. Cho
các vector v1, v2, …,vn là n vector trong V.
Vector bất kỳ v trong V có dạng
v = α1v1 + α2v2 + … + αnvn
trong đó αi ϵ R, được gọi là tổ hợp tuyến tính
(linear combination) của các vector v1, v2,
…,vn
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính
www.hoasen.edu.vn
uu11
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu12
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ:
1. Cho các vector: v1 = [1,1,0], v2 = [1,2,1], v3 =
[2,3,1] và v = [m,1,1]. Tìm m để v là tổ hợp
tuyến tính của các vector v1, v2, v3.
2. Cho hệ 4 vector v1 = [1,2,3], v2 = [4,5,6], v3
= [7,8,9] và v = [a,b,c]. Tìm a, b, c để v là tổ
hợp tuyến tính của các vector v1, v2, v3.
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu13
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
Định nghĩa: V là không gian vector trên R.
Hệ các vector v1, v2, …,vn được gọi là độc lập
tuyến tính (linearly dependent) nếu:
α1v1 + α2v2 + … + αnvn = 0 (*)
chỉ thỏa mãn khi α1= α2 = … = αn = 0
Ngược lại, nếu tồn tại αi ≠ 0 sao cho (*) thỏa
mãn thì v1, v2, …,vn được gọi là phụ thuộc
tuyến tính (linearly independent).
www.hoasen.edu.vn
uu14
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ các vector v1, v2,
…,vn phụ thuộc tuyến tính là một trong các vector đó
là tổ hợp tuyến tính của các vector khác.
Hệ quả:
1. Trong các vector v1, v2, …,vn có 1 vector 0 thì các
vector này phụ thuộc tuyến tính
2. Nếu một phần của các vector v1, v2, …,vn phụ thuộc
tuyến tính thì tất cả các vector đó thuộc tuyến tính
3. Hệ bất kỳ các vector n thành phần có số vector
lớn hơn n thì phụ thuộc tuyến tính.
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu15
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu16
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Xét đẳng thức:
ax1 + bx2 + cx3 = 0
a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (0,0,0)
Hay (a + b + c,a + b,a) = (0,0,0)
Do đó, ta có a = b = c = 0
Vậy hệ các vector đã cho độc lập tuyến tính
(trong R3).
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu17
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu18
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
Hệ phụ thuộc tuyến tính
www.hoasen.edu.vn
uu19
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Phương pháp xét sự độc lập tuyến tính của hệ các
vector v1, v2, …,vn:
1. Xét đẳng thức: α1v1 + α2v2 + … + αnvn = 0
2. Đưa đẳng thức về dạng hệ phương trình tuyến tính
3. Tìm hạng của ma trận hệ số của hệ (r(A))
- Nếu r(A) = n thì hệ các vector độc lập tuyến tính
- Nếu r(A) < n thì hệ các vector phụ thuộc tuyến tính
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu20
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Lưu ý:
1. Hạng của ma trận A, kí hiệu là r(A), là cấp
lớn nhất của định thức con khác 0 của A.
2. Cách tìm:
- Tìm định thức con khác 0 có cấp lớn nhất
- Dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa
ma trận về dạng hình thang, số dòng khác 0 là
hạng của ma trận.
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu21
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến
tính của hệ vector (là các ma trận) sau
1 2
3 4
1 0 1 2;
0 0 0 0
1 2 1 2;
3 0 3 4
X X
X X
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu22
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
1 2
3 4
1 0 1 2;
0 0 0 0
1 2 1 2;
3 0 3 4
X X
X X
1 0 1 2 1 2 1 2 0 0
0 0 0 0 3 0 3 4 0 0a b c d
1 2 3 4 0aX bX cX dX
Xét đẳng thức:
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu23
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
0
2 2 2 0
3 3 0
4 0
a b c d
b c d
c d
d
Ta có r(A) = 4 = số vector hệ các vector đã
cho độc lập tuyến tính
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu24
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Bài tập: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính
của hệ vector sau
1 2 3(1, 1,0); (2,3, 1); ( 1,4,5)X x x x
1 2 3 0ax bx cx
Xét đẳng thức:
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
(1, 1,0) (2,3, 1) ( 1,4,5) (0,0,0)a b c
www.hoasen.edu.vn
uu25
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
2 0
3 4 0
5 0
a b c
a b c
b c
1 2 1
1 3 4
0 1 5
A
Biến đổi A để tìm hạng ….
2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập
tuyến tính (tt)
Làm các bài tập: 1, 2 trang 185; 13, 14, 17, 24,
25 trang 186
www.hoasen.edu.vn
uu26
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: Hệ các vector {v1, v2, …, vn} gọi là hệ sinh của không gian vector V nếu x ϵ V:
x = α1v1 + α2v2 + … + αnvn
trong đó αi là các vô hướng.
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector
www.hoasen.edu.vn
uu27
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu28
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu29
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu30
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: Hệ vector S = {e1, e2, …, en} trong
không gian vector V được gọi là một cơ sở của
V nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến tính.
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
Trong không gian Rn, cơ sở S0 = {e1, e2, …, en} với
e1 = (1,0,0,…,0)
e2 = (0,1,0,…,0)
…
en = (0,0,0,…,1)
thì S0 được gọi là cơ sở chính tắc.
www.hoasen.edu.vn
uu31
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu32
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Chứng minh một hệ vector S = {e1, e2, …, en}
là cơ sở của không gian vector V:
Dùng định nghĩa
Dùng định thức:
- Với ei = (ai1 , ai2 , …, ain ), i = 1, 2,…, n
- S là cơ sở của V
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
11 12 1
21 22 2
1 2
0
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
www.hoasen.edu.vn
uu33
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ:
1. Hệ vector nào các hệ sau là cơ sở của R3 :
a) S1 = {(1,2,3),(0,2,3),(0,0,5)}
b) S2 = {(1,1,2),(1,2,5),(0,1,3)}
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu34
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
a) Ta có:
b)
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
1 2 3
0 2 3 10 0
0 0 5
S1 là cơ sở của R3
1 1 2
1 2 5 0
0 1 3
S2 không là cơ sở của R3
www.hoasen.edu.vn
uu35
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ:
Trong cho các hệ vector:
S1 = {e1, e2, e3}; S2 = {e1’, e2’, e3’}
với e1 =(1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,2,3),
e1’ = (2,1,-1), e2’ = (3,2,5), e1’ = (1,-1,m).
a) Chứng minh S1 là cơ sở của R3
b) Tìm m để S2 là cơ sở của R3
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu36
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
a)
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
1 1 1
1 1 2 2 0
1 2 3
S1 là cơ sở của R3
b) S2 là cơ sở của R3 khi và chỉ khi
2 1 1
3 2 5 0 20 0 20
1 1
m m
m
www.hoasen.edu.vn
uu37
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
Định lý: Cho V là không gian vector n chiều.
Khi đó:
Hệ sinh có n vector là cơ sở.
Hệ có n vector và độc lập tuyến tính là cơ sở.
www.hoasen.edu.vn
uu38
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
Định nghĩa: số chiều của không gian vector V,
kí hiệu dimV, là số vector có trong 1 cơ sở của
V.
www.hoasen.edu.vn
uu39
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ: Chứng minh rằng hệ vector S = {e1, e2,
e3} với e1 = (1,1,1,), e2 = (1,1,0), e3 = (1,0,1)
là cơ sở của R3.
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu40
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: V là không gian vector n chiều và S
= {e1, e2, …, en} là một cơ sở của V, x là một
vector trong V. Nếu
x = x1v1 + x2v2 + … + xnvn
với αn là những vô hướng thì
(x1, x2, …, xn)
được gọi là tọa độ của x trong cơ sở S.
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu41
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Kí hiệu:
[x]S = (x1, x2, …, xn) hay
1
2
S
n
x
xx
x
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu42
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ta có: 1 2(5,3) 5(1,0) 3(0,1) 5 3x e e
Vậy: [ ] (5,3)Ex
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu43
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ta có: 1 2(5,3) 3(1,1) 2(1,0) 3 2x f f
Vậy: [ ] (3,2)Fx
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu44
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ta có:
1 2 3
(9,5,1) 1(1,1,1) 4(1,1,0) 4(1,0,0)
1 4 4
x
f f f
Vậy: [ ] (1,4,4)Fx
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu45
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
1 2 3(1,2,3), ( 1,1,0), (2,1,1), (4,6, 3)f f f x
CMR: hệ vector S = {f1, f2, f3} là cơ sở của R3.
Tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở S.
Trong KGVT R3 cho các vector
Ví dụ:
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu46
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ta có
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
1 2 3
1 1 0 6 0
2 1 1
F là cơ sở của R3
www.hoasen.edu.vn
uu47
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
Giả sử x có tọa độ là (x1, x2, x3). Khi đó:
(4,6,-3) = x1(1,2,3) + x2(-1,1,0) + x3(2,1,1)
Giải hệ này ta sẽ có nghiệm
Vậy [x]F =(-29/3,-119/3,13)
1 2 3
1 2 3
1 3
2 4
2 6
3 2 3
x x x
x x x
x x
1
2
3
29 / 3
119 / 3
13
x
x
x
www.hoasen.edu.vn
uu48
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ: Trong R4 cho các vector:
v1 = (1,2,-1,2), v2 = (2,3,0,-1), v3 = (1,2,1,3), v1 =
(1,3,-1,0)
a. Chứng minh S = {v1, v2, v3, v4} là cơ sở của
R4.
b. Tìm tọa độ của x = (7,14,-1,2) theo cơ sở S.
3. Hệ sinh, cơ sở và số chiều của
không gian vector (tt)
Làm các bài tập: 2, 3, 10, 12,16 trang 197; 27,
28, 29 trang 198
www.hoasen.edu.vn
uu49
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: Trong không gian vector cho các
vector: v1, v2, …, vn. Tập hợp con bất kỳ của
hệ các vector đã cho được gọi là cơ sở của hệ
này nếu:
- Các vector trong tập con đó độc lập tuyến tính
- Vector bất kỳ của hệ là tổ hợp tuyến tính của
các vector thuộc tập con đó
4. Hạng của hệ vector
www.hoasen.edu.vn
uu50
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định lý: Hạng (rank) của hệ các vecto bằng
hạng của ma trận được tạo bởi các vector đó.
4. Hạng của hệ vector (tt)
Ví dụ: Tìm hạng của hệ các vector:
S = {v1 = (2,3,0), v2 = (0,0,-3), v3 = (4,6,1)}
Ta lập ma trận A có các dòng lần lượt là các vector:
2 3 0
0 0 3
4 6 1
A
Ta có: r(A) = 2 rank(S) = 2
www.hoasen.edu.vn
uu51
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định nghĩa: Cho S = {v1, v2, …, vn} và S’ =
{v1’, v2’, …, vn’} là 2 cơ sở của không gian
vector V (qui ước: S là cơ sở cũ, S’ là cơ sở
mới). Giả sử
v1’ = a11v1 + a12v2 + …+ a1nvn
v2’ = a21v1 + a22v2 + …+ a2nvn
…
vn’ = an1v1 + an2v2 + …+ annvn
5. Ma trận chuyển cơ sở
www.hoasen.edu.vn
uu52
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Khi đó ma trận vuông cấp n:
Được gọi là ma trận chuyển cơ sở (transition
marix) từ S sang S’, kí hiệu là P: S S’.
5. Ma trận chuyển cơ sở (tt)
11 12 1
21 22 2
1 2
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
P
www.hoasen.edu.vn
uu53
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Định lý:
- P là ma trận khả nghịch
- Với v là vector bất kỳ trong V: [v]S = P.[v]S’ và
[v]S’ = P-1.[v]S
5. Ma trận chuyển cơ sở (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu54
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ: Trong R3 cho các cơ sở:
S = {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,3)}
S’ = {(2,1,-1),(3,2,5),(1,-1,1)}
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang S’.
5. Ma trận chuyển cơ sở (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu55
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ta lập ma trận sau:
5. Ma trận chuyển cơ sở (tt)
1 1 1 2 3 1
1 1 2 1 2 1
1 2 3 1 5 1
Dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận trên về
dạng1 0 0 4 0 1
0 1 0 1 4 4
0 0 1 1 1 2
www.hoasen.edu.vn
uu56
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Khi đó
'
4 0 1
1 4 4
1 1 2
S SP
5. Ma trận chuyển cơ sở (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu57
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Ví dụ: Trong R3 cho các vector: x = (10,13,-5) và
v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,1), v3 = (0,0,1)
u1 = (2,3,-1), u2 = (2,1,2), u3 = (4,3,1)
a. Kiểm tra xem B = (v1, v2 ,v3) và C = (u1, u2, u3 )
có phải là cơ sở của R3
b. Tìm tọa độ của x trong B ([x]B)
c. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ C sang B. Từ đó
hãy tìm tọa độ của x trong C ([x]C).
5. Ma trận chuyển cơ sở (tt)
www.hoasen.edu.vn
uu58
Fac
ult
y o
f S
cien
ce a
nd
Tec
hn
olo
gy
Linear Algebra
Hướng dẫn:
a. Tính định thức B, C là những cơ sở
b. Giải hệ phương trình x = av + bv + cv để tìm
tọa độ của x trong B.
c. Lập ma trận (C|B) rồi biến đổi về dạng (I|P)
để tìm ma trận chuyển cơ sở P. Khi đó [x]C =
P[x]B.
5. Ma trận chuyển cơ sở (tt)
Làm các bài tập: 1, 5, 6, 11 trang 225; 17, 21,
23, 27 trang 226