Vjezbe iz matematike 1B.IvankovicN.Kapetanovic8.rujna2005.Uvod Vjezbe su tijekom dugog niza odrzavanja nadopunjavane. OsnovuvjezbinapravilajeNatasaKapetanovic,ing. matematike,apodebljaoihjemr. BozidarIvankovic.Citanje Vjezbi iz matematike 1 zahtijeva paralelno koristenje udzbenikaMatematika 1 kojeg je napisala prof.dr. Sanja Marusic i redovito pohadanjepredavanjaivjezbikolegijaMatematike1.Velikbrojzadatakarijesenjepostupno, asvakizadataktrebaobiimatirjesenje. Slozeniji zadaci imaju i uputu. Skica nema, iako se radi o geometri-jskimzadacimai one suostavljenecitaocukoji ihmoze napraviti premauputamazarjesavanjezadataka.Koristenjezbirkesvodi senasamostalnorjesavanjezadataka. Idealnovrijemezarjesavanjezadatakajenavjezbamaineposrednonakondolaskasvjezbi.Nemojteizbjegavati zadatkekoji secinelaganim. Nemalaksihi tezihzadataka, vec se dijele na zadatke koje ste rijesili na one koje jos niste rijesili.Ako imate poteskoca u rjesavanju novih zadataka, naucite napamet rjesavatizadatke koji su vam pokazani na vjezbama, predavanjima ili vam ih je pokazalanekastrucnaosoba.Akosteprimorani uzimati instrukcije, nastojtenainstrukcijeodlaziti spripremljenimpitanjimaiodmahposlijeinstrukcijarijesitenovezadatkeilinaucitenapametzadatkekojevamjepokazaoinstruktor.Trudili smo se napisati zbirku bez greske. Ukoliko vam se cini dajenegdjegreskanapravljena,bitcemovamzahvalniakocetenamtojaviti. Iduceizdanjeprosiritcemosjosvisezadatakazasamostalnorjesavanje.1Sadrzaj1 Brojevibrojevnogpravca 51.1 Prirodnibrojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Cijelibrojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Racionalnibrojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Realnibrojevi. Broje. Broj. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Kompleksnibrojevi 162.1 Standardnizapiskompleksnogbroja . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Trigonometrijskioblikkompleksnogbroja . . . . . . . . . . . 232.4 Operacijeskompleksnimbrojevimautrigonometrijskomobliku 272.4.1 Potenciranjekompleksnogbrojautrigonometrijskomobliku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.2 Korjenovanjeiliradiciranje . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Problemskizadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Determinante 403.1 Determinantedrugogreda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Determinantetrecegreda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Zadacizasamostalnorjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Determinante cetvrtogreda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Raznizadaciizracunavanjadeterminanti . . . . . . . . . . . . 474 Vektoriuravniniiprostoru 504.1 Usmjerenaduzina. Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Zbrajanjevektoraimnozenjevektoraskalarom . . . . . . . . . 514.3 Linearnakombinacijailinearnanezavisnostvektora . . . . . . 524.4 Koordinatevektoraukoordinatnomsustavuravnine . . . . . 544.5 Duljinavektoraukoordinatnojravnini . . . . . . . . . . . . . 574.6 Pravokutnekoordinateuprostoru. . . . . . . . . . . . . . . . 574.7 Vektoriupravokutnomkoordinatnomsustavuprostora . . . . 584.8 Skalarniprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.9 Zadacizasamostalnorjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.10 Vektorskiprodukt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.11 Mjesovitiprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.12 Ispitnizadacisvektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.13 Zadacizavjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.14 Zadaciiskljucivozasamostalnorjesavanje . . . . . . . . . . . 865 Funkcijejednerealnevarijable 895.1 Ponavljanjeelementarnihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2 Domena,slika,parnostfunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Uvodnizadaciofunkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.4 Grafovielementarnihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5 Zadacikonstrukcijegrafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.6 Operacijesfunkcijama. Kompozicijafunkcija. . . . . . . . . . 1135.7 Dekompozicijafunkcije. Inverzfunkcije . . . . . . . . . . . . . 1156 Limesi 1206.1 Limesniza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 Limesfunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.3 Zadacizasamostalnoracunanjegranicnihvrijednosti . . . . . 1346.4 Mjesovitizadaciofunkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5 Neprekidnostfunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.6 Hiperbolnefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427 Derivacijafunkcije 1467.1 Tehnikaderiviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.1.1 Deriviranjeopcepotencije . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.1.2 Deriviranjeformulemnozenekonstantom. . . . . . . . 1537.1.3 Derivacijazbrojairazlike . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.1.4 Derivacijaumnoskafunkcija . . . . . . . . . . . . . . . 1547.1.5 Derivacijakvocijentafunkcija . . . . . . . . . . . . . . 1557.2 Derivacijainverznefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.3 Derivacijakompozicijefunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.4 Ponavljanjetehnikederiviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.5 Tangentainormalanagraffunkcije . . . . . . . . . . . . . . . 1677.6 Derivacijaimplicitnozadanefunkcije . . . . . . . . . . . . . . 1697.7 Diferencijalfunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.8 Logaritamskoderiviranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.9 Derivacijafunkcijezadaneparametarski . . . . . . . . . . . . . 1797.10 Derivacijevisegreda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.11 Primjenaderivacijaugeometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . 18338 Primjenederivacija 1978.1 Ekstremi. Intervalimonotonosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.2 Tockeineksije. Intervalikonveksnostiikonkavnosti. . . . . . 2108.3 LHospitalovopravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.4 Asimptotegrafafunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.5 Kvalitativnigraffunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339 Integraliiprimjene 2379.1 Denicijaodredjenogintegrala. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.2 Neposrednointegriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.3 Metodasupstitucije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2479.4 Integralracionalnefunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.5 Zamjenavarijabliuodredenomintegralu . . . . . . . . . . . . 2609.6 Integraltrigonometrijskihfunkcija. . . . . . . . . . . . . . . . 2639.7 Integraliiracionalnihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.7.1 Trigonometrijskasupstitucija . . . . . . . . . . . . . . 2709.8 Parcijalnaintegracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2729.9 Primjeneneodredenogintegrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.10 Primjeneodredjenogintegrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2809.10.1 Primjeneodredjenogintegralaugeometriji . . . . . . . 2809.10.2 Volumenrotacionogtijela . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.10.3 Duljinalukakrivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28610Ogledniprimjerciispitnihzadataka 28911Algebarskidodatak 29611.1 Potenciranjebinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29611.2 Potenciranje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.3 Trigonometrijskiidentiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29841 Brojevibrojevnogpravca1.1 PrirodnibrojeviPeanoviaksiomi zadajuskupprirodnihbrojeva:1 ^n ^ n + 1 ^Racunske operacije koje se mogu denirati u ^su zbrajanje i i mnozenje.Zbrajanjeprirodnihbrojevaje racunska operacija koja ima svojstvo aso-cijativnostia + (b + c) = (a + b) + cikomutativnostia + b = b + a,ali nemaneutralnogelementa, jernepostoji prirodanbroj esasvo-jstvoma + e = e + a = a.Kazesedaskup ^imastrukturupolugrupeZadatak1.1Zbrojiteprvih100prirodnihbrojeva.Rjesenje.1 + 2 + 3 +. . . + 98 + 99 + 100 =(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +. . . =101 +. . . 101 = 5050.U rjesavanju zadatka koristeno je svojstvo komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja prirod-nih brojeva.Mnozenjeprirodnihbrojevauz asocijativnost i komutativnost imaje-dinicnielement. Tojebroj1,jervrijedia1 = 1a = a5Nemoguce je za prirodni broj a ,= 1 naci prirodni broj c tako da vrijedi:ac = ca = 1,pa se kaze da mnozenje prirodnih brojeva nema svojstvo inverza. Takoprirodnibrojeviobziromnamnozenjeimajustrukturupolugrupesje-dinicom.Oduzimanjeidijeljenjenemogusedeniratiuskupu ^.Matematickaindukcija je princip kojim se dokazuju tvrdnje koje vrijedezaprirodnebrojeve.Zadatak1.2Dokazitedazaprirodnebrojevevrijedi1 + 2 + 3 + . . . + n =n(n + 1)2.Rjesenje:Bazamatematickeindukcije dokazuje da tvrdnja vrijedi zan = 1:1 =122.Ako je baza dokazana, ostaje za dokazati korakmatematickeindukcije:iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi zan1 + 2 + 3 +. . . +n =n(n + 1)2,dokazuje se da tvrdnja vrijedi zan + 1:1 + 2 + 3 +. . . +n +n + 1 =(n + 1)(n + 2)2.Koristenje pretpostavke indukcije sastoji se u uvrstavanju koje daje:n(n + 1)2+n + 1 =(n + 1)(n + 2)2,a svodenje na zajednicki nazivnik dokazuje tvrdnju.Dokaziteprincipommatematickeindukcijeistinitost slijedecih tvrdnjizasvakiprirodnibrojn:1. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n 1) = n2.62.12+ 32+ 52+ . . . + (2n 1)2=n(4n21)3.3.12 + 23 + . . . + (n 1)n =(n 1)n(n + 1)3.4.113+135+ . . . +1(2n 1)(2n + 1)=n2n + 1.5.13+ 23+ . . . + n3=n2(n + 1)24.6.15+ 25+ . . . n5=n2(n + 1)2(2n2+ 2n 1)121.2 CijelibrojeviSkup cijelih brojeva, u oznaci Zprirodno je prosirenje skupa prirodnihbrojeva. Skup ^moguce je prosiriti nulom kao neutralnim elementomzazbrajanje:0 + a = a + 0 = a, a Z.Svakomjeprirodnombrojunmogucepridruzitisuprotanbrojuoz-naci n,takodavrijedi:n + (n) = n + n = 0.Skup cijelih brojeva, u oznaci Zprirodno je prosirenje skupa prirodnihbrojeva:Z= ^ 0 1, 2, . . . n, . . ..Zbrajanje u skupu Zdenira se kao prirodno prosirenje zbrajanja prirod-nihbrojeva. U Zzbrajanjeimaneutralni elementi svaki cijeli brojimainverzobziromnazbrajanje:a Z a Z, a + (a) = a + a = 0,jervrijedi (a) = a7Oduzimanjeu skupu Zkao racunska operacija prelazi u racunsku operacijuzbrajanjasuprotnimbrojem.Mnozenjecijelih brojeva prirodno je prosirenje mnozenja prirodnih brojeva.Apsolutnavrijednost cijelogbrojajefunkcija[ [ : Z ^ 0zadanaformulama:[a[ =_a, a 0a a < 01.3 RacionalnibrojeviSkupracionalnihbrojeva,uoznaci QjeskupQ =_mn, m Z, n ^brojevakojisedajuzapisatikaorazlomci.Konacnidecimalnibrojevi mogusezapisatikaorazlomci.Zadatak1.3Napisiteuoblikurazlomka3.625Rjesenje:3.625 =36251000=14540=298= 358Beskonacnoperiodickidecimalnibrojevi mogu se napisati u obliku ra-zlomaka.Zadatak1.4Napisiteuoblikurazlomka0.66 . . . = 0.6.Rjesenje:100.66 . . . 0.66 . . . = 90.66 . . .6.66 . . . 0.66 . . . = 90.66 . . .6 = 90.66 . . . [ : 969= 0.66 . . .8Zadatak1.5Napisiteslijedeceperiodickobeskonacnedecimalnebro-jeveuoblikurazlomaka:a) 0.55 . . . b) 0.18c) 3.15 d) 23.34Rjesenja: a) 5/9; b) 2/11 c) 3533d) 236790.Beskonacnodecimalnibrojevi kojinisuperiodicki,nemogusenapisatiuoblikurazlomka.Postotakjeracionalanbroj.Zadatak1.6Prepisiteipopunitetablicu:postotak 12%decimalni zapis 0.25 2.3 razlomak 1Rjesenje: prvi red: 25%, 100%, 230% i 100%; drugi red: 0.12, 1; treci red:65,14, 2310i se ne moze napisati kao razlomakZadatak1.7Akojecijenakruhauducanu6, 00kn,aPDVje22%,kolikajeporeznaosnovica,akolikojekunaiznosPDV-a?Rj. Zadatak se rjesava jednadzbomx + 22% x = 6,gdjejexiznosporezneosnoviceukunama. Poreznaosnovicaje4.92knaPDV1.08kn.Zadatak1.8Kolika bi bila porezna osnovica, a koliki PDV u kunama,akosestopaPDV-azakruhizprethodnogzadatkapromijenina20%?Rj. p.o. 5kn, PDV 1kn.9Zadatak1.9Akojepivaupivovari 3, 00kuna, augostionici 10, 00kuna, izracunajtemarzunajednoj boci i kunski iznosPDV-akojegjegostionicarduzanplatiti?Rj. Kadgostionicarplatipivoupivovari,platiPDV0.54kn. Tajiznosodbijaseod iznosa PDV-a kod pive u gostionici, koji iznosi 1.80kn. Konacno, za pivo i PDVgostionicar izdvoji 3 + 1.80 0.54 = 4.26 kuna. Marza je 5.74kn, a PDV 1.26kn ivrijedi da je 1.26kn = 22% 5.74kn. Posljednja jednakost opravdava naziv PDV.1.4 Realnibrojevi. Broje. Broj.Zadatak1.10Samostalnorijesiteslijedecezadatke:1. Napisite223uoblikudecimalnogbroja.2. Napisitedecimalnebrojeve:a) 0.3333 . . .b) 0.353535 . . .c) 4.532323232 . . .uoblikurazlomaka.3. Konstruirajtedecimalni broj koji senebi mogaozapisati uoblikura-zlomka. Kojaseznamenkanalazi na1000. mjestuutomdecimalnombroju?Rj.1. 2.66. . .2. (a) 1/3(b) 4/11(c) 4175733003. jedanodmogucihje0.12345678910111213141516171819 . . .. Na1000. mjestunemoze doci znamenka iz dopisanog cetveroznamenkastog broja, jer je 9 + 290 + 3 900 > 1000. Znaci, na 1000. mjestu je znamenka nekog dopisanog troznamenkastogbroja. Treba otkriti kojeg.Nekajexposljednji dopisani troznamenkasti brojcijesuznamenkeispred1000.decimalnogmjesta. Ocitoje9 + 290 + 3x 1000,paseizrezultatax 270zakljucujedajedopisano270troznamenkastihbrojevakojisuzajednosajednoidvoznamenkastim brojevima popunili 9 + 290 + 3270 = 999 decimalnih mjesta.Prvi troznamenkasti broj je100, drugi je101, a270. je100 + 270 1=369.Znamenka dopisana na 1000. mjestu je 3.10Broj eZadatak1.11Netkodobijemilijunkunaiuloziihubankunagodinudanauz12%godisnjihkamata. Kojomsvotomraspolazenakongodinedana?Rj. Ako se oznaciC0 = 1, 000.000kn glavnicap = 12% godisnji postotakC1 =? svota nakon godine danaC1 = C0 +C0 p = C0 (1 +p);C0 = 1, 120.000knZadatak1.12Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecnop12= 1% kamata pripisuje glavnici.Kojomcesvotomraspolagatinakrajugodine?Rj. Neka jeC0 = 1, 000.000kn - pocetna svotap = 12% - godisnja kamatna stopaKoncem prvog mjeseca svota na racunu biti ceC1 = C0 +p12C0 = C0 (1 +p12).Krajem drugog mjeseca:C2 = C1 +p12C1 = C1 (1 +p12) = C0 (1 +p12)(1 +p12) = C0(1 +p12)2.Induktivno, krajem treceg mjeseca:C3 = C0 (1 +p12)3,a krajem godine, nakon 12 ukamacivanja:C12 = C0 (1 +p12)12.Uvrstavanjem podatakaC12 = 1, 000.000(1 + 0.1212)12= 1, 126.825, 03kn.Uociti dajepovecanjeuodnosunaprosli zadatakiznosomod6.825, 03knvrlosolidnasvota.11Zadatak1.13Kolika cebitisvotaodmilijunkunanakrajugodine,akop360ukamacujemosvakidan,uzp = 12%godisnjegkamatnjaka?Rj. Analognim razmatranjem dobiva se formulaC360 = C0 (1 +p360)360,gdje je C0 = 1, 000.000kn, p = 12%, a broj dana u godini se u nasim bankama obracunavakao 360, po ugledu na Njemacke banke. Konacna svota jec360= 1, 127.474, 31kn Uocitida povecanje i nije drasticno u odnosu na prethodni zadatakPromatranjemtri prethodnazadatkanaslucuje se postojanje granicnevrijednostizaukamacivanjakojabisevrsilasvakogtrenutka.Zadatak1.14Nekajef: ^ 1nizzadanformulom:f(n) = (1 +1n)n.Odreditef(100),f(10000),f(1000000),f(108)zaokruzenona5decimala.Rjesenje:f(1) =2, f(10) =2.593742, f(100) =2.704813, f(1000) =2.716923, f(10000) =2.718145,f(1000000) = 2.718280,f(108) = 2.718281Napomena1.1Zadatkom 1.14 pokazano je da za n > 106vrijednost funkcijezaokruzenana5decimalaiznosi2.71828.Bazaprirodneeksponencijalneprogresijee jerealni broj cijavrijed-nostzaokruzenana5decimalaglasie = 2.71828Zapis tvrdnje da se vrijednost broja e moze po volji tocno dobiti racunanjemformulef(n) = (1 +1n)nodabiromdovoljnovelikihbrojevanjeizraz:limn(1 +1n) = e,12gdjeseoznakalimncitakaogranicnavrijednostizrazaukojiseumjestonuvrstavaju(beskonacno)velikibrojevi. Dobrojezapisatiidrugi,izvedenilimes:limn(1 +pn) =__limn(1 +1np)np__p= ep.Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godine dana neprekidnogilikontinuiranog ukamacivanjagodisnjimkamatnjakompbiti:limnC0 (1 +pn) = C0 ep.Broj Broj je omjer opsega kruga i promjera. Broj ne moze se napisati u oblikurazlomka.Postojiformulazapriblizniracunbroja:= 4(1 13+15 17 . . . +(1)n+12n 1).Uzimanjemvecegbrojapribrojnikapostizesevecatocnostza.13Problemski zadaci1. Ubeskonacnoneperiodickomdecimalnombroju0.112123123412345 . . .odrediteznamenkuna1000. decimalnommjestu.2. Izracunajteporeznuosnovicuiporezukunamaakojekonacnacijenaproizvoda133kune,aprimjenjujeseporeznaosnovicaod18%.3. Odrediteporeznuosnovicui PDVukunamazaprodajnucijenuod15kni stopuPDV-a22%. Akojenabavnacijenaproizvodabila4kn,izracunajtemarzuukunamaikonacniiznosplacenogPDV-a4. Cijenaautomobilausalonuje14000, dokjecijenautvornici 8000.Porez na dodanu vrijednost neka je 25%. Kolika je cista dobit u eurima,a koliki je iznos poreza koji je trgovac automobilima platio?Provjeritedali dodanavrijednost(cistadobit)i vrijednostporezazaistaoprav-davajunazivporezanadodanuvrijednost.5. KamatanaminuskodAmericanExpressaje22%godisnje. Racunkojitrebaplatitiimaiznos4000kn.(a) Na koju svotu racun naraste nakon godinu dana neprekidnog ukamacivanja?(b) Koliki jeiznoskamatakojebi platili dasmodvamjesecaduzni4000kuna,aukamacivanjejekontinuirano?(c) Koliki bi bio iznos racuna, a kolike kamate nakon 5 godina neprekidnogukamacivanja?6. Principommatematickeindukcijedokazite:12+ 22+ 32+ n2=n(n + 1)(2n + 1)6.14Rjesenja.1. Prvih 45 decimala popunjeno je tako da je svaki put dopisivana po jedna znamenka:0, 1[12[123[123412345 . . . 123456789 . . .Uslijedecemkorakudopunjavase11znamenaka,jersedopisujeprethodnislogspripisanim dvoznamenkastim brojem:0.112123 . . . 123456789[12345678910 . . . .Nadalje, sve dok se ne bi dopisalo postepeno svih devedeset dvoznamenkastih bro-jeva, popunilo bi se:11 + 13 + 15 + +17+ 11 + 892 =11 + 11 + 2 + 11 + 22 + 11 + 32 + + 11 + 892 =9011 + 2(1 + 2 + 3 + + 89) =990 + 2 89902 1000,sto dovodi do zakljucka da je tisucito dopunjavanje unutar sloga koji zavrsava dopisi-vanjem dvoznamenkastog broja. Zadatak je naci pretposljednji slog koji se dopisujeu cijelosti i svodi se na nejednadzbu zan ^:45 + 11 + 13 + 15 + + 11 + (n 1)2 100045 + 11 + 11 + 12 + 11 + 22 + 11 + 32 + 11 + (n 1)2 100045 +n11 + 2(1 + 2 + 3 + (n 1)) 100045 + 10n +n2 1000n 26,izkojesezakljucujedajesposljednjimslogomkojiseupisujeucijelostipopun-jeno ukupno 981 decimalno mjesto. Do tisucitog mjesta potrebno je upisati jos 19znamenaka:1234567891011121314Prema tome, na 1000. mjestu stoji znamenka 4.2. p.o: 112, 71kn; PDV 20, 29kn.3. Nakon prodaje, mora se platiti 1, 98kn PDV-a, a cisti prihod-marza je 9, 02kn.4. Marza je 4800 Eura, PDV: 1200 Eura.5. Odgovori:(a) 4.984, 00kn(b) 149, 39kn(c) 12.016, 66kn.6. Dokaz baze: n = 1 ocito. Dokazati uz pretpostavku treba formulu:12+ 22+ 32+ +n2+ (n + 1)2=(n + 1)(n + 2)(2n + 3)6.152 KompleksnibrojeviImaginarnajedinicajematematickiobjektuoznacii,zakojivrijedi:ii = i2= 1.Rijesitejednadzbeiobaveznoprovjeriterjesenja.1. Rijesitejednadzbu: x2+ 1 = 0.2. Rijesitejednadzbu: x2+ 9 = 0.3. Rijesite: x26x + 13 = 0.Rjesenja zadataka 1-3:1. x2= 1; x1 = i x2 = i.Provjera:i2+ 1 = 0 1 + 1 = 0.(i)2+ 1 = 0 i2+ 1 = 0, 1 + 1 = 0.2. x2= 9; x1 = 3i, x2 = 3i.Provjera:(3i)2+ 9 = 0 9i2+ 9 = 0 9(1) + 9 = 0.(3i)2+ 9 = 0 9i2+ 9 = 0, 9 + 9 = 0.3. Kvadratna jednadzbaax2+bx +crjesava se algoritmom:s1,2 = b b24ac2akoji primjenjen na zadanu jednadzbu daje:x1,2=6 36 522x1,2=6 162Ako je po dogovorui2= 1, tada je 4i2= 16, pa se u algoritam smije uvrstiti:x1,2=6 4i2x1,2= 3 2i,16sto daje rjesenja:x1= 3 + 2ix2= 3 2i.Provjerarjesenjaprovodi seuduhualgebretakodasesimaginarnomjedinicomracuna kao sa bilo kojim opcim brojem uz uvazavanjei2= 1 :(3 + 2i)26(3 + 2i) + 13 = 09 + 12i + 4i218 12i + 13 = 022 18 + 4i2= 04 + 4(1) = 0.Analogno se provjeri i drugo rjesenje sto je ostavljeno kao obavezna zadaca citaocuZadaci:1. Pokazite da je neprimjereno algebri zapisivati alternativnu deniciju:i =1.Rjesenje: tada jeii =1 =_1(1) =1 = 1.2. Izracunajtepotencijeimaginarnejedinicei.Rjesenje: i0= 1, i1= i, i2= 1, i3= ii2= i, i4= i2 i2= 13. Izracunajtei83+ i61+ 2i123i64.Rjesenje: i +i 2i 1 = 1 2i.2.1 StandardnizapiskompleksnogbrojaSkupkompleksnihbrojevaje(= a + bi, a, b 1, i2= 1.Zapisz= a + ibnazivasestandardnimzapisomkompleksnogbroja.Gaussovailikompleksnaravninajeravninaukojojsekompleksnibro-jevi poistovjecuju s tockama pravokutnog koordinatnog sustava u ravnini:a + bi T(a, b),gdje je T(a, b) tockauXOY ravnini. Imaginarnoj jedinici pripadatocka(0, 1)standardnogkoodinatnogsustava.17Realniiimaginarnidiokompleksnogbrojarealnisubrojevi:Akojez= a + bi,ondajeRe(z) = aIm(z) = bivrijediz= Re(z) + iIm(z).Operacijeu ( su:1. zbrajanje,oduzimanje,mnozenjeidijeljenje2. potenciranje3. konjugiranje4. racunanjemodulailiapsolutnevrijednostiJednakost kompleksnihbrojeva:a + bi = c + di a = c, b = diliz1= z2 Re(z1) = Re(z2), Im(z1) = Im(z2).Uskupukompleksnihbrojevagubi seuredaj usmisluusporedivanjasvakadvakompleksnabroja.Osnovneracunskeoperacije izvode se u duhu algebre, uvazavajuci deni-cijuipotenciranjeimaginarnejedinice:(1) zbrajanjeilioduzimanje(a + bi) (c + di) = (a c) + i(b d)(2) mnozenje(a + bi)(c + di) = (ac bd) + i(ac + bc)18(3) dijeljenje(a + bi) : (c + di) =a + bic + di c dic di=ac + bdc2+ d2+ ibc adc2+ d2,aposebno:1z=1a + bi=aa2+ b2 iba2+ b2Zadatak2.1Nekasuz =2+4i, w= 3+i zadani kompleksnibrojevi. Ukompleksnojravniniistaknitebrojevez, wizwRj. zw = 10 + 10i.Zadatak2.2Nekajez= 2 + 3iiw = 3 4i. Izracunajte:zw, z + w, w z,zw.PrikazitebrojeveuGaussovojravnini (.Rj:18 +i; 5 i; 1 7i,625+1725iPotenciranje kompleksnogbrojazadajeseiterativno, svakujepotencijumogucedeniratiprekoprethodne:z0= 1zn+1= zn zKonjugiranokompleksnibrojevi analogon su suprotnih realnih brojeva.Zabrojeve:z= a + bi, z= a bisekazedasukonjugiranokompleksnibrojevi. Ukompleksnojravninizi zsmjestenisusimetricnoobziromnarealnuos. Ocitoje:Re( z) = Re(z)Im( z) = Im(z)ivrijedi:Re(z) =12(z + z)Im(z) =12i(z z).19Zadatak2.3Dokazitedavrijedi:1. z1 + z2= z1 + z22. z1z2= z1z23. z1 z2= z1 z24.(1z) =1 z5.(z1z2) = z1 z26. f( z) =f(z)zasvakipolinom.Dokazivanjese ostavlja citaocima koji imaju dovoljno algebarskog predznanja.Apsolutnavrijednostilimodul kompleksnog broja denira se formulom[z[ =z z.Buducijez z= (a + bi)(a bi) = a2+ b2,tada [z[ =a2+ b2ima u kompleksnoj ravnini geometrijsko tumacenjeudaljenostitockebrojazdo0kompleksneravnine. Nadalje,vrijedi:[z1 z2[ = [z1[[z2[.2.2 ZadaciZadatak2.4Odreditez (akoje4z + z + 9i 1i [z 3[ = 5.Rjesavanjepocinje pretpostavkomz =x + iyi svodi se na nalazenje nepoznanicax iy koje zadovoljavaju uvjete zadatka. Prvi uvjet4 z +z + 9i 1uz pretpostavku zaz prelazi u uvjet4(x iy) +x +iy + 9i = 5x +i(9 3y) 120koji je ispunjen samo ako je 9 3i = 0, odakle se doznaje da jey = 3, az = x +3ise uvrstava u drugi uvjet:[z 3[ = 5[x 3 + 3i[ = 5_(x 3)2+ 32= 5[2(x 3)2= 25 9x 3 = 4 ili x 3 = 4x1 = 7 x2 = 1z1= 7 + 3ix2= 1 + 3iZadatak2.5Nekajef(z)=2 + z + 3z2. Izracunajte(z)if(z), akojez= 3 + 2i.Rjesavanjese provodi uvrstavanjem:f(3 + 2i) = 2 + 3 + 2i + 3((3 + 2i)2= 5 + 2i + 3(9 + 12i 4) = 20 + 38i.Buduci za svaki polinom vrijedif( z) = f(z), ti jef(3 2i) = 20 38i. Ostavlja secitaocu obavezno provjeriti posljednju jednakostZadatak2.6Odreditesvekompleksnebrojevezakojevrijedi: z2= z.Rjesenjese ponovo trazi u oblikuz = x +iy. uvjetz2x2+ 2ixy y2= x2y2+i2xy = x iydaje sistem dvije jednadzbe zax iy:_x2y2= x2xy = yDruga jednadzba ima dvije mogucnosti. Ako jey = 0, tada jex2= xx1= 0x2= 1i prva dva rjesenja suz1 = 0 iz2 = 1. Druga jednadzba sistema zadovoljena je i zax = 1/2. Tada prva jednadzba daje14 y2= 12y2= 14y1=12y2= 1221i ostala dva rjesenja suz3 = 12 + 12i, z4 = 12 12i.Zadatak2.7Nacigeometrijskomjestotocakau (zakojevrijedi:a) 3 Re(z) 1b) zz= 1c) [z 2 i[ 9d) [z[ Rez + 1e) Rez + Imz= 1Rjesenjapodzadataka:1. Pruga omedena pravcimax = 3 ix = 1.2. Kruznica sa sredistem u ishodistu i polumjerom 1, jer jez z = x2+y2= 1zadani uvjet.3. Kruznicasasredistemutocki T(2, 1)polumjera3, stoslijediizzapisaz=x +iy uvrstenog u uvjet:[z 2 i[ = 9[x 2 +iy i[ = 9_(x 2)2+ (y 1)2= 9 [2(x 2)2+ (y 1)2= 9,koji prelazi u eksplicitnu jednadzbu navedene kruznice.4. Tocke ravnine unutar parabole okrenute prema pozitivnom kraju osi OX,stjemenomu(12, 0), kojaosOY sijeceu(0, 1)i (0, 1). Rjesenjeizlazi izuvjeta:[z[ Re(z) + 1_x2+y2 x + 1x2+y2 x2+ 2x + 1y2 2x + 1.Rjesenje nejednadzbe s dvije nepoznanice moguce je jedino geometrijski predociti.Transformacijom nejednakosti u jednakost dobiva se jednadzba krivulje u ko-ordinatnoj ravniniy2= 2x + 1.22Krivulja u ovom slucaju je parabola. Parabola dijeli ravninu na dva podrucja.Jednopodrucjesadrzi tockekojezadovoljavajunejednadzbu. Provjeraseizvodiizabiromtockekojasenalazinajednomodpodrucjaiuvrstavanjemkoordinata odabrane tocke u nejednadzbu. Ovdje se moze odabrati T(3, 0),sto daje 02 23 +1, istinitu tvrdnju. Tako je rjesenje navedeno na pocetkuopravdano.5. Tocke ravnine omedene pravcem y +x = 1 koje se nalaze s one strane pravcas koje je ishodiste:Re(z) +Im(z) < 1x +y < 1.Rjesavanje nejednadzbe svodi se na crtanje pravca y = x+1 i uvrstavanjemishodista (0, 0) u nejednadzbu.Zadatak2.8Pokazatidaje [z[ = 1,akojez=r + ir 1,gdjejer 1.Dokazse provodi algebarski uvrstavanjemr = a +bi:[z[ = [r +ir i[ = [r +i[[r i[=r2+ 1r2+ 1= 12.3 TrigonometrijskioblikkompleksnogbrojaTrigonometrijskefunkcijeracunajusezavrijednosti kuteva. Kutevi semogumjeritiustupnjevima,uradijanimailiugradima.Stupnjevi sunajstarijamjerazakuteve. PoticuizMezopotamijei vezanisu za mjerenje vremena. Najstariji nacin mjerenja vremena je suncem.Napijeskusenacrtajednakostranicantrokutu cijemjevrhuzabodenstap. Smatrasedajeprvajedinicazavrijemebiointerval potrebansjeni stapadasepomaknes jednestranicenadrugu. Stupnjevi suneprikladni, jer se racunajuuheksagezimalnomsustavuukojemjezaprvi okrugli broj veci od10izabranbroj 60. Primjermjere: =36024

40

.23Radijani mjerekutduljinomlukajedinicnekruznicesasredistemuvrhukuta. Kutevi sezatoumatematici predocavajukaotockejedinicnekruznicesasredistemuishodistu. Kruznicasenazivatrigonometri-jskom. Primjer mjerei oznakekuta: x=2ukazujedasetaj kutmjeri u radijanima. Vrijednosti kuta u radijanima mogu se nanositi nabrojevnipravac.Preracunavanje u stupnjeve vazno je samo iz pedagosko-psiholoskih ra-zloga proizaslih iz skolskih trauma koje su prouzrocili kutevi od /4, 3/2 . . ..Takojex = 2 = 2 1800= 114035

30

Gradi se upotrebljavaju u gradevinarstvu. Nalaze se na prometnim znakovimaispred uzbrdica i nizbrdica. Mjere kuteve izmedu 0 i pravog kuta i jed-nakisusinusukuta. Izrazavajuseupostocima: k = 12%.Sinus kuta x je ordinata tocke koja je na trigonometrijskoj kruznici pridruzenakutuxivrijedi:1 sin x 1.Kosinus kutajeapscisatockekojapripadakutuxnatrigonometrijskojkruzniciivrijedi:1 cos x 1.PoPitagorinompoucku:sin2x + cos2x = 1.Tangens kutadeniraseformulom:tgx =sin xcos x.Modul kompleksnogbrojauoznacirracunasepoformuli:r = [z[ =a2+ b2,gdjejez= a + bistandardnioblikkompleksnogbroja.Argument kompleksnogbrojajekutuoznacikojispojnica0zzatvaraspozitivnimsmjeromRealneosi.24Zapisutrigonometrijskomoblikusadaje:z= r(cos + i sin ).Vrijediidajetg =ba,aliradipostojanjaviserjesenja: = 0 + k = 0 + k1800,trebanacrtatikompleksanbrojukompleksnojravnini.Zadatak2.9Prikazitekompleksnebrojeve:z1= 1 + 4i, z2= 2 + 3i, z1 z2,z1z2utrigonometrijskomobliku.Rjesenje. Modul brojaz1:r1 =_12+ 42=17 = 4.12.Iz odnosatg1 =43dobiva se1 = tg14 +k1800= 76o,zak = 0, jer sez1nalazi se u prvom kvadrantu, pa je0 1 90o.i konacnoz1 = 4.1(cos 76o+i sin 76o).Analogno,r2 =_(2)2+ 32=13 = 3.60.Slijedi racun za2:tg2=322= tg1(1.5) +k180o= 56o+k180o25Brojz2nalazi se u drugom kvadrantu. pa je90o 2 180oi postize se zak = 1:2 = 56o+ 180o= 124o,sto dajez2 = 3.6(cos 124o+i sin 124o)Uobicajenim algebarskim racunanjem dobiva se z1 z2 = 14 5i. Modul umnoskar =_(14)2+ (5)2=221 = 14.87,a zbog polozaja umnoska u trecem kvadrantu, dobiva se:tg =514 = tg10.35714 +k180o= 20o+k180o= 200o,za izbork = 1.Potrebno je iz zapisaz1 z2 = 14.87(cos 200o+i sin 200o)uociti da je14.87 4.123.60do na desetinku i da je200o= 76o+ 124o.Kolicnikz1z2=1 + 4i2 + 3i 2 3i2 3i=10 11i13=1013 1113i.Modul kolicnika =_100169 + 121169= 1.14,dok je argument = tg1(1.1) +k180o= 48o+k180o= 48o,jer je kolicnik u cetvrtom kvadrantu. Zapis kolicnikaz1z2= 1.14(cos(48o) +i sin(48o)pokazuje da je1.14 = 4.12 : 3.60na desetinku i da je48o= 76o124o.262.4 Operacije s kompleksnim brojevima u trigonometri-jskomoblikuMnozenje kompleksnihbrojevautrigonometrijskomobliku:z1= r1(cos 1 + sin 1)z2= r2(cos 2 + sin 2)z1 z2= r1 r2[cos 1 cos 2sin 1 sin 2 + i(cos 1 sin 2 + cos 2 sin 1)]= r1 r2[cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)]Dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku izvodi se pomocumnozenja:z1z2= z z1= zz2 r1= rr21= + 2 r =r1r2 = 12.Konacnaformulakojaopisujedijeljenjez1: z2je:z1z2=r1r2 [cos(12) + i sin(12)].Primjer2.1Napisatiutrigonometrijskomobliku(1 + i3)(cos + i sin ) =1 + i,gdjejekuturadijanima.Rjesavanje zadatkamorauvazitiradijanekaomjeruzakuteve. Zato:z1= 1 + i3 r1=1 + 3 = 2tg1=ba=3 1=3(I kvadrant)27z1= 2(cos 3+ i sin 3)z2= (cos + i sin )z3= 1 + i, r3=2, tg3= 1 3=4z3=2(cos 4+ i sin 4)z=z1 z2z3=2(cos3+ i sin3)(cos + i sin )2(cos4+ i sin4)=2[cos(3+ ) + i sin(3+ )]2(cos4+ i sin4)=2(cos( +12) + i sin( +12)).2.4.1 Potenciranje kompleksnog broja u trigonometrijskom oblikuNekajez= r(cos + i sin ).Tadajezn= rn(cos n + i sin ).FormulasenazivaMoivreovomiizlaziizdenicijepotenciranja:zn+1= zn z[zn[ = rnArg(zn) = nArg(z)Zadatak2.10Izracunajte1. (1 + i3)62. (3 i)21Rjesenja:1. Koristeci se rezultatima prethodnog zadatka:(1 +i3)6= [2(cos 3+i sin 3)]6= 26 (cos 53+i sin 63)6= 64282. Iz trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja:3 i [tg = 13, = 6, IV kvadrant]slijedi, jer jer = 2:(3 i)21= [2(cos(6) +i sin(6))]21= 221 (cos(216) +i sin(216))= 221i2.4.2 KorjenovanjeiliradiciranjeKorjenovanjekompleksnogbrojauoznacinz jenalazenjesvihonihkompleksnihbrojevawzakojevrijediwn= z.Rjesavanjeproblemakoristi trigonometrijski zapis zadanogkomplek-snogbroja:z= r(cos + i sin )i svodi se nanalazenje modula = [w[ i argumentanepoznatogkompleksnogbrojakojibizadovoljiojednakost:n(cos n + i sin n) = r(cos + i sin ).Ocitojejednakostzadovoljenaakovrijedi:n= r =nrn= + 2k = + 2knPostojitocnonkompleksnihbrojevawzakojevrijedi navedenosvo-jstvo,aonisedobivajupodrugojMoivreovojformuli:w = (nz)k=nr(cos + 2kn+ i sin + 2kn),uvrstavanjemvrijednostizak = 1, 2, . . . n 1.Geometrijskamjestasvihn-tihkorijena suuvrhovima pravilnog n-terokutaupisanogukruznicupolumjeranr,ukompleksnojravnini.29Zadatak2.11Izracunajte31irjesenjaprikaziteustandardnomobliku.Rjesenjaje moguce napisati iz trigonometrijskog zapisa:z = 1r = 1 = 31 =1(cos + 2k3+i sin + 2k3)k = 0 z1 = cos 3+i sin 3=12 +i32k = 1 z2 = cos 33+i sin 33= 1k = 2 z3 = cos 53+i sin 53=12 i32Zadatak2.12Odredite41Rjesenja: 1, i, 1, i.Zadatak2.13Rijesitejednadzbu: x6+ 64=0i rjesenjanapisiteustan-dardnomobliku.Rjesavanje:x6= 6464 = 64(cos +i sin )xk=664(cos + 2k6+i sin + 2k6)x0=3 +ix1= 2ix2= 3 +ix3= 3 ix4= 2ix5=3 iZadatak2.14Skicirajtesvarijesenja4_8 + 8i3.30Rjesenjese trazi u trigonometrijskom oblikuz = 8 + 8i3r = 16tg = 3, = 3+ =234z =416(cos23+ 2k4+i sin23+ 2k4), k = 1, 1, 2, 3z0=3 +iz1= 1 +i3z2= 3 iz3= 1 i3Zadatak2.15Nacigeometrijskomjestotocaka:a)2 < [z[ < 3;4 3b)[z[ 1;4< b 2Rjesenja: nisu nacrtana, vec su opisana kao dijelovi koordinatneXOYravnine:a) dio omeden kruznicamax2+y2= 4 ix2+y2= 9, te pravcimay = x iy =3x.b) neograniceni dio izvanx2+y2= 1 i izmeduy = x ix = 0.Zadatak2.16Akojez1=3 i,az2= 12 32,napisite(z1z2)7ustandardnomobliku.Rjesenje:r1 = 2 r2 = 1tg1 = 13tg2 =31 =1162 =43.Slijedi:z1z2= 2(cos +i sin )(z1z2)7= 128(cos 7 +i sin 7) = 128i.31Zadatak2.17Nacirealniiimaginarnidiokompleksnogbrojaz=z1z92,akojez1= 32(cos 2+ i sin 2); z2= 3 + i.Rjesenje:[z2[ = 2tg = 33 =56z92= 29(cos 956+i sin 152) = 29(cos 32+i sin 32)z1z92=3229(cos(2 32) +i sin()) = 116,ukazuje da je realni dio 116, dok je imaginarni dio jednak 0Zadatak2.18Izracunajtez6,akoje [z + i[ =3,aarg(z + i) = .Rjesenje zadatka moguce je kad se uoci da podaci zadaju kompleksni broj z+i u trigonometri-jskom obliku:z +i =3(cos +i sin ) = 3,odakle slijedi:z = 3 1z = 2(cos 76+i sin 76)z6= 26(cos 76 6 +i sin 76 6) = 64Zadatak2.19Ustandardnomoblikunapisitesvevrijednosti kompleksnogbrojaz=3(1 + 2i)2+1 i1 + i i5+ i16.Rjesenje: pocinje tako da se saz1oznaci izraz ispod korjena:z1= 1 + 4i 4 + (1 i)22= 2 + 3i + 1 2i 12= 2 + 2i[z1[ =_22+ 22= 2232tg = 1 =34z1= 22(cos 34+i sin 34)z =3z1=2(cos34+ 2k3+i sin34+ 2k3).z0=2(cos 4+i sin 4) = 1 +iz1=2(cos 1112+i sin 1112) 1.37 + 0.37iz2=2(cos 1912+i sin 1912) = 0.37 1.37i.Algebra:3_22 =3_8 =_38Zadatak2.20Odredite kompleksne brojeve z1 i z2 ako je argz1=4, argz2=6,az1 + z2=3 + i.Rjesavanjeje mudro zapoceti idejom o trazenju nepoznanica u trigonometrijskom oblikui koristiti podatke:z1 +z2= r1(cos 4+i sin 4) +r2(cos 6+i sin 6)=22r1 +i22r1 +32r2 +i12r23 +i =2r1 +3r22+2r1 +r22 i.Kompleksni su brojevi jednaki ako se podudaraju u realnom i imaginarnom dijelu:2r1 +3r22=32r1 +r22= 112(3 1)r2=3 1r2= 2r1= 0Konacno rjesenje: z1 = 0, z2 =3 +i.Zadatak2.21Izracunajtevrijednostz16zak = 3,akojez= 8(12 2i)346i26+ 52i35.33Rjesenje:z = 8(18 32i + 6i28i3) 46i2+ 52i3== 1 12i248 + 64i + 46 52i = 1z = 1 = 1(cos +i sin )z1/6= 11/6(cos + 2k6+i sin + 2k6), k = 0, 1, . . . , 5k = 3z1/6k=3= 1(cos 76+i sin 76) =32+i2Zadatak2.22Odrediterealniiimaginarnidiokompleksnogbrojaz= (z z2[z[2)3,akojez= 1 + i3.Rjesenje. Neposrednim uvrstavanjem:z1 = (1 i3 (1 +i3)24)3= (1 i3 (1 + 2i3 3)4)3= (34 334i)3.Transformacijom u trigonometrijski oblik:r1 = [z1[ =32tg = 3 = 3z = z31=278 (cos() +i sin())= 278,pa je realni dio 278 , a imaginarni je 0.Zadatak2.23UGaussovojravnini (prikazitez5akojez=2(1 i)3+12i212i15.Rjesenje: z5= 4 4iZadatak2.24(3z1 z2)k=2=: z1= 2222i, z2= i.Rjesenje: cos 15o+i sin 15o= 0.97 + 0.26.342.5 Problemskizadaci1. Izracunajte:(1 + i3)15(1 i)20+(1 i3)15(1 + i)20=2. Naditesvarjesenjajednadzbe(2 5i)z32i + 5 = 03. Izracunajtesvevrijednostiizraza3(31 i i +2i + 1)24. Odreditesveonekompleksnebrojevezkojizadovoljavajuuvjete:Arg(z4+ 4) =116[z4+ 4[2= 485. Izracunajte(1 +1i+1i2+1i3+1i4+1i5)15.6. Naditekockuciji jevolumenbrojcanozacetiri manji odpoluzbrojaduljinanjenihbridova.(Uputa: jednadzbax3+ px + q= 0rjesavaseCardanovomformulom:x =3q2+_(q2)2+ (p3)3+3q2 _(q2)2+ (p3)3)7. Izracunatiz6akoje [z + 42[ = 4,aarg(z + 42) =74.8. Izracunajte z15ako je z kompleksan broj za koji vrijedi 9i[z[ = z339. Odreditikompleksnebrojevez1iz2akojez1= (i34i712+2(1 i)3)6,Arg(z2) =4,aIm(z1z2) = 4.3510. Odreditesvevrijednostikompleksnogbrojaz=3(1 2i)21 + i1 i+ i5i16.11. Rijesitejednadzbuz4+ 8 = 8i3.12. Odreditesvekompleksnebrojevez,sasvojstvima: arg(2z3)=4i[z[ = 1.13. Rijesitejednadzbu( z + i)3=1 i1 + i.14. Akojezkompleksanbroj zakoji vrijedi dajez 8i3 1i daje[z[ = 16. Kojisvekompleksnibrojevimogubiti3z.15. Rijesitejednadzbuz4+ z2+ 1=0. SkicirajtedobivenarijesenjauGaussovojravnini.16. UpotrebomMoivreoveformuleizracunajte(1 + cos 4+ i sin 4)6.17. Skicirajtesvevrijednosti31 i3 + 1ukompleksnojravnini.Rjesenja problemskih zadataka1. Koristiti trigonometrijski zapis:z1= 1 i =2(cos 74+i sin 74)z2= 1 +i =2(cos 4+i sin 4)z3= 1 +i3 = 2(cos 23+i sin 23)z4= 1 i3 = 2(cos 43+ sin 43)z201=220(cos 2074+i sin 2074) = 210(cos 35 +i sin 35) = 21036z202=220(cos 204+i sin 204) = 210(cos 5 +i sin 5) = 210z153= 215(cos 1523+i sin 1523) = 210(cos 10 +i sin 10) = 215z154= 215215210 215210= 642. Nastavak jednadzbe:(2 5i)z3= 5 + 2iz3=5 + 2i2 5i 2 + 5i2 + 5iz3=10 10 4i 25i4 + 25z3=29i29z3= i = 1(cos 32+i sin 32)zk=31(cos32+ 2k3+i sin32+ 2k3),z0 = i; z1 = 32+12i; z2 =3212i.3. Izraz se sreduje algebarski:3_(31 i 1 +i1 +i i +21 +i 1 i1 i)2=3_(3 + 3i2i + 2 2i2)2=3_2 + 3i + 2 4i2)2=3_24 10i4=3_6 52i;r =_36 + 254=1692=132tg =526= 512 = 22.6ozk =36.5(cos22.6o+k360o3+i sin22.6o+k360o3), k = 0, 1, 2,z0 = 1.85 0.24i; z1 = 0.86 + 1.66i; z2 = 1.26 1.38i.4. Podaci daju u trigonometrijskom obliku brojz4+ 4 =48(cos 116+i sin 116= 43 32+i43 1237= 6 2i3z4= 2 2i3 = 4(cos(3) +i sin(3))zk=44(cos3+ 2k4+i sin3+ 2k4); k = 0, 1, 2, 3;z0 = 1.4 0.4i; z1 = 0.4 + 1.4i; z2 = 1.4 + 0.4i; z3 = 1.4 0.4i.5. Nakon potenciranja imaginarne jedinice dobiva se:(1 + 1i+11 +1i + 11 + 1i)15= (1 i)15== [2(cos4+i sin4)]15= 1282(cos154+i sin154) = 128 128i6. Uvjetdajevolumenjednakpoluzbrojubridovaumanjenomza4, uznepoznatuduljinu bridax daje:x3= 6x 4x36x + 4 = 0x =3_2 +4 +3_2 4=32 + 2i +32 2iz = 2 + 2i =8(cos 34+i sin 34)w = 2 2i =8(cos 54+i sin 54)zk=2(cos34+ 2k3+i sin34+ 2k3), k = 0, 1, 2wk=2(cos54+ 2k3+i sin54+ 2k3), k = 0, 1, 2sto dajex = zk +wk 2, 1 +3 = 0.732, 1 3 = 2.8.U obzir za duljinu brida ne moze doci 2.8.7. z6= 4096i8. Pretpostaviti z = x+iy. Odmah je y = 9, z = 183+9i. Trigonometrijski oblik:r =3324 + 81 = 913 = 32.45tg =9183= 0.28867 = 164oz = 32.45(cos 164o+i sin 164oz15= 2.410224i1022389. z1 = 8i,z2 = 22 + 2i210. z0 = 0.46 + 1.72i;z1 = 1.72 0.46i;z2 = 1.26 1.26i11.3 +i; 1 +i3; 3 i; 1 i3.12. Iz2z3=2(cos 4+i sin4)rjesenja suz0 = 0.97 + 0.26iz1 = 0.71 + 0.71iz2 = 0.26 0.97i13. z0 = 0; z1 = 3212i; z2 =3232i.14. Dva su moguca kompleksna brojaz koja zadovoljavaju uvjete:z1 = 8 + 8i33z1 2.37 + 0.86i, 1.93 + 1.62i, 0.44 2.48iz2 = 8 + 8i33z2 1.93 + 1.62i, 2.37 + 0.86i, 0.44 2.48i15.12 i32; 12 33.16. 28 + 28i.17. 0.21 0.20i, 0.14 0.10i, 0.10 0.21.393 DeterminanteDeterminantesufunkcijekoje kolekciji od n2brojeva zapisanih u tablicus n redaka i n stupaca pridruze broj. Postupak racunanja je induktivan.Zan = 1govorimoodeterminantiprvogredauoznaci[a11[ = a11gdjejeteskooznakunezamijeniti sfunkcijomapsolutnevrijednosti,nodeterminanteprvogredaseneproucavaju.3.1 DeterminantedrugogredaDeterminantedrugogredaracunajusepoformuli:a11a12a21a22= a11a22a12a21.Zadatak3.1Izracunajtevrijednostdeterminante3 45 6Rjesenje: po deniciji3 45 6= 18 20 = 2.Zadatak3.2Rijesitejednadzbu:sin x cos x4 1= 3.Rjesenjese dobiva nakon razrjesenja determinante, kada se jednadzba:sin x + 4 cos x = 3rjesava univerzalnomtrigonometrijskomsupstitucijom:tgt = t sin t =2t1 +t2, cos t =1 t21 +t240nakon koje se dobiva jednadzba:7t22t 1 = 0t1,2=1 227tgx12=1 + 227tgx22=1 227x12= 0.50047 +kx22= 0.2612 +k,gdje su rjesenja dana u radijanima.Rijesitesamostalnoslijedecezadatke:1. Izracunajtedeterminantu:1 23 4.Rjesenje: -22. Izracunajtevrijednostdeterminanti:(a)3 28 5(b)n + 1 nn n 1(c)1 logbalogab 1Rjesenja: a)-1, b)-1, c)03. Odreditenepoznatibrojxakoje9x+13x+21 1= 810Rjesenje: x = 2414. Rijesitejednadzbu:log x log 10x2 log x= 6Rjesenja: x1 = 104;x2 =11005. Odreditexuradijanimatakodajednadzbabudezadovoljena:sin x cos x3 1= 2.x =6+ 2k, k ZDeterminantevisegredaracunaju se Laplaceovim razvojem po i-tom retku:DetA =

jaij (1)i+jMijgdjeje- aij-elementi-togretkadeterminante- minoraMijdeterminantazajedanmanjegredakojanastajekadizzadanedeterminanteiskljucimoi-tiredakij-tistupac.3.2 DeterminantetrecegredaDeterminantatrecegredaracunasepomocudeterminantidrugogreda:a b cd e fg h k= a e fh kb d fg k+ c d eg h.1. Izracunajtevrijednostdeterminante:2 4 13 1 21 3 5Rjesenje: -38422. Rijesitedeterminantu3 2 12 5 33 4 2Rj: -33. Izracunati1 z 11 z21z21 z,gdjejez=z1z2, z1=3616i, z2= 3616iRjesenje: z = cos23+i sin23 , vrijednost determinante iznosi 34. Kolikijex?1 3 x1 5 11 x 3= 0Rjesenje: (x1 = 3, x2 = 1)Sarrusovimpravilommogu se rjesavati iskljucivo determinante treceg reda.Nadopisuseprvadvastupcazadanedeterminante:a b c a bd e f d eg h k g kZbroju umnozaka trojki brojeva smjestenih dijagonalno u smjeru sjeverozapad-jugoistok:aek + bfg + cdkpribrojesebrojevi suprotni umnoscimatrojki uzetihsasuprotnihdi-jagonala:a b cd e fg h k= aek + bfg + cdk gec hfa kdb43Zadatak3.3Naditesvarjesenjajednadzbe2x31 4x31 21 2x31= 2i.Rjesenje.Sarrusovim pravilom:2x31 4 2x31x31 2 x311 2x31 1 2x3= 2i2x3+ 2 + 8x64 8x6x3= 2ix32 = 2ix3= 2 2iz = 2 2i[z[ =8tg = 1 =74x =3z =2(cos74+ 2k3+i sin74+ 2k3), k = 0, 1, 23.3 Zadacizasamostalnorjesavanje1. Izracunajtevrijednostdeterminanti:a)3 24 6= b)2 36 10=c)3 24 5= d)a 1aa=2. Rijesitedeterminante:a)2 3 45 2 11 2 3= b)1 2 53 4 73 12 15=c)12 6 46 4 43 2 8=443. Rijesitejednadzbe:(a)x24 9x 2 31 1 1= 0(b)x23 2x 1 10 1 3= 0(c)x 3 x + 2 x 1x + 2 x 4 xx 1 x + 4 x 5= 0(d)sin(x +4) sin x cos xsin(x +4cos x sin x1 a 1 a=2 244. Rijesitejednadzbu:2 1 3x + 1 x 32 1 x 2= 1Rjesenja:1. (a) 26(b) -38(c) 7(d) 2a2. (a) -10(b) 144(c) 723. (a) x1 = 2; x2 = 3(b) x1 = 0; x2 = 2(c) x = 2/3(d) x = /6 + 2k, k Z4. x1 = 1 +i; x2 = 1 i453.4 DeterminantecetvrtogredaDeterminantecetvrtogredarjesavaju se iskljucivo razvojem po odabra-nom retku ili stupcu. U [1] su detaljno dokazana svojstva determinanti- akosejedanredakili stupacudeterminanti pomnozi ili podijelibrojem , tada se vrijednost determinante poveca ili smanji puta- vrijednost determinante se ne mijenja ako se jedan redak pomnozennekimbrojemdodadrugomretkuilioduzmeodnjega- vrijednost determinante se ne mijenjaakose jedanodstupacapomnozen nekim brojem doda drugom stupcu ili oduzme od njegaNavedenasvojstvamogupojednostaviti rucnoracunanjevecihdeter-minanti.Zadatak3.4Odreditevrijednostdeterminante =3 9 3 65 8 2 74 5 3 27 8 4 5.Rjesavanje zadatka moze se pojednostaviti izlucivanjem faktora -3 iz prvog retka: = 3 1 3 1 25 8 2 74 5 3 27 8 4 5.Ako se prvi redak pomnozi brojem 5 i doda drugom retku, vrijednost determinante necese promijeniti, no determinanta ce imati manje elemente: =1 3 1 20 7 3 34 5 3 27 8 4 5.Ako se, nadalje, prvi redak najprije pomnozi s -4 i doda trecem retku, a onda se opet prviredak pomnozi sa -7 i doda cetvrtom, dobiva se determinanta = 3 1 3 1 20 7 3 30 7 1 60 13 3 9,46podatna za razvoj po prvom stupcu, jer se dobiva samo jedan pribrojnik u razvoju: = 31(1)1+1

7 3 37 1 613 3 9.Mudro je drugi redak pomnozen s 3 dodati prvom i oduzeti od treceg retka = 3 14 0 157 1 68 0 9,a zatim novo dobivenu determinantu razviti po drugom retku: = 3(1)2+2 1 14 158 9= 3(126 + 120) = 18.3.5 Raznizadaciizracunavanjadeterminanti1. Izracunajte:2 5 1 23 7 1 45 9 2 74 6 1 2.2. Odredite:3 3 5 83 2 4 62 5 7 54 3 5 6.3. Rijesite:6 37 4.4. Kolikoimaprirodnihbrojevaxiyzakojevrijedi:x + y x yx y x + y= 7205. Dokazite a + bi c + dic + di a bi= a2+ b2+ c2+ d2476. Izracunajte1,2i3:1=2 1 35 3 21 4 3, 1=3 4 58 7 22 1 81=1 1 14 5 916 25 81.7. Odreditenepoznanicuxzakojuvrijedi4 2 1x x 2 23 2 1= 1.8. Rijesitejednadzbu:log2x12logx 21 logx44= 0.9. Dokazitedazasvakin ^vrijedi:1 2 3n1 0 3n1 2 0n......... . . ....1 2 30= 123n = n!10. Josjedanzadatakx y 0 00 00 x y 00 00 0 x y0 0............ ......0 0 0 0x yy 0 0 00 x= .Rjesenja:1. -92. 183. 34. 18 uredenih parova485. samostalno se uvjerite6. 1 = 40, 2 = 68; 3 = 207. x = 58. x1 = 2; x2 =149. Uputa: dodavati prvi redak drugom, trecem, . . . i napokon posljednjem. Dobije sedeterminanta koja na glavnoj dijagonali ima brojeve 1, 2, 3, . . . , n.10. Razviti po prvom stupcu. Rjesenje: xn(yn).494 Vektoriuravniniiprostoru4.1 Usmjerenaduzina. VektorUsmjerenaduzina ABpredstavljavektor a- svojomduljinomilimodulom: [a[- smjerom-pravcemkojempripada ABi- orijentacijom-okrenutostinatompravcu.Jednakost vektora denira kao podudarnost u duljini, smjeru i orijentaciji.DvijeusmjereneduzinepredstavljajujedanteistivektorAB=CD =aakosuparalelne, isteduljinei isteorijentacije. Karakteriziraihza-jednicko poloviste spojnoca zavrsetaka i pocetaka takovih duzina. Uobicajenojerecidasevektornemijenjaparalelnimpomakom.Kolinearni vektorisuparalelni.Suprotni vektori a i

b imaju istu duljinu i smjer, ali su suprotne orijentacije:a =

b.OcitojeAB= BA.Nul-vektor jevektorkojemjemoduljednaknuli.Jedinicnivektor jevektorkojemjeduljinajednaka1. Reprezentanti nulvektorasutockeAA,TT . . .504.2 ZbrajanjevektoraimnozenjevektoraskalaromZbrajati semoguvektoriakosuulancani(prekoB):AB +BC=AC.Mnozenje vektora a skalarom daje vektor a koji je kolinearan pocetnomvektoru,orijentacijesuprotneza < 0iiznosa[a[ = [[[a[.Zadatak4.1NekajeSsjecistedijagonalaparalelogramaABCD. IzracunajteAB +SD +AS.Rjesenje: jemnogolakseakosenacrtaparalelogram. Tadaizcinjenicedasedijagonale raspolavljaju slijedi da jeSD =BSi da jeAS =SC.Suma iz zadatka uvrstavanjem prelazi u izrazAB +BS +SC,podesan za zbrajanje ulancavanjem. Rjesenje:AC.Mnozenjevektoraakoji jezadansvojomduljinom [a[, svojimsmjeromiorijentacijomsazadanimskalarom 1deniraseopisommodula,smjeraiorijentacijevektoraa:- duljinanovogvektora[a[ = [[[a[,gdjesu [[i [a[poznatinenegativnibrojevi- smjer novog vektora a podudara se sa smjerom zadanog vektoraa51- orijentacijanovogvektorajednakajeorijentacijizadanogvektoraazaslucaj > 0,dokjesuprotnaorijentaciji aza < 0.Jedinicnivektora0usmjeruvektoraadobivasemnozenjemvektoraaskalarom1[a[:a0=1[a[a.Zadatak4.2Duzina AMje simetrala kuta trokuta ABC, sa strani-cama [AB[ =6, [BC[ =9i [AC[ =11jedinicnihduljina. Odrediteskalar,takodaje BM= BCiskalarzakojije CB= MC.Rjesenje:Iz geometrije srednje i osnovne skole poznato je i dostupno u boljim logaritamskimtablicama:[BM[ : [MC[ = [AB[ : [AC[,iz cega slijedi:[BM[ : [MC[ = 6 : 11[BM[ =617[BC[,BM =617BC =617.Analogno,CM=1117CB1711CM=CB1711CM=BCradi suprotne orijentacije.4.3 Linearnakombinacijai linearnanezavisnost vek-toraNekasu a, bi cvektorizadaneduljine,smjeraiorijentacije. Nekasu, izadanirealnibrojevi-skalari.52Linearnomkombinacijomvektora a,

b i c naziva se vektor dobiven mnozenjemsvakog od vektora nekim skalarom i zbrajanjem tako dobivenih vektora:a +

b + c.Rezultatlinearnekombinacijeopetjevektor.Linearnonezavisnakolekcijavektora je ona koja rezultira nul-vektoromsamotrivijalnimodabiromskalara.Primjer linearnozavisnihvektorasuvektori

AB,

ACi

ADparalelogramaABCD.Primjer linearnonezavisnihvektorasu- vektorikojegreprezentiraorijentiranaduzina OE1- vektorjkojegreprezentiraorijentiranaduzina OE2,gdjejeO-ishodisteE1-tocka(1, 0)E2-tocka(0, 1)pravokutnogkoordinatnogsustavauravnini.Zadatak4.3NacrtajtepravokutnikABCDtakodaje [AB[ = 2,a [BC[ =3. NekajeLpolovisteduzineAB,PpolovisteduzineCD,MpolovisteADatockeNi KsunatrecinamaduzineBC. Akoje

AB=a, a

AD=

bizraziteslijedecevektorekaolinearnekombinacijevektora ai b:AL=BN=AC=MN=AM=BK=AK=LM=PD=KN=PA=MK=CD=PC=AN=KP=Rjesenja redom:12a,13

b, a+

b, a16

b,12

b,23

b, a+23

b, 12a+12

b, 12a, 13

b,

b 12a, a+16

b, a,12a, a+13

b,13

b 12aZadatak4.4Tocka Tje sjeciste dijagonala paralelograma ABCD,AB=a,AD =

b. Izrazitevektore TA,TB,TCi TDprekovektora ai b.53(Rjesenje: TA = 12(a +

b), TC =12(a +

b), TB =12(a

b), TD = 12(a

b)Zadatak4.5NekajeTtezistetezisnicaABC. OdreditezbrojvektoraTA +TB +TC.Rjesenje:

0.Zadatak4.6StranicaABtrokutaABCpodijeljenajetockamaMi Nnatrijednakadijela: [AM[ = [MN[ = [NB[. Napisitevektor CMkaolinearnukombinacijuvektora a =CAi b =CB.Rjesenje:Ako se nacrta pregledna slika trokuta sa navedenim tockama nije tesko zakljuciti da je:CA+AB =CBa +AB =

bAB =

b aBuduci je po uvjetima zadatka tocka M na prvoj trecini duzine AB vrijedi vektorski zapis:AM=13 AB =13AB =13(

b a).Konacno, koristeci jos jednom zbrajanje vektora, izlazi rjesenje:CA+AM =CMa + 13(

b a) =CMa + 13

b 13a =CM23a + 13

b =CM4.4 Koordinatevektoraukoordinatnomsustavurav-nineZadatak4.7Neka je

i vektor predstavljen pocetkom u ishodistu,a krajem utocki na apscisi s koordinatom 1. Neka je

jvektor ciji je reprezentant orijen-tirana duzina s istim pocetkom i zavrsetkom u tocki na ordinati s koordinatom1. Izrazite:1. Vektor 0Agdjeje0ishodistekoordinatnogsustava,atockaA = (4, 5).Vektor OAnazivaseradijusvektoromtockeA.542. Vektor AB,gdjejetockaA = (2, 1),atockaB= (3, 6).Rjesenjazadatka1.OA = rA = 4

i + 5

j.2. Zakljucivanje:OA+AB =OBAB =OB OAAB = 3

i + 6

j (2

i +

j) =

i + 5

jVektori

i i

j cine bazu linearnog prostora V2, kojeg cine svi vektori u ko-ordinatnojravniniobziromnaoperacijuzbrajanjavektoraimnozenjavektoraskalarom.Zadatak4.8Vektorc=2

i + 6

j rastaviteusmjerovimavektoraa=2

i i

b = 3

i + 3

j.Rjesenjese svodi na nalazenje skalara, 1 koji zadovoljavaju jednakost:c = a +

b2

i + 6

j = 2

i +(3

i + 3

j)2

i + 6

j = (2 + 3)

i + 3

j.Radi linearne nezavisnosti vektora

i i

j dobiva se izjednacavanjem koecijanata iz kompo-nenti sustav:2 + 3 = 23 = 6 = 2 = 2cija rjesenja daju trazenu linearnu kombinacijuc = 2

b 2a.Zadaci1. Zazadane tocke A=(3, 3), B=(4, 1), C =(1, 0) odreditekoordinatevektora: a) AB; b) BA; c) AB+BA; d) AB+BC; e)BC2AC;f)2AC 3BC;g)2AB 3BC + 4CA.552. Zadan je cetverokut s vrhovima A = (3, 1), B= (3, 3), C= (5, 1)iD=(1, 3). Dokazitedaje AB= DCi AD= BC,dakledajetajcetverokutparalelogram.3. TockeA=(1, 4), B=(6, 1) i C=(4, 1) tri suuzastopnavrhaparalelograma. Koristeci koordinatizacijuvektorauravnini odreditekoordinate cetvrtogvrhaDtogparelelograma.4. Tocke A=(2, 1) i B=(5, 7) dvasususjednavrhaparalelogramaABCD. TockaS=(3, 4) sjecistejenjegovihdijagonala. Odreditekoordinatevektora ACi BD, papomocunjihkoordinatevrhovaCiDtogparalelograma.5. Zadani suvektori a=

i + 2

j, b= 3

i

jic=3

i + 5

j. Izracunajteslijedecelinearnekombinacije:a) a+

b; b) a

b; c) a+

b +c; d) a+

b c; e)12a+32

b; f) 12a+13

b 15c.6. Zadani su vektori a = 2

i +

j,

b =

i

ji c = 7

i 5

j. Prikazite vektor ckao linearnu kombinaciju vektora a i

b,u obliku c = a +

b,, in1.7. ZadanesutockeA=(1, 1), B=(0, 2), C=(1, 6)i D=(5, 3).Prikazitevektor ADkaolinearnukombinacijuvektora ABi AC.8. Vektor c = 2

i + 6

jrastaviteusmjeruvektora a = 2

ii

b = 3

i + 3

j.Upute i rezultati 1-7. zadatka1. a) 7

i 4

j; b) 7

i + 4

j; c) 0; d) 2

i 3

j; e) 92

i +72

j; f) 19

i 9

j; g) 21

i +

j.2. Vektori su jednaki ako su im jednaki koordinatni zapisi3. D = (3, 4)4.AS =

i+3

j,AC = 2AS = 2

i+6

j. Ako je C = (x, y), onda jeAC = (x2)

i+(y1)

j,pa jeC = (4, 7). Analogno se dobijeD = (1, 1)5. a) 2

i +

j; b) 4

i + 3

j; c)

i + 6

j; d) 5

i 4

j; e) 4

i 12

j; f) 2110

i 73

j.6. Iz 7

i5

j = (2

i+

j)+(

i

j) = (2+)

i+()

j izlazi sustav: 2+ = 7, = 5, dakle = 2, = 3, pa je c = 2a + 3

b.7.AD = 34AB 14AC.8. c = 2

b 2a564.5 DuljinavektoraukoordinatnojravniniDuljinavektorazapisanogupravokutnimkoordinatamakaoa = 1

i + 2

jracunasepoPitagorinompoucku:[a[ =_21 + 22Zadatak4.9Zazadanevektore a = 3

i + 4

ji b = 5

i 12

jizracunajte:a) [a[;b) [

b[;c) [a +

b[;d) [a

b[.Rjesenjaa) [a[=5; b) [

b[ c) [a +

b[ = 217 d) [a

b[ = 85.Zadacizasamostalnorjesavanje:1. ZadanjetrokutsvrhovimaA = (2, 2),B= (2, 1)iC= (5, 3). Nekaje AB= c, BC=a. Odreditevektore:a) [a[c +[c[a; b) [c[a [a[c.2. ZadanajetockaA=(2, 3). OdrediteordinatuytockeB=(3, y)takodaje [AB=5.3. Zadani su vektori a = 2

i

j,

b =

i +5

j. Odredite realan broj zakodabude [a 2

b[ =97.Rjesenja 1,2,3:1. a) 35

i + 5

j; b) 5

i + 35

j.2. B1 = (3, 1),B2 = (3, 5).3. 1 = 1,2 = 75.4.6 PravokutnekoordinateuprostoruPravokutniKartezijevkoordinatnisistemu prostoru Oxyzzadan je sishodistem O i s tri okomita brojevna pravca: x-osi ili osi apscisa, y-osiiliosiordinataiz-osiiliosiaplikata.57SvakojtockiMjednoznacnojepridruzenauredenatrojka:M= (x, y, z).UdaljenosttockeMod ishodista koordinatnog sustava racuna se po Pitagori-nompoucku:d(OM=_x2+ y2+ z2.Zadatak4.10Skicirajte tockuM=(5, 3, 4) upravokutnomkoordinat-nomsustavu. Odreditenjezinuudaljenost odsredistakoordinatnogsustava,udaljenostdoosiOZiudaljenostdoravnineXOY .Rjesenje:[OM[= 7,d(M, z os) =34 id(M, z = 0) = 4.4.7 Vektori u pravokutnom koordinatnom sustavu pros-toraKoordinatnivektori

i, ji

k sujedinicni vektori usmjereni premapozi-tivnimsmjerovimakoordinatnihosi.Vektor ajednoznacnosemozeprikazatiuoblikua = ax

i + ay

j + az

k,gdjesuax, ayi azprojekcijevektoraanaodgovarajucekoordinatneosi. Vektoreax

i, ay

ji az

knazivajusekomponentama vektora ausmjerovimakoordinatnihosi.Vektori

i,

j i

kcine ortonormiranubazuprostorasvihvektoraprostorauoznaciV3.Duljinailimodul [a[ racunasepoformuli:[a =_a2x + a2y + a2z.Smjer vektora azadanjekosinusimakutevakojevektor azatvaraskoor-dinatnimosima:cos x=ax[a[, cos y=ay[a[, cos z=az[a[.Kosinusismjerovazadovoljavajujednakostcos2x + cos2y + cos2z= 1.58Akosuvektori ai b zadanisvojimrastavompokomponentama:a = ax

i + ay

j + az

k

b = bx

i + by

j + bz

k,ondasukomponentesumeirazlikevektorazadaneformulama:a +

b = (ax + bx)

i + (ay + by)

j + (az + bz)

ka

b = (axbx)

i + (ayby)

j + (azbz)

kMnozenjevektora askalaromodredenojeformulom:a = a = ax

i + ay

j + az

k.Jedinicnivektorvektora auoznacia0dobivasemnozenjemvektoraaskalarom1/[a[:a0=1[a[ausmislunavedenogmnozenja. Komponentejedinicnogvektora a0po-dudarajuseskosinusimasmjeravektora a.Vektor AB s pocetkom ili hvatistemu tocki A = (xA, yA, zA) i zavrsetkomiliciljemutockiB= (xB, yB, zB)pokomponentamaimazapis:AB= (xBxA)

i + (yByA)

j + (zBzA)

k.Radijusvektor tockeM= (xM, yM, zM)uoznaci rMimakomponente:rM= xM

i + yM

j + zM

k.vrijedi:AB= rBrA.Zadatak4.11Radijus vektori vrhovatrokutaABCsuredom:rA,rB,rC.Napisiteradijusvektortezistatrokuta.59Rjesenje:Tezistetrokutajetockaukojojsesijekutezisnicetrokuta. Tezisnicatrokutajeduzinakoja spaja vrh s polovistem nasuprotne stranice. Teziste dijeli svaku od tezisnica u omjeru2 : 1 gledano odvrha trokuta. Navedene cinjenice nalaze seu svakim boljimlogaritam-skim tablicama, odnosno matematickom prirucniku [7]. Ako se pregledno nacrta trokut iishodiste koordinatnog sustava, tada je jasno da vrijedi:OB +BC =OCBC =rC rB.Ako jePapoloviste stranicea, tada jeBPa =12BC =12(rC rB)i vrijediAB +BPa=APa rB rA + 12(rC rB) =APa12 rB + 12 rC rA=APaTeziste T trokutaABCnalazi sena2/3tezisnice APaizvrhaA. Vektorski zapistecinjenice izgleda:AT=23APa,odakle slijedi slijedeci racun:OT =OA+AT rT=rA + 23APa rT=rA + 23(12 rB + 12 rC rA) rT=rA + 13 rB + 13 rC 23 rA rT=13 rA + 13 rB + 13 rCZadatak4.12Odredite komponente vektoraa =ABako je A(1, 3, 2) iB(5, 8, 1).Rjesenjeslijedi neposredno iz denicije radijus vektora i denicije zbrajanja vektora:OA+AB =OBAB = rBrA= 4

i + 5

j 3

k60Zadatak4.13Izracunajteduljinuvektoraa=20

i + 30

j 60

ki kosinusesmjerazadanogvektora.Rjesenjese dobiva neposrednim uvrstavanjem u formulu navedenu u uvodu:[a =_202+ 302+ 602= 70cos =2070=27cos =3070=37cos =6070= 67Zadatak4.14TockeA(2, 2, 0)iB(0, 2, 5)zadanesusvojimpravokutnimkoordinatama. Raspisitevektor ABpokomponentamausmjeruvektorabazeiodrediteduljinuvektora.Rjesenje se dobiva neposrednim uvrstavanjem:AB = (0 2)

i + (2 2)

j + (5 0)

k = 2

i 4

j + 5

k,kao i duljina vektora:[AB[ =_AB2=4 + 16 + 25 = 6.71Zadatak4.15Vektor r zatvara s koordinatnim osima jednake siljaste kuteve.Odreditekuteveikomponentevektorar,akoje [r[ = 23.Rjesenje.Jednakost kuteva povlaci jednakost kosinusa:cos x = cos y = cos z.Uvjet siljatih kuteva povlaci pozitivnost kosinusa:cos i> 0.Kosinusi kuteva zadovoljavaju jednakostcos 2x + cos 2y + cos 2z = 13 cos 2x = 1cos x = +_13= 0.57735x = y = z = 54o44

8

61Jedinicni vektor u smjeru vektora r ima komponente:r0 = cos x

i + cos y

j + cos z

ka za vektor r vrijedir = 23r023 = 23(_13

i +_13

j +_13

k)= 2

i + 2

j + 2

kZadatak4.16Zadanasutri uzastopnavrhaparalelogramaABCD: A=(1, 2, 3), B=(3, 2, 1)iC=(6, 4, 4). Odreditecetvrtivrhiopsegparalelo-grama.Rjesenjeje lakse naci nakon dobre skice na kojoj se istakne ishodiste i tri zadane tocke.Po deniciji zbrajanja vektora ulancavanjemOD =OA+AD.Iz denicije paralelogramaAD =BC.Slijedi racun:OD =OA+BCrD=

i 2

j + 3

k + 3

i + 2

j + 3

krD= 4

i + 6

kD = (4, 0, 6).Opsegjezbroj duljinasvihstranica. Koristeci serijecnikomvektorskogracuna, opsegparalelograma ce biti:O = 2[AB[ + 2[BCO = 2[2

i + 4

j 2

k[ + 2[3

i + 2

j + 3

k[O = 24 + 16 + 4 + 29 + 4 + 9O = 46 + 222 = 19.18jedinicnih duljina.Zadacizasamostalnorjesavanje.1. Izraziteubazi V3vektor AB, gdjejeA=(2, 1, 0)i B=(2, 3, 3).Izracunajte duljinu vektora i kosinuse kuteva koje zatvara s koordinat-nimosima.622. Zadan je vektor a =AB svojim komponentama ax= 2, ay= 4, az= 1ihvatistemuA = (0, 4, 2). NaditekrajBvektora AB.3. Zadani suradijusvektori vrhovatrokutaABCD: rA= i + 2

j+ 3

k,rB= 3

i+2

j+

k i rC=

i+4

j+

k. Dokazite da je trokut jednakostranican.4. Odredite projekcije vektora a na koordinatne osi, ako je a =AB+CD,azadanesutocke: A(0, 0, 1), B(3, 2, 11), C= (4, 6, 5)iD = (1, 6, 3).5. Izracunajtemodulvektoraa =

i + 2

j +

k 15(4

i + 8

j + 3

kiodreditekosinusesmjerova.6. ZadanesutockeM1(1, 2, 3)i M2(3, 4, 6). Naditeduljinui jedinicnivektorusmjeru M1M2.7. Zadanjevektora=4

i 2

j+ 3

k. Odreditevektor b, akoje [

b[=[a[,by= ayibx= 0.8. RadijusvektortockeMzatvarakutod60opremay-osi i kutod45oprema z-osi. Duljina vektora jednaka je 8 jedinicnih duljina. IzracunajtekoordinatetockeMakojeapscisatockeMnegativna.Rjesenja zadataka 1-7.1.AB = 4

i + 2

j + 3

k, [AB[ = 33, (0.77, 0.38, 0.58).2. B = (2, 8, 1)3.AB = rBrA = 2

i 2

k, [AB[ = [BC[ = [AC[ = 224. ax = 0, ay = 2, az = 25. [a[ = 3/5, cos = 1/3, cos = cos = 2/3.6. [M1M2[ = 7; (M1, M2)0 = 2/7

i 6/7

j + 3/7

k.7. Dva su rjesenja:

b = 2

j + 5

k i

b = 2

j 5

k.8. M= (4, 4, 42)634.8 SkalarniproduktNekaje [a[duljinavektora a. Skalarniproduktdeniraseformulom:a

b = [a[[

b[cos gdjejekutmeduvektorima. Svojstvaskalarnogproduktasu:- komutativnost: a

b =

ba- distributivnost a(

b +c) =a

b +ac- kvaziasocijativnost: a

b = a

b- a2= [a[2- a

b = 0akosuvektoriokomitiiliakojejedanodnjih 0nulvektor.Skalarnaprojekcija vektora anasmjervektora

bjebroj:a

ba

b[

b[.Predznakprojekcijejenegativanakovektorizatvarajutupikut.Vektorskaprojekcija vektora anasmjervektora

bjevektora =a

b

b2

bkolinearanvektoru

b.Zadatak4.17Vektoripi qsujedinicni vektori koji zatvarajukut od/3.Vektoria=3 p 2q,

b= 2 p + qic=7 p 4qdobiveni sukaolinearnekombinacije vektora p i q. Izracunajte zbroj duljina vektora a,

b i c. Odreditekutovekojezatvarajuvektori a, bi c.Rjesenjese dobiva koristenjem denicije skalarnog produkta.64- duljina vektora a dobiva se iz svojstva[a[2=a2= (3 p 2q)2koristeci se svojstvima kvaziasocijativnosti i komutativnosti:(3 p 2q)2= 9 p212 pq + 4q2= 91 1211cos 3+ 41= 7[a[ =7 = 2.65- duljine vektora

b i c dobivaju se analogno:[

b[2=

b2= (2 p +q)2= 4 p24 pq +q2= 4 4 cos 12 + 1[

b[ =3 = 1.73[c[ =51 = 7.14,pa je zbroj dobivenih duljina vektora u iznosu 11.52 jedinicne duljine.- kut izmedu vektora a i

b dobiva se kao jedina nepoznanica u jednadzbi iz denicijeskalarnog produkta:a

b = [a[[

b[cos (3 p 2q)(2 p +q) =7 3cos 6 p2+ 4q p + 3 pq 2q2=21cos 6 + 2 + 32 2 =21cos [ :214.521= cos 0.98198 = cos = 169o6

23

,gdje jekut izmedu vektora a i

b.- kut se moze dobiti uvrstavanjem u formulu koja je u nekim prirucnicima izvedena:cos(

b, c) =a

b[

b[[c[=(2 p +q)(7 p 4q)3 51=14 p2+ 8 pq + 7q p 4q215365=14 + 4 +72 4153= 0.84887 = 148o5

22

.- bilo kako racunali kut izmedu vektora a i c iznosi 32o8

11

.Zadatak4.18Naditeskalarnui vektorskuprojekcijuvektoraa=2 p 3qnasmjervektora b =p +q,akoje [ p[ = 2, [q[ = 3i ( p, q) = 60o.Rjesenjaizlaze iz denicije. Skalarna projekcijaa

b =a

b[

b[dobiva se nakon racunanja: pq = [ p[[q[cos 3= 23 12= 3;a

b = (2 p 3q)( p +q)= 2 p23 pq + 2 pq 3q2= 8 9 + 6 27 = 22.[

b[2=

b2= ( p +q)2=p2+ 2 pq +q2= 4 + 6 + 9 = 19[

b[ =19.a

b = 2219= 5.05.Vektorska projekcija dobiva se jednim zahvatom vise. Uvazavajuci dobivene rezultate:a

b=a

b[

b[2

b=2219( p +q)zadatak je priveden zavrsetku.4.9 Zadacizasamostalnorjesavanje1. Napisitetablicuskalarnogmnozenjazabazicnevektore.Rjesenje:

i

i =

j

j =

k

k = 1;

i

j =

i

k =

j

k = 0.662. Izracunajteduljinedijagonalaparalelogramarazapetogvektorima a =

i +

ji

b = k 3

j.Rjesenje: duljine dijagonala iznose 2.4 i 4.2 jedinicnih duljina.3. Odreditekutizmeduvektora a =

i +

ji

b =

i 2

j + 2

k.Rjesenje: kut ima 3/4 radijana.4. Odreditetakodavektori2

i 3

ji

i + 4

jbuduokomiti.Rjesenje: = 6.5. Naditeduljinestranicai kutevetrokutasvrhovimaA(1, 2, 3), B=(2, 1, 2)iC= (0, 3, 0).Rjesenje: dvijesustranicepo3.3, jednaje3.5jedinicneduljine, kutevi: dvapo58.5o, jedan od 63o.6. Odrediteskalarnuprojekcijuvektora a=

i +

j + 2

knasmjervektora

b =

i

j + 4

k.Rjesenje: a

b = 1.867. Naci duljine dijagonala paralelograma razapetog vektorima a = 2 m+n,

b = m2nakosu mi njedinicnivektorikojizatvarajukut60.Rjesenje: duljine dijagonala su 2.6 i 3.6 jedinicnih duljina.8. Izracunajteduljinedijagonalaparalelogramarazapetogvektorima a =2 m+n i

b = m2n, ako su m i n jedinicni vektori, a kut koji zatvaraju,( m, n) =3.Rjesenje: [a +

b[ = 2.19, [a

b[ = 3.90.Zadatak4.19Odrediteparametartakodamodulivektora a(2a, , 1)i b = ( + 1, 2, 0)budujednakiiodreditekutizmedunjih.Rjesenje zadatka moguce je tek nakon pravilne interpretacije nacina na koji su zadanivektori. Urazlicitimknjigamizbirkamamogucejenaicinarazlicitenacinezapisivanjavektora u pravokutnoj bazi:a(2a, , 1) = 2a

i +

j + ( 1)

k

b = ( + 1, 2, 0) = ( + 1)

i + ( 2)

jNakon toga, jednakost modula vodi na racun:[a[ = [

b[_4a2+2+22 + 1 =_2+ 2 + 1 +24 + 4[24a2= 4 = 0.67Nakonnalazenjakomponenti vektorai zapisauekonomicnomoblikua=(2, 0, 1) i

b = (1, 2, 0), neposrednim uvrstavanjem dobiva secos =a

b[a[[

b[=255= 0.4,iz cega slijedi = 66o25

19

Zadatak4.20Zadani su vrhovi paralelograma: A(3, 2, 0), B(3, 3, 1), C(5, 0, 2)iD(1, 1, 1). Izracunajtekutmedudijagonalama.Rjesavanje zadatka treba poceti provjerom vektora koji razapinju paralelogram:AB = (6, 1, 1)CD = (6, 1, 1)i daju poredak tocaka u paralelogramu: ABCD. Tada su dijagonale:AC = (8, 2, 2)BD = (4, 4, 0).Konacno je trazeni kut:cos =32 + 8 + 06242= 2448 =23,no kako se za kut izmedu pravaca opcenito uzima manji od dva vrsna kuta, to je u ovomslucaju kut medu dijagonalama3= 60oZadatak4.21Zadane su tocke A(3, 3, 2), B(0, 3, 4), C(0, 3, 0) i D(0, 2, 4).IzracunajtevektorskuprojekcijuCDAB.Rjesavanjezadatka pocinje nalazenjem komponenti vektoraAB = (3, 6, 6)CD = (0, 5, 4)a zavrsava uvrstavanjem u formulu:ABCD=AB CD[AB[2 (3

i 6

j + 6

k)=30 249 + 36 + 36(3

i 6

j + 6

k)=23(3

i 6

j + 6

k)= 2

i + 4

j 4

k684.10 VektorskiproduktVektorskiproduktuR3binarnajeoperacija : R3R3R3deniranopisomvektorac =a

bkojiimasmjer,orijentacijuiiznosopisanetvrdnjama:1) cjeokomitnaravninuodredenuvektorima ai

b2) a,

bi cunavedenomporetku cinedesnubazu3) [c[ = [a

b[ = [a[[

b[sin odgovarapovrsiniparalelogramarazapetogvektorima ai

b.Svojstvavektorskogproduktasua) antikomutativnost a

b =

b ab) distributivnost a (

b +c) =a

b +a cc) kvaziasocijativnosta

b = a

b1. mnozenjejednakihvektora a a =

0Zadatak4.22Nadite duljinukrace visine i povrsinuparalelogramaraza-petogvektorima2

b ai3a + 2

b,akoje [a[ = 5, [

b[ = 4ikut (a,

b) =4.Rjesavanje zadatkadobrojepoceti nalazenjemformulekojapokazujeodnospovrsine,duljinestranicei visinenatustranicu. Formulasemozenaci uboljemmatematickomprirucniku i glasi:P= ava,gdje jea duljina jedne od stranica, avavisina paralelograma okomita na tu stranicu.Vektorski racunpovrsinuparalelogramaracunakaoduljinuvektoradobivenogvek-torskim produktom vektora odredenih stranicama paralelograma:P= [(2

b a) (3a + 2

b)[.Distributivnostomogucavamnozenjezagradasvaki sasvakim, nobuduci dakomuta-tivnost ne vrijedi, vazno je pisati produkt u pravilnom poretku. Vrijedi kvaziasocijativnost.P= [6

b a + 4

b

b 3a a 2a

b[.69Mnozenje jednake vektore ponistava, a antikomutativnost daje:P = [6

b a + 2

b a[= [8

b a[= [8[[

b[[a[sin 4= 845 22= 802Za izracunavanje duljine visine nedostaje duljina stranice. Buduci se iz podataka ne otkrivakoja je dulja stranica, treba izracunati duljine obje stranice. Skalarno mnozenje jednakihvektora daje(2

b a)2= [2

b a[24

b24

ba +a2= [2

b a[2416 454 22+ 25 = [2

b a[2_89 402 = [2

b a[duljinu prve stranice, dok racun:[3a + 2

b[2= (3a + 2

b)2= 9a2+ 12a

b + 4

b2= 225 + 1202 + 64[3a + 2

b[ =_289 + 1202dajeduljinudrugestraniceparalelograma. Poformuli kojapovezujepovrsinui visinuparalelograma sa duljinom stranice, dobivaju se dvije visine:v1 =802_89 402= 19.87v2 =802_289 + 1202= 5.28Trazena je duljina krace i ona iznosi 5.28 jedinicnih duljina.Zadaci1. Izracunajte povrsinuparalelogramacije dijagonale odredujuvektori3 m + 3nim n, gdjesu mi njedinicni vektori koji zatvarajukut6.Rjesenje. Zadijagonaleparalelogramavrijedia +

b=3 m + 3n, a

b= m ngdje su a u

b vektori koji odreduju stranice paralelograma. Rijesiti sustav po a i bi povrsina je 1.5 kvadratnih jedinica.702. Napisitetablicuvektorskogproduktazabazicnevektore.Rjesenjeje tablica:

i

j

k

i

0

k

j

j

k

0

i

k

j

i

03. Pokazite da je vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora mozeracunatiformalnokvazideterminantom:a

b =

i

j

kaxayazbxbybz.4. Nekasu a =

i +

ji

b =

i + 2

j. Izracunajte a

b.Rjesenje: 3

k5. Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima a = 2

j +

ki

b =

i + 2

k.Rjesenje: P= 4.6,v = 2.05, a radi se o rombu.6. Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) i C(4, 3, 2).RjesenjeP= 4.9 kvadratnih jedinica7. Odredite jedinicni vektor okomit na vektore a =

i+

j+2

k i

b = 2

i+

j+

k.Rjesenje: n0 = 111(

i + 3

j

kZadatak4.23Odrediteskalarnuivektorskuprojekcijuvektora a =

b

bnavektor

d =AB,akojeA = (2, 2, 1), B= (0, 1, 3),

b = 2

i

j + 3

kic = 2

i +

j +

k.Rjesenje. Potrebno je naci zapise vektora a i AB:a =

i

j

k2 1 32 1 1= 4

i + 8

j.AB = 2

i +

j 2

k.Skalarna projekcija:aAB =8 + 8 + 04 + 1 + 4=163,a vektorska projekcija:aAB =169 (2

i +

j 2

k).71Zadatak4.24Zadani suvektoria=(1, 1, 1), b=(1, 1, 0)ic=(1, 1, 0).Odreditenepoznativektorxkojizadovoljavauvjete:xa = 3x

b = cRjesenje. Nepoznati vektorx treba traziti po komponentama pretpostavkom da jex =

i +

j +

ki zadatak se svodi na nalazenje nepoznanica, i. Jednadzbe izlaze iz uvjeta:xa = + + = 3x

b =

i

j

k 1 1 0=

i

j + + = 3

i +

j + ( )

k =

i

j.Koristeci se nezavisnosti vektora baze trodimenzionalnog prostora, dobiva se = 1 = ,sto uvrstavanjem u prvi uvjet daje2 1 = 3 = 2 = 2i trazeni vektor vise nije nepoznat:x = (2, 2, 1).4.11 MjesovitiproduktDenicijai racunanjemjesovitogproduktaukoordinatnomzapisuvektoradanisurelacijom:(a

b)c =axayazbxbybzcxcyczGeometrijski, apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumen paralelepipedarazapetogvetorima a,

bi c.72Volumentetraedraodradenogvektorima a,

bi cracunasepoformuli:Vtetraedra=16[(a

b)c[.Komplanarnivektori suonivektorikojilezeujednojravnini.Svojstvamjesovitogprodukta:a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesoviti se produkt ne mi-jenja. Zamjena bilo koja dva vektora umjesovitomproduktupovlacipromjenupredznaka.b) Zamjenomvektorskogi skalarnogproduktamjesoviti produktsenemijenjac) Mjesovitiproduktjednakjenulikodkomplanarnihvektora.Zadaci1. Nacivolumenivisinuparalelepipedarazapetogvektorimaa = 2

i

j

k

b =

i + 3

j

kc =

i +

j + 4

k.(rj: V= 33,v= 4.4)2. Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvog zadatka?(rj:V= 5.5)3. Pokazite dasuvektori a =

i+3

j+2

k,

b =2

i 3

j 4

ki c =3

i+12

j+6

k komplanarni i rastavite vektor c na komponente u smjeruvektora ai

b. (rj: V= 0, c = 5a +

b)4. Zadani suvektori a=(1, 1, 1)i b=(1, 2, 0). Naditetakavvektorckoji je komplanaran s a i

b, okomit na a i c

b = 14. (rj: c = (4, 5, 1))Zadatak4.25Dokazite da tocke A(2, 1, 2), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0) i D(5, 0, 6)pripadajujednojravnini.73Rjesenje. IstinitajecinjenicadajevolumentetraedrasvrhovimaABCDjednaknulisamo u slucaju da sve cetiri tocke leze u jednoj ravnini. Dokaz tvrdnje slijedi iz jednakosti16(AB AC) AD = 0(AB AC) AD = 0.Vektorski produkt racuna se pomocu determinante tek kad se vektori raspisu po kompo-nentam ortonormirane baze:AD = 3

i +

j 4

kAB =

i + 3

j + 3

kAC = 4

j + 2

k.Racunanjem determinante3 1 41 3 30 4 2= 3(6 12) (2) 4(4)= 3(6) + 2 + 16= 18 + 18= 0dokazuje se tvrdnja zadatka.Zadatak4.26Odrediteonajodjedinicnihvektoraokomitihnavektore a =(2, 6, 1) i

b =(1, 2, 0), koji s vektoromc =(2, 1, 0) zatvarasiljastikut. Usmjerutogvektoraodreditevektor

dtakodavektori a,

bi

drazapinjuparalelepipedvolumena18kubicnihjedinica.Rjesenjezadatka slijedi nakon nekoliko etapa. Prvi korak je nalazenje jednog od vektorakoji su okomiti na vektore a i

b:a

b =

i

j

k2 6 11 2 0= 2

i

j + 2

k.Postoji beskonacnomnogovektorakoji suokomiti naai na

b, jervektor2

i

j + 2

kpomnozen bilo kojim skalarom, ponovo ce biti vektor okomit na a i

b.Slijedeci uvjetjesiljastostkutakoji dobiveni vektorzatvarasazadanimvektoromc = (2, 1, 0):cos =(a

b)c[a

b[[c[=2 + 14 + 1 + 4 4 + 1=335,odakle je = cos115= 63o,74pa slijedi da dobiveni vektor 2

i

j + 2

k zatvara siljasti kut s vektorom c.Buduci je[a

b[ =4 + 1 + 4 = 3,jedinicnivektorokomitnavektorea = (2, 6, 1)i b = (1, 2, 0), kojisvektoromc =(2, 1, 0) zatvara siljasti kut je vektor(a

b)0 =13(2

i

j + 2

k).Vektor

d koji se u zadatku trazi ima isti smjer, pa je

d = 13(2

i

j + 2

k).Zahtjev da

d s vektorima a i

b razapinje paralelepiped volumena 18 kubicnih jedinica dajejednadzbu za:[23332 6 11 2 0[ = 18[3[[2 1 12 6 11 2 0[ = 18[[3(22 + 1 + 2) = 18[[ =18391 = 6 2 = 6.Zadatak ima dva vektora kao konacno rjesenje:

d1 = 4

i 2

j + 2

k

d2 = 4

i 2

j + 2

k.Zadatak4.27Izracunajtevolumenparalelepipedaciji subridovi odredenivektorima m =a +

b +c,n =a +

b ci p =a

b +c,akojepoznatosamotodavektori a,

bi crazapinjuparalelepipedvolumena3/4kubicnejedinice.Rjesenje. Buduci vektori a,

b i c nisu ortonormirani, ne moze se koristiti determinanta unalazenju mjesovitog produkta. Ostaje samo denicija:V = [( mn) p[= [((a +

b +c) (a +

b c))(a

b +c)[.75Buduci jevektorskomnozenjedistributivnogledezbrajanjasmijesevektorski mnozitizagrade po nacelu svaki sa svakim uz obavezan oprez postivanja poretka u vektorskomumnosku:V = [(a

b a c +

b a

b c +c a +c

b)(a

b +c)[= [(2c a + 2c

b)(a

b +c)[,jer je mnozenje antikomutativno, pa svaka zamjena mjesta vektora u vektorskom produktupovlaci promjenu predznaka.Skalarno mnozenje je distributivno, pa se zagrade ponovo mnoze po nacelu svaki sasvakim. Izostavljeni su monomi u kojima se dvaput javlja isti vektor, jer imaju vrijednostnula.V = [ 2(c a)

b + 2(c

b)a[= [2(c

b)a + 2(c

b)a[,jer svaka zamjena vektora u mjesovitom produktu povlaci promjenu predznaka produkta.Konacno:V = [4(c

b)a)[= 4 34= 3po uvjetu u zadatku.ProblemskizadaciU slijedecim zadacima pokusajte dokazati tvrdnje. Zadaci nemaju rjesenja.Ispravnost dokaza sastoji se u logicnom slijedu tvrdnji koje proizlaze iz deni-cijaiteoremakojisudokazaniiprethodnomdijeluzbirke.1. Dokazitedasuzasvakatri povolji odabranavektoraa,

bicvektoria

b,

b ci c akomplanarni.2. Dokazite da za vektore napisane po komponentama ortonormirane bazetrodimenzionalnogsustavaa = ax

i + ay

j + az

k

b = bx

i + by

j + bz

kc = cx

i + cy

j + cz

kvrijedi(a

b)c =axayazbxbybzcxcycz.763. Dokazatidazabilokoja4trodimenzionalnavektoravrijedi(a

b)(c

d) =ac a

d

bc

b

d.Uputa: Svaki se trodimenzionalni vektor moze raspisati po komponentama ortogo-nalne baze. Algebarska razrada lijeve i desne strane vodi na podudarnost.4.12 IspitnizadacisvektorimaNa ispitu dolaze zadaci kojima se provjerava razumijevanje vektorskog racunau stovecemopsegu. Zadaciseupraviluneponavljaju.Zadatak4.28Vektor n komplanaran je s vektorima p i q, pri cemu je [ p[ =2, [ q[ = 4i ( p, q) = /4. Akoje n p = 8i n q= 16odreditea) jedinicnivektorvektorankaolinearnukombinacijuvektora piq,b) [n +q[c)

(n,p).Rjesenje.Komplanarnost vektoran,p i qpodrazumijeva da se vektorn moze napisati kao lin-earna kombinacija vektora p iq:n = p +q.Nepoznatiskalari i dobivajuseizuvjetakojiprelazeujednadzbe. Prviuvjetdajeprvu jednadzbu za i:n p = 8( p +q) p = 8 p2+q p = 84 +24 12= 84 + 4 = 8,a drugi uvjet drugu jednadzbu:nq = 16( p +q)q = 16 pq +q2= 164 + 16 = 16.77Sustav_4 + 4 = 84 + 16 = 16ima rjesenje = 4/3, = 2/3, pa je vektor n linearna kombinacijan = 4/3 p + 2/3q.Sada se mogu rjesavati zahtjevi zadatka.a) Vektor n = 4/3 p + 2/3q nije jedinicni:[n[ =_(4/3 p + 2/3q)2= _16/9 p2+ 16/9 pq + 4/9q2= 2/3_4 p2+ 4 pq +q2= 2/316 + 16 + 16 = 83/3.Jedinicni vektor u smjeru n dobiva se nakon mnozenjan0 =1[n[n =383 23(2 p +q)i daje rjesenje pod a):n0 =36 p +312 q.b) Racunanjemn +q = 4/3 p + 2/3q +q= 4/3 p + 5/3q.[n +q[ = 1/3_16 p2+ 40 pq + 25q2= 1/364 + 160 + 400 = 1/3624 = 439/3dolazi se do rjesenja.c) Analogno, koristeci rezultat b) dijela zadatka i uvjet zadatka,cos =n p[n[[ p[=8833 2=32 = (n,p) =3Zadatak4.29Naditevektorc, kolinearanvektorua +

b, akojea

b=5,c

b = 18i [

b[ = 2. Napisitevektor ckaolinearnukombinacijuvektora ai b.78Rjesenje. Kolinearnost vektora c i vektora a +

b algebarski se zapisuje:c = (a +

b),gdje 1 treba otkriti. Jednadzba koja otkriva izlazi iz uvjeta:c

b = (a +

b)

b = 18,koji zbog a

b = 5 prelazi u(a

b +

b2) = 18(5 + 4) = 18 = 2,pa je vektorc = 2a + 2

b.Zadatak4.30Naditevektorxokomitnavektorea = (3, 2, 1)

b = (2, 1, 3)c(1, 1, 1)Rjesenje. Nepoznati vektor trazimo u opcenitom zapisux = (, , )uz uvjete da skalarni produkt ponistava okomite vektore:xa = 3 + 2 = 0x

b = 2 + 3 = 0xc = + = 0.Sustav jednadzbi ima samo jedno rjesenje: = = = 0pa je jedini vektor okomit na tri ocito nekomplanarna vektora nuzno jedino nulvektor:x =

0.Zadatak4.31Zadani suvektori OA=(1, 1, 1), OB=(4, 4, 4), OC=(3, 5, 5), OD = (2, 2m, 3m + 1)ivektor a = 3

i 5

j + 2

k.a) Odreditemtakoda ADbudeokomitnavektor a.79b) IzracunajtevolumentetraedraABCD.Rjesenje.a) Vektor:AD =OD OA =

i + (2m1)

j + 3m

ki uz uvjet okomitosti koji ponistava skalarni produkt:AD a ADa = 03 5(2m1) + 6m = 03 10m+ 5 + 6m = 08 = 4mm = 2b) Za nadenu vrijednostm = 2 vektori koji razapinju tetraedar su:AB = (3, 3, 3)AC = (2, 4, 4)AD = (1, 3, 6)i volumen tetraedraV =16[3 3 32 4 41 3 6[V =16[(312 38 + 32)[V =16[(36 24 + 6)[iznosi 3 kubicne jedinice.Zadatak4.32Izracunajte velicinu kuta sto ga zatvaraju jedinicni vektorimin,akosuvektoris = m + 2ni t = 5 m4nokomiti.Rjesenje. Postupak nije dugacak, ali je zahtjevan za razumijevanje:s

t s

t = 0( m+ 2n)(5 m4n) = 05 m2+ 10 mn 4 mn 8n2= 06 mn = 3[m[[n[ cos =12 =380Zadatak4.33Trijedinicna,alineiortogonalnavektora

i, ji kzatvarajukuteve:

(

i,

j) = /4, (

j,

k) = /2i (

k,

i) = 2/3. Akoje a =

i

j +

k,a

b =

i +

j,nadite [a

b[.Rjesenje. Poznata svojstva distributivnosti i antikomutativnosti redom dajua

b = (

i

j +

k) (

i +

j)=

j

i +

k

i +

i

j +

k

j= 2

i

j +

k

i +

k

j[a

b[ =_(a

b)2=_4(

i

j)2+ (

k

i)2+ (

k

j)2+ 4(

i

j)(

k

i) + 2(

k

j)(

k

i)=7/2,jer je, primjerice:(

i

j)2= [

i

j[2= [

i[2[

j[2sin2(/4) = 1/2,dok je po 3. problemskom zadatku:(

k

j)(

k

i) =

k

k

k

i

j

k

j

i,a skalarne produkte valja racunati po deniciji:

k

i = [

k[[

i[ cos(2/3) = 1/2.Zadatak4.34TockeA(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6) i D(2, 3, 8) vrhovi supiramide. Izracunajtea) volumenpiramideb) visinunastranicuABCRjesenje.a) Vektori koji odreduju trostranu piramidu su:AB = 2

i + 3

jAC = 2

i + 6

kAD = 3

j + 8

k81a volumen piramide dobiva se racunom:V = [162 3 02 0 60 3 8[=16[(2(18) 3(16))[16[ 84[ = 14b) Visina na stranicuABCkao na osnovicu dobiva se iz srednjoskolske formuleV=Bv3,gdje je V- volumen piramide, B - povrsina osnovice i v - visina piramide mjerena odosnovice povrsine B. Povrsina osnovice dobiva se kao polovica apsolutne vrijednostivektorskog produkta:B =12[AB AC[=12[

i

j

k2 3 02 0 6[=12[18

i + 12

j + 6

k[= 3[3

i + 2

j +

k[= 39 + 4 + 1 = 314Sada ostaje izracunati duljinu visinev:v =3VB=42314=14 = 3.7i zadatak je rijesen.Zadatak4.35Zadani suvektori a=(2, 1, 1 ),

b =(1, 3, 0) i c =(5, 1, 8). Odrediteparametartakodavektorazatvarajednakekutovesvektorima

bi c. Zatakavodreditenagibvektora apremaravniniodredenojvektorima bic. Zaisti odreditevolumeni jednuodvisinaparalelepipedakonstruiranognadvektorima a,

bi c.Rjesenje. Buduci se kut izmedu vektora nalazi u intervalu [0, ], to ce jednakost kosinusapovlaciti jednakost kutova:a

b[a[[

b[=ac[a[[c[.82Mnozenje modulom vektora a i uvrstavanje koordinata vektora a,

b i c daje:2 + 310=2 + 790[3106 + 9 = 2 + 78 = 2 =14i prvi dio zahtjeva je zadovoljen.Nagib vektora a prema ravnini odredenoj vektorima b ic u stvari je kut pravca kojiimasmjervektoraai jedneodravninaparalelnihvektorima bi c. Taj kutdenirasekao siljasi kutpravcai njegovevertikalneprojekcije(sjene)uravnini. Vektorski racunomogucava nalazenje kuta koji zatvaraju vektor a i vektor okomit na vektore

b i c:

b c =

i

j

k1 3 05 1 8= 24

i + 8

j 14

k.Kut se racuna po standardnoj formuli:cos =a(

b c)[a[[

b c[=12 + 8 212_14 + 1 +914 836=9.51.8125836= 0.24405 = 76oi daje komplement kuta kojeg zatvara smjer vektora a i ravnina odredena vektorima

b i c.Trazeni kut: = 14o.Volumen paralelepipeda kojeg zatvaraju vektori a,

b i c racuna se pomocu determinante:V=121341 3 05 1 8=1224 + 8 + 34(14) = 9.5,sto je bilo i za ocekivati iz prethodnog racunanja kuta.Ako se za visinu odabere upravo visina na bazu - paralelogram razapet vektorima

b ic, koristeci rezultatB = [

b c[ =836i srednjeskolsku formuluV= Bv83dobiva sev =VB=9.5836= 0.32i zadatak je u potpunosti rijesen.4.13 ZadacizavjezbuZadaci sunamijenjeni samostalnomrjesavanju. Zadatke koje ne mozeterijesiti sami, rijesiteusuradnji sdemonstratorom, asistentom, profesoromili instruktorom. Ipak, prijenostopotrazitestrucnupomoc, bilobi dobrokadbisamostalnorijesilibaremtripostavljenazadatka.Zadaci1. Pokazite da su vektori a =

i+3

k,

b = 2

i3

j 4

k i c = 3

i+12

j +6

kkomplanarni,parastavitevektor cnalinearnukombinacijudrugadvavektora.Rjesenje: c = 5a +

b.2. Vektori ai bzadanisutako, daje [a[=3, [

b[=4, akutmedunjimaje120o. Kolikajeduljinavektora c = 2a 1.5

b?Rjesenje: [c[ = 10.4 jedinicne duljine.3. Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovi tockeA(0, 0, 1),B(2, 3, 5),C(6, 2, 3)iC(3, 7, 2).Rjesenje: V= 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).4. TockeA(3, 2, 0),B(3, 3, 1)iC(5, 0, 2)trisuuzastopnavrhapar-alelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu tog paralelograma. Naditekoordinate cetvrtogvrhaD.Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina,P= 21 kvadratna jedinica,D = (1, 1, 1).5. ZadanisuvrhovitrokutaA(2, 1, 1), B(3, 1, 4)iC(0, 2, 1). IzracunajtepovrsinuzadanogtrokutaiduljinuvisinespusteneizvrhaC:Rjesenje. P= 3.4 kvadratne jedinice,h = 2.1 jedinicne duzine.6. Odredite parametar t tako da tocke A(t+2, 7, 2), B(3, 2, 1), C(9, 4, 4)i D(1, 5, 0) leze u istoj ravnini. Odredite povrsinu cetverokuta ABCD.Rjesenje: t = 8913,P= 24.3 kvadratne jedinice.847. Zadanisuvektori a =

i

j + 3

k, b =

i + 3

ji c = 5

j 2

k. Prikazitevektor ckaolinearnukombinacijuvektora a,

bi a

b.Rjesenje: komponente vektora c su redom (2547,12147, 1994).8. Naosi OZnaditetockuA, takodatockaAzajednostockama: B=(2, 3, 5), C=(6, 2, 3)i D=(3, 7, 2)odredujetrostranupiramiduvol-umena20kubicnihjedinica. OdrediteduljinuvisinezadanepiramidekojajespustenaizvrhaA.Rjesenja: zA = 257/17,h = 5.3 jedinicne duljine.9. Zadanisuvektori a =

i +

j,

b =

i

ji c =

j +2

k. Odreditivektor

dizuvjeta c

d = 1i

d a =

b,azatimnaciskalarnuprojekcijuvektora

dnasmjervektora c.Rjesenje:

d = (3, 3, 1),

dc = (0, 1/5, 2/5).10. Koordinate tocke D tri su uzastopna prirodna broja. Nadite koordinatetocke DtakodatockaDzajednos tockamaA=(1, 2, 4), B=(0, 2, 3)iC= (4, 5, 1)zatvaratetraedarvolumena35/3kubicnihjedinica.Rjesenjeprovjerite sami.11. Naditeskalarnui vektorskuprojekcijuvektoraa=

bc navektor

d = AB, akoje

b = 2

i

j+3

k, c =2

i+ j+ k, A(2, 2, 1),B(0, 1, 3).Rjesenje: skalarna projekcija163 , vektorska: a

d = 169 (2

i

j + 2

k)12. Zadani suvektori a=

i +

j+ 4

k,

b =

i 2

j i c =3

i + m

j+ 4

k.Odreditemtakodavektori a,

bi cbudukomplanarni i izrazi ckaolinearnukombinacijuvektora ai

b.Rjesenje: m = 3, c =a + 2

b.13. ZadanesutockeA(1, 1, 1), B(4, 4, 4), C(3, 5, 5)i D(2, 2m, 3m + 1), tevektor a = 3

i 5

j + 2

k. Odredite:(a) m,takodavektor ADbudeokomitna a(b) volumentetraedraABCDrjesenje: m = 2,V= 3.14. Izracunajtevelicinukutastogazatvarajujedinicni vektoriminakosuvektori s = m + 2ni t = 5 m4nmedusobnookomiti.Rjesenje: kut je 60.8515. Odreditimtako davektor a =12

i +m

j +34

kzatvarajujednake kutovesvektorima

b =

i + 3

ji c = 5

i

j + 8

k.Rjesenje: m = 1.4.14 ZadaciiskljucivozasamostalnorjesavanjeSlijedeci zadaci bili suispitni narokovimaprijasnjihgodina. Rjesenjasudanauslijedecojtocki. Negledajtepreranorjesenja. Uslucajudanekiodzadataka ne znate rijesiti, pronadite slican zadatak rijesen uz strucnu pomoc,naucite ga napamet i onda probajte rijesiti zadatak s kojim imate problema.Zadaci:1. Zadani suvektori:m=2a +

b c i n= 3a +

b c, gdje sua,

b i c jedinicni vektori koji zatvarajukuteve:

(a,

b) =6,

(a, c) =3i

(

b, c) =6. Izracunajteduljinedijagonalaparalelogramakojegrazapinjuvektori i n.2. Tri uzastopna vrha paralelograma su A(1, 1, 2), B(0, 1, 3), C(4, 0, 2).Nadite cetvrtivrhiodrediteduljinukracevisineparalelograma.3. PokazitedatockeA(2, 3, 4), B(1, 3, 2), C(1, 0, 2) i D(3, 3, 4) neleze u jednoj ravnini. Koliko bi visok bio tetraedar odreden tim tockama,kadbigapostavilinaplohuodredenutockamaABC?4. Vektori a, bicrazapinjuparalelepipedvolumenaV =8kubicnihje-dinica. Koliki volumen ce imati paralelepiped koji ce razapinjati vektori2a +

b +c, a + 2

b +ci3a 2

b c?5. Nekasuai bvektori zakojevrijedi: [a[ =4, [

b[ =5, akutizmeduvektora a i

b iznosi 60o. Nadite veci kut u paralelogramu kojeg razapinjuvektori3a + 2

bi2a 3

b.6. Pokazite dasuvektori a =

i+3

j+2

k,

b =2

i 3

j 4

ki c =3

i + 12

j+ 6

kkomplanarni, porastavitevektorcnakomponenteusmjerovimadrugadvavektora.7. Zadane su tocke: A = (2, 3, 3), B= (0, 2, 1) i C= (3, 2, t). Odred-iteparametart, padatrokutABCimapovrsinu16kvadratnihje-dinica.868. Zadane su tocke: A = (t, 2, 1), B= (0, 2, 0) i C= (1, 2, 3). Odred-iteparametart, padatrokutABCimapovrsinu18kvadratnihje-dinica.9. Odredite volumen i oplosje trostrane piramide (tetraetdra) ciji su vrhoviA(0, 0, 1),B= (2, 3, 5),C(6, 2, 3)iD(3, 7, 2).10. Odrediteprvukoordinatux=?tockeD,akotockeA=(2, 3, 1),B=(4, 0, 3), C=(5, 5, 2) i D=(x, 1, 2) odredujutetraedar ukojemvisinaspustenaizvrhaDimaduljinuv= 18jedinicnihduljina.11. Odredite drugukoordinatuy =? tocke C, akotocke A=(5, 1, 4),B=(1, 1, 1), C=(2, y, 3)i D=(3, 2, 1)odredujutetraedarukojem visina spustena iz vrha Cima duljinu v= 15 jedinicnih duljina.12. Dali tockeA(2, 1, 3, B(1, 1, 0), C(3, 6, 9), i D(1, 8, 2)lezeuistojravnini. Ako leze, izrazite vektorABkao linearnu kombinaciju vektoraACiAD. Ako ne leze, izracunajte volumen tetraedra ciji su to vrhovi.13. Izracunajteskalarnuprojekcijuvektora a=(3, 12, 4)navektor b=cqtimes

d,akoje c = (1, 0, 2)i

d = (1, 3, 4).14. TetraedarABCDimaV= 12.5kubicnihjedinica. Akosupoznatatrivrhatetredra: A(2, 0, 1),B(3, 1, 5)iC(4, 4, 4),odreditekoordinatecetvrtogvrhaD,akojevektor ADusmjeruvektora3

i + 2

j +

k.15. Izracunajteduljinestranicai povrsinuparalelogramarazapetogvek-torima a=2 m +ni b= m 2n, akoje [m[=2, [n[=4, dokjekut

( m, n)=/3. Vektoriminsutakvi daje [m[ =2, [n[ =3, akut

( m, n) = /4. Kakav kut zatvaraju vektori= 3 m2n i

b = 4 m+5nkojipredstavljajulinearnekombinacijevektora mi n?16. Napisite komponente vektora x za koji je xa = 4, x

b = 2 i xc = 7,akosuzadanivektori a = 2

i 3

j,

b =

j

ki c =

i +

j

k.17. Odreditevektorduljine7,kojijeokomitnavektore a = 2

i + 3

j 4

ki

b = 3

i

j +

k.18. Tocke A(1, 0, 2), B(3, 2, 1), C(2, 1, 1) i D(1, 1, 1) vrhovi su tetrae-dra. OdreditevolumentetraedraiduljinuvisinespusteneizvrhaD.8719. TockeA(3, 2, 0), B(3, 3, 1)i D(1, 1, 1)vrhovi suparalelogramaABCD. Odredite opseg, povrsinui koordinate vrhaCuzadanomporetkuvrhovaparalelograma.Rjesenja zadataka iskljucivo za samostalno rjesavanje1. Kraca dijagonala ima 0.78 i dulja 5 jedinicnih duljina.2.Cetvrti vrhD=(5, 2, 3), akracavisinajeonanastranicuABi iznosi 3.4jedinicne duljine.3. V= 24 ,= 0, a visina naABCiznosi 5.9 jedinicnih duljina.4. V= 16 kubicnih jedinica.5. Veci kut je 180o71o= 129o.6. c = 9a + 3

b.7. Dva su rjesenja: t1 = 2.36,t2 = 1.78.8. Analogno: t1 = 11.57,t2 = 10.909. V =20kubicnih, aO=11.292 + 12.247 + 13.693 + 18.974=56.2kvadratnihjedinica.10. x1 = 63.99,x2 = 68.39.11. y1 = 17.46,y2 = 19.50.12. Ne leze,V= 19.5 kubicnih jedinica.13. Skalarna projekcija: 6/7.14. D = (11, 6, 2).15. Duljine stranica: [a[ = 43 7, [

b[ = 213 7.2 jedinicnih duljina. P= 203 34.6 jedinicnih duljina.16. Tupi kut, jer je kosinus negativan.17. Rjesenje: x = (1, 2, 4).18. Trazeni vektor je7366(7

i 14

j 11

k).19. V= 7/6 kubicne jedinice, a visina iznosih =73876 0.6 jedinicne duljine.20. O = 238 +214 = 19.8 jedinicnih duljina,P=432 = 20.8 kvadratnih jedinica,C = (5, 0, 2).885 FunkcijejednerealnevarijableUovompoglavljuzadaci suvezani uzproucavanjeosobinafunkcijajednerealnevarijable.Realni brojevi suracionalni ili iracionalni. Svi realni brojevi mogusepredocitikaopolozajitocakanabrojevnompravcu.Apsolutnavrijednostrealnogbrojaxjenenegativnibroj [a[deniranformulama:_a za a 0a za a < 0NekasuXi Y neprazni skupovi. Akopostoji pravilokoje svakomelementu skupa Xpridruzuje jedani samojedanelement skupa Y , govoriseofunkcijskompreslikavanjuskupaXuskupY ilifunkciji :f: X Y.Uobicajenjezapisy= f(x)gdjejex 1-varijablay 1-vrijednostfunkcijef(x)-pravilokojesvakomelementuxpridruzielementy Y .Zadatak5.1Izracunajteizrazf(b) f(a)b azafunkcijuf: 1 1zadanuformulomf(x) = x2.Rjesenje. Najprije se izracunaju vrijednosti funkcije zax = a ix = b:f(a) = a2, f(b) = b2.Nakon toga slijedi:f(b) f(a)b a=b2a2b a= a +b89Zadatak5.2Nekajef: Z 1funkcijazadanaformulom:f(z) =_1 +1z_z.Popunitetablicu:z 10 1000 100, 000 1.000, 000 100.000, 000f(z)Rjesenje: 2.86797, 2.71964, 2.71829, 2.71828, 2.718285.1 PonavljanjeelementarnihfunkcijaZastudentekoji supropustili nauciti usrednjojskoli detaljevaznezanas-tavak skolovanjanatehnickimfakultetima.Elementarne funkcije su funkcije koje se ne mogu napisati kao kompozicijejednostavnijihfunkcija.Polinomi sufunkcijeoblikaf(x) = anxn+ an1xn1+ . . . + a1x + a0.Polinomisedijelepremastupnju. Polinomjenormiran,akojean= 1.Polinomisudeniraninacijelom 1. Grafovipolinomanultog,prvogidrugog stupnja trebali bi biti poznati iz dosadasnjeg skolovanja. Ostalipolinomicrtajusepremaorijentirima:- nultockama, za cije nalazenje nema algoritma u slucaju da stupanjpolinomaprelazi cetiri.- vrijednostimazax=0kojepredstavljajuordinatusjecistasosi0Y .Nacrtatigrafoveslijedecihfunkcija:1. y= 32. y= 12x + 33. y= x2x 2904. y= x2x + 25. y= x2+ x 26. y= x3x24x + 47. f(x) = x33x + 28. f(x) = x3+ 3x2+ 2x9. f(x) = (x2+ x)(x 2)10. f(x) = x332x211. y= x2(x21)12. y= 2x4x316x 3x + 18Uputa. Orijentiri zagrafovepolinomasunultocke. Akosuracionalne, nultockesu medusobni omjeri djelitelja koecijenta uz clan najveceg eksponenta i djeliteljaslobodnog clana.Racionalna funkcijaomjerjedvajupolinoma. Funkcijanijedeniranaunultockamanazivnika.Prikazitegrackislijedeceracionalnefunkcije:1. f(x) =x2x242. f(x) =x3x213. y=x2+8x+15x2(x29)LinearnakombinacijaRacionalnihfunkcijaf(x)i g(x)i realnihbrojevaA