matematika 2 - zbirka zadataka ivan slapnicar (2008)

Download Matematika 2 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

Post on 09-Aug-2015

251 views

Category:

Documents

13 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika 2 - Zbirka zadataka Ivan Slapnicar

TRANSCRIPT

IvanSlapnicarNevenaJakovcevicStorJosipaBaricIvancicaMirosevicMATEMATIKA2Zbirkazadatakahttp://www.fesb.hr/mat2Sveu cilisteuSplituFakultetelektrotehnike,strojarstvai brodogradnjeSplit,ozujak2008.SadrzajPopisslika ixPredgovor xi1 NEODREDENIINTEGRAL 11.1 Neposrednointegriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Metodesupstitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Uvodenjenovogargumenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Metodaparcijalneintegracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Rekurzivneformule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Integriranjeracionalnihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Integriranjetrigonometrijskihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Integriranjeiracionalnihfunkcijaracionalnomsupstitucijom. . . . . . . 141.9 Eulerovaitrigonometrijskasupstitucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Metodaneodredenihkoecijenata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11 Binomniintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.12 Integriranjerazvojemured . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.13 Zadacizavjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.14 Rjesenjazadatakazavjezbu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 ODREDENIINTEGRAL 272.1 Newton-Leibnitzovaformula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Supstitucijaiparcijalnaintegracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28v2.3 Nepraviintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Povrsinaravninskoglika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Duljinalukaravninskekrivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Volumenrotacionogtijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 Oplosjerotacionogtijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Trapeznaformula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9 Simpsonovaformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.10 Zadacizavjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 Rjesenjazadatakazavjezbu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 FUNKCIJEVISEVARIJABLI 434 VISESTRUKIINTEGRALI 455 DIFERENCIJALNEJEDNADzBE 475.1 Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Populacijskajednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Logistickajednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Jednadzbesasepariranimvarijablama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5 Homogenediferencijalnejednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.6 Diferencijalnejednadzbekojesesvodenahomogene . . . . . . . . . . . 565.7 Egzaktnediferencijalnejednadzbeiintegrirajucifaktor. . . . . . . . . . 585.8 Ortogonalnetrajektorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.9 Singularnarjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.10 Linearnediferencijalnejednadzbeprvogreda . . . . . . . . . . . . . . . 635.11 Bernoullijevadiferencijalnajednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.12 Eulerovametoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.13 Diferencijalnejednadzbedrugogreda-Opcerjesenje . . . . . . . . . . . 705.14 ReduciranjeDJ-edrugogredanaDJ-uprvogredaI . . . . . . . . . . . 705.15 ReduciranjeDJ-edrugogredanaDJ-uprvogredaII . . . . . . . . . . . 715.16 ReduciranjeDJ-edrugogredanaDJ-uprvogredaIII . . . . . . . . . . 72vi5.17 HomogeneLDJdrugogredaskonstantnimkoecijentima . . . . . . . . 735.18 NehomogeneLDJdrugogredaskonstantnimkoecijentima . . . . . . . 735.19 HomogeneLDJvisegreda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.20 Principsuperpozicijerjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.21 Metodavarijacijekonstanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.22 Sustavidiferencijalnihjednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.23 Lovac-plijenjednadzba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.24 Zadacizavjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.25 Rjesenjazadatakazavjezbu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856 METODANAJMANJIHKVADRATAIQRRASTAV 89viiviiiPopisslika2.1 Povrsinaravninskoglika(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Povrsinaravninskoglika(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Astroida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Bernoullijevalemniskata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Duljinaluka(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Rotacijaparaboley= x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7 Rotacijaparaboley2= 4x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38ixPredgovorOvazbirkanamijenjenajestudentimatehnickihiprirodnihznanosti, auprvomredustudentimaSveucilistauSplitu, Fakultetaelektrotehnike, strojarstvai brodogradnje(FESB). U zbirci je izlozeno gradivo kolegija Matematika 2 po sadrzaju koji se predajenaFESB-u. Slicansadrzaj nalazi seuvecini istoimenihkolegijakoji sepredajunatehnickimiprirodoslovnimfakultetima.Zbirka pratigradivoinacinizlaganjaudzbenika SveucilistauSplitu: I. Slapnicar,Ma-tematika2,teserjesenjazadataka,radi laksegpracenjairazumijevanja,referencijrajunaodgovarajucedjeloveudzbenika. Poredpotpunorijesenihzadataka, zbirkasadrzi izadatakezavjezbusrjesenjima.Posebnostzbirkejeutomestosvaki zadatakimanaslovizkojegsevidistostudenttrebanauciti.Buduci seradi ostandardnomsadrzaju, nijecitiranaposebnaliteratura. Spomenutcemo samo neke od knjiga koje su utjecale na sadrzaj, a koje preporucujemo i citatelju:B. P. Demidovic,Zadacii rijeseniprimjeriiz visematematike, Tehnicka knjiga, Zagreb,1978.P.Javor,Matematickaanaliza, Zbirkazadataka,Skolskaknjiga,Zagreb,1989.V. Devide, Rijeseni zadaci izvisematematike, svezakII, III,Skolskaknjiga, Zagreb,1992.B.Apsen,Rijesenizadacivisematematike,drugidio,Tehnickaknjiga,Zagreb,1982.U izradi zbirke koristenasu iskustva i zabiljeskebivsihi sadasnjihnastavnika matema-tikenaFESB-upaimovomprilikomiskazujemosvojuzahvalnost.USplitu,ozujka2008.Autorixi1.NEODREDENIINTEGRAL1.1 Neposrednointegriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Metodesupstitucije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Uvodenjenovog argumenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Metodaparcijalneintegracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Rekurzivneformule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Integriranjeracionalnihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Integriranjetrigonometrijskihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Integriranjeiracionalnihfunkcijaracionalnom supstitucijom. . . . . 141.9 Eulerovaitrigonometrijskasupstitucija . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Metodaneodredenihkoecijenata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11 Binomniintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.12 Integriranjerazvojem ured . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.13 Zadacizavjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.14 Rjesenjazadatakazavjezbu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1 NeposrednointegriranjeIzracunajteintegrale:(a)_ _1 1x2__xxdx,(b)_x2x2+ 1 dx,(c)_2x+ 5x10xdx,2 NEODREDENIINTEGRAL(d)_1sin2xcos2xdx,(e)_tg2xdx.Rjesenje. Uracunanjuprimjenjujemo [M2, teorem1.4] itablicuosnovnihintegrala[M2, 1.1.1].(a) Dabismomogliprimjenitiintegralpotencijeiztabliceosnovnihintegralapodin-tegralufunkcijuprvozapisujemoujednostavnijemobliku,pavrijedi_ _1 1x2__xxdx =_ _1 1x2_g)x34dx =_x34dx _x54dx=x7474x1414+C=4x4x37+44x+C=4_x2+ 7_74x+C.(b) Tablicni integral dobivamonakonstobrojnikudodamoi oduzmemobroj 1, pavrijedi_x2x2+ 1 dx =_x2+ 1 1x2+ 1dx =_1 dx _1x2+ 1 dx= x tgx +C.(c) Vrijedi_2x+ 5x10xdx =_ _15_xdx +_ _12_xdx =_15_xln15+_12_xln12+C= 5xln5 2xln 2+C.(d) Koristeciosnovnitrigonometrijskiidentitetdobivamo_1sin2xcos2xdx =_sin2x + cos2xsin2xcos2xdx =_1cos2x dx +_1sin2xdx= tgx ctgx +C.(e) Zapisivanjemfunkcijetgxuobliku tgx =sin xcos xdobivamo_tg2xdx =_ _1cos2x 1_dx =_1cos2x dx _dx= tgx x +C.1.2 Metodesupstitucije 31.2 MetodesupstitucijeIzracunajteintegrale:(a)_dxx a,(b)_dx1 +ex,(c)_sin3x3x2dx,(d)_cos x1 + 2 sin x dx.Rjesenje. Integraleracunamosvodeci zadaniintegral natablicni dopustivomzamje-nom varijable integracije nekom funkcijom (bijekcijom) ili dopustivom zamjenom nekoganalitickogizrazanovomvarijablomintegracije.(a) Umjestox auvodimonovuvarijablut. Potrebnojepromijenitii dxkoji jeuovomslucajujednakdt,jerje dt = d (x a) =dx._dxx a=_x a = tdx =dt_=_dtt= ln|x a| +C.(b) Umjesto1 +exuvodimonovuvarijablut,pavrijedi_dx1 +ex=___1 +ex= texdx =dtx = ln (t 1)dx =dtt1___=_dtt1t=_dt(t 1) t=_1(t1)t=At+Bt1A = 1 B= 1_=_1t 1 dt _1tdt = ln |t 1| ln |t| +C= ln exln (1 +ex) +C= x ln (1 +ex) +C.Osimsuspstitucijeuovomzadatkukoristenjei rastavnaparcijalnerazlomkegdjesmorazlomakpodintegralom1(t1)trastavilinadvajednostavnija.(c) Zbogpojave3xupodintegralnomizrazuuvodimozamjenux = t3,pavrijedi_sin3x3x2dx =_x = t3dx = 3t2dt_=_sin tt23t2dt= 3_sint dt = 3 cos t +C= 3 cos3x +C.4 NEODREDENIINTEGRAL(d) Vrijedi_cos x1 + 2 sin x dx =_1 + 2 sin x = t2 cosdx =dt_=_dt2t=12 ln |t| +C=12 ln |1 + 2 sin x| +C.1.3 UvodenjenovogargumentaIzracunajteintegrale:(a)_sin 3xdx,(b)_(ln x)4xdx,(c)_x_1 +x2dx.Rjesenje. Dabismozadaneintegralesvelinatablicneumjestoxuvodimonoviargu-ment,paumjesto dximamod(noviargument).(a) Noviargumentje3x,akakojed (3x) = 3 dxintegral jepotrebnojopomnozitis13._sin 3xdx13=_sin3xdx(3x) = 13 cos (3x) +C.(b) Zanoviargumentuzimamoln x,pavrijedi_(ln x)4xdx =_(ln x)4d (ln x) =(ln x)55+C.(c) Vrijedi_x_1 +x2dx =_ _1 +x2_12xdx =12_ _1 +x2_122xdx=12_ _1 +x2_12d_1 +x2_=12_1 +x2_3232+C.Oviintegralimogu