Tabla de contenido

Estructuras Hiperestáticas De Hormigón Pretensado.....................................2Generalidades.-.............................................................................................................................................................. 2

Ventajas y desventajas de las estructuras hiperestáticas de HºPº.................................................3Tipos de estructuras hiperestáticas de HºPº................................................................................................4

Teoremas........................................................................................................................................................................... 7Cables concordantes................................................................................................................................................. 7Teorema de Guyon..................................................................................................................................................... 7Teorema Básico............................................................................................................................................................ 8

Transformación lineal, carga balanceada.........................................................................................................9Transformación lineal................................................................................................................................................ 9Carga balanceada....................................................................................................................................................... 9

Calculo de solicitaciones por pretensado......................................................................................................10Momentos secundarios.......................................................................................................................................... 10Calculo directo de los momentos secundarios.........................................................................................13Método de ángulos de giro.................................................................................................................................. 13Fuerza de pretensado ηP..................................................................................................................................... 14

Consideraciones en la Norma ACI 318-08....................................................................................................17Ejemplo Práctico..........................................................................................................................................................19

1.- Propiedades Geométricas............................................................................................................................ 192.- Calculo del pretensado Final....................................................................................................................... 203.-Calculo de Momentos....................................................................................................................................... 214.- Calculo de los momentos secundarios por el método de los ángulos de giro...............235.- Distribución de momentos............................................................................................................................ 246.- Calculo de tensiones........................................................................................................................................ 257.- Esfuerzos Admisibles...................................................................................................................................... 268.- Resultados............................................................................................................................................................. 27

Bibliografía...................................................................................................................................................................... 28

1

Estructuras Hiperestáticas De Hormigón Pretensado

Generalidades.-

En estructuras estáticamente indeterminadas de hormigón pretensado las

tensiones y deformaciones son menores que las de las vigas isostáticas

pretensadas de igual luz. En consecuencia las luces limites para tramos continuos

o dinteles de pórticos de hormigón pretensado, son mayores. En efecto, si 50

metros es la luz limite económica para tramos simples, 100 metros puede ser para

uno continuo construido en condiciones semejantes.

Par procedimientos de construcción especial, tales como la técnica de los

voladizos sucesivos, 150 metros es la luz de tramo alcanzada en varias obras y

270 metros un valor limite aproximado. Combinando la construcción por avance en

voladizos sucesivos con los cables inclinados u obenques hoy se puede construir

un tramo de 440 metros, pensando en una luz limite de 500 metros entre pilotes.

Los momentos flectores de signos contrarios presentes en algunas secciones,

limitan las excentricidades y por tanto los momentos resistentes, obligando a

mayores fuerzas de pretensado y mas aun, por la fricción en los cables ondulados.

Los efectos de retracción y fluencia del hormigón y los de temperatura deben ser

también considerados.

No obstante las anteriores limitaciones y por la posibilidad de grandes tramos, por

la ausencia o reducción del numero de juntas de expansión, anclajes y aparatos

de apoyo, la utilización de estructuras hiperestáticas de hormigón pretensado es

preferida en la construcción de puentes, viaductos y otras estructuras, así como

los distribuidores de trafico, en su forma de viga continua de sección transversal

2

tipo cajón que presenta ventajas en alineamientos enviajado y curvos no solo por

su resistencia, sino también por que obstruyen poco la visibilidad y ofrecen un

buen aspecto arquitectónico, particularmente en los pasos superiores carreteros y

ferroviarios, cuando están apoyadas en simples columnas.

Ventajas y desventajas de las estructuras hiperestáticas de HºPº

Ventajas Desventajas

Los momentos de diseño son

menores que en estructuras

isostáticas.

En estructuras prefabricadas es más

sencillo trabajar con elementos

isostáticos, se necesita esfuerzos y

gastos adicionales para lograr la

continuidad en obra.

Aumenta la rigidez. En puentes se ha solucionado este

inconveniente uniendo las dovelas

prefabricadas y pretensadas con

postesado “in situ”.

Disminuyen las deformaciones. Se

obtienen luces mayores o menores

alturas de viga a luces iguales.

Se reducen los costos

En otros casos se ha diseñado tramos

completos prefabricados y

pretensados para soportar el peso

propio y las cargas de construcción,

dando luego la continuidad mediante

postesado para la superposición final

de las cargas permanentes y

sobrecargas.

Se reducen los costos de materiales y En las vigas continuas los

3

mano de obra al disminuir la cantidad

de anclajes y de etapas de tesado

requerimientos de armadura varían

continuamente, con picos de

momento máximo generalmente

localizados en los apoyos. Como el

área del cordón de pretensado es

constante y determinado por el

momento máximo, puede llevar a

diseños no económicos. No es tan

simple como en hormigón armado.

La rigidez de nudos en pórticos,

proporciona un mecanismo eficaz

para resistir esfuerzos horizontales

(viento, sismo, explosiones, etc.)

Tipos de estructuras hiperestáticas de HºPº

A continuación se ilustrarán algunas soluciones de continuidad para elementos

construidos in situ o prefabricados, que no por tradicionales han perdido vigencia.

a) Pieza prismática con tendones curvos continuos.

Los principios de esta solución se aplican lo mismo al pretensado adherente que

al no adherente (interior).

Los tendones se colocan por el interior de los conductos (postesado) y luego son

estirados. Lo más singular es que se trata de una pieza prismática y las ventajas

del pretensado excéntrico se alcanzan variando el perfil de los tendones en toda la

4

longitud del elemento. Nótese que el trazado del tendón lo sitúa del lado de los

esfuerzos de tracción originados por las acciones externas. Se sugiere su empleo

en piezas de escasa luz. Recurrente en la construcción in situ de Vigas y Losas.

b) Pieza prismática con tendones curvos levantados.

Esta técnica es similar a la anterior, solo que al levantar los conductos (y por ende

los tendones), se acorta su longitud para favorecer el enhebrado de los conductos

y contribuir a disminuir las pérdidas de tensión, al reducir la longitud de los

tendones y evitar las dobles curvaturas en el trazado.

Sin embargo, requiere mayor cantidad de aparatos de anclaje y de acciones de

tesado.

Permite también variar la fuerza de pretensado a lo largo de la pieza,

contribuyendo a mejorar la economía del diseño

c) Pieza de sección variable con tendones curvos levantados.

Esta solución es frecuente en losas sobre apoyos aislados (columnas en este

caso) que se recrecen en la zona de ataque. Los capiteles alivian el

punzonamiento pero además incrementa la rigidez de la losa encima de los

apoyos que es donde se originan precisamente los mayores esfuerzos. Con esta

5

tipología se alcanzan simultáneamente dos ventajas, se recrece la sección donde

es más necesario, y se disminuyen las curvaturas del perfil con la consecuente

disminución de las pérdidas, pero ubicándolo en todas las secciones hacia las

zonas de tracción.

d) Pieza de sección variable con tendones rectos.

Esta cuarta variante persigue los mismos objetivos que la anterior, pero da un

paso más, dispone los tendones siguiendo un trazado recto que disminuye más

las pérdidas y facilita el proceso de enhebrado de los conductos. Nótese que aun y

cuando el trazado es recto, se garantiza que el cable se sitúe del lado de las

tracciones originadas por la carga exterior, producto del cambio sistemático de

peralto a lo largo de la luz, es decir, representa una interesante manera de lograr

un pretensado excéntrico con cable recto, aunque no es cómodo obtener la óptima

excentricidad

e) Piezas prefabricas con continuidad posterior.

Este último caso ilustra una alternativa muy recurrente para puentes de vigas

prefabricadas y continuas sobre los apoyos intermedios.

Las vigas entre ejes pueden ser, incluso, pretesadas para peso propio y parte de

la carga muerta.

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Luego de colocadas las vigas se procede a darle continuidad enhebrando los

conductos que se habían dejado en sus extremos convergentes, para más tarde

tesar. La disposición de este pretensado realizado en obra permite asumir los

momentos negativos debido a la continuidad de las vigas.

Teoremas

Cables concordantes

Son aquellos que, por casualidad o por intento, no producen reacciones

secundarias; es decir que la línea de centro de presiones coincide con la línea del

cable, o cable medio

Es posible lograr un cable medio concordante; sin embargo no es estrictamente

necesario, en muchos casos es relativamente conveniente tener un cable no

concordante, como sucede en viga continua, donde el efecto del pretensado se

incrementa en apoyos y se reduce en tramos

Teore

ma de Guyon

7

Si un cable se transforma linealmente, el centro de presiones de los cables

transformados permanece invariable.

La demostración es evidente por el concepto del pretensado como carga

equivalente.

Siendo iguales las cargas que producen momentos flectores, los momentos totales

y sus correspondientes líneas de presiones serán iguales.

CorolarioSi se adopta como tendón medio A a la línea de presiones de otro tendón B; A es

concordante. En efecto A y B tienen la misma línea de presiones que en el caso

de A coincide con su trayectoria

Teorema Básico

Un diagrama de momentos de una viga continua sobre apoyos sobre apoyos fijos

producidos por cargas exteriores, dibujado a cierta escala es una ubicación para

un cable concordante

8

Demostración: como el diagrama de momentos utilizado corresponde a flecha nula

en apoyos, un tendón que siga dicho diagrama M producirá otro diagrama similar

sin movimiento en los apoyos, es decir sin reacciones y será concordante.

Transformación lineal, carga balanceada

Transformación linealMétodo de alterar el recorrido del tendón de pretensado en cualquier estructura

pretensada estáticamente indeterminada cambiando la ubicación del tendón en

uno o más apoyos interiores sin alterar su posición en los poyos extremos y sin

cambiar la forma básica del recorrido entre apoyos; la transformación lineal no

modifica la ubicación del recorrido de la línea de presiones.

Carga balanceadaCapacidad de carga a la cual el aplastamiento del hormigón y la fluencia por

tracción del acero ocurren simultáneamente. Técnica que se usa en el diseño de

miembros de hormigón pretensado en la cual la magnitud y el recorrido del

pretensado se seleccionan de manera que las fuerzas que el pretensado impone

al miembro o estructura contrarresten o equilibren una parte de las cargas

permanentes y sobrecargas para las cuales se debe diseñar el miembro o la

estructura.

9

Método de carga balanceada

El concepto de carga balanceada constituye la base de este método cuyo fin es

equilibrar o balancear las cargas exteriores en la forma más conveniente a las

tensiones y deformaciones que se desee tener en la estructura. Así, en una viga

continua con carga w se hace que la carga equivalente q sea igual a w, variando la

geometría del tendón o la fuerza del pretensado, según por ejemplo la expresión

q=8 Pfl2

, se obtiene una viga solicitada solo a compresión uniforme P/A, y en

consecuencia sin deformación vertical

Cualquier carga mayor a w producirá tensiones adicionales que se calculan como

en otra viga elástica no pretensada y que valen (MnI ) y siendo:

Mn: momento flector de cargas no balanceadas, en general Mn=Mp cuando el

peso propio esta balanceado, o Mn=KMp donde K varia de 0 a 0.5, es decir que el

peso propio y una parte de la carga viva esta equilibrada

Este procedimiento permite ver claramente el estado de tensiones y

deformaciones que se puedan crear a voluntad y además facilita el calculo de

dichas tensiones y deformaciones en vigas simples y particularmente en vigas

continuas y pórticos. Se aplica también a losas balanceadas en dos direcciones,

cascaras y en estructuras donde se puede realizar balance en tres direcciones.

Esta limitado cuando las trayectorias de los tendones son complicados y por

efecto de la fricción.

En todo caso se estudiara el efecto de la retracción, fluencia, vibración, secuencia

de construcción, supervisión, aspectos económicos, arquitectónicos.

10

Calculo de solicitaciones por pretensado

Momentos secundariosLa determinación de las solicitaciones internas en las estructuras de HºPº

hiperestáticas se realiza con los mismos métodos que la teoría de estructuras

proporciona para estructuras en general, puesto que el pretensado es un estado

mas de solicitación.

Un aspecto que diferencia a las vigas simples de las continuas es la presencia de

reacciones en los apoyos cuando se transmite la fuerza de pretensado a una viga

continua; reacciones que no se presentan cuando el pretensado se transmite a

una viga isostática

Las reacciones verticales que se originan, producen momentos flectores

secundarios que provienen de los momentos primarios formados por la fuerza de

pretensado P actuando con la excentricidad e respecto al centro de gravedad de la

sección

M= momento total por pretensado en una sección dada

Ms= momento secundario

Pe= momento primario en general

Se cumple:

M=Ms+Pe

Sea la siguiente viga hiperestática de primer grado y su diagrama de momentos

primarios, donde E, I, P son constantes y

además e también lo es.

Es fácil imaginar que por efecto de

pretensado el punto B se hunde, lo que

origina, al ser impedido este hundimiento, una

reacción RB que vale RB=3 Pe2l que se

deduce al igualar la deformación vertical

11

producida por el pretensado en B en la estructura isostática con las que producirá

en el mismo punto la reacción Rb.

Así se producen los diagramas de Ms y M, así como la línea de presiones que ya

no coincide con la línea del cable.

Si se llama e 0=MP excentricidad del centro de presiones, en una sección

cualquiera de una viga, tal como una próxima al empotramiento del ejemplo se

tiene:

M=−Pe

e 0=−e+MsP

Es decir que la posición del centro de presiones se obtiene llevando el valor de

Ms/P a partir del cable o el valor e0=M/P a partir del eje baricentrico de la viga tal y

como se puede observar en la figura

Para un caso más general y teniendo en cuenta que la variación de los Ms es

lineal por que depende solamente de las reacciones verticales, se anota a

continuación la forma de los diagramas de momentos y del centro de presiones

para una viga continua de tres tramos.

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Calculo directo de los momentos secundariosSe puede realizar el cálculo por cualquiera de los métodos de la teoría de

estructuras; por los procedimientos clásicos o los matriciales y la computación

electrónica. Los momentos secundarios son las incógnitas hiperestáticas que

originan el pretensado.

Método de ángulos de giro

El procedimiento se resume en los siguientes pasos:

1.- la viga continua se descompone en tramos simples de manera que los

extremos puedan girar libremente

2.- los ángulos de giro producidos en los extremos de cada tramo por efecto de los

momentos primario, se calculan por el método de la viga conjugada

3.- en los extremos de cada tramo se aplican momentos flectores fijos F que

anulen los giros anteriores

4.- se calculan los F con los giros de 2 y 3

5.- los momentos finales secundarios en los apoyos se hallan distribuyendo los F

anteriores

13

Para el caso en general de una viga continua de tres tramos el procedimiento es el

siguiente:

Si MA =Momento de área parcial respecto al apoyo A

θBA=∑M A

l oEI

θBA=FBA l13 EI

FBA=3∑M A

l12

θBC=∑ MCl2EI

MC=Momento dearea r /c

θCB=∑ MB

l2EI

MB=Momentode ar ear /b

Angulo de giro

θBC=13FBCEIl2+

16FCBEIl2=

∑MC

l2 EI

Angulo de giro

θCB=16FBCEIl2+

13FCBEIl2=

∑MC

l2EI

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Donde se obtienen los F que deberán ser distribuidos para obtener los momentos

secundarios

Para ciertos casos, el momento anterior puede modificarse de manera que los

pasos 1 y 2 se mantienen.

En 3 se calculan los giros para los Ms buscados. En 4 se establecen las sumas de

los giros igual a cero en cada apoyo. Directamente o del sistema de ecuaciones

que resultan según el numero de apoyos, se obtienen los valores de Ms.

Fuerza de pretensado ηP

El cálculo de ηP que en las vigas

isostáticas se efectúa sencillamente

por Pf=ηP= Mte+ka , resulta más

complicado cuando se trata de vigas

hiperestáticas por la presencia de Ms,

y porque hay más de una sección

critica a lo largo de la viga un primer valor de ηP se puede hallar por

consideraciones practicas, por las ecuaciones de resistencia ultima o por las

formuloas que se deducen luego generalizado algunos conceptos ya conocidos.

En efecto, vimos en demostraciones anteriores al curso que para evitar

tracciones en cualquier sección de una viga simple era necesario que el tendón

medio este dentro de la zona de pasaje de cables. En general en una viga

continua o en un pórtico el centro de presiones debe ser el que este en la zona

de pasaje. Luego el rozamiento establecido en dicho tema a partir de “e”, vale

para, eo=¿ ).

Si al mismo tiempo se considera que el tendón medio debe estar, a partir del eje

baricentrico a no más de (a−b ) y (b−d ' ) se puede inferir los siguientes límites:

Cs=−Ka+MmaxP

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Ci=−Kb+MminP

Se escriben ahora siendo negativas (-) en la dirección . La primera

corresponde al tramo (T) y la segunda corresponde al apoyo (A)

Pa−MmPt

−MsPt

=b−d '

−Pb−MmPt

−MsPt

=a+d

Llamando: K= (a−d )+Pb

K '=(b−d ' )+Pa

Para A y T respectivamente

−K Pf−Mm=Ms

K 'Pf−Mm=Ms

Y en particular, para los apoyos internos

−Ki Pf−M 'm=Msi (o )

En la zona central para cada tramo

Msti=K ti Pf−Mmti (1)

a) Tramos interiores.- Considerando dos apoyos consecutivos y de acuerdo a la

ecuación (o )

−K i−1Pf −Mmi−1=Ms(i−1 )

−K i Pf−Mmi =Msi

Sumando y multiplicando por 12 y observando que el 2do miembro es la ecuación

(o )

−12Pf (K i−1+K i )−

12 (Mm

i−1+Mmi )=1

2 (Ms (i−1 )+Msi )=−K 'tiPf−Mmti

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De donde se deduce Pf=Mmti−1

2(Mm

i−1+M 'm)

K ' ti+12¿¿

que es la fuerza mínima de

pretensado en un tramo interno, suponiendo que Pf es un valor a medio tramo.

b) Tramos extremos

Msti= xl1Msi

Combinando con (o ) y (1)

xl1 (−K iPf−Mm

i )=K 'tiPf −Mmti………. de donde se deduce

Pf=Mmti− xl1Mmi

K ' ti+xl1K i

Resumen.-

ηP=MmAB− x

lMmB

K ' AB+xlK B

K 'AB=(b−d ' )+Pa

K B=(a−d )+Pb

η P=MmBC−1

2(Mm

B+MmC)

K 'BC+12(K B+KC)

K 'BC=(b−d ' )+Pa

KC= (a−d )+Pb

Como caso particular, tramos simples valores ηP son:

En la ecuación del tramo extremo

ηP=MmAB

K 'AB= Mt

(b−d ' )+Pa

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En la ecuación del tramo interno ηP=MmBC

K 'BC= Mt

(b−d ' )+Pa

Que son las ecuaciones deducidas para tensión cero en la fibra extrema

fraccionada y pre comprimido.

Consideraciones en la Norma ACI 318-08

Los pórticos y elementos continuos de concreto pre esforzado deben

diseñarse para un comportamiento satisfactorio en condiciones de cargas

de servicio y para ofrecer una resistencia adecuada.

El comportamiento en condiciones de carga de servicio debe determinarse

mediante un análisis elástico, considerando las reacciones, momentos,

cortantes y fuerzas axiales producidas por el preesforzado, flujo plástico,

retracción, variaciones de temperatura, deformación axial, restricción de los

elementos estructurales adyacentes y asentamientos de la cimentación.

Los momentos que se utilizan para calcular la resistencia requerida deben

ser la suma de los momentos debidos a las reacciones inducidas por el

preesforzado (con un factor de mayoración de 1.0) y los momentos debidos

a las cargas de diseño mayoradas. Se permite ajustar la suma de estos

momentos.

Para estructuras estáticamente indeterminadas, los momentos debidos a

las reacciones inducidas por fuerzas de preesforzado, por lo general

llamados momentos secundarios, son importantes tanto en los estados

elásticos como en los inelásticos. Las deformaciones elásticas producidas

por un tendón no concordante afectan la cantidad de rotación inelástica

requerida para obtener una determinada cantidad de redistribución de

momentos. Por el contrario, para una viga con una capacidad de rotación

inelástica dada, la cantidad en la cual el momento en el apoyo se puede

variar cambia en una cantidad igual al momento secundario en el apoyo

18

debido al preesforzado. Por lo tanto, el reglamento requiere que los

momentos secundarios se incluyan en la determinación de los momentos

de diseño.

Para establecer los momentos empleados en el diseño, el orden de los

cálculos debe ser: (a) Determinar los momentos debidos a cargas muertas

y cargas vivas, (b) modificarlos sumando algebraicamente los momentos

secundarios, (c) redistribuir según lo permitido. Un momento secundario

positivo en el apoyo, producido por un tendón proyectado hacia abajo a

partir de un perfil concordante, reduce, por lo tanto, los momentos negativos

cerca de los apoyos y aumenta los momentos positivos en las zonas

cercanas al centro del vano. Un tendón que se proyecta hacia arriba tiene el

efecto contrario.

Redistribución de momentos negativos debidos a cargas gravitacionales en

elementos continuos preesforzados

sometidos a flexión

Cuando se provee refuerzo adherido en los apoyos, se permite aumentar o

disminuir los momentos negativos calculados por medio de la teoría elástica

para cualquier tipo de carga.

Los momentos negativos modificados deben utilizarse para calcular los

momentos en las secciones de los vanos para la misma disposición de las

cargas.

Ejemplo Práctico

Determinar la fuerza de pretensado final y las tensiones en el hormigón en los

apoyos y en las secciones críticas de los tramos del siguiente entre piso.

Datos:

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Fc 280kg

cm2 p 0.25

ton

m2

r1 2cm d 0.15ton

m2

r2 4cm

R1= recubrimiento en estribos

R2= recubrimiento en el cable

P= sobre Carga

D= acabados y divisiones

1.- Propiedades Geométricas

Calculado en SECCIONES

20

A1 0.1476m2 I 0.00323m4

Yi 0.3379m

Ys 0.1623m

Wi 9.559 10 3 m3 Ws 0.02m3

ksWiA1

kiWsA1

ks 0.065m ki 0.135m

ks ki0.5

0.399m

2.- Calculo del pretensado Final

Kab = K’

Ka = K

21

Kab Yi r2 ks Ka Ys r2 ki

Kab 0.363m Ka 0.257m

PeMab 0.4MbKab 0.4 Ka

PiMbc MbKab Ka

Pe 43.775ton Pi 34.237ton

Se adopta

e1 Ys 6cm e2 Yi 6cm

e1 0.102m e2 0.278m

3.-Calculo de MomentosSe realizó el cálculo con SAP2000

Carga Viva

Carga de divisiones y acabado

22

Solicitaciones

Por peso Propio

Por carga viva

Por carga de divisiones y acabado

Por combinación de Carga

4.- Calculo de los momentos secundarios por el método de los ángulos de giroTramo extremo

23

Mab 13.59ton m

Mb 16.97 ton m

Mbc 4.25ton m

Tramo interior

24

c1 0.5e1 e20.6

c1 0.317m

f e1 e2 c1

f 0.063m

c2 c1 e2

c2 0.039m

Fba3 f P l2

l2

Fba 0.018Pton m

c3 0.4e1 e20.5

c3 0.304m

f1 e1 e2 c3

5.- Distribución de momentos

A B C D

3EI 4EI 3EI

0.43 0.57 0.57 0.43

-0.18 0.126 -0.126 0.18

0.14922 0.14922

En los Apoyos

M 10.052ton m

En 0.4 L (extremos)

En 0.5 L (interno)

25

f1 0.076m

c4 c3 e2

c4 0.026m

0.06282PF3

F6

resolver F 0.12564P

Ms 0.149m 40 ton

Ms 5.96 ton m

P e1 4.092ton m

M P e1 Ms

M 10.052ton m

M1 P e2 0.4Ms

M1 8.732 ton m

6.- Calculo de tensiones

Calculo de Tensiones en los Apoyos

Calculo de Tensiones en 0.4L

Calculo de Tensiones en 0.5L

26

M2 P e2 Ms

M2 5.156 ton m

M Mb M

M 6.918 ton m

tP

A1MWs

cP

A1MWi

t 6.95kg

cm2 c 90.239

kg

cm2

M1 Mab M1

M1 4.858ton m

t1P

A1M1Ws

c1P

A1M1Wi

t1 46.73kg

cm2 c1 21.519

kg

cm2

M2 Mbc M2

M2 0.906 ton m

t2P

A1M2Ws

c2P

A1M2Wi

t2 20.455kg

cm2 c2 33.183

kg

cm2

7.- Esfuerzos Admisibles

Cumplen todas las condiciones de tensiones admisibles

Comprobación con SAP2000

Introduciendo el cable de pretensado con las siguientes coordenadas

27

tadm 528010

cadm 0.45Fc

tadm 26.458 cadm 126kg

cm2

Se introduce la carga de pretensado P=40 Ton

8.- Resultados

Momentos producidos por pretensado

Momentos totales en la estructura de HP

Comparación de resultados de Momentos de Pretensado

28

Posición SAP2000 (ton m) Analítico (ton m)

0.4L -9.05 -8.732

Apoyos 9.42 10.052

0.5L -5.75 -5.15

Bibliografía

Hormigón Pretensado ALFONSO SUBIETA

Hormigón Pretensado ALBART FUENTES

Norma Americana del concreto ACI 318-08

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