TURUNAN/DIFFERENSIAL

Mat (3-0)

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi

Kompetensi dasar

Indikator

Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

1. Menghitung fungsi yang mengarah ke konsep turunan2. Menjelaskan arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti

geometri turunan di satu titik.3. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggu

nakan defenisi turunan.4. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi5. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan

menggunakan sifat-sifat turunan6. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai

h

xfhxfmPQ

)()( −+=

h

f(x)h)f(xm

h

−+=→0lim

Turunan di satu tit ik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQ adalah :

x

f(x) P

X+h

f(x+h)Q

h

f(x+h)-f(x)

Jika x+h x , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

• b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

h

cfhcfv ratarata

)()( −+=−

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan posisi

s

f(c)

f(c+h)

•Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Untuk kecepatan sesaat di sembarang tempat dapatDituliskan sebagai berikut

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan :

Definisi :Turunan pertama fungsi f(x) dinotasikan dengan lambang f’(x) dan didefinisikan sebagai berikut :

h

cfhcfvv

hratarata

h

)()(limlim

00

−+==→−→

h

f(x)h)f(xxf

h

−+=→0lim)('

h

xfhxfvv

hratarata

h

)()(limlim

00

−+==→−→

Notasi dari turunan fungsi f(x) :

)(),(',)(

Leibnitzasidisebutnotdx

dybentuk

dx

dyxy

dx

xdf

0)(lim)()(

lim00

=−=−+→→ h

cc

h

xfhxfhh

1)(lim)()(

lim00

=−+=−+→→ h

xhx

h

xfhxfhh

))(

(lim)()(

lim22

00 h

xhx

h

xfhxfhh

−+=−+→→

xh

hxh

h

xhxhxhh

2)2(

lim)2(

lim0

222

0=+=−++=

→→

-. f(x) = x2

Jawab : f’(x) =

Contoh : Diketahui f(x) tentukan f’(x) jika :

-. f(x) = xJawab : f’(x) =

-. f(x) = CJawab : f’(x) =

-. f(x) = x3

Jawab : f’(x) = h

xhxit

h

xfhxfit

hh

))(lim

)()(lim

33

00

−+=−+→→

222

0

33223

0

333(

lim33

lim xh

hxhxhit

h

xhxhhxxit

hh

=++=−+++=−→

-. f(x) = xn

Jawab : f’(x) = h

xhxit

h

xfhxfit

nn

hh

))(lim

)()(lim

00

−+=−+→→

h

xhhhnxxit

nnnn

h

−++++=−

→

...(...)lim

21

0

111

0

)...(...)(lim −

−−

→=+++= n

nn

h

nxh

hhnxhit

1

23

2

)(')(

3)(')(

2)(')(

1)(')(

0)(')(

−=→=

=→=

=→==→==→=

nn nxxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

xfxxf

xfcxf

1)(')( −=→= nn naxxfaxxf

Secara umum dapat dirumuskan jika :

Untuk :

Contoh Soal :

Tentukan turunan dari f(x) jika :

a. f(x) = 2x2 + 3x - 5

b. f(x) = 152

32

+−+xx

x

23

543

xx+−=

Jawab :

a. f(x) = 2x2 + 3x - 5 f’(x) = 4x + 3

b. f(x) =

1523 12 +−+= −− xxx f(x) = 3 – 4x-3 +5x-2

152

32

+−+xx

x

Soal

Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini :

1. f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6

2. f(x) = 2x7 + 5x

3. f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4

4. f(x) =

5. f(x) = ( 2x + 3 )2

6. f(x) =

7. f(x) =

73

2323

324 ++−+

xxxx

22)

12(x

+

33

2223 3 2 −+++

xxxx

Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1.

2.

3. dengan g(x) ≠ 0.

( )(x)g(x)f

dx

g(x)f(x)d '' +=+

( ))()()()(

)()( '' xgxfxgxfdx

xgxfd +=

( ))(

)()()()(2

'')(

)(

xg

xgxfxgxf

dx

d xgxf −=

Bukti aturan ke-2

Misal u(x) = f(x).g(x)

h

xuhxuxu

h

)()(lim)('

0

−+=→ h

xgxfhxghxfh

)()()()(lim

0

−++=→

h

xgxfxghxfxghxfhxghxfh

)()()()()()()()(lim

0

−+++−++=→

−++−++=

→ h

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

)()()(

)()()(lim

0

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

hhhh

)()(lim)(lim

)()(lim)(lim

0000

−++−++=→→→→

)(')()(')( xfxgxgxf +=

)(')()()(' xgxfxgxf +=

1

3)(

2 ++=

x

xxf

22

22

1

261

)x(

xxx

+−−+=

22

2

1

3211

)x(

)x(x)x.()x('f

+

+−+=

3.Tentukan turunan pertama dari

Contoh

1. Tentukan turunan pertama dari 43)( 23 ++= xxxf

Jawab :

02.33)(' 2 ++= xxxf xx 63 2 +=

2. Tentukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 +++= xxxxf

Jawab :

)22)(1()32(3)(' 322 +++++= xxxxxxf

2222963 34234 ++++++= xxxxxx

22985 234 ++++= xxxx

Jawab :

Tentukan fungsi turunan pertama dari

)12()1()( 3 +++= xxxxf

1

1)(

−+=x

xxf

1)(

2 −=x

xxf

1

1)(

2

2

+−=

x

xxf

1)( 3 22/1 ++= xxxf1.

2.

3.

4.

5.

AO

B

C

D

θ OC= cos θ ; CB= sin θ

Perhatikan gambar di samping.Misalkan θ=∠AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.

Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB

Sehingga ½ θ cos2 θ ≤ ½ sin θ cos θ ≤ ½ θ .1

Bagi dengan ½ θ cos θ > 0 diperoleh;

θθθθ

cos

1sincos ≤≤

Jika θ→0 maka cos θ→1 sehingga : 1sin

lim10

≤≤→ θ

θθit

Sehingga : 1sin

lim0

=→ θ

θθit

xxfxxfa cos)('sin)(. =→=

xxfxxfb sin)('cos)(. −=→=

h

xhxxf

h

sin)sin(lim)('

0

−+=→

h

hhx

h

)2

sin().2

cos(2lim

0

+=

→

.cos

1.cos

x

x

==

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

)

2

)2

sin().(2

cos(lim0 h

hh

xh

+=→

b. Misal f(x) = cos x maka

h

xhxxf

h

cos)cos(lim)('

0

−+=→ h

xhxhxh

cossin.sincoscoslim

0

−−=→

h

hxhxh

sinsin)1(coscoslim

0

−−=→ h

hx

h

hx

h

sinsin

)2

sin(coslim

2

0−

−=

→

)sin

sin4)2/(

)2

sin(cos(lim

2

2

0 h

hx

h

hh

x

h−

−=

→

h

hx

h

h

hx

hh

sinlimsin

42/

)2/sin(limcos

0

2

0)2/( →→−

−=

x

xx

sin

1.sin0.cos

−=−=

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh Dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

( ) ( )dx

d

dx

xdc x

xcos

sintan. =

x

xx2

22

cos

sincos +=x2cos

1= x2sec=

( ) ( )dx

d

dx

xdd x

xsin

coscot. =

x

xx2

22

sin

cossin −−=x2sin

1−= x2csc−=

( ) ( )dx

d

dx

xde xcos

1sec. =

x

x2cos

sin=xx

x

cos

1

cos

sin= xx sectan=

( ) ( )dx

d

dx

xdf xsin

1csc. = x

x2sin

cos−=xx

x

sin

1

sin

cos−= xx cotcsc−=

Soal Latihan

Tentukan turunan dari fungsi f(x) berikut ini :

a. f(x) = sin 3x + cos 2x

b. f(x) = x2 sin 2x

c. f(x) = sin2 x

d. f(x) = 3 cos2 x

e. f(x) = tgn x

f. f(x) = tgn2 x

g. f(x) = ½ tan x sin 2x

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika

dx

du

du

dy

dx

dy =du

dy

dx

du

dx

dy)1sin( 2 += xy

12 += xu

xdx

du2=

uy sin=

udu

dycos=

)1cos(2 2 += xxxxdx

dy2)1cos( 2 +=

Karena

dan ada ,

Contoh 1: Tentukan dari

Jawab :

Misal : sehingga bentuk diatas menjadi

dan

maka

Contoh 2 :

Tentukan turunan dari : y = (3x2+4)4

Jawab :

Misal u=(3x2+4) maka

Dan y= u4 maka

xdx

du6=

34udu

dy =

sehingga :dx

du

du

dy

dx

dy.= = 6x.4u3

= 6x.4(3x2+4)3

= 24x.(3x2+4)3

adalah y’= 24x.(3x2+4)3Turunan dari y = (3x2+4)4

Jika f(x)= un maka f’(x)=nu’un-1

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy =

→→

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dandx

dv

dv

du

du

dy,, Ada, maka

Contoh 3: Tentukan dx

dy)5( 34 += xSinydari

53 += xv23 x

dx

dv =Jawab :

Misal →u = Sin v )5cos(cos 3 +== xv

dv

du

4uy = )5(44 333 +== xSinudu

dy

sehingga

)5()5(12.. 3332 ++== xCosxSinxdx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy

( )y x= −2 3 10

y x= sin3

( )xxy −= 24 4cos

2

1

1

−+=

x

xy

A. Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2 + 1 ]

yx x

x x=

− +

+ −

2

22 5

2 31.

2.

3.

4.

5.

6.

( )y x= −sin 2 1

( )y x= −2 3 4

yx

x=

+ 1

( )y x= cos2 π

B. Tentukan turunan kedua dari

1.

2.

3.

4.

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva.

Telah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatuKurva f(x) adalah turunan pertama dari fungsi terebut :

m = f’(x) =dx

dy

π3

1

Contoh Soal:

Tentukan nilai gradien garis singgung pada kurva :

a. y = x2 -3x +4 di titik A. ( 2,2 )

b. y = sin x untuk x = Jawab :

a. y = x2 -3x +4 gradien m = y’ = 2x – 3 di titik ( 2,2 ) m = y’ = 2.2 – 3 = 1

a. y = sin x gradien m = y’ = cos x untuk x =

m = cos = ½

π3

1

π3

1

Pemakaian Gradien untuk menentukan persamaan garis singgung

Terhadap suatu kurva di titik tertentu .

Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada kurfa f(x), maka persamaan

Garis singgung yang melalui titik P pada kurva f(x) dituliskan sbb:

Y – y1 = f’(x) ( x – x1)

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 – 2x + 3

Dititik P(2,7).Jawab :

Gradien garis singgung = m = f’(x) = 3x2 – 2 di titik ( 2,7) maka m = f’(x) = 10

Persamaan garis singgungnya ,Y – y1 = f’(x)(x-x1) yaitu y – 7 = 10 ( x – 2 ) y – 7 = 10 x – 20 y = 20 x - 13

Jika l1 garis yang memiliki gradien m1; dan l2 garis yang memiliki

Gradien m2, maka hubungan antara m1 dan m2 terhadap kedudukan

Garis l1 dan l2 adalah sebagai berikut :

Jika l1 sejajar l2 maka nilai m1 = m2 dan

Jika l1 tegak lurus l2 maka nilai m1.m2 = -1

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 3x + 2

Yang sejajar terhadap garis y= 3x + 4

Jawab :

Gradien garis singgung = m = f’(x) = 2x – 3 sejajar garis y = 3x + 4 m1 = m2 = 3 maka 2x – 3 = 3 ; x = 3

untuk x = 3 nilai y = 32 – 3.3 + 2 = 2 maka titik singgungnya di ( 3,2)Persamaan garis singgung yang ditanyakan adalah :Y – 2 = 3 ( x – 3 )Y = 3x – 11

Selain digunakan untuk menentukan gradien garis singgung, turunan Juga digunakan untuk menentukan kelajuan. Jika suau variabel x ada lah fungsi dari waktu laju perubahan x terhadap waktu dinyatakan Dalam dx/dt.

Contoh soal :

Mobil meluncur dengan membentuk fungsi S = 50 – 3t – 2t2, tentukan Kecepatan mobil saat t=3.

Jawab.

Kecepatan = v = dS/dt = -3 – 4t saat t = 3

Maka v = -3 -4.3

= - 15

Contoh soal :

Air mengalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 5 cm3s-1

Jari-jari dasar corong adalah 10 cm dan tingginya 20 cm. hitung kelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 5 cm dari puncak.

10

20r

h

O

A B

C D

Segitiga OAB sebangun dengan segitiga OCDmaka r/10 = h/20 sehingga r = ½ h

hrv 2

3

1π= Karena r = ½ h maka 3

12

1hv π=

Diketahui dv/dt = 5 cm3s-1

dt

dhh

dt

dv 2

4

1π=

dt

dhh2

4

15 π=

2

20

hdt

dh

π=

Air berjarak 5 cm dari puncakMaka air telah turun sejauhh = 20 – 5 = 15 cm

Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah :

πππ .45

4

15.15.

5.4

15

202

===dt

dhcm3s-1

SOAL LATIHAN

1.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x)= x4 + 12x – 5

Di titik ( 1, 11)

2.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 2x3 - 23x – 2

Yang sejajar dengan garis y = x - 7

3.Tentukan pesamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 6x + 4

Yang tegak lurus dengan garis y= ½ x - 5

4.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0)

yang berjari jari 5 dan melalui titik P(3,4).

5.Sebuah beban w diikatkan pada tali sepanjang 15m, yang melewati

Katrol di p berjarak 6m di atas tanah,ujung lain diikatkan pada truk

Dengan jarak 0.5 m dari atas tanah, jika truk bergerak dengan kela

Juan 3ms-s, berapa cepat beban naik jika beban berada 2m diatas

Tanah? Perhatikan gambar dibawah ini. 9-xy

6-x

x 0.5