SEP DGEST SNEST

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Materia: Control 1

“Modos De Control”

Trabajo de Investigación: Unidad #4

Maestro: M.C Alan León González Almaguer

Equipo: Los Electrónicos No. De control

Hermenegildo Martínez De La Cruz 11260095

Jorge Alejandro Reyes Torres 11260108

Miguel Ángel Fierros Peña 11260081

Verónica Maldonado Carrizales 11260094

Cinthia Nohemi Espinoza Del Angel 11260078

Aula: K3

Hora: 6:00

H. Matamoros, Tamaulipas. 02/Junio/2014

“MODOS DE CONTROL”

MODO DE CONTROL TODO O NADA (ON/OFF)

En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación sólo tiene dos posiciones fijas, que, en muchos casos, son simplemente encendidos y apagados. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos. Supóngase que la señal de salida del controlador es u(t) y que la señal de error es e(t).

En el control de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De este modo

Donde U1 y U2 son constantes. Por lo general, el valor mínimo de U2 es cero o.U1. Es común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones.

Entre limites alto y bajo. Este modo de control es suficientemente valido cuando el nivel puede oscilar entre ambos limites sin afectar al proceso .Se conoce con el nombre de ON-OFF control y utiliza como elementos detectores de nivel dos levostatos situados en los límites superior e inferior del rango de nivel a controlar

En la siguiente figura se muestra un sistema de control entre limites (ON-OFF) para desalojar el líquido que se va acumulando en un recipiente .Partiendo de la situación actual, descrita en la propia figura. Cuando se alcance el nivel alto se cerrara el contacto LSH, pasando a nivel lógico 1,junto con el otro 1 de la puerta AND, pone la bomba en marcha la cual permanecerá marchando, retenida por la puerta OR hasta que alcance el nivel bajo detectado por el LSL, pasando este nivel 0 lógico. Ambas maniobras envían señal al centro de control de motores (CCM), desde donde se envían la corriente eléctrica a la bomba.

MODO DE CONTROL ON-OFF CON BRECHA DIFERENCIAL

Brecha diferencial o zona muerta. Rango en el cual la señal de error debe variar antes que se produzca la conmutación de la salida. Puede deberse a la dinámica del sistema, pero en algunas ocasiones se provoca intencionalmente.

Intervalo DiferencialNingún controlador encendido-apagado puede presentar el comportamiento ideal mostrado en la figura 9-8(a) y (b). Todos los controladores encendido-apagado tienen un intervalo diferencial, que ilustra gráficamente en la figura 9-9(a)

El intervalo diferencial de un controlador encendido-apagado se define como el

rango de valores más pequeños que el valor medido debe atravesar para ocasionar que el dispositivo de corrección pase de una posición a otra. El intervalo diferencial se define específicamente para el control encendido-apagado; no existe un intervalo para los otros modos de control.

Con frecuencia se expresa como un porcentaje de la escala completa el intervalo diferencial es una expresión del hecho de que el valor medido debe elevarse por encima del punto de ajuste por una pequeña cantidad (la señal de error debe alcanzar un cierto valor positivo) para cerrar la válvula. Del mismo modo, el valor medido debe caer por debajo del punto de ajuste en una pequeña cantidad (las señal de error debe alcanzar un cierto valor negativo) con el objeto de abrir la válvula. En el ejemplo presentado en la figura 9-9, la temperatura real medida debe elevarse por encima del punto de ajuste en 3ºF para cerrar la válvula y debe caer por debajo del punto de ajuste en 3ºF para a la válvula. Por tanto, el cambio de temperatura más pequeño posible que puede accionar la válvula de abierta a cerrada es 6ºF.

El intervalo diferencial de este modelo es 6ºF. El intervalo diferencial también puede expresarse como un porcentaje del rango completo del controlador.

Si el controlador tuviera un rango, digamos 60ºF a 300ºF, entonces la dimensión de su rango seria 240ºF (300ºF – 60ºF). Una temperatura de 6ºF representaría un 2.5% del rango completo, porque

En este caso por tanto, el intervalo diferencial podría expresarse como 2.5% en lugar de 6ºF.

El efecto práctico del intervalo diferencial se muestra en la gráfica de tiempo de la figura 9-9(b). Como puede observarse, la magnitud de la oscilación es mayor, pero la frecuencia de oscilación es pequeña. El intervalo diferencial de este modo es algo positivo y negativo a la vez. Es negativo porque el valor medido instantáneo puede desviarse más del punto de ajuste, pero es positivo porque el desgaste del dispositivo de corrección se reduce.

En muchos controladores encendidos- apagado, el intervalo diferencial es fijo. Si es así, por lo general es menor al 2% de la escala. Algunos controladores Encendido-Apagado tienen un intervalo diferencial ajustable de forma que el usuario pueda seleccionar la cantidad que ajuste a su aplicación.

Si está familiarizado con materiales y circuitos magnéticos, reconocerá que el intervalo diferencial en un controlador encendido-apagado tiene el mismo efecto que la histéresis dentro de un núcleo magnético. En general, cuando el punto de conmutación de la variable dependiente depende no solo del valor de la variable independiente sino también de la dirección de la aproximación, decimos que presenta histéresis. Recuerde que también vimos la histéresis en el control de potencia del triac.

En el modo de control encendido-apagado, la variable dependiente es la posición final del dispositivo de corrección (la válvula abierta o cerrada) y la variable independiente es la señal de error.

Ejemplo:

Considere el sistema de control del nivel de líquido de la figura en donde se usa la válvula electromagnética de la figura para controlar el flujo de entrada. Esta Válvula está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del agua es una constante positiva o cero. Como se aprecia en la figura 5-5, la señal de salida se mueve continuamente entre los dos límites requeridos y provoca que el elemento de actuación se mueva de una posición fija a la otra.

Observe que la curva de salida sigue una de las dos curvas exponenciales, una de las cuales corresponde a la curva de llenado y la otra a la curva de vaciado. Tal oscilación de salida entre dos límites es una respuesta común característica de un sistema bajo un control de dos posiciones.

En la figura 5-5 observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida, debe disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la vida útil del componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de consideraciones tales como la precisión requerida y la vida del componente.

MODO (ACCIÓN) DE CONTROL P

Acción de control proporcional. Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es:

u (t )=¿Kp e(t)

o bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace,

U (S)E(S)

= Kp

Donde Kp se considera la ganancia proporcional. Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable.

Diagrama a bloques

Respuesta a escalón unitario

Ejemplo problema Acción de control proporcional.

Si la planta de la figura anterior tiene una función de transferencia de

Gp(s) = 1

s (s+1)

y se usa con control proporcional cual a) será el tipo de sistema ,b)los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada escalón unitario

A) El sistema tendrá una función de transferencia de lazo abierto de

a)

Go(s) = Kp

s (s+1)

b) error en estado estable

ess = lims→0 [(s 1

1+Go ( s ) )θ i(s)]

Donde para una entrada escalón θi (s) = 1/s así

ess = lims→0 [(s 1

1+Go ( s ) ) 1s ] = 1∞ = 0

CONTROL INTEGRAL

Con el control integral la salida del controlador es proporcional a la integral de la señal de error e con el tiempo, es decir,

Salida-Ki∫0

t

e dt [5]

Donde Ki es la constante denominada ganancia integral. Esta tiene unidades de

s−1. La figura 10.4 muestra que pasa cuando el error es de la forma de un escalón.

La integral entre 0 y t es, de hecho, el área bajo la gráfica del error entre 0 y t. Así, debido a que después de que el error comienza, el arca se incrementa en una razón regular, la salida del controlador se debe incrementar en una razón regular.

La salida en cualquier tiempo es, entonces, proporcional a la acumulación de los efectos de los errores pasados. Al transformada de Laplace de la ecuación 5 da por el resultado la función de transferencia, para el controlador integral, de

Gc (s )= salida (s)e (s)

= Kis

[6]

Así, para el sistema de la forma que se ilustra en la figura 10.5, el control integral da una función de transferencia en lazo abierto de

Go (s )=( Kis )G p(s) [7]

Una ventaja del control integral es que la introducción de un término s en el denominador incrementa el tipo de sistema en 1. De esta manera, si el sistema hubiera sido de tipo 0, el error en estado estable que se habría presentado con la entrada escalón desaparecía cuando se presentara el control integral. Una desventaja del control integral es que el término (s-0) en el denominador significa que se ha introducido un polo en el origen.

Puesto que no se introducen ceros, la diferencia entre el número de polos n y de ceros m se incrementa en 1. Una consecuencia de lo anterior es que los ángulos de las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces decrecen, es decir, estas apuntan más hacia el semiplano derecho del plano s y, de este modo, se reduce la estabilidad relativa.

Ángulos de las asíntotas = ±π

n−m,3πn−m

, etcétera.

Ejemplo

Si la planta de la figura 10.5 tiene una función de transferencia de

G p (s )= 1s (s+1)

y se usa con el control integral, ¿Cuál será a) el tipo de sistemas, b) los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada escalón?

a) El sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto de

Go (s )= Ki

s2(s+1)

Por lo tanto el sistemaes de tipo2.

b) i) El error en estado estable, ess, está dado por

ess=lims→0 [ 1

1+Go (s ) ]θi(s)

Donde, para una entrada escalón θi (s )=1 /s . Así

ess=lims→0 [ s 1

1+[Ki/s2(s+1)]1s ]θi(s)

¿ 1∞

=0

De este modo, para una entrada escalón un sistema del tipo 1 tiene un error en estado estable cero.

CONTROL D

Con la forma derivativa del controlador, la salida del controlador es proporcional a la razón de cambio con el tiempo del error e, es decir

Salida=Kddedt

…………………………………..11

Donde Kd es la ganancia derivativa y tiene unidades de s. la figura 10.10 muestra que pasa cuando hay un error de entrada rampa. Con el control derivativo, tan pronto como la señal de error inicia puede haber una salida del controlador muy grande, puesto que esta es proporcional a la razón de cambio de la señal de error y no a su valor. De este modo puede proporcionar una acción correctiva grande antes de que se presente un error grade en realidad. Sin embargo, si el error es constante, entonces no hay acción correctiva, aun si el error es grande. Así. El control derivativo es insensible a señales de error constantes o que varían con lentitud y, en consecuencia, no se usa solo, sino combinado con otras formas de controlador.

Al tomar la transformada de Laplace resulta, para el control derivativo, una función de transferencia salida (s)/e (s )

Ge (s )=Kd s………………………………………12

Por lo tanto, para el sistema en lazo cerrado que muestra la figura 10.11, la presencia del control derivativo produce una función de transferencia en lazo abierto de

Go (s )=K d sG p (s)1+Kd sG p(s)

………………………………….14

Si la planta es de tipo 1 o mayor, entonces la aplicación de la acción derivativa es para cancelar una s en el denominador y así reducir el orden en 1. No obstante, como antes se mencionó, la acción derivativa no se usa sola sino sólo en conjunto con otra forma de controlador. Cuando se usa esta acción de control se logra que la respuesta sea más rápida.

Existen dificultades en la implantación de una ley de control derivativa, por lo que en la práctica se obtiene una aproximación mediante el uso de un compensador de adelanto. Este tiene una función de transferencia de la forma K (s+z )/(s+ p), con p˃z.

CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL

La reducción en la estabilidad relativa como resultado de usar el control integral se puede resolver, como una extensión, mediante el control proporcional integral (PI)(Figura 10.7).

Para tal combinación la salida del controlador es

[8]

La figura 10.8 ilustra el tipo de salida del controlador que se presenta con dicho sistema cuando existe una entrada de error tipo escalón.

Al tomar la transformada de Laplace de la ecuación [8] se obtiene una función de transferencia, salida(s)/(e(s), para el controlador PI de

(Kp/Ki) se denomina constante de tiempo integralτ i. De esta manera

En consecuencia, la función de transferencia de la trayectoria directa para el sistema de la figura 10.7 es

De esta manera, mediante el uso del control PI se adicionan un cero en –(1/τ i) y un polo en 0. El factor 1/s incrementa el tipo de sistema en 1 y elimina la

posibilidad de un error en estado estable para una entrada escalón. Debido a que se introduce un nuevo polo y un nuevo cero, la diferencia entre el número de polos n y números de ceros m permanece sin cambio. Así, los ángulos de las asíntotas para los lugares geométricos de la raíces no cambian.

Ángulos de las asíntotas ¿±π

n−m,3πn−m

,etcetera.

Sin embargo, el punto de intersección de las asíntotas con el eje real se mueve hacia el origen y, en consecuencia, se presenta cierta reducción en la estabilidad relativa

puntode interseccion= sumade polos−sumade cerosn−m

Adicionar el polo en 0 y el cero en s=−( 1τ i ) da por resultado que el punto de

intersección cambia por+( 1τ i )/(n-m) a la derecha y se hace mas positivo y cercano

al origen. Sin embargo, la reducción en la estabilidad no es tanto como lo es con el control integral solo.

La posición del cero que se introduce está determinada por la ganancia, k i, es decir, está determinada mediante la constante de tiempo integral,τ i. La ganancia proporcional, Kp, determina las posiciones de los polos en lazo cerrado.

Ejemplo:

Si la planta de la figura 10.7 tiene una función de transferencia de

Gp(s)=1

s (s+1)

Y se usa con control proporcional integral ¿Cuál será a) el tipo de sistema, b) los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada de escalón, ii)una entrada rampa y c) como se compara la estabilidad con la que se presentaría si se tuviera i) control proporcional (como en el ejemplo 1), ii) control integral (como en el ejemplo 2)?

La constante de tiempo integral es 2s.

Respuesta

a) El sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto según la ecuación [10] como

Por lo tanto, el sistema es de tipo 2. b) i) el error es estado estable, ess, con una entrada escalón es cero para un

sistema de tipo 2ii) para una entrada rampa un sistema de tipo 2 da un error en estado estable cero. El sistema es, de esta manera, mejor que al que solo se aplica control proporcional e igual que al que solo se aplica control integral.

c) Para la situación del control proporcional integral el sistema tiene una función de transferencia de

La ecuación característica es, entonces

s3+s2+K p s+0.5K p=0El arreglo de Routh es

En la primera columna todos los elementos son, positivos si 0.5Kp es mayor que 0. La adición del control proporcional al control integral resulta en una restitución de la estabilidad.

La figura 10.9 ilustra el diagrama del lugar geométrico de las raíces para el sistema. Este se debería comparar con el diagrama del lugar geométrico de las raíces de la figura 10.6 cuando los controles proporcional e integral están separados. Al compararlo solo con el control proporcional, la estabilidad relativa se reduce y con el control PI, las asíntotas están más cercanas al eje imaginario, pero comparado solo con el control integral el control PI ha empujado los lugares geométricos de las raíces hacia la izquierda en el plano s.

CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVO.

Si el control derivativo se usa con el control proporcional (figura 10.12), entonces la función de transferencia en lazo abierto se convierte en

Go (s )=(K p+Kd s)G p(s )

Go (s )=K p¿G p(s) …………...……………14

Donde τ d=K p /K d y se denomina constante de tiempo derivativa. Con esta forma

de control se ha introducido un cero en s=−1/τd . Tampoco habrá cambios en el tipo de sistema y, por lo tanto, en los errores en estado estable.

En la práctica no se encuentran bloques con un comportamiento derivativo puro, sino que la acción derivativa aparece siempre combinada con un retardo de primer orden. Para justificar esta afirmación podemos considerar cual debería ser la respuesta al escalón de un bloque derivativo puro (BALCELLS, 1997, 59).

El valor de de/dt en el instante t=0 debería ser impulso de amplitud infinita y duración cero (impulso unitario ó de Dirac). Es de prever que este tipo de respuesta, con valor infinito, será imposible de conseguir con componentes reales. Los circuitos derivadores reales suelen introducir un retardo.

Acción de control correctiva. Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, aporta un modo de obtener un controlador con alta sensibilidad. Una ventaja de usar una acción de control derivativa es que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Por tanto, el control derivativo prevé el error, inicia una acción correctiva oportuna y tiende a aumentar la estabilidad del sistema (OGATA. 2003, 285pp).

Ejemplo: Si la planta del sistema de la figura anterior 10.12, tiene una función de transferencia de

Gs ( s)= 1s(s+1)

Y se usa con el control proporcional derivativa, ¿Cuál será

a) el tipo de sistemas b) los errores en estado estable cuando se usa con.

I. Una entrada escalónII. Una entrada rampa

c) cuál es la condición para la estabilidad? La constante de tiempo derivativa es de 2s.

Procedimiento:

a) el sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto dada por la ecuación [14] como:

Go=Kd[( 1τd )+s ]Gp ( s)=Kd (s+0.5)s(s+1)

Por lo tanto el sistema es de tipo 1.

b) i) El error en estado estable ess, es cero para una entrada escalón con un sistema de tipo 1.ii) Para una entrada rampa, θi(s) es 1/ s2 y el error en estado estable es

ess= lims⟶0

[s 11+Go (s ) ¿

θ i(s )]¿

ess= lims⟶0

[s 11+[K ¿¿d ( s+0.5 ) /s (s+1)]

1

s2]¿

ess=1

0.5Kd

Puesto que (1¿¿ τ d)=0.5=K p/Kd entonces¿

ess=1K p

c) Para la situación del control proporcional derivativo el sistema tiene una función de transferencia de

G(s)=Kd(s+0.5)G p(s)1−K d(s+0.5)G p(s )

G(s)=Kd ( s+0.5 )[ 1

s ( s+1 )]

1−K d(s+0.5)[1

s ( s+1 )]

G(s)=Kd(s+0.5)

s (s+1)−K d(s+0.5)

La ecuación característica es entonces

s2+(1+Kd ) s+0.5Kd=0

El arreglo de Routh (en el capítulo 8) para este sistema es

En la primera columna todos los términos son positivos y el sistema es estable si Kd es positiva. La figura 10.13 muestra el diagrama del lugar geométrico de las

raíces para el sistema.

CONTROLADORES PID

Es interesante señalar que más de la mitad de los controladores industriales que se usan hoy en día utilizan esquemas de control PID o PID modificado. Como casi todos los controladores PID se ajustan en el sitio, en la literatura se han propuesto muchos tipos diferentes de reglas de sintonización, que permiten llevar a cabo una sintonización delicada y fina de los controladores PID en el sitio.

Asimismo, se han desarrollado métodos automáticos de sintonización y algunos de los controladores PID poseen capacidad de sintonización automática en línea. Actualmente se usan en la industria formas modificadas del control PID, tales como el control I-PD y el control PID con dos grados de libertad. Es posible obtener muchos métodos prácticos para una conmutación sin choque (desde la operación manual hasta la operación automática) y una programación del aumento. La utilidad de los controles PID estriba en que se aplican en forma casi general a la mayoría de los sistemas de control.

En el campo de los sistemas para control de procesos, es un hecho bien conocido que los esquemas de control PID básicos y modificados han demostrado su utilidad para aportar un control satisfactorio, aunque tal vez en muchas situaciones específicas no aporten un control óptimo.

Reglas de Ziegler-Nichols para la sintonía de controladores PID

Control PID de plantas. La Figura muestra un control PID de una planta. Si se puede obtener un modelo matemático de la planta, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumpla las especificaciones del transitorio y del estado estacionario del sistema en lazo cerrado. Sin embargo, si la planta es tan complicada que no es fácil obtener su modelo matemático, tampoco es posible un método analítico para el diseño de un controlador PID.

En este caso, se debe recurrir a procedimientos experimentales para la sintonía de los controladores PID. El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de comportamiento dadas se conoce como sintonía del controlador. Ziegler y Nichols sugirieron reglas para sintonizar los controladores PID (esto significa dar valores a Kp, Ti y Td) basándose en las respuestas escalón experimentales o en el valor de Kp que produce estabilidad marginal cuando sólo se usa la acción de control proporcional.

Las reglas de Ziegler-Nichols, que se presentan a continuación, son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de las plantas. (Por supuesto, estas reglas se pueden aplicar al diseño de sistemas con modelos matemáticos conocidos.) Tales reglas sugieren un conjunto de valores de Kp, Ti y Td

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID. Ziegler y Nichols

Propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, basándose en las características de respuesta transitoria de una planta dada. Tal determinación de los parámetros de los controladores PID o sintonía de controladores PID la pueden realizar los ingenieros mediante experimentos sobre la planta. Hay dos métodos denominados reglas de sintonía de Ziegler-Nichols: el primero y el segundo método.

Primer método. En el primer método, la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental, tal como se muestra en la Figura 8-2. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la Figura 8-3. Este método se puede aplicar si la respuesta muestra una curva con forma de S. Tales curvas de respuesta escalón se pueden generar experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de la planta. La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y con la línea c(t)=K

Figura 8-3. En este caso, la función de transferencia C(s)/U(s) se aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo del modo siguiente:

C(s)U ( s)

= K e−Ls

T+1

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que se muestra en la Tabla 8-1. Obsérvese que el controlador PID sintonizado mediante el primer método de las reglas de Ziegler-Nichols produce

GC (s )=Kp(1+ 1Ts+T d s)

¿1.2 TL (1+ 1

2 Ls+0.5 Ls)=0.6T (s+ 1L )

s

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s=1/L.

Segundo método. En el segundo método, primero se fija Ti=ä y Td=0. Usando sólo la acción de control proporcional (véase la Figura 8-4), se incrementa Kp desde 0 hasta un valor crítico Kcr, en donde la salida presente oscilaciones sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces este método no se puede aplicar.) Así, la ganancia crítica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimentalmente Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que se muestra en la Tabla.

Obsérvese que el controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas de Ziegler-Nichols produce

GC (s )=Kp(1+ 1Ts+T d s)¿0.6K cr (1+ 1

0.5 PC rs

+0.125 PC r s)

¿0.075K cr PCr

(s+ 1PCr

)s

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s=.4/Pcr. Conviene darse cuenta de que, si el sistema tiene un modelo matemático conocido (como la función de transferencia), entonces se puede emplear el método del lugar de las raíces para encontrar la ganancia crítica Kcr y las frecuencias de las oscilaciones sostenidas wcr, donde 2π/wcr=Pcr. Estos valores se pueden determinar a partir de los puntos de cruce de las ramas del lugar de las raíces con el eje jw.

Ejemplo:

Sea el sistema de control que se muestra en la Figura, en el cual se usa un controlador PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de transferencia

GC (s )=Kp(1+ 1Ts+T d s)Como la planta tiene un integrador, se utiliza el segundo método de las reglas de sintonía de Ziegler-Nichols. Fijando Ti=∞ y Td=0, se obtiene la función de transferencia en lazo cerrado del modo siguiente:

C(s)R(s)

= Kps (s+1 ) ( s+5 )+Kp

El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilación sostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh. Como la ecuación característica para el sistema en lazo cerrado es

s2+6 s2+5 s+Kp=0

el arreglo de Routh es:

s215

s26Kp

s130−Kp6

s2 Kp

Examinando los coeficientes de la primera columna del array de Routh, se encuentra que ocurrirá una oscilación sostenida si Kp=30. Así, la ganancia crítica Kcr es

Con la ganancia Kp fijada igual a Kcr (=30), la ecuación característica es

s2+6 s2+5 s+30=0

Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, se sustituye s=jw en la

ecuación característica, del modo siguiente: ( jw)3+6( jw)2+5( jw)+30=0

a partir de lo cual se encuentra que la frecuencia de la oscilación sostenida es

w2=¿5 o Así, el periodo de la oscilación sostenida es

PCr=2πw

=2π√5

=2.8099

Teniendo en cuenta la Tabla 8-2, se determinan Kp, Ti y Td del modo siguiente:

Kp=0.6Kcr=18

Ti=0.5Pcr=1.405

Td=0.125Pcr=0.35124

Por tanto, la función de transferencia del controlador PID es

GC (s )=Kp(1+ 1Ts+T d s)¿18(1+ 1

1.405 s+0.35124 s )

¿6.3223(s+1.4235)2

s

Referencias Bibliográficas:

Ogata,Katsuhiko. Ingeniería de control moderna,5ta edición, PEARSON EDUCACIÓN Madrid, 2010

Hernández Ricardo, Introducción A Los Sistemas De Control. Conceptos, Aplicaciones Y Simulación Con MATLAB, PEARSON EDUCACIÓN ,1ra Edición, México, 2010

Sánchez, José. Instrumentación y control básico de procesos, Ediciones Diaz De Santos, Madrid 2013

Josep Balcells, Autómatas Programables, serie mundo electrónico. Marcombo, Barcelona España. 1997, 59pp.

Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderna, 4ta edición, Pearson Educación S.A. Madrid 2003, 285pp.

W. Bolton, Ingeniería de control, 2da edición. Editorial Alfaomega Grupo Editor S.A de C.V. México. 2001, 246pp.