trabajo-final n° 7 -de-mecánica-de-fluidos-i-1a-unidad

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN

MECÁNICA DE FLUIDOS I

INTRODUCCIÓN:

“Fluidos en el movimiento del cuerpo rígido”

En esta parte obtendremos relaciones para la variación de la presión en los fluidos que se

mueven como un cuerpo rígido, con o sin aceleración externa, en ausencia de cualquier

esfuerzo cortante (es decir, ningún movimiento entre las capas de fluido una con relación a

las otras).

Muchos fluidos, como la leche y la gasolina, se transportan en camiones-tanques. En un

camión de este tipo, que acelera, el fluido se mueve con rapidez hacia la parte posterior y se

presenta alguna salpicadura inicial. Pero a continuación, se forma una nueva superficie libre

(por lo general no horizontal), donde cada una de las partículas del líquido adquiere la misma

aceleración y todo el fluido se mueve como un cuerpo rígido.

Veamos de forma gráfica

Considere un elemento rectangular diferencial de fluido con longitudes 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑧 en las

direcciones x, y, z.

Notamos que el elemento diferencial de fluido se comporta como un cuerpo rígido.

Mediante la segunda ley de Newton podemos expresar lo siguiente:

𝛿�� = 𝛿𝑚. ��

(𝑃 +𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝑑𝑧

2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦 (𝑃 −

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝑑𝑧


𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜌𝑔 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝑧

𝑦

𝑥

��



Donde 𝛿𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (masa del elemento), �� es la aceleración externa y 𝛿�� es la

fuerza neta que actúa sobre el elemento.

Las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido constan de fuerzas del cuerpo, como la

gravedad que actúa en toda la extensión del elemento y son proporcionales al volumen del

propio cuerpo, y las fuerzas superficiales como las de presión, que actúan sobre la superficie

del elemento y son proporcionales al área superficial.

De la gráfica, tomamos la presión en el centro del elemento como P, las presiones en las

superficies superior e inferior del elemento se pueden expresar como 𝑃 + (𝜕𝑃

𝜕𝑧)

𝑑𝑧

2 𝑦 𝑃 −

(𝜕𝑃

𝜕𝑧)

𝑑𝑧

2 respectivamente.

La fuerza superficial neta que actúa sobre el elemento en la dirección z es la diferencia entre

las fuerzas de presión que actúan sobre las caras superior e inferior.

∑ 𝐹𝑦

𝛿𝐹𝑠,𝑧 = (𝑃 −𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝑑𝑧

2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − (𝑃 +

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝑑𝑧


𝛿𝐹𝑠,𝑧 = −𝜕𝑃

𝜕𝑧𝑑𝑥 𝑑𝑦 (

𝑑𝑧

2+

𝑑𝑧

2)

𝛿𝐹𝑠,𝑧 = −𝜕𝑃

𝜕𝑧𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

De manera análoga, las fuerzas superficiales netas en las direcciones x, y son:

𝛿𝐹𝑠,𝑥 = −𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝛿𝐹𝑠,𝑦 = −𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Entonces la fuerza superficial (la cual es simplemente la fuerza de presión) que actúa sobre

el elemento completo se puede expresar en forma vectorial como:

𝛿𝐹𝑠 = 𝛿𝐹𝑠,𝑥𝑖 + 𝛿𝐹𝑠,𝑦𝑗 + 𝛿𝐹𝑠,𝑧 ��

𝛿𝐹𝑠 = − (

𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕𝑃

𝜕𝑧��) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝛿𝐹𝑠 = −∇𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Donde: 𝜵𝑷 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

La única fuerza del cuerpo que actúa sobre el elemento de fluido es el peso del propio

elemento (que actúa en la dirección z negativa) y se expresa como:



𝛿��𝐵,𝑧 = −𝑔𝛿𝑚 = −𝜌𝑔 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 o en forma vectorial como:

𝛿��𝐵,𝑧 = −𝑔𝛿𝑚 �� = − 𝜌𝑔 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 ��

Entonces la fuerza total que actúa sobre el elemento queda:

𝛿�� = 𝛿𝐹𝑠 + 𝛿𝐹𝐵

= −(∇𝑃 + 𝜌𝑔 ��)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Si 𝛿�� = 𝛿𝑚. �� = 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 . �� se sustituye en la segunda Ley de Newton del movimiento

y se cancelan dx dy dz:

𝛿�� = −(∇𝑃 + 𝜌𝑔 ��)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 ��

∇𝑃 + 𝜌𝑔 �� = −𝜌��

A la ecuación anterior se le conoce como:

"𝑴𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒆𝒓𝒑𝒐 𝒓í𝒈𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐𝒔"

Cuando se resuelven los vectores en sus componentes, esta relación se puede expresar de

manera más explícita como:

𝜕𝑃

𝑑𝑥𝑖 +

𝜕𝑃

𝑑𝑦𝑗 +

𝜕𝑃

𝑑𝑧�� + 𝜌𝑔�� = −𝜌(𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 ��)

O, en forma escalar en las tres dimensiones ortogonales, como:

𝑭𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝜕𝑃

𝜕𝑥= −𝜌𝑎𝑥 ,

𝜕𝑃

𝜕𝑦= −𝜌𝑎𝑦 𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑧= −𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)

Donde: 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 𝑦 𝑎𝑧 son las aceleraciones en las direcciones x,y y z, respectivamente .

A partir de estas ecuaciones tenemos algunos casos especiales para el fluido.

Caso especial 1: Fluidos en reposo

Para los fluidos en reposo o en movimiento sobre una trayectoria recta a velocidad constante,

todas las componentes de la aceleración son cero.

𝑎𝑥 = 0, 𝑎𝑦 = 0, 𝑎𝑧 = 0

𝜕𝑃

𝜕𝑥= 0 ,

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 0 𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑧= −𝜌𝑔

Lo cual confirma que, en los fluidos en reposo, la presión permanece constante en cualquier

dirección horizontal y sólo varía en la dirección vertical como resultado de la gravedad.



ACELERACIÓN VERTICAL

Caso especial 2: Caída libre de un cuerpo de fluido

Un cuerpo que contiene un fluido cae libremente, acelera bajo la influencia de la gravedad.

Cuando la resistencia del aire es despreciable, la aceleración del cuerpo es igual a la

gravitacional, y la aceleración en cualquier dirección horizontal es cero. Por lo tanto, 𝑎𝑥 =

𝑎𝑦 = 0 y 𝑎𝑧 = −𝑔

De donde se concluye que la presión es constante.

𝜕𝑃

𝜕𝑥= 0 ,

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 0 𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑧= 0

Esto quiere decir que si en el punto 1, tenemos una presión 𝑃1, en el punto 2 va a existir otra

presión 𝑃2 que es igual a la presión 𝑃1 .

ℎ Líquido, 𝜌

𝑧

𝑎𝑧 = −𝑔

Líquido, 𝜌 ℎ

𝑃1

𝑃2 = 𝑃1

𝑧 𝑎𝑧 = −𝑔



Caso especial 3 : Cuerpo de fluido ascendiendo con 𝒂𝒛 = +𝒈

Cuando se invierte la dirección del movimiento y se fuerza al fluido a acelerar en la dirección

vertical con 𝑎𝑧 = +𝑔, es cuando se coloca un recipiente de fluido en un elevador o en un

vehículo espacial impulsado hacia arriba, con lo cual tendríamos que:

𝑎𝑥 = 0, 𝑎𝑦 = 0 𝑎𝑧 = +𝑔

𝜕𝑃

𝜕𝑥= 0,

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 0

𝜕𝑃

𝜕𝑧= −𝜌(𝑔 + 𝑔)

𝜕𝑃

𝜕𝑥= 0 ,

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 0 𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑧= −2𝜌𝑔

ACELERACIÓN SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA

En esta trayectoria, la superficie del líquido adopta una posición inclinada y plana, formando

una pendiente que está determinada por la relación entre la aceleración del recipiente y la

aceleración de la gravedad.

Considere un recipiente parcialmente lleno con un líquido. El recipiente se mueve sobre una

trayectoria recta con una aceleración constante. Tómese la proyección de la trayectoria de

movimiento sobre el plano horizontal como el eje x y la proyección sobre el plano vertical

como el eje z, como se muestra en la figura.

Reposo Movimiento

A partir de las 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐚𝐜𝐞𝐥𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

𝜕𝑃


𝜕𝑃

𝜕𝑦= −𝜌𝑎𝑦 𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑧= −𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)

Líquido ℎ0

𝛻𝑧𝑚á𝑥 𝜃

Superficie

libre

��

Líquido ℎ0

𝒂𝒛

𝑎𝑥

��

𝑥

𝑧

��



Sabiendo que la aceleración en el eje “y” es cero porque no hay movimiento, tenemos que

las ecuaciones del movimiento son:

𝜕𝑃


𝜕𝑃

𝜕𝑦= 0 𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑧= −𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)

Por lo tanto, la presión es independiente de “y”. Entonces la diferencial total de 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑧),

la cual es (𝜕𝑃 𝜕𝑥)⁄ 𝑑𝑥 + (𝜕𝑃 𝜕𝑧)⁄ 𝑑𝑧:

𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 − 𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)𝑑𝑧

Para 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, la diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2 en el fluido se determina

por integración como:

𝑃2 − 𝑃1 = −𝜌𝑎𝑥(𝑥2 − 𝑥1) − 𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)(𝑧2 − 𝑧1)

Si se toma el punto 1 como el origen (𝑥 = 0, 𝑧 = 0) donde la presión es 𝑃0 y el punto 2 como

cualquier punto en el fluido, la distribución de presión se puede expresar como:

𝑃 = 𝑃0 − 𝜌𝑎𝑥𝑥 − 𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)𝑧

A la ecuación anterior se le conoce como: variación de la presión

Para determinar el ascenso o descenso de la superficie se puede determinar considerando dos

puntos cualesquiera (1 y 2) en la superficie del fluido:

𝑃2 − 𝑃1 = −𝜌𝑎𝑥(𝑥2 − 𝑥1) − 𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)(𝑧2 − 𝑧1)

Las presiones 𝑃2 y 𝑃1 son iguales puesto que ambos sería en la superficie del fluido

0 = −𝜌𝑎𝑥(𝑥2 − 𝑥1) − 𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)(𝑧2 − 𝑧1)

𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)(𝑧2 − 𝑧1) = −𝜌𝑎𝑥(𝑥2 − 𝑥1)

(𝑧2 − 𝑧1) =−𝜌𝑎𝑥(𝑥2 − 𝑥1)

𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)

Se simplifica 𝜌, y obtenemos la siguiente ecuación a la cual se le denomina “Ascenso vertical

de la superficie”

∆𝑧𝑠 = (𝑧𝑠2 − 𝑧𝑠1) = −𝑎𝑥

(𝑔 + 𝑎𝑧)(𝑥2 − 𝑥1)

Donde 𝑧𝑠 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜.

𝜃

∆𝑧

∆𝑥

��

𝑥 𝑧



En todas las líneas de presión constante, la inclinación es la misma, por lo que para todas las

líneas de presión constante se tiene:

(𝑧2 − 𝑧1)𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎

(𝑥2 − 𝑥1)= −

𝑎𝑥

(𝑔 + 𝑎𝑧)= 𝑐𝑡𝑒

Pendiente de las isóbaras:

(𝑧2 − 𝑧1)𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎

(𝑥2 − 𝑥1)= −

𝑎𝑥

(𝑔 + 𝑎𝑧)= − tan 𝜃

ROTACIÓN EN UN RECIPIENTE CILÍNDRICO

Por experiencia se sabe que cuando un vaso lleno con agua se hace girar alrededor de su eje,

se fuerza al fluido hacia afuera como resultado de la fuerza centrífuga y la superficie libre

del líquido se vuelve cóncava. Esto se conoce como movimiento de vórtice forzado.

Considere un recipiente cilíndrico vertical lleno parcialmente con un líquido.

Ahora se hace girar el recipiente alrededor de su eje a una velocidad angular constante 𝜔,

como se muestra en la figura

Donde:

ℎ0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 Altura inicial de líquido en reposo

𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

La distancia R es la distancia del origen hasta la pared del vaso

ℎ𝑐: Distancia (fondo hasta la parte más baja de la superficie)

𝑧𝑠: Distancia que hay a punto cualquiera de la superficie

Después de los efectos transitorios iniciales, el líquido se moverá como un cuerpo rígido

junto con el recipiente.

No se tiene deformación y, por tanto, no puede haber esfuerzo cortante y cada partícula de

fluido en el recipiente se mueve con la misma velocidad angular.

𝐸𝑗𝑒

𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝜔

𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒

𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒

ℎ0

𝑧

𝑟

𝑅

ℎ𝐶

��

𝑧𝑠



En estos casos es mejor analizarlo en coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧), tomando 𝑧 a lo largo

de la línea central del recipiente, dirigida del fondo hacia la superficie libre, puesto que la

forma del recipiente es un cilindro y las partículas del fluido se someten a un movimiento

circular.

Se tiene que la aceleración radial es:

𝑎𝑟 = −𝑟𝜔2

Entonces las ecuaciones del movimiento para los fluidos en rotación son:

𝜕𝑃

𝜕𝑟= 𝜌𝑟𝜔2 ,

𝜕𝑃

𝜕𝜃= 0 𝑦

𝜕𝑃

𝜕𝑧= −𝜌𝑔

De tal manera que la diferencial total de P igual a la suma de las tres anteriores:

𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔 𝑑𝑧

A partir de la expresión anterior si consideramos que no hay variación de presión entre dos

puntos cualesquiera, estaríamos trabajando sobre líneas a presión constante, es decir líneas

isóbaras.

Si consideramos 𝑑𝑃 = 0, se está trabajando sobre líneas de presión constante, es decir,

isóbaras, entonces la expresión:


Efectuando el cálculo:

0 = 𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔 𝑑𝑧

𝜌𝑔 𝑑𝑧 = 𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟

∆𝑧𝑚á𝑥

𝑃0

𝑃1

𝑃2

𝑃3

𝑃4

𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒

𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒

𝜔



Se simplifica 𝜌 y quedaría:

𝑑𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎

𝑑𝑟=

𝑟𝜔2

𝑔

O

𝑑𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝑟𝜔2

𝑔𝑑𝑟

Si integramos la ecuación anterior, obtenemos:

𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝜔2

2𝑔𝑟2 + 𝐶1

Conocida como: Superficies de presión constante y podemos ver que es la ecuación de una

parábola.

Por tanto, se llega a la conclusión que las superficies de presión constante, inclusive la

superficie libre, son paraboloides de revolución.

“El valor de la constante de integración es diferente para cada línea de presión constante, es

decir a diferentes alturas tendrá una constante de integración diferente”.

A partir de la ecuación de superficies de presión constante, si consideramos por ejemplo

que 𝑟 = 0 (𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛), 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:

𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝐶1

Como estamos considerando que para la superficie libre, la altura que tiene ese vértice de la

parábola lo hemos llamado ℎ𝑐, es por eso que en la superficie libre la constante de

integración es ℎ𝑐.

𝐶1 = ℎ𝑐

Entonces la constante de integración es la distancia de la superficie libre al fondo del

recipiente a lo largo del eje de rotación.

A esta distancia le llamaremos, entonces:

𝑧𝑠 = 𝜔2

2𝑔𝑟2 + ℎ𝑐

Todos sabemos que para hallar el volumen de un elemento de cascarones cilíndricos lo

podemos hallar mediante la integral:

𝑉 = ∫ 2𝜋𝑧𝑠𝑟𝑑𝑟𝑅

0

Pero 𝑧𝑠 ya lo conocemos, entonces:



𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝜔2

2𝑔𝑟2 + ℎ𝑐) 𝑟𝑑𝑟

𝑅

0

Ahora procedemos a integrar y tenemos:

𝑉 = 𝜋𝑅2 (𝜔2𝑅2

4𝑔+ ℎ𝑐)

En este volumen como no se ha derramado ningún líquido, debe ser igual al volumen

original cuando estaba totalmente quieto, es decir, cuando todo el fluido estaba hasta la

misma altura (la superficie libre estaba hasta una altura ℎ0).

De tal manera que el volumen del fluido era inicialmente:

𝑉 = 𝜋𝑅2ℎ0

Entonces igualamos los dos volúmenes:

𝑉 = 𝜋𝑅2ℎ0 = 𝜋𝑅2 (𝜔2𝑅2

4𝑔+ ℎ𝑐)

Simplificando, tenemos:

ℎ𝑐 = ℎ0 −𝜔2𝑅2

4𝑔

Y reemplazamos en:

𝑧𝑠 = 𝜔2

2𝑔𝑟2 + ℎ𝑐

La ecuación de la superficie libre queda como:

𝑧𝑠 = ℎ0 −𝜔2

4𝑔(𝑅2 − 2𝑟2)

Para determinar la altura vertical máxima se tiene en el borde cuando 𝑟 = 𝑅, esto es:

𝑧𝑠𝑚á𝑥 = ℎ0 +𝜔2

4𝑔𝑅2

Y para hallar la diferencia máxima en las alturas entre el borde y el centro de la superficie

libre es:

∆𝑧𝑠𝑚á𝑥 = 𝑧𝑠𝑚á𝑥 − ℎ𝑐

Ahora partiendo de la expresión:




Se puede determinar la diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2 en el fluido, si se

integra:

𝑃2 − 𝑃1 =𝜌𝜔2

2(𝑟2

2 − 𝑟12) − 𝜌𝑔(𝑧2 − 𝑧1)

Considerando el punto 1 como el origen (𝑟 = 0 𝑦 𝑧 = 0) donde la presión es 𝑃0:

𝑃 = 𝑃0 +𝜌𝜔2

2𝑟2 − 𝜌𝑔𝑧

Dicha ecuación es conocida como variación de la presión.



EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

1.-Un cilindro vertical sellado de 1.2m de diámetro y 3m de alto, está lleno con gasolina cuya

densidad es de 740kg/m3. Ahora se hace girar el tanque alrededor de su eje vertical a razón

de 70 rpm. Determine

La diferencia entre presiones en el cetro de las superficies del fondo y de arriba

La diferencia entre las presiones en el centro y del borde de la superficie

SOLUCION

El aumento en la velocidad de rotación es muy lenta de forma que el líquido en el

recipiente siempre actúa como un rígido cuerpo.

La gasolina es una sustancia incompresible.

La densidad de la gasolina es de 740 kg / m3.

La diferencia de presión está dado por la siguiente formula:

P1-P2=𝜌𝜔2

2(r1

2–r22)-ρg(z2-z1)

R= 0.60m

ω=2πn=2π(70rev/min)(1𝑚𝑖𝑛

60𝑠)=7.330rad/s



a) Tomando puntos 1 y 2 sean los centros de las superficies inferior y superior,

respectivamente, tenemos r1 = r2 = 0 y

z2 – z1 = h = 3m.

Entonces,

P1=centro del tapa

P2=centro del fondo

P1-P2=0-ρg(z2-z1)=-ρgh

=-(740 kg /m3)(9.81m/s2)(3m)(1𝑘𝑁

1000𝑘𝑔.𝑚/𝑠2)=21.8kN/m2

b) La adopción de los puntos 1 y 2 para ser el centro y el borde de la superficie inferior,

respectivamente, tenemos r1= 0, r2= R, y

z2 = z1 = 0

P1=presión en el centro

P2=presión en el borde del fondo

P1-P2=𝜌𝜔2

2(r1

2-0)-0=𝜌𝜔2𝑟1

2

2

P1-P2=(740 𝑘𝑔 /𝑚3)(7.33𝑟𝑎𝑑/𝑠)2(0.60𝑚)2

2(

1𝑘𝑁

1000𝑘𝑔.𝑚/𝑠2)=7.16kN/m2

P1-P2=7.16kPa



2.-Se transporta leche con una densidad de 1020kg/m3 sobre una carretera horizontal en un

carro-tanque cilíndrico de 7m de largo y 3m de diámetro. El carro-tanque está completamente

lleno con leche (no existe espacio de aire) y se acelera a 2.5m/s2. Si la presión mínima en el

carro-tanque es de 100kPa, determine la presión máxima y su ubicación

La aceleración se mantiene constante

La leche es una sustancia incompresible

La densidad de la leche es de 1020 kg / m3

La presión diferencia entre dos puntos 1 y 2 en un fluido incompresible en el movimiento

del cuerpo rígido lineal es dada por:

P2 − P1 = −ρax (x2 – x1) −ρ(g + az )(z2 – z1 )

Donde:

x1= 7 m, x2= 0, z1= 3 m, and z2= 0. az=0

P2 − P1 = −ρax (x2 – x1) −gρ (z2 – z1 )

P2 − P1 = − (1020 kg / m3 )[(-2.5m/s2)(7m)+(9.81m/s2)(-3m)] (1𝑘𝑁

1000𝑘𝑔.𝑚/𝑠2)

P2 − P1= (17.9+30) kN/m2 =47.9kPa



3.-Una pecera que contiene agua hasta una altura de 40cm se mueve en la cabina de un

elevador.- Determine la presión en el fondo de la pecera cuando el elevador esta en:

a) Reposo

b) Moviéndose hacia arriba con una aceleración de 3m/s2

c) Moviéndose hacia abajo con una aceleración de 3m/s2

La aceleración se mantiene constante.

El agua es una sustancia incompresible

ρH2O=1000kg/m3

La diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2 en un fluido incompresible está dada por:

P2 − P1 = −ρax (x2 – x1) −ρ(g + az )(z2 – z1 )

Como la aceleración horizontal es nula entonces: ax=0

P2 − P1 = ρ(g + az )(z2 – z1 )

P2 = Patm, z2− z1 = h

P2 − P1 = ρ(g + az )h

a) tanque estacionario, az=0

ΔP=ρgh=(1000 kg / m3 )(9.81m/s2)(0.4 m) (1𝑘𝑁

1000𝑘𝑔.𝑚/𝑠2)=3.92kN/m2

b) Tanque ascendiendo, az=3m/s2

ΔP= ρ(g + az )h=(1000 kg / m3 )(9.81+3m/s2)(0.4 m) (1𝑘𝑁

1000𝑘𝑔.𝑚/𝑠2)=5.12kN/m2

c) Tanque descendiendo, az=-3m/s2

ΔP= ρ(g + az )h=(1000 kg / m3 )(9.81-3m/s2)(0.4 m) (1𝑘𝑁

1000𝑘𝑔.𝑚/𝑠2)=2.72kN/m2

Agua



4.-Un tubo en U contiene agua en la rama derecha y otro liquido en la izquierda. Se observa

que cuando el tubo gira a 30 rpm alrededor de un eje que está a 15cm de la rama derecha y a

5 de la izquierda, los niveles del líquido en las dos ramas se vuelve iguales.-Determine la

densidad del fluido en la rama izquierda

Tanto el fluido y el agua son fluidos incompresibles

Los dos fluidos se encuentran en el eje de rotación, y por lo tanto sólo hay agua a la

derecha del eje de rotación.

ρH2O=1000kg/m3

P2-P1=𝜌𝜔2

2(r1

2–r22)-ρg(z2-z1)

ω=2πn=2π(30rev/min)(1𝑚𝑖𝑛

60𝑠)=3.14rad/s

P1 y P1* = atm, por lo tanto la variación de la presión para cada fluido es la misma.

Fluido: P2-P1=𝜌𝑤𝜔2

2(0–r2

2)-ρwg (-h)=( −𝜔2𝑟1

2

2+ 𝑔ℎ) 𝜌𝑤

H2O: P2-P1=𝜌𝑓𝜔2

2(0–r1

2)-ρfg (-h)=( −𝜔2𝑟2

2

2+ 𝑔ℎ) 𝜌𝑓



𝜌𝑓=(

−𝜔2𝑟12

2+𝑔ℎ) 𝜌𝑤

( −𝜔2𝑟2

2

2+𝑔ℎ)

= −(

3.14𝑟𝑎𝑑𝑠

)2

(0.15𝑚)2

2+(

9.81𝑚

𝑠2 )(0.10𝑚)

−(3.14𝑟𝑎𝑑

𝑠)

2(0.05𝑚)2

2+(

9.81𝑚

𝑠2 )(0.10𝑚)

(1000kg/m3)=794kg/m3

5.-Un camión remolca un tanque rectangular de 20ft de largo y 8ft de alto, que está abierto a

la atmosfera, sobre una característica horizontal.-El tanque está lleno cono agua hasta una

profundidad de 6 ft.- Determine la aceleración o desaceleración máximas permitidas, si no

debe derramarse agua durante el remolque

El camino es horizontal, de modo que la aceleración no tiene componente vertical ( z

= 0 )

La aceleración permanece constante.

Tanθ=𝑎𝑥

𝑔+𝑎𝑧 ; 𝑎𝑥=gtanθ; tan𝜃 =

𝛥ℎ

𝐿/2

𝑎𝑥=gtanθ=g𝛥ℎ

𝐿/2= (32.2ft/s2)

2𝑓𝑡

(20𝑓𝑡)/2= 6.44ft/s2

Rpta: ±6.44ft/s2

trabajo-final n° 7 -de-mecánica-de-fluidos-i-1a-unidad

Documents