Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Doris Crnjac

Teorije ucenja matematike

Diplomski rad

Osijek, 2013.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Doris Crnjac

Teorije ucenja matematike

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan MaticKomentor: dr. sc. Ljerka Jukic Matic

Osijek, 2013.

Sadrzaj

Uvod 2

1 Istrazivanja u matematickom obrazovanju 2

2 Teorije ucenja matematike 5

2.1 Brunerove faze predstavljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Van Hieleov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Skinner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Piaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Vygotsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Polya heuristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Perspektive nastave iz drugih dijelova svijeta 19

3.1 Nizozemski RME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Reggio Emilia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Rogoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Istrazivacki pristup i konstrktivisticki model 24

5 Induktivna nastava u odnosu na deduktivnu 28

6 Motivacija 32

Zakljucak 36

Sazetak 37

Summary 38

Literatura 39

Zivotopis 40

1

Uvod

Kognitivni razvoj direktno je uvjetovan kapacitetima i nacinom funkcioniranja mozga i

obuhvaca djetetovo videnje svijeta, nacin razmisljanja, kao i to sto i kako uce. Istrazivanja

provedena tijekom 20. stoljeca u znatnoj su mjeri razvila nasa znanja o djecjem razvoju

i procesu ucenja. Preporuke Europskog Parlamenta i Vijeca od 18. prosinca 2006. o

kompetencijama za cjelozivotno ucenje sadrze osam kljucnih kompetencija. Na listi kom-

petencija kojima ucenici trebaju ovladati tijekom obveznoga skolovanja nalazi se i vazna

kompetencija oznacena sintagmom ”uciti kako se uci”. Preispitujuci kurikulume hrvat-

skog obveznog skolstva te ishode ucenja na kraju pojedinih razreda, ciklusa i nastavnih

predmeta, mogu se postaviti razlicita pitanja. Npr. tko je zaduzen za razvijanje te kom-

petencije (uciti kako se uci)? Na koji nacin se u nastavnom procesu potice i razvija ta

kompetencija (metodika)? Na koji nacin se moze provjeriti (procijeniti) ostvarenost te

kompetencije kao ishod ucenja? Koliko su udzbenici i drugi pomocni nastavni materijali

pogodni za poticanje i razvijanje te kompetencije?

Razliciti pristupi (teorije) o ucenju promatraju ucenje s razlicite polazisne tocke: one se

medusobno nadopunjuju vise nego proturjece, a u praksi nerijetko preklapaju. Kogniti-

visticku teoriju prvenstveno zanima ucenje kao misaoni proces, a konstrutivisticku ucenje

kao proces konstruiranja znacenja. Bihevioristicka teorija promatra kako ponasanje nas-

tavnika i ostali vanjski faktori utjecu na ucenje.

Ovaj rad bavi se nekim od brojnih teorija ucenja matematike. U prvom dijelu rada upoz-

nat cemo se s istrazivanjima u matematickom obrazovanju, zbog kojih su se razvije brojne

teorije ucenja matematike. Nakon toga upoznat cemo se s nekoliko teorija ucenja mate-

matike te vidjeti neke primjere rjesavanja zadataka. Upoznat cemo se i s istrazivackim

pristupom, induktivnom i deduktivnom nastavom, ali i komponentama motivacije.

2

1 Istrazivanja u matematickom obrazovanju

Izvjestitelj profesionalne nogometne utakmice nedavno je izjavio da branici u dobi od 25

godina i manje pobjede na 35% svojih utakmica, dok branici u dobi iznad 33 pobjede na

74% svojih utakmica. Tvrdio je da su stariji igraci bolji u onome sto rade i da ekipa cesto

”reciklira” branice, jer njihov nastup ima tendenciju znacajnog poboljsanja zbog stecenog

iskustva. Ono sto on nije shvatio - ili barem nikad nije spomenuo - je da samo najbolji

branici u profesionalnom nogometu danas igraju kad imaju vise od 33 godine. Kao re-

zultat toga, podaci ne bi trebali cuditi gledatelje. Ocekivali bismo da je razlog sto branic

jos uvijek igra iznad 33 godine je da je on vrlo uspjesan i ima visok postotak pobjeda.

Manje uspjesni branici napustaju igru vec u vrijeme njihovih tridesetih godina i vise se ne

ukljucuju u podatke. Ukratko, statistike su matematicki tocne, ali zakljucci iz podataka

su upitni.

Isto tako, novine su nedavno izvijestile da se na poznatom sveucilistu 94% nastavnickog

tijela smatra ”iznad prosjecnim” predavacima. Ne nasmijavaju li nas naslovi poput ovih?

Nakon svega, ne treba li 50% nastavnika biti na ili iznad prosjeka, a 50% biti na ili is-

pod prosjeka? Ali neminovno se pitamo: ”Kako oni to znaju? Koga pitaju? Jesu li ove

statistike razumne za cijelu populaciju? Ima li zakljucak smisla?” Istrazivanje je proces

prikupljanja i analiziranja podataka, tako da se rezultati mogu koristiti za obavjescivanje

donositelja odluka. Na primjer, ako drzava podize svoju maksimalnu brzinu voznje sa 65

na 75 kilometara na sat, a podaci istrazivanja pokazuju znacajan porast smrtnih slucajeva

na autocestama tijekom sljedece godine, zakonodavac moze koristiti istrazivanja kako bi

obrazlozio da ogranicenje brzine treba ponovno spustiti. Odluke se svakodnevno temelje

na matematickim informacijama.

Medutim, moramo biti oprezni jer su neki podaci, pa prema tome i rezultati, nekih is-

trazivanja manjkavi. Pretpostavimo da pitas pet svojih najboljih prijatelja jesu li oni

uglavnom glasacki ljevicari ili desnicari te cetiri od pet kazu da su ljevicari. Je li logicno

pretpostaviti da je 80% posto svih odraslih ljevicara? Naravno da ne! Velicina uzorka koje

ste izabrali je bio premalen da bi mogli nesto generalizirati, a i odabrali ste jedinstven dio

populacije - fakultetski obrazovani i, mozda, svi istog spola i suzivota u slicnoj situaciji.

Ako ste stvarno zeljeli znati koliki postotak stanovnistva pripada svakoj stranci, trebali bi

napraviti velike nacionalne studije koje ukljucuju razumnu mjesavinu zemljopisnih regija,

socioekonomskih skupina, spola i tako dalje. Osim toga, mozda zelite usporediti svoje

rezultate s podacima iz slicnih studija koje su provedene kako bi nasli uzorke, slicnosti i

nedosljednosti.

3

Nadam se da nikada ne bi morali napraviti znacajnu zivotnu odluku na temelju jedne,

potencijalno manjkave, studije.

Bas kako zakonodavac odlucuje o ogranicenju brzine, djelomicno na temelju istrazivanja o

broju smrtnosti, idealno bi bilo da nastavnici pisu kurikulum i odabiru nastavne metode

i nacine ocjenjivanja s dosadasnjim istrazivanjima na umu.

Dvije glavne vrste istrazivanja u obrazovanju su kvantitativno istrazivanje i kvalitativno

istrazivanje. Kvantitativno istrazivanje bavi se skupljanjem brojcanih podataka i anali-

zom. Na primjer, jedan primjer kvantitativne studije pokazuje da su neki ucenici srednjih

skola bili smjesteni u heterogenim razredima (razredi mijesanih sposobnosti), a drugi su

bili smjesteni u homogenim razredima (grupirani po sposobnostima). Na kraju skolske go-

dine, ucenici u heterogenim razredima znatno su nadmasili svoje vrsnjake. Kvantitativna

istrazivanja takoder mogu raspravljati o koristi grupiranja. Druga studija, na primjer,

pokazuje da svi ucenici imaju koristi od homogene grupacije, posebno oni koji su nada-

reni. Stoga treba temeljito istraziti veliku bazu istrazivanja prije donosenja bilo kakvog

zakljucka i postupanja po podacima.

Povijesno gledano, nastavnici su prvo koristili kvantitativne metode. Ako bismo htjeli

znati, primjerice, hoce li kalkulatori poboljsati ucenje odredenog gradiva, mogli bismo tes-

tirati dva slicna razreda tako da jedan razred ucimo s kalkulatorom, a drugi bez. Zatim,

usporedujuci rezultate na testovima, mozemo utvrditi da li je razred s kalkulatorom za-

pravo bolji od drugog i prijaviti te rezultate obrazovnoj zajednici. Nedavno je, medutim,

dosao trend usmjeren vise prema kvalitativnim istrazivanjima u odgoju i obrazovanju, jer

su znanstvenici postali skepticni zbog stupnja do kojeg mozemo opisati ucenicki rad koji

se temelji iskljucivo na brojcanim podacima.

Kvalitativno istrazivanje ukljucuje prikupljanje i analizu nebrojcanih podataka kao sto su

video vrpce ucionica, zapisi razgovora izmedu ucenika i nastavnika, audio zapis intervjua

ili pisani sazetci ucenickih dnevnika. Na primjer, kvalitativno istrazivanje provedeno na

prvoj i drugoj godini nastave algebre pokazalo je da nastavnici koji su potaknuli svoje

ucenike da pisu petominutni odgovor na problem ili pitanje na pocetku sata nekoliko dana

tjedno skloni prilagoditi plan svoje lekcije u skladu s tim. Tom prilagodbom dobivaju vise

uvida u ucenicko razumijevanje nego sto bi bez upute. Podaci za ovu studiju sastojali su se

od ucenickih pisanih odgovora, pisanih reakcija nastavnika i biljeski iz susreta i razgovora

s nastavnicima koji sudjeluju. Iako je moguce prikljuciti brojeve kvalitativnim podacima

(npr., moze se brojati koliko puta su ucenici odgovorili na odredeni nacin), istrazivanje

se prvenstveno bavi s ”rijecima” uzetih iz promatranja i razgovora, a ne ”brojevima” iz

ispitivanja.

4

Neka istrazivanja u matematickom obrazovanju pokusaj su dokaza da su neke nastavne

metode i procjene bolje od drugih, bas kao sto je opisano u primjeru s kalkulatorom, a

naziva se eksperimentalnim istrazivanjima. Ova vrsta istrazivanja ima svoj korijen u po-

ljoprivredi: Seljak ce primijeniti odredenu marku gnojiva na jedno polje, a na drugo ne,

kako bi vidio je li tretirano polje proizvelo bolje usjeve. Prilikom jednog istrazivanja, ot-

kriveno je da su ucenici koji su naucili koristiti metodu prikrivanja za rjesavanje jednadzbi

uz tradicionalni simbol manipulacije nadmasili svoje vrsnjake koji su naucili manipulirati

simbole samo olovkom i papirom. Nastavnik moze provesti takvo istrazivanje u praksi

prilikom odlucivanja kako pristupiti rjesavanju jednadzbi u srednjoj skoli.

U izradi obrazovnih odluka, cesto je korisno jednostavno imati bazu podataka. Studija

koja se provodi u svrhu ostvarivanja statistika i informacija za raspravu, ali ne nuzno i za

usporedbu je deskriptivno (opisno) istrazivanje. Slijede neki primjeri opisnog istrazivanja:

Nacionalno istrazivacko vijece SAD-a (1989) izvijestilo da je 75% svih radnih mjesta zahti-

jevaju osnovno znanje algebre i geometrije. U jednom deskriptivnom istrazivanju utvrdeno

je da nastavnici trose 20 do 30% svog radnog vremena na provodenje procjena napretka

ucenika. Jedno od istrazivanja pokazalo je da 83% ucenika osmog razred u SAD-u su u

razredima izmedu 1 i 30 ucenika, dok je 93% ucenika u Koreji upisano u razrede s 41

ili vise ucenika. Zanimljivo je, medutim, da su korejski osmi razred znacajno nadmasili

americke osme razrede na testovima znanja. Deskriptivna istrazivanja cesto proizlaze iz

ankete ili intervjua i sluze za informiranje visokih zajednica o statusu nekog programa ili

situacije.

U tablici 1 je generaliziran sazetak vrsta istrazivanja koja se mogu izvoditi u obrazovanju

i ilustrira nacin na koji se istrazivanja mogu dovesti na nekoliko razlicitih formata, ovisno

o namjeri istrazivaca.

Tablica 1: Usporedba istrazivackih metoda

5

Vecina eksperimentalnih istrazivanja su kvantitativna, a mnogo opisnih istrazivanja u

matematickom obrazovanju su kvalitativna. Medutim, bilo koja studija moze sadrzavati i

kvantitativne i kvalitativne elemente. Zapravo, neka od najmocnijih istrazivanja mogu se

zakljuciti kada se, primjerice, rezultati ispitivanja ucenika mogu prosiriti kroz niz otvorenih

razgovora s ucenicima. Razgovori cesto dopustaju istrazivacima da ispitaju razmisljanja

ucenika dublje od pisanog testa, a oni mogu citirati komentare ucenika u rezultatima

istrazivanja. Istrazivanja u matematickom obrazovanju sluze kao katalizator ili za afirma-

ciju dotadasnje prakse. Nakon sto je provedeno nekoliko studija i obrazaca o poucavanju

i ucenju, obrazovna teorija djelomicno je formulirana. Sada istrazujemo neke od teorija

o poucavanju i ucenju koje su se razvile tijekom mnogih godina obrazovnog istrazivanja i

obradujemo pitanje kako zapravo ucenik uci matematiku.

2 Teorije ucenja matematike

Prisjetite se nekih od nastavnika matematike koje ste imali. Je li itko od njih izuzetno

obrazovan u podrucju matematike, ali neucinkovit u ucionici, ostavljajuci vas ili nekog

drugog u razredu zbunjenim? Mozda ste proveli dio godine osjecajuci da je nastavnik bio

je predavac matematike, ali nije ucio ucenike. Jasno, tu je razlika! Kaze se da su najbolji

nastavnici matematike oni koji ne samo da razumiju sadrzaj, nego takoder imaju cvrsto

shvacanje o tome kako se matematika uci. Nastavnici koji su upoznati s teorijama razvoja

djeteta mogu cijeniti kako ucenici upoznaju i uce matematiku. Richard Skemp, koji je

napisao popularnu knjigu pod naslovom Psihologija ucenja matematike (1971), izjavio je:

”Problemi ucenja i poucavanja su psiholoski problemi, a prije nego sto napravimo mnoga

poboljsanja u nastavi matematike trebamo znati vise o tome kako se to uci.”

Njegovi komentari su potpomognuti istrazivanjima koja pokazuju nastavnicima da trebaju

razmisliti o tome da nacin na koji njihovi ucenici misle moze imati znacajan utjecaj na

postignuca ucenika.

Skemp je takoder izjavio da ”Ucenje matematike (je) ... jako ovisi o dobroj nastavi. Znati

matematiku jedna je stvar, a uciti one na nizoj razini koncepta je druga.”

Dakle, vazno je usredotociti se na to kako ucenici misle i razvijaju kao ucenici matematike.

Pogledajmo neke od aktualnih teorija poucavanja i ucenja matematike.

6

2.1 Brunerove faze predstavljanja

Jednu od kognitivnih teorija ucenja formulirao je Jerome Bruner. Bruner, koji je roden

1915. te doktorirao 1941. na Harvardu, teoretizirao je tri faze ucenja - izvrsavajucu,

ikonicku i simbolicku. Njegova teorija je dovela do opseznog koristenja prakticnog mate-

rijala - manipulativa - u nastavi matematike.

U osnovnoj skoli, djeca cesto koriste manipulative poznate kao blokovi baze deset za upoz-

navanje osnovnih operacija i mjesta vrijednosti. Skup blokova baze deset (vidi sliku 1)

sastoji se od kvadrata 1cm · 1cm; trake, koja je 1cm · 10cm, i ravne koja je 10cm · 10cm.

Svaki kvadrat predstavlja ”1”, dok je traka ”10”, a ravna ”100”.

Slika 1: Prikaz cijelih brojeva pomocu blokova baze deset

Kazemo li djeci da zbroje 124 + 235, oni mogu predstaviti brojeve pomocu blokova

baze deset, kao sto je prikazano na slici 2.

Slika 2: Prikaz zbrajanja 124 i 235 pomocu blokova baze 10

Dijete lako moze vidjeti da postoje 3 ravne, 5 traka i 9 kvadrata, tako da zbroj 124

i 235 mora biti 359. Kako bi rijesili zadatak, potrebno je racunanje bez olovke i papira,

a dizajn blokova intuitivno djeci pokazuje koje znamenke zbrajaju, jer oni jednostavno

kombiniraju blokove koji imaju isti oblik i velicinu.

7

Isto tako, ovaj pojam se moze prosiriti i na poucavanje algebre u visim razredima

osnovne i u srednjoj skoli. Kao manipulativi cesto se koriste algebarske plocice. Standardni

skup algebarskih plocica, kao sto je prikazano na slici 3, ukljucuje tri oblika: kvadrat

kojemu je stranica duga 1cm, traku koja je 1cm siroka i nekoliko cm duga i ravna koja je

kvadrat cija strane su duljine jedne trake.

Slika 3: Algebarske plocice

Algebarske plocice temelje se na modelu podrucja, tako da pretpostavljamo da mali

kvadrat 1cm·1cm, predstavlja jednu kvadratnu jedinicu povrsine. Traka je 1cm·x, tako da

predstavlja x. Ravna je x · x, tako da predstavlja x2. Dakle, recimo da ucenik pokusava

pojednostaviti izraz: 2x2 + 3x + 5 + x2 + 6x + 7. Prikazemo li to pomocu algebarskih

plocica, dobit cemo sliku 4.

Slika 4: Prikazivanje 2x2 + 3x+ 5 + x2 + 6x+ 7 pomocu algebarskih plocica

Ucenik moze relativno lako prepoznati da postoje 3 ravne, 9 traka te 12 kvadrata pa

pojednostavljen izraz glasi 3x2 + 9x+ 12. Ovaj proces i znacenje iza njega moze se nauciti

bez upotrebe olovke i papira te bez ikakve rasprave o tome sto cini slicne pojmove. Pojam

da su uvjeti slicni je i logican jer plocice koje su u kombinaciji imaju isti oblik i velicinu.

8

Iskusan nastavnik matematike zna da je tipicna pogreska ucenika da im je 3x+ 6x = 9x2.

Uz koristenje algebarskih plocica, ucenici rijetko cine ovu gresku jer se oslanjaju na vizu-

alnu sliku. Ako nastavnik vjesto i smisleno koristiti blokove baze deset, tranzicija je jos

laksa jer se ucenicima da veza izmedu dodavanja znamenki s istog mjesta i kombiniranja

vrijednosti slicnih uvjeta. Vecina komercijalno dostupnih setova izradeni su od ravnih

komada plastike razlicitih boja na svakoj strani, cime jedna strana predstavlja pozitivan

pojam, a druga strana predstavlja negativan pojam. Ucenici se tada mogu nositi s poli-

nomima koji imaju pozitivne i negativne koeficijente.

Brunerova teorija pretpostavlja da ucenje pocinje s djelovanjem - diranjem, osjecanjem

i manipuliranjem. Tesko je, ako ne i nemoguce, razgovarati o jabukama ako nikada ni-

smo drzali jabuku. Ova prva faza je izvrsavajuca ili konkretna faza. Ucenici rade u

izvrsavajucoj fazi kada nauce brojati, zbrajati i oduzimati koristeci blokove baze deset

u prvom razredu. Druga faza ucenja, prema Bruneru, je ikonicka ili slikovna faza. Ova

faza ovisi o vizualizacijama, kao sto su slike, kako bi sazeli i predstavili konkretne situ-

acije. Uceniku osnovne skole dan je papir te je trebao nacrtati sliku o tome sto to znaci

dodati 243 + 335. Analizirajuci sliku, nastavnik moze odrediti stupanj kojim dijete moze

predociti brojevne operacije. U osnovi, ucenici na papir crtaju ono sto vec znaju uciniti s

konkretnim manipulativima, ali, opet, gotovo je nemoguce stvoriti sliku jabuke, ako prvo

ne drzite jednu pravu u svojim rukama. Dakle, nakon izvrsavajuce faze slijedi ikonicka

faza, u kojoj je slika predstavlja fizicki objekt i sluzi za daljnje shvacanje. Brunerova

treca faza ucenja je simbolicka ili apstraktna faza. Zove se simbolicka jer rijeci i simboli

koji predstavljaju informacije zapravo nemaju nikakve veze s informacijom. Broj 3 nema

smisla sam po sebi, a dobiva znacenje ako smo najprije drzali tri necega u nasim rukama

i radili sa slikama stvari rasporedene u skupinama od tri. Isto tako, traziti ucenike da

predoce kut od 45◦ pretpostavlja da su imali iskustva s crtanjem kutova i mjerenjem ku-

tova kutomjerom. Naravno, rijec jabuka nema smisla ako nismo dotaknuli jabuke i ako

ih ne mozemo prepoznati na slici. Koristenje simbola omogucuje uceniku da organizira

informacije u svijesti povezujuci pojmove zajedno.

Prema Brunerovim preporukama za redoslijed nastavnih koraka, kriticno je da ucenici

napreduju kroz sve tri faze. Ako ucenik, mjesec dana ili vise, cini pogresku misleci da je

3x+ 6x = 9x2, to je dovoljno da nastavnik intervenira tako da vrati razred na konkretnu

ili slikovnu fazu. Medutim, ako nastavnik ne slijedi Brunerove faze i pocne uciti temu

sa simbolickim manipulativima, ucenici nemaju model na koji ce se vratiti. Vazno je da

nastavnik omoguci ucenicima da napreduju polako iz jedne faze u drugu, sto nije tako lako

kao sto se cini.

9

Ako su ucenici spremni za prelazak na sljedecu razinu, ali nastavnik neprestano trazi

da funkcioniraju na konkretnim zadacima na trenutnoj fazi, ucenicima ce zasigurno postati

dosadno. Slicno tome, ako nastavnik pokusava podici ucenike na simbolicku razinu prije

nego sto su spremni za nastavak, ucenici mogu pokazati vjestinu na papiru, ali ce uvijek

imati znacajne nedostatke u njihovom razumijevanju koncepta. Mozda ste culi da netko

kaze: ”Ja mogu to nauciti i proci razred, ali nisam siguran da sam stvarno naucio jako

puno i kasnije se toga uopce ne sjecam!” Vrlo je vjerojatno da je ovakav ucenik pozurio

kroz faze, bez dovoljno vremena koje omogucuje potpuni razvoj pojmova.

Povijesno gledano, nedostatak konceptualnog razumijevanja je glavni problem u mate-

matickom obrazovanju. Mozda ste ucili na taj nacin i, prije citanja ovog poglavlja, tesko

bi bilo predociti sto znaci kombiniranje slicnih uvjeta. Za mnoge ucenike, matematika

je jednostavno skup pravila i procedura, jer oni su ucili gotovo u cijelosti na simbolickoj

razini ili u ucionici u kojoj se dobivanje odgovora cijenilo vise nego shvacanje smisla ma-

tematike. I premda neki ucenici mogu nauciti na simbolickoj razini i biti uspjesni u skoli,

mnogi ne mogu i imaju potrebu za drugacije prezentacije problema. Bruner je izjavio da bi

ucenici s dobro razvijenim simbolickim sustavom mogli zaobici prve dvije faze pri ucenju

nekih pojmova, ali je upozorio da njihovi nastavnici riskiraju, jer ti ucenici ne posjeduju

vizualne slike kojima se mogu vratiti ako simbolicki pristup ne radi.

2.2 Van Hieleov model

Van Hieleova teorija je zaceta u doktorskoj disertaciji Dine van Hiele-Geldof i njezinog

supruga Pierrea van Hielea na Sveucilistu Utrecht u Nizozemskoj 1957. godine. Dina je

preminula nedugo nakon zavrsetka svoje disertacije, a Pierre je nastavio razvijati i siriti

teoriju u kasnijim publikacijama. Supruznici van Hiele su uocili poteskoce koje su njihovi

ucenici imali tijekom ucenja geometrije, narocito sa izvodenjem formalnih dokaza.

Prema van Hieleovoj teoriji, razine geometrijskog misljenja su:

• razina 0: vizualizacija

Ucenici prepoznaju geometrijske oblike na osnovi percepcije, cesto ih usporedujuci s

vlastitim prototipovima sto ih zna zbuniti ako se promijeni orijentacija oblika te ne

prepoznaju svojstva danih likova.

10

• razina 1: analiza

Ucenici na ovoj razini vide oblike kao skup svojstava koje mogu prepoznati i ime-

novati, no ne vide veze izmedu tih svojstava. Kada opisuju neki objekt ucenici

nabrajaju sve njegove osobine, ali ne mogu razumjeti koja su svojstva potrebna, a

koja dovoljna da se dani oblik opise. Takoder pocinju shvacati da ako neki oblik

pripada nekoj klasi, onda taj oblik ima sve osobine te klase.

• razina 2: apstrakcija ili neformalna dedukcija

Ucenici spoznaju odnose medu svojstvima geometrijskih oblika i na osnovu toga

odnose medu samim geometrijskim oblicima. Pocinju razmisljati deduktivno, ali ne

razumiju ulogu i znacenje formalne dedukcije. Takoder, ucenici razmisljaju sto je

potrebno, a sto dovoljno da se neki geometrijski oblik opise.

• razina 3: dedukcija

Ucenici mogu izvoditi dokaze srednjoskolske razine, izvoditi zakljucke iz prethodno

poznatih tvrdnji, razumiju znacenje definicija i aksioma i shvacaju znacenje potreb-

nih i dovoljnih uvjeta.

• razina 4: strogost

Ucenici na ovoj razini razumiju konzistentnost, nezavisnost i cjelovitost aksiomatskog

sustava i mogu usporedivati matematicke sisteme. Takoder razumiju indirektno

dokazivanje i dokazivanje kontrapozicijom, kao i neeuklidske geometrijske sisteme.

U originalnim radovima van Hieleovi su numerirali razine od 0 do 4, dok se u nekim

americkim teorijama koje se baziraju na van Hieleovoj teoriji razine numeriraju od 1 do

5, dok je razina 0 potpuno nepoznavanje bilo kakvog oblika geometrije.

Sam proces razvijanja geometrijskog misljenja, odnosno napredovanja od razine do razine

nije uvjetovan godinama ili zreloscu vec sposobnostima ucenika. Tesko je odrediti vrijeme

koje je potrebno da se prijede iz neke razine u sljedecu, jer je bitno samo aktivno ucenje i

rad na razumijevanju materijala, a nekom je za to potrebno vise, a nekom manje vremena.

No, da bi ucenik napredovao na visu razinu potrebno je svladati prethodne razine. Na-

ravno, i to pravilo ima svoju iznimku u darovitim ucenicima koji su razvili svoje logicke

sposobnosti na drugim poljima matematike, a ne nuzno u geometriji.

Cesto se u skolama javlja situacija da su ucenici i nastavnici na razlicitim razinama, nas-

tavnici na razini 3 ili 4, a ucenici na razini 0 ili 1. Nastavnici tada trebaju zapamtiti da

iako oni i ucenici koriste istu rijec za neki pojam taj pojam se razlicito interpretira zbog

razlicite razine znanja.

11

Na primjer, uceniku na razini 0 rijec ”kvadrat” predstavlja objekt koji izgleda kao

kvadrat, ali nista vise. Ucenik na razini 1 razmislja o svojstvima kvadrata, ali ne zna koji

su potrebni, a koji dovoljni uvjeti da se definira kvadrat, te smatra da sva svojstva moraju

biti dokazana kako bi dokazao da je zadani objekt kvadrat. Nastavnik koji je naravno

na visoj razini zna koja su dovoljna svojstva da bi se dokazao da je dani objekt kvadrat.

Zapravo, nastavnik zna vise nacina kako dokazati da je objekt kvadrat jer zna veze izmedu

raznih svojstava i zna koje svojstvo povlaci drugo. Stoga nastavnik mora procijeniti kako

ucenik interpretira temu kako bi efikasno komunicirali. Komunikacija igra veliku ulogu jer

svaka razina ima svoj jezik i svoju interpretaciju istog pojma. Diskutiranje i verbaliziranje

koncepta je vazan aspekt pri ucenju jer ucenici razjasnjavaju i reorganiziraju svoje ideje i

misljenje kroz razgovor.

Ako bi nastavnik pokusao ucenika nauciti neku temu na razini iznad ucenikove, tada ucenik

nece razumjeti gradivo, no probati ce ga nauciti napamet i pretvarati se da ga je savladao.

To kasnije stvara probleme jer ce ucenik zaboraviti gradivo ili ga nece znati primijeniti u

situacijama gdje ga treba primijeniti.

Sljedeci problem koji se javlja je konzistentnost misljenja unutar razine. Tako ce ucenik

koji se vise bavio trokutima nego cetverokutima o trokutima imati bolje razvijeno misljenje

nego o cetverokutima. No to razvijenije misljenje o trokutima ce mu pomoci da razvije

misljenje o cetverokutima jer ce znati traziti veze izmedu oblika i svojstava.

Sumirati cemo cetiri vazne karakteristike van Hieleove teorije:

• fiksni poredak: poredak u kojem ucenici napreduju kroz razine razmisljanja je ne-

promijenjen, odnosno ucenik ne moze biti na razini n ako nije prosao razinu n− 1

• susjedstvo: znanja prethodne razine su osnova na koju se nadograduju znanja tre-

nutne razine

• razlikovanje: svaka razina ima svoje vlastite simbole i vlastitu mrezu odnosa koji

povezuje te simbole

• odvajanje: dvije osobe koje promisljaju na razlicitim razinama ne mogu razumjeti

jedna drugu.

Vazan aspekt van Hiele teorije je naglasavanje neformalnih aktivnosti na Razinama 1 i 2

koje bi trebale postaviti odgovarajuce ”konceptualne podstrukture” za sljedece formalne

aktivnosti na visim razinama.

12

Nastavnici cesto daju ucenicima da mjere velicine kutova trokuta, a zatim da ih zbroje

te otkriju da je zbroj uvijek jednak 180◦. Iz perspektive van Hiele teorije ovo nije odgo-

varajuce jer ne pruza odgovarajucu podstrukturu u koju je ugradeno logicko objasnjenje

(dokaz).

Primjerice, translatirajte trokut ABC za vektor−−→BC i rotirajte trokut ABC oko polovista

stranice AC. Dopustite ucenicima da kroz povlacenje otkriju da kutovi s vrhovima C, D i

E uvijek cine ravnu crtu. Zatim pitajte ucenike sto misle o kutovima kod A i B u odnosu

na kutove kod vrhova D i E. Kut s vrhom B odgovara kutu s vrhom E zbog translacije, kut

s vrhom A odgovara kutu s vrhom D zbog poluzakretanja tj. kutovi kod B i A jednakih su

velicina kao i kutovi kod D i E. Vidljivo je da ova vjezba pruza odgovarajucu konceptualnu

strukturu za eventualano objasnjenje (dokaz).

Slika 5: Dokaz da je zbroj kutova u trokutu jednak 180◦

Istrazivanje van Hielea donijelo je nekoliko preporucenih promjena u nastavi i ucenju

skolske geometrije. Udzbenici osnovne skole i nastavni planovi i programi su poceli stav-

ljati veci naglasak na geometriju, tako da ucenici imaju vise vremena da razviju svoje

razumijevanje. No, iako model van Hiele postoji od 1960-ih, jos uvijek vidimo mnoge tra-

dicionalne, dokazno orijentirane srednjoskolske tekstove i satove. Jasno je da mnogo toga

treba uciniti u tom podrucju, ako smo doista prigrlili ideju matematike za sve ucenike.

Srecom, mnogi sadasnji udzbenici srednje skole naglasavaju praktican rad na satovima

geometrije, u kojoj ucenici sami otkrivaju teoreme za sebe, umjesto da im se ”da” teorem

i trazi dokaz u dva stupca.

13

2.3 Skinner

Psiholog B. F. Skinner (1974) usvojio je bihevioristicki pristup u svom istrazivanju, gdje

su zivotinje ”ucile” dovrsiti razlicite aktivnosti kroz koristenje pozitivnog potkrepljenja-

nagradivanje s hranom ili poslasticama. Koristeci ovu metodu, on je uspostavio vlast

nad zivotinjama, tj. djeluje kao ’nadzorni agent’ dajuci upute. Skinner je tvrdio da se u

razredu takoder moze koristiti pozitivno potkrepljenje, koje ce olaksati upravljanje i pro-

blem discipline koji se pojavljuje. On potice nastavnike da se usredotoce samo na dobro

ponasanje u ucionici i ignoriraju pojavu loseg ponasanja. Ucenici ce shvatiti da nastavnik

pozornost daje samo onima koji rade u skladu s nastavnikovim zahtjevima. Ova teorija

i njezina provedba kroz koristenje ’programiranog ucenja’ ili nastavnih strojeva, bila je

prva instanca ICT-a (Information and Communication Technology) u ucionici. Danas je

zasjenjuju uporaba i praksa programa na internetu i na CD-ROM-ovima ili koristenje inte-

griranog sustava ucenja (ILS), kao sto su Successmaker ili Moodle. Racunalo moze pratiti

svaku fazu u ucenickog rada i dati povratne informacije o tome kako ucenik napreduje.

Nazalost, ovaj bihevioristicki pristup bavi samo sa niskom razinom vjestina prisjecanja i

primjenom uvjezbanih algoritama. Malo je prilika za kontekstualizaciju izracuna u sva-

kodnevnom zivotu, izgradnju socijalnih interakcija ili rasprave u radu. Mozda najpoznatiji

primjena biheviorizma je mehanicko ucenje tablice mnozenja u osnovnoj skoli.

2.4 Piaget

Jean Piaget je bio psiholog usmjeren na dva osnovna elementa kako djeca uce: njihove

mentalne faze u razvoju i njihove intelektualne sposobnosti. On je istaknuo vaznost razu-

mijevanja kada i kako su djeca spremna uciti jer to igra kljucnu ulogu u vrstama poucavanja

i nacinima ucenja koji se koriste u ucionici. Napredak od osjetilno-motorne inteligencije

kao sto su pokazale bebe i vrlo mala djeca (do dobi od dvije godine) do konkretne faze

tipicne za predskolsku i osnovnoskolsku djecu dok pokusavaju dati smisao svijetu oko

njih, ilustrira potrebu za ’igrom’ i mogucnosti da ’otkriju’ kao dio procesa ucenja. Ve-

lik dio osnovnih skola matematiku danas poucava ukljucujuci koristenje fizickih objekata

i otvorene tipove aktivnosti za promicanje istrazivanja i otkrivanja. Kasnije, u dobi od

oko 12 godina, konkretne operacije zamjenjuju formalnije operacije i apstraktno misljenje.

Tipican primjer apstraktnog razmisljanja u matematici je algebra, gdje su brojevi zami-

jenjeni slovima, a rjesenje problema krece se od jednostavnog brojeva do skupa rjesenja

predstavljenih pomocu nejednakosti. Pored ovih kognitivnih razvoja, takoder se sire djecje

intelektualne sposobnosti.

14

Od rane dobi, ucenici svladavaju jezik potreban za komunikaciju i razumijevanje onog

sto se dogada oko njih, kao sto su veci/manji i visi/nizi. Oni formiraju pojmove i razloge

kako bi objasnili ono sto vide i cine - odgovori na pitanja zasto i kako. Zatim, ucenici

prelaze na razinu gdje se simboli i znakovi koriste za predstavljanje svoje interpretacije

svijeta- razvija se matematicki jezik i konacno se javlja logicno razmisljanje kroz koristenje

Booleove algebre i indukcije. U pogledu nastave, Piaget vjeruje strategijama u kojima

su ucenici aktivno ukljuceni u okruzenje za otkrivanje u kojemu interakcije s okolinom,

njihov ucitelj i njihovi vrsnjaci olaksavaju proces ucenja. Na iskustvima iz prve ruke

ucenici razvijaju shemu prisjecanja veze izmedu prijasnjih iskustava i onog novog sto

uce. Asimilacija tih novih iskustava ucenja sa starima povecava medupovezanost shema i

obnavlja ih za kasniju uporabu u drugim situacijama.

2.5 Vygotsky

Lev Vygotsky bio je zainteresiran za ideju da ucenje, kada je pravilno organizirano,

omogucuje mentalni razvoj. Medutim, on je dovodio u pitanje mjerenje samo onoga sto

ucenik moze napraviti sam u testnoj okolini kao pravi prikaz ucenikove sposobnosti. Tvr-

dio je da bi nastavnici trebali uceniku davati savjete i upute kako bi vidjeli koliko daleko

se mogu dovesti. Cesto ucenici rade u parovima ili kao skupina, cime postizu mnogo vise

nego sto bi svaki pojedinac postigao sam. Jasno je da ovaj oblik suradnje unaprjeduje

mentalni razvoj sudionika grupe.

Vygotsky definira zonu proksimalnog razvoja kao:

Udaljenost izmedu stvarne razvojne razine, utvrdene nezavisnim rjesavanjem problema, i

razine potencijala odredenog kroz rjesavanje problema pod vodstvom odraslih ili u suradnji

s vise sposobnih vrsnjaka.

Smatrao je ovu zonu kao raspon unutar kojeg upute odraslih mogu imati najveci utjecaj.

Stvarni razvoj je razina razvoja djetetovih mentalnih funkcija koja je vec dovrsena i koju je

pokazao u testovima, a proksimalni razvoj odnosi se na one funkcije koje jos nisu sazrjele

- mentalne procese koji su trenutno u embrionalnom stanju. Imitacija ima vaznu ulogu

u premoscivanju jaza izmedu stvarne i proksimalne razvojne razine. Kroz rad s drugima

djeca mogu napredovati brzo kroz svoje zone proksimalnog razvoja, sto ucenje cini brzim

i ucinkovitim. U kurikulumu matematike, aktivnosti kao sto su rjesavanje problema, su-

radnicki grupni rad, istrage, istrazivanje stvarnih scenarija, igranje uloga, diskusije i jos

mnogo toga, ponudit ce ucenicima priliku suradivati s nastavnikom i vrsnjacima kako bi

presli preko svoje trenutne zone proksimalnog razvoja u jednu visu.

15

2.6 Polya heuristika

Uloga heuristickog procesa u nastavi matematike iscrpno je osvijetljena u knjigama americkog

matematicara i metodicara Georga Polye. U knjizi ”Kako rijesiti matematicki zadatak”

(1945), Polya pokusava okarakterizirati heuristiku kao posebnu granu spoznavanja. Cilj

heuristike je istraziti pravila i metode koje vode do pronalaska i otkrica. Heuristicka nas-

tava je iznikla iz potrebe da se uvodenjem samostalnog rada ucenika prevlada predavacka

nastava i poboljsa nastavni proces. Njezin pocetak nalazimo u prvom desetljecu 20. sto-

ljeca. Ona se tijekom vremena razvijala i usavrsavala. Razvojni put najbolje opisuju

smjernice za njezinu primjenu iz prve polovine toga stoljeca:

• Zadrzati prividnost igre. Uvazavati slobodu ucenika. Podrzavati privid njegovog

vlastitog otkrivanja matematicke istine. Izbjegavati zamorne vjezbe pamcenja u

pocetnom obrazovanju ucenika, jer to potiskuje njegove urodene osobine. Poucavati

oslanjajuci se na interes prema matematickom sadrzaju koji se proucava.

• Ne izlagati odredeni dio matematike u potpuno gotovom obliku. Takvim se postu-

panjem dolazi u raskorak s osnovnim nacelima nastave. Razvijati umni rad, a ne

zahtijevati ucenje napamet. Pridrzavati se nacela primjerenih teskoca.

• Razvijanje stvaralackih sposobnosti ucenika glavni je zadatak nastave matematike.

• Heuristicka metoda je takva nastavna metoda u kojoj nastavnik ne priopcuje ucenicima

gotove cinjenice i istine, nego ih navodi na samostalno otkrivanje odgovarajucih tvrd-

nji i pravila.

• Heuristicka metoda sastoji se u tome da nastavnik pred razred postavlja problem, a

onda pomocu odgovarajucih prikladnih pitanja vodi ucenike do rjesenja.

Heuristicka nastava kao i svaki drugi nastavni sustav ima svoje dobre i slabe strane.

Pozitivna je cinjenica da dobre strane prevladavaju i heuristicku nastavu svrstavaju medu

vise i suvremene nastavne sustave.

Dobre strane:

• Osnovu za stjecanje znanja i sposobnosti predstavljaju samostalni rad i aktivnost

ucenika. Pritom je vazno nastavnikovo poucavanje o matematickom sadrzaju i

nacinu rada kao svojevrsna pomoc ucenicima.

16

• Poznato je da obrazovno znacenje imaju samo oni matematicki sadrzaji koje ucenici

potpuno razumiju. Ono sto ucenici ne razumiju brzo se zaboravlja i potpuni je

obrazovni promasaj. Zato je bitna odrednica heuristicke nastave da nastavnici svo-

jim poucavanjem ucenike misaono vode i dovode ih do razumijevanja i shvacanja

matematickog sadrzaja.

• Heuristicka nastava pretpostavlja neposredno komuniciranje nastavnika i ucenika.

Nastavnik svojim pitanjima upucuje ucenike da u izvorima nalaze cinjenice na osnovu

kojih nastavnikovim misaonim vodenjem dolaze do shvacanja poopcenja. Slobodan

razgovor i rasprava omogucavaju ucenicima postavljanje pitanja i to posebno kad im

nedostaje neka spoznajna informacija.

• Iako heuristicka nastava, za razliku od problemske nastave, ne dovodi jos ucenike do

potpuno samostalnog rada u otkrivanju matematickih istina, vec do toga spozna-

vanja ucenike vodi nastavnik na temelju svoga heuristickog modela, ucenici su ipak

misaono aktivni i u odredenoj mjeri subjekti nastave. Heuristicka nastava mora

dovesti ucenike do shvacanja.

Slabe strane:

• Nemogucnost misaonog vodenja bas svih ucenika zbog pomanjkanja vremena i razlicitih

brzina shvacanja.

• Nemogucnost neposredne komunikacije sa svim ucenicima.

• Komunikacija s povucenim ucenicima je otezana i cesto izostaju njihova pitanja.

• Nepotpuna povratna informacija o proucenom matematickom sadrzaju.

Pitanja i preporuke koje Polya predlaze su stoga opcenita, uporabljiva u bilo kojem po-

drucju matematike, ali i drugih znanosti, u teoriji i u praksi. Da bi se ucenik lakse snalazio

i sto manje puta morao vracati korak unatrag, proces rjesavanja zadatka dijeli se u cetiri

etape.

1. Razumijevanje zadatka

Koliko god nam se ova etapa cinila trivijalnom, nekim ucenicima to nije tako. Koliko

puta ste se susreli sa zadatkom kojeg je ucenik rjesavao, a da nije imao pojma sto se

u zadatku trazi. Nasao je neku formulu, uvrstio sto mu se ucinilo da bi odgovaralo

i dobio rjesenje koje nema nikakve veze s postavljenim problemom. Takav ucenik

zadatak nije ni procitao, samo je bezglavo krenuo.

17

Dakle, zadatak treba procitati s razumijevanjem. Ucenik treba prepoznati glavne

dijelove zadatka: nepoznanicu, zadane podatke i uvjet. Nastavnik moze pomoci s

pitanjima: Sto je nepoznato? Sto je zadano? Kako glasi uvjet zadatka? Da li je

moguce zadovoljiti uvjet? Je li uvjet dovoljan za odredivanje nepoznanice? Ako se

moze, treba nacrtati sliku i uvesti zgodne oznake.

2. Stvaranje plana

Nakon sto smo razumjeli zadatak treba osmisliti plan rjesavanja zadatka. U laksim

zadacima obicno se lako moze uociti neka zakonitost koja povezuje poznate i nepoz-

nate varijable. To moze biti pravilo, formula, teorem i sl. Teze zadatke ce mozda

trebati rasclaniti na nekoliko laksih.

Ponekad plan moze iznenada sinuti kao ”sjajna ideja”, ali ako se to ne dogodi onda

uceniku treba pomoci da dode na tu ideju. Ucenik koji je redovitije samostalno

rjesavao zadatke u skoli i kod kuce prije ce osmisliti plan, odnosno lakse mu se moze

pomoci pitanjima: Jesi li vec prije vidio slican zadatak? Znas li neki srodni zadatak?

Promotri nepoznanicu! Pokusaj se sjetiti nekog tebi poznatog zadatka koji ima istu

ili slicnu nepoznanicu! Jesi li iskoristio sve zadano? Jesi li iskoristio citav uvjet?

Mozda mozemo uvesti neki pomocni element?

3. Izvrsavanje plana

Izvrsavanje plana puno je lakse od prethodne faze i za to je potrebno samo strpljenje i

tehnika racunanja. Pri tome ucenik treba paziti da tocno izvede svaki korak, odnosno

da sam sebe kontrolira kako ne bi napravio pogresku i dobio krivo rjesenje.

4. Osvrt

Posljednju fazu nikako ne smijemo zanemariti. Mozda dobiveno rjesenje nije tocno.

Ucenika treba navesti da provjeri svoj rezultat: Mozes li izvrsiti provjeru rezultata?

Mozes li rezultat dobiti na drugaciji nacin? Mozes li rezultat uociti na prvi pogled?

Ima li rezultat smisla?

Takoder, iz rijesenog zadatka na kraju se moze jos stosta nauciti. Nastavnik kod

ucenika treba pobuditi utisak kako su matematicki problemi povezani te kako imaju

veze i s problemima iz drugih nastavnih predmeta ili iz svakodnevnog zivota. Ucenika

se moze potaknuti pitanjem: Mozes li rezultat ili metodu rjesavanja upotrijebiti za

neki drugi zadatak?

18

Pogledajmo sada kako mozemo obraditi nastavnu jedinicu o zbroju kutova u mnogo-

kutu. Obrada ove nastavne jedinice u sedmom razredu osnovne skole temelji se na nizu

jednostavnih induktivnih zakljucivanja. Zato nastavnik matematike moze na prirodan

nacin rasclaniti nastavnu jedinicu na korake i osmisliti heuristicki pristup njezine obrade.

Otkrivanje krece od ranije spoznatih cinjenica.

• Predznanje ucenika.

Nastavnik podsjeca ucenike na njihovo znanje o trokutu i cetverokutu. Prva od tih

cinjenica je izreka o zbroju svih unutarnjih kutova trokuta. Za taj zbroj K3 vrijedi

jednakost K3 = α + β + γ = 180◦. Druga cinjenica je izreka da je zbroj K4 svih

unutarnjih kutova cetverokuta jednak 360◦, K4 = α + β + γ + δ = 360◦ = 2 · 180◦.

Druga cinjenica se dobila povlacenjem jedne dijagonale cetverokuta.

• Nastavak induktivnog postupka: peterokut.

Nastavnik usmjeruje misljenje ucenika na sljedeci mnogokut i upucuje ih na povlacenje

njegovih dijagonala iz jednog vrha. Sljedeci mnogokut je peterokut ABCDE s unu-

tarnjim kutovima α, β, γ, δ i ε. Njegove dijagonale AC i AD iz vrha A dijele kut α na

tri dijela α1, α2 i α3, kut γ na dva dijela γ1 i γ2, kut δ na dva dijela δ1 i δ2, a peterokut

ABCDE na tri trokuta ABC, ACD i ADE. Zbrojevi unutarnjih kutova u tim troku-

tima jednaki su redom: α1 + β + γ1 = 180◦, α2 + γ2 + δ1 = 180◦, α3 + δ2 + ε = 180◦.

Zbrajanjem ovih jednakosti dobiva se: (α1 +α2 +α3)+β+(γ1 +γ2)+(δ1 +δ2)+ ε =

180◦ + 180◦ + 180◦ = α+β+γ+ δ+ ε = 540◦, pa je K5 = α+β+γ+ δ+ ε = 540◦ =

3 · 180◦.

Slika 6: Zbroj unutarnjih kutova peterokuta

19

• Analogija: sesterokut, sedmerokut itd.

Sada se vodi razgovor o sljedecim mnogokutima i otkriva odredena zakonitost medu

dobivenim jednakostima. Sesterokut se s tri dijagonale iz jednog vrha podijeli na

cetiri trokuta, pa je K6 = 4 · 180◦, za sedmerokut je K7 = 5 · 180◦, itd.

• Generalizacija.

Razmatrani niz induktivnih zakljucivanja vodi misljenje ucenika na iskazivanje sljedece

opce izreke, generalizacije:

Zbroj Kn svih unutarnjih kutova mnogokuta s n stranica dan je formulom

Kn = (n− 2) · 180◦.

Dokaz ove izreke zasniva se na cinjenici da se iz jednog vrha n-terokuta mogu povuci

n− 3 dijagonale koje taj lik dijele na n− 2 trokuta.

3 Perspektive nastave iz drugih dijelova svijeta

Najnovija istrazivanja o tome kako djeca uce ponudila su niz alternativnih perspektiva u

smislu ucenja vjestina, informacija ili cinjenica te su istaknula prednosti koje omogucuju

ucenicima slobodu otkrivanja ideja ili znanja i ucenje vlastitim tempom, kada je spreman.

Sljedeci odjeljak istice razlicite pristupe poucavanju, koristeci primjere iz Nizozemske,

Italije i Gvatemale.

3.1 Nizozemski RME

Prije 30 godina, zapoceo je rad na Freudenthal institutu u Nizozemskoj kako bi se istrazilo

koristenje matematike u stvarnom svijetu, ili ’realne’ matematike, kao nastavne strategije.

Od tog istrazivanja nastao je Realistic Mathematics Education (RME). RME se fokusira

na rast znanja ucenika i razumijevanje matematike, s naglaskom na ponudi problemskih si-

tuacija koje ucenici mogu ’zamisliti’. Ideja ’zamisljanja’ problema ne namjerava ograniciti

kontekste na ’stvaran svijet’, nego se moze prosiriti koristenjem izmisljenih situacija poput

bajke o sluzbenom svijetu matematike. Kljuc pristupa je uvjet da ucenik moze zamisliti

bit pravog problema u svom umu.

Jasno, ova strategija ucenja je definitivno odmak od tradicionalno koristenog mehanistickog

pristupa u poucavanju matematike. Tradicionalna nastava matematike sastoji se od upo-

rabe samostalnog razvoja vjestina kroz vjezbe ponavljanja i zadataka za vjezbu. Sadrzaj

koji ce nastavnik pokriti (obraditi) bio je dobro definiran i lako ga je bilo podijeliti u manje

dijelove podataka kojima se lakse raspolaze, koji imaju malo ili nimalo veze s postojecim

matematickim znanjem.

20

Uporaba fiksnih algoritama ili postupaka poucavala se za rjesavanje problema s mi-

nimalnim osvrtom na objasnjenje zasto je strategija radila. Nakon sto su vjestine bile

ovladane, kontekst matematickog problema mogao je biti dodan. RME je gotovo suprot-

nost ovog procesa.

Umjesto kontekstualiziranih problema koji se uvode na kraju procesa ucenja, RME ko-

risti kontekst kao izvor problema te potice ucenike da razviju njihove matematicke alate

i strategije pri rjesavanju problema. Ucenici su stoga aktivni sudionici u procesu, stva-

raju sheme i razvijaju modele korisne u rjesavanju zadanog problema. S ohrabrenjem,

ove sheme mogu se generalizirati u faze kako bi se omogucilo ucenicima da koriste iste (ili

slicne) pristupe za rjesavanje slicnih ili povezanih problema.

Freudenthal je izjavio da matematicko obrazovanje ne treba usredotociti na matematiku

kao zatvoren sustav, nego na proces matematizacije kao djelatnosti. RME definira ma-

tematizaciju u obrazovnom kontekstu kao vertikalnu i horizontalnu. Vertikalna matema-

tizacija je proces izrade veza izmedu koncepta i strategije - reorganizacija unutar mate-

matickog sustava. Horizontalna matematizacija je proces poticanja ucenika za stvaranje

matematickih alata za organizaciju i rjesenje ’pravog’ problem. Freudenthal je sazeo ove

dvije vrste matematizacije kao ovo: ’horizontalna matematizacija ukljucuje odlazak iz svi-

jeta zivota u svijet simbola, dok vertikalna matematizacija znaci da se krece unutar svijeta

simbola’. U istrazivanju Freudenthal instituta identificirano je pet obiljezja RME:

• koristenje konteksta koji su ’stvarni’ ucenicima

• koristenje modela koji bi omogucili promjene za vise razine razumijevanja

• koristenje ucenickih vlastitih matematickih konstrukcija

• interaktivna priroda nastave, proces partnerstva izmedu ucenika i nastavnika

• ispreplitanje razlicitih niti ucenja.

Nizozemski model nastave ilustrira pocetne otvorenosti u interpretaciji sadrzaja koji ce se

predavati u skolama u Nizozemskoj. Autonomija ucitelja uz skolsku odluku koristena je

za vodenje siroke i duboke pokrivenosti sadrzaja matematike. Najnoviji trendovi u RME

ohrabruju nastavnike da se usredotoce na svoj kontinuirani profesionalni razvoj i na nacine

ucenja ucenika u ucionici.

21

Nizozemska vlada dala je izravne smjernice o sadrzaju nastave matematike u osnovnim

skolama i idealnim razinama postignuca u matematici prije zavrsetka osnovne skole. Vise

paznje posvecuje se razlikovanju prema sposobnosti i smanjivanju razlika medu spolovima

zbog neravnoteze izmedu visoke razine postignuca djecaka i niske performanse djevojaka

iz matematike u Nizozemskoj.

Pogledajmo sada jedan primjer izracunavanja povrsine trapeza.

Zadatak: Izracunaj povrsinu zadanog lika te objasni kako si rijesio zadatak.

Slika 7: Zadani trapez

Vecina ucenika cesto koristi samo numericke metode. Pogledajmo neka od rjesenja:

Slika 8: Prvo rjesenje

Objasnjenje: ”Dobio sam tako jer je 3 · 2 · 3 · 4 = 48. Zatim sam to podijelio sa 4 jer ima

4 broja.”

Dio ucenika odabrao je nacin koji ima smisla i moze dovesti do tocnog odgovora. Vecina

ucenika odabrala je ”razumnu” strategiju crtanja kvadratnih centimetara i prebrojavanja,

podijele u kvadrate i trokute te premjestanje trokuta kako bi dobili kvadrate. Iako to nije

uvijek dovelo do tocnog odgovora, ohrabrujuce je vidjeti koliko su ucenici razvili osjecaj

za ono sto je zapravo povrsina. Na primjer, sljedece ucenicko rjesenje nije tocno, ali on

ocito razumije sto je povrsina.

22

Slika 9: Drugo rjesenje

Objasnjenje: ”Podijelila sam lik na jedinicne kvadrate i brojala koliko cijelih kvadrata.

Ima ih 15. Zatim sam preostale dijelove spajala kako bi dobila kvadrate i dobila sam 412 .

Tome sam dodala 15 i dobila povrsinu 1912 .”

Sljedece rjesenje prikaz je uspjesnog koristenja strategije preraspodjele za odredivanje

povrsine.

Slika 10: Trece rjesenje

Nasuprot tome, pristup vecine ucenika moze se sazeti u odgovoru jednog od njih koji

je komentirao:

”Ne mogu se sjetiti kako se ova povrsina izracuna, ali znam da se radi nesto s mnozenjem!”

Ovaj pristup ilustrira rad ucenika koji koristi dva razlicita pristupa mnozenju, bez pokusaja

shvacanja problema povrsine.

Slika 11: Cetvrto rjesenje

23

3.2 Reggio Emilia

Reggio Emilia skole u Italiji su ilustracija uporabe otvorenog pristupa poucavanja i ucenja

za djecu predskolske dobi. To su skole gdje su ucenici okruzeni svojim kulturnim nasljedem

u obliku umjetnosti, skulptura i arhitekture koji djeluju kao inspiracija za djecu. Kroz poti-

canje na istrazivanje, djeca pokazuju koristenje analize, sinteze i evaluacije u mnogo ranijoj

dobi. Njihov razvoj je ubrzan, a djeca pocinju sudjelovali u smislenim aktivnostima, raz-

mjenjujuci ideje sa svojim vrsnjacima. Otvorenost pristupa poucavanju i ucenju omogucuje

nastavnicima da izgrade mogucnosti za medusobno povezivanje podrucja ucenja, kao sto

je naglasavanje uloge matematike u umjetnosti, prirodi i znanosti. Nastavnici pruzaju

inspiraciju za ucenike, a djeca dodaju kreativnost. Opsirna istrazivanja i etika bez zurbe

u ucionici omogucuju ucenicima da zadrze svoj fokus i koncentraciju kad istrazuju nove

teme i zato oni mogu proizvoditi svoje najbolje radove.

Okruzenje ucionice je takoder pogodno za ucenje, ucionice su osvijetljene, prostrane i

prozracne sa sarenim plakatima i zidnim panoima ucenickih radova, radova njihovog nas-

tavnika ili iskusnog umjetnika. Materijali su dostupni da ih djeca diraju i koriste. Nered,

buka i sloboda su prihvaceni kao dio procesa ucenja. Pogreske, nesukladnost pristupima

ili preuzimanje rizika i singularnost su karakteristike koje su dobrodosle kod djece. Nas-

tavnici i razredno okruzenje trebaju pruziti inspiraciju i angazman ucenicima, ali ucenici

su oni koji koriste svoju mastu, kreativnost i znatizelju koju unose u iskustvo ucenja.

3.3 Rogoff

Barbara Rogoff osporava konvencionalni pristup dobnim ucionicama u korist otvorene

ucionice gdje je ucenje pokrenuto i vodeno prema interesu i motivaciji djeteta. Velik dio

Rogoff razmisljanja o otvorenim ucionicama rezultat je njezina istrazivanja u Maya za-

jednici u Gvatemali, gdje djeca uce po modelu vjezbenickog tipa pomazuci unutar kuce

ili lokalnoj zajednici. Mlade djevojke gledaju kako njihove majke tkaju sarene i komplici-

rane uzorke, a kad one pokazu dovoljnu razinu interesa, rade jednostavne vlastite projekte

koje dovrsavaju pod vodstvom svojih majki. Otvorene ucionice pruzaju pristup usmje-

ren ucenju u zajednici. U sklopu otvorene ucionice, ucenici uce postavsi angazirani ili

zainteresirani za zadatak ili aktivnost koji se dovrsi s vrsnjakom ili odraslom osobom u

sobi. Odrasla osoba tada postaje njihov vodic ili instruktor te uceniku pokazuje i pomaze

u razvoju vjestina ili mu pomaze u rjesavanju problema. Kroz proces suradnje, ucenici

prosiruju svoje znanje povezujuci ono sto uce s postojecim znanjem iz prethodnih iskus-

tava ucenja.

24

U skolama otvorenih ucionica, roditelji djece pomazu u procesu obrazovanja provodeci

oko 2-3 sata tjedno u skoli. Rogoff naglasava vaznost sudjelovanja roditelja u razumije-

vanju djecjeg ucenja u okruzenju otvorene ucionice jer su mnogi roditelji dozivjeli tradi-

cionalno skolovanje i nisu svjesni ocekivanja koja se stavljaju na njih u novom okruzenju

poducavanju i ucenju. Prema tome, roditelji trebaju nauciti kako uciti ucenike, a nas-

tavnici moraju shvatiti roditeljski proces ucenja u ucionici otvorenog okruzenja kako bi

se osigurali uspjesni rezultati za sve koji su ukljuceni u skoli. Glavne znacajke otvorene

ucionice su:

• suradnicko ucenje

• visedobne ucionice

• integrirani nastavni plan i program

• autenticno ucenje

• procjena u kontekstu nastave.

4 Istrazivacki pristup i konstrktivisticki model

Mnogi nastavnici i znanstvenici osvjedocili su se vaznosti i znacaju primjene teorije ucenja

u svom radu. Teorije ucenja adekvatno su upotrijebili u osmisljavanju svojih nastavnih

sati. Pogledajmo primjer prakticnog problema i vidimo kako se to moze koristiti kako bi

ucenici dosli do svojih vlastitih zakljucaka.

Uzmi list papira i savij ga na pola. Zatim, uzmi pola lista i savij ga na pola opet, onda

opet i opet. Koliko puta mozete nastaviti presavijati papir na pola prije nego sto postane

nemoguce saviti ga opet? Vrijedi li to za sve komadice papira ili samo onaj koji ste bili

preklopili? Sto ako je tvoj ”komad” papira blagajnicka vrpca? Sto ako je list novina? Koje

obrasce vidis?

Ako ste zapravo pokusali ovo, mozda ste otkrili da je jednostavno napraviti prvo i

drugo savijanje, ali do cetvrtog ili petog postaje tesko. Bez obzira na to kakav papir koji

ste koristili, vjerojatno ga niste mogli saviti vise od oko 8 puta. Zasto se to dogodilo?

Idemo organizirati podatke u tablicu (tablica2):

25

Tablica 2: Tablica podataka savijanja papira

Kao sto je vidljivo u ovoj tablici, do trenutka kada pokusate saviti papir po peti put,

savijate 32 komada papirica, a po osmi put savijate vise od 250 listova. No, pogledajmo

problem malo dublje. Kako bi se utvrdili broj debljine papira ako znamo samo broj

presavijanja? Ucenici mogu prepoznati brojeve u desnom stupcu tablice, kao potencije

broja 2 i utvrditi da brojevi preklapanja, n, koristeni kao eksponenti, odreduje debljinu

u smislu broja listova papira (npr., list=2n). Dakle, ako smo htjeli saviti papir na pola

17 puta, to zahtijeva 217 = 131072 sloja papira.Gledajuci tablicu opet, sto smo dobili

kada smo stavili 20? Eksponent nam govori koliko puta presavijemo papir, a rezultat

je jednak broju debljine papira, logicno je za pretpostaviti da je 20 = 1, a sada imamo

razloga zasto je to tocno. Ako cemo vjerovati strukturi matematike i dosljednosti obrazaca

u rjesavanju problema, potenciranje na nulu ima smisla. Mozda su vam u srednjoj skoli

rekli da je bilo koji broj na nultu potenciju jednak 1, ali nisu mogli objasniti zasto je to

slucaj. Jednostavno presavijanje papira moze pomoci ucenicima da samostalno dodu do

tog zakljucka. Sada, neka i dalje ispituju matematicku implikaciju problema jos dublje.

Pretpostavimo da ste prosirili tablicu dalje, u oba smjera:

26

Tablica 3: Prosirena tablica problema savijanja papira

Koje obrasce vidite kad se vrijednosti smanjuju u tablici 3? Razmislite o tome prije

nego sto nastavite citati. Ucenici mogu prepoznati da se vrijednosti udvostrucuju kako se

krecemo prema gore u tablici, ali su podijeljeni na pola kako se krecemo prema dolje u

tablici. Mozemo usporediti, na primjer, cinjenicu da je 22 = 4, ali 2−2 = 14 , a 23 = 8, ali

2−3 = 18 . Mozemo li predvidjeti vezu izmedu uzimanja 24 i 2−4? Koristenjem logicnog

redoslijeda matematike, ucenici ce otkriti da negativni eksponenti proizvode reciprocitete

te ce biti u mogucnosti da to generaliziraju. Opet, ucinak negativnih eksponenata ne treba

se u pravilu uciti napamet. Umjesto toga, ta veza moze biti otkrivena od strane ucenika

dok istrazuju obrasce u tablici.

Problem savijanja papira koristi se za poucavanje u istrazivackoj nastavi u kojoj ucenici

rade kroz aktivnosti i u sustini izmisle svoja vlastita matematicka pravila. Uloga profesora

nije davanje direktnih uputa, vec odabir bogatih zadataka i vodenje ucenika u istrazivanju

tog problema. Istrazivacka nastava moze proizvesti dublje i dugotrajnije konceptualno

razumijevanje nego tradicionalne metode predavanja. To je u skladu s teorijom ucenja i

poucavanja poznatom kao konstruktivisticki model. Konstruktivisticki model je izdanak

djelu Jeana Piageta, iako on nije koristio bas taj termin. Konstruktivist vjeruje da se

znanje ne moze pasivno prenositi s jedne osobe na drugu. Umjesto toga, znanje je izgradeno

ili konstruirano nasim zivotnim iskustvima. Osim toga, konstruktivist vjeruje da djeca

stvaraju znanje ne samo radeci vec i promisljajuci i opisujuci ono sto su ucinili.

27

Prakticne lekcije nisu konstruktivisticke same po sebi - to postaju kad su pracene

znacajnim razgovorom ili preradom tijekom izvodenja. Konacno, konstruktivisti opcenito

gledaju na ucenje kao na drustveni proces, u kojem ucenici usporeduju svoje ideje i obrasce

koje vide i ono sto vjeruju o odredenom problemu ili konceptu.

Na neki nacin, konstruktivizam apelira na zdrav razum. Vecina ljudi ce se sloziti da je

pozeljnije, primjerice, za ucenika da otkrije potrebu zajednickih nazivnika pri zbrajanju

razlomaka nego da mu se kaze da ”moraju pronaci zajednicki nazivnik svaki put kada

zbrajaju dva razlomka”. Postoje mnoga matematicka pravila, ali malo tko moze objas-

niti zasto tako rade, jer vecina od nas se obrazovala u tradicionalnoj okolini orijentiranoj

samo na predavanje. Vecina ljudskog matematickog znanja oslanja se na ucenje napamet,

postupke pomocu olovke i papira, a ne na konceptualno razumijevanje.

Medutim, staviti konstruktivisticka istrazivanja u praksu zahtijeva mnogo vjestine, kako

u odabiru odgovarajuce aktivnosti, tako i u vodenju ucenika u istrazivanju novih kon-

cepata. Paul Cobb, u svojim je istrazivanjima o konstruktivistickom modelu nastave i

ucenja, izjavio da ”iako je konstruktivisticka teorija zanimljiva kada je u pitanju ucenje,

duboko ukorijenjeni problemi nastaju kada se pokusava primijeniti u nastavi.” Buduci da

je koristenje istrazivackog pristupa opcenito teze nego ”poucavanje predavanjem” (pre-

davacka metoda), puno nastavnika jos uvijek koristi tradicionalne pristupe cak iako cesto

priznaju da takve nastavne tehnike ne djeluju. Publikacija iz Udruge za nadzor i razvoj ku-

rikuluma (ASCD) istice razliku izmedu onoga sto bi se moglo promatrati u tradicionalnoj

ucionici i onoga sto su vidjeli u konstruktivistickim razredima (tablica 4):

28

Tablica 4: Usporedba tradicionalne i konstruktivisticke ucionice

Valja napomenuti da konstruktivisticka ucionica moze i treba ukljuciti individualni rad,

ispitivanje pomocu olovke i papira, pa cak i predavanje. Naime, model se cesto pogresno

protumaci kao onaj u kojem ”nikad nije prikladno drzati predavanje ili pruziti izravne

upute”, ali to jednostavno nije slucaj. Pitanje je ucestalosti kojom se razne nastavne

tehnike koriste i jesu li ucenik i procesi ucenikova misljenja u zaristu ucionice. U osnovi,

dok je program usmjeren na sadrzaj, konstruktivisticki pristup je usmjeren na ucenike.

5 Induktivna nastava u odnosu na deduktivnu

Svaki put kada nastavnik priprema lekciju, razmisljanje o tome kako ucenici uce i kako naj-

bolje zadovoljiti njihove potrebe trebaju biti temelj te lekcije. Pretpostavimo, primjerice,

da ponavljamo nastavnu jedinicu o oduzimanju razlomaka i predstavimo sljedeci problem:

Imate recept za kolacice za koje je potrebno 213 salice brasna. Ako imate vrecicu sa 6 salica

brasna u njoj, koliko brasna ce ostati nakon sto napravimo kolacice?

Prvo, ucenici moraju prepoznati da problem zahtijeva oduzimanje. Zatim im je potrebno

osnovno znanje o oduzimanju razlomaka. Vecini od nas su pokazali kako se 6 zapise kao

533 , a zatim oduzmemo 21

3 i dobijemo rjesenje od 323 . No, bilo koji nastavnik s nekim

iskustvom u ucionici primijeti da mnogi ucenici rade gresku: 6− 213 , oduzimaju 2 od 6 te

dobiju rjesenje 413 .

29

Ucenik je zaboravio na pravilo te radi istu pogresku kao dijete u osnovnoj skoli kada

oduzimanjem 30−19 dobije rjesenje 29 ( tj. oduzme 1 od 3 i dobije 2, a posto se 9 oduzima

od 0, samo prepise 9). Ako nastavnik zeli intervenirati, kao sto smo spomenuli ranije u

poglavlju, ucenik mozda nece imati nikakvu konkretnu ili slikovnu sliku na koju se moze

vratiti. Recimo, umjesto da uce pravilo, damo uceniku problem i set blokova uzoraka.

Blokovi uzoraka su drveni ili plasticni setovi geometrijskih oblika koji se koriste za razne

svrhe u ucionici matematike, ukljucujuci, ali ne ogranicavajuci se na, ucenje razlomaka,

slicnosti, podudarnosti, simetriju, numericke i vizualne uzorke, kutove i grafiku. Skup

blokova uzoraka se sastoji od sest blokova u oblicima kao sto je prikazano na slici 12: mali

romb (kaki), veci romb (plavi), kvadrat (narancasti), jednakostranican trokut (zeleni),

trapez (crveni) i sesterokut (zuti).

Slika 12: Sest oblika blokova uzoraka

Svaki od sest komada ima strane iste duzine, osim baze crvenog trapeza, koja je dvos-

truko dulja od standardne duljine. Pretpostavimo da sesterokut predstavlja cjelinu, tada

trapez predstavlja 12 cjeline i tako dalje. Ucenik moze modelirati problem kolacica pos-

tavljanjem sest sesterokuta kao 6 salica brasna. Zatim 213 sesterokuta treba oduzeti.

Uklanjanjem 2 sesterokuta ostaje mu 4, ali dodatnu trecinu takoder mora ukloniti. Za-

mjenom tri plava romba za jedan sesterokut, ucenik ukloni jedan plavi romb, ostavljajuci

tri sesterokuta i dva plava romba, tj. 323 , kao sto je prikazano na slici 13:

30

Slika 13: Predstavljanje 6− 213 pomocu blokova uzoraka

U konstruktivistickom modelu, djeca ce napraviti nekoliko problema kao sto je ovaj,

koristeci uzorke blokova prema potrebi dok na kraju ne izmisle i pravilo za problem koji

zahtijeva neki oblik pregrupiranja. Ucenik ce prepoznati da tri trecine mogu zamijeniti za

jedan cijeli, te ce biti u mogucnosti rijesiti slicne primjere kao sto su 12−545 primjenjujuci

isti postupak. Na taj nacin, ne samo da je ucenik stvorio pravilo te je veca vjerojatnost

da ce ga i zapamtiti prije nego da je nastavnik rekao razredu sto trebaju uciniti, vec je

ucenik takoder formirao vizualni prikaz koji u konacnici poboljsava razumijevanje. Prema

Bruneru, blokovi uzoraka i crtanje slika za probleme ovog tipa trebamo iskoristiti puno

prije nego se pokrenu ikakve apstrakcije pomocu olovke i papira. Ova metoda se cesto na-

ziva induktivna nastava, jer ucenik razmislja kroz nekoliko primjera, a zatim generalizira

pravilo. Vise tradicionalni oblik nastave, u kojoj nastavnik navodi pravilo ili definiciju,

a zatim ocekuje da ce ga ucenik primijeniti na radnom listu ili skupu problema se zove

deduktivna nastava, sto znaci da generalizacija sluzi kao polaziste, a konkretni primjeri se

primjenjuju kasnije. Mnogi nastavnici tradicionalne geometrije u srednjim skolama su se

oslonili na deduktivno misljenje - dati ucenicima definiciju i vidjeti mogu li je oni primije-

niti - umjesto na induktivnu metodu, koja stavlja ucenike u sredinu procesa i ocekuje da

ce izmisliti njihova vlastita pravila i procedure. Jedna tehnika koja promice induktivno

razmisljanje je metoda postizanja pojma. Ovu strategiju zapravo je osmislio Bruner kao

nacin da se pomogne ucenicima da generaliziraju. Promotrite 18 geometrijskih figura na

slici 14:

31

Slika 14: Definiranje poligona pomocu koncepta postignuca

Nastavnik ce poceti lekciju tako da ucenicima kaze da sute i da ne dijele ideje ni sa kim

sve dok im on to ne kaze. Zatim, nastavnik ce reci razredu, na primjer , da je 3 je ”da” ,

ali 15 je ”ne”, 11 je odgovor ”da” , ali 2 je ”ne”. Ucenici trebaju biti izazvani da pocnu

razmisljati o pravilu kojeg nastavnik koristi za klasifikaciju ”da” i ”ne” slika. U ovom

trenutku, ucenicima se moze dati jos jedan primjer, kao sto je 9 je ”da”, ali 18 je ”ne”.

Ako neki ucenik misli da je shvatio pravilo, trebao bi dati primjer ”da” i ”ne” ostatku

razreda bez objasnjenja zasto je to tako. Na kraju, ucenici bi trebali napisati popis nekih

uobicajenih obiljezja ”da” figura u odnosu na ”ne” figure. Ucenici na kraju shvate da ”da”

likovi imaju crte za stranice, da te crte moraju biti spojene svojim krajnjim tockama, a da

likovi moraju biti zatvoreni ili povezani. Naravno, razred je definirao poligon, a nastavnik

moze napisati tu rijec na ploci nakon sto je definicija izmisljena.

Metoda postizanja pojma tezi biti izazovna i zabavna za ucenike, dajuci im odgovornost za

stvaranje definicije. Oni su gledali niz primjera i generalizirali pravilo, tako da je metoda

poucavanja koja je koristena induktivna.

32

Suprotno tom je ucenje o tradicionalnoj geometrijskoj lekciji u kojoj ucitelj na projek-

toru prezentira ”Poligon je geometrijska figura u kojoj ... ” i kaze ucenicima da to prepisu.

Kasnije, u ovoj tradicionalnoj situaciji opcenito se prezentiraju neki crtezi i ucenike se pita

da li to predstavlja poligon. Buduci da je nastavnik zapoceo s definicijom ili generaliza-

cijom, a zatim dao ucenicima da pokusaju primijeniti na konkretne primjere, nastava je

deduktivna. Vecina nastavnika bi se slozila da je induktivna pouka pozeljna, a utjelovljuje

aktualne teorije ucenja o kojima smo upravo raspravljali. Ali, opet, induktivni pristup

cesto zahtijeva vise vremena i kreativnosti nastavnika nego sto zahtijeva jednostavno da-

vanje definicije na ploci. U izradi nastavnih odluka, pokusavamo razmisljati o tome sto

je najbolje za ucenika, sto nuzno nije najlakse za nastavnika. Netko je jednom rekao

da reformski napori u matematickom obrazovanju nisu namijenjeni ”kako bi se olaksalo

poducavanje, oni su trebali uciniti ucenje laksim i smislenijim”.

6 Motivacija

Aktivnost kao sto je postizanje pojma u lekciji o poligonu cesto je ugodna i nezaboravna za

ucenike. Jasno, ako nastavnik moze uhvatiti mastu ucenika, potencijal za uspjesnu lekciju

je mnogo veci nego ako se pojavi nezainteresirani razred sa istim starim rutinama. Iako

psiholozi nemaju univerzalnu definiciju motivacije, znamo da je nekakvo afektivno svojstvo

koje utjece na stupanj kojim se ucenici zele ukljuciti u neke aktivnosti. Tri medusobno

povezana dijela predstavljaju psiholoski konstrukt zvan motivacija prema Fordovom mo-

delu (1992) - cilj orijentacije, emocije i samopouzdanje.

Pojedinci su motivirani ili ego ciljevima ili majstorskim ciljevima. Ucenici koji su pri-

marno orijentirani ego ciljevima rade svoj posao da dobiju povoljne presude drugih ljudi.

Oni rade za vanjske nagrade, kao sto su ocjene ili nastavnikova pohvala, a oni mjere svoj

uspjeh prema tome jesu li oni bolji od svojih vrsnjaka. Pretpostavimo da je ucenik posti-

gao 92% posto testu i u pocetku je uzbuden. Ako ucenik koji ima orijentaciju ego ciljeva

otkrije da su mnogi drugi ucenici u razredu postigli vise od 95%, uzbudenje tog ucenika

obicno ce se pretvori u razocaranje koje je rezultat percipiranja nemogucnosti da nadmasi

sve ostale. S druge strane, ucenici s orijentacijom majstorskih ciljeva naglasuju intrinzicnu

vrijednost ucenja i samodokazivanja. Ovi ucenici uce za vlastitu korist, a uspjeh ovisi o

tome koliko su truda ulozili u projekt. Ako ucenik s majstorskom orijentacijom radi sto

je vise moguce i uci mnogo, tada ocjena 3 moze biti prihvatljiva kao 4 ili 5, jer ta ocjena

nije bila ona koju je od pocetka trazio. Iako je orijentacija majstorskim ciljevima svakako

pozeljna, ucenici s ciljevima ega vise se obicno nalaze u ucionici matematike.

33

Iako mnogi ucenici dolaze u nase ucionice s orijentacijom ego ciljeva, jedan od nasih

izazova kao odgojitelja je pomoci im da razviju orijentaciju majstorskih ciljeva - pokazati

im da matematika moze biti zanimljiva sama po sebi i da bi je trebali zeljeti uciti. Nas-

tavnik moze uciniti odredene stvari u ucionici da se to dogodi. Na primjer, ako nastavnik

odabere probleme i aktivnosti za ucionicu koji izazivaju sudjelovanje te poticu raspravu,

ucenici ce rijesiti probleme ne samo zato sto se to od njih zahtijeva, nego zato sto ce

vidjeti da taj zadatak vrijedi napraviti. Jos jedna strategija koju nastavnici mogu koris-

titi za promicanje orijentacije majstorskih ciljeva je zadrzati ocjene ucenika povjerljivim

u svakom trenutku. Objavljivanje ocjene kodnim brojem, citanje rezultata testa na glas

ili na bilo koji drugi nacin usporedivati ocjene ucenika hrani ego ciljeve i potice ucenike

da uce kako ne bi ispali glupi pred svojim vrsnjacima. Naizgled nevine nastavne tehnike,

kao sto je pisanje prosjeka ispita razreda na skolsku plocu, moze ozbiljno ugroziti napore

kojima pospjesujemo ucenikovu samomotivaciju. Nastavnici moraju ispitati sto rade u

svojoj ucionici i promicu li njihove akcije istinsku zelju ucenja matematike.

Druga komponenta motivacije u razredu je emocija. Ford je istaknuo da su interes i radoz-

nalost dvije vazne emocije koje cine ovu komponentu motivacije. Kazemo da ucenik ima

interes za nastavnu temu kada vjeruje da ce istrazivanje na tu temu biti korisno. Mozemo

definirati dvije vrste interesa - osobni i situacijski. Osobni interesi su oni koje imamo cijelo

vrijeme, kao sto su filatelija i gledanje nogometa. Situacijski interesi, s druge strane, mogu

biti izazvani postavljajuci problem ili citajuci knjigu. Ne morate imati priroden interes za

kovanicama, ali bi mogli biti zainteresirani ako vas upitaju jeli visi Empire State Building

ili snop od milijun kovanica. Ucenici mogu postati zainteresirani za ucenje matematike

kada nastavnik identificira probleme i projekte koji ih podsjecaju na probleme interesantne

ucenicima ili koji predstavljaju privlacne zagonetke ili probleme u kojima ucenici nalaze

smisla. U stvari, konstruktivisticki pristup naglasava da ucenici rade na svojoj optimalnoj

razini kada su im postavljeni zadaci koji su smisleni i relevantni, jer oni ce prosiriti napore

zbog onog sto ih zanima. Dvije vrste radoznalosti se pojavljuju u znanstvenoj literaturi

- kognitivna i osjetilna. Kognitivna radoznalost rezultira kada ucenik shvati da postoji

razlika izmedu onoga sto se ocekivalo i sto se zapravo dogodilo. Osjetilna znatizelja moze

biti shvacena kao urodena znatizelja potaknuta necim u okruzenju. To je znatizelja koju

vidimo kada uceniku damo skup blokova uzoraka ili graficki kalkulator prvi put, a on se

zeli igrati s njima i shvatiti kako oni rade. U izvjesnom smislu, alati i sami sluze kao

motivatori. Predstavljajuci paradoksalne probleme te pomocu manipulativa i tehnologija

nastavnici mogu izazvati znatizelju u ucionici, motivirajuci ucenike tako da zele raditi na

nekom problemu ili aktivnosti.

34

Treca komponenta motivacije je samopouzdanje ili samoucinkovitost. To se odnosi na

razinu na kojoj ucenici vjeruju da ce moci uspjeti u zadatku ili u razredu. Ako je ucenik

bio neuspjesan u prijasnjim razredima matematike, tada ce ucenik vjerojatno misliti: ”Ja

to ne mogu!” i gotovo odmah odustati. Ovaj ucenik vjeruje da ce biti nemoguce uspjesno

zavrsiti posao i da je za to nesposoban. Ova tocka je vazna za planiranje uputa u ucionici.

Ucenici ce biti nemotivirani, ako se pojavi prejednostavan zadatak i smatrat ce to gu-

bitkom vremena te mogu odbiti pokusaj zadatka ili jednostavno odustati, ukoliko se cini

previse tesko. Uloga nastavnika je da odabere zadatke koji predstavljaju izazove i grade

samopouzdanje za teze pojmove kasnije u skolskoj godini.

Ucinkovito poucavanje matematike, onda, ovisi o obracanju pozornosti na ucenikove po-

trebe na nacin da ih motivira. Motiviranje ucenika znaci pomoci im da razviju orijentaciju

majstorskim ciljevima, pozivajuci se na njihove interese i znatizelju te izgradnju njihovog

samopouzdanje, kako bi bili uspjesni u razredu. Ucinkovit nastavnik mora obratiti pozor-

nost na to kako se dijete razvija i kako ucenik moze biti motivirani za izvrsavanje zadataka.

Ako nastavnik pokazuje entuzijazam kojim pokusava privuci interese i znatizelju ucenika,

onda cemo takoder, nadam se, kod ucenika razvijati ne samo njihovo matematicko zna-

nje sadrzaja, vec i njihove pozitivne stavove i uvjerenja o matematici. Nacionalno vijece

nastavnika za matematiku je navelo afektivnu (osjecajnu) stranu matematike kao mate-

maticku naklonost (dispoziciju).

Autori Evaluation Standards navode da ”ucenje matematike nadilazi ucenja pojmova,

postupaka i njihove primjene. Ona takoder ukljucuje razvoj sklonosti prema matematici i

videnje matematike kao mocnog nacin za gledanje situacija. Naklonost se odnosi ne samo

na stavove, vec i na tendenciju da se djeluje na pozitivne nacine ”. Evaluation Standards

10 nastavnicima predstavlja izazov kako bi pronasli nacine za procjenu razvoja ucenicke

naklonosti. U njemu se navodi:

Za procjenu ucenicke matematicke naklonosti treba traziti informacije o njihovom:

• samopouzdanju u koristenju matematike za rjesavanje problema, komuniciranja za-

misli i razmisljanja

• fleksibilnosti u istrazivanju matematickih ideja i pokusavanju alternativnih metoda

u rjesavanju problema

• spremnosti da ustraju u matematickim zadacima

• interesu, znatizelji i inventivnosti u matematici

• njihovoj sklonosti pracenja i razmisljanja o vlastitom misljenju i performanse

35

• vrednovanju primjene matematike na situacije koje se pojave u drugim disciplinama

i svakodnevnim iskustvima

• uvazavanju uloge matematike u nasoj kulturi i njene vrijednosti kao alat i kao jezik.

Ta naklonost kod ucenika razvija se najucinkovitije kada nastavnici modeliraju dispozicije.

Na primjer, istrazivanje je pokazalo da kada nastavnici modeliraju upornost u rjesavanju

problema, njihovi ucenici postaju uporniji u rjesavanju problema. Opet, to moze biti

zdravorazumska stvar jer je za ocekivati da kada nastavnik cesce koristiti stvarni zivot i

primijenjene probleme, njihovi ucenici ce poceti cijeniti korisnost matematike. Isto tako,

nastavnici koji su odusevljeni temama koje prezentiraju vjerojatno ce usaditi isti interes

u svojim ucenicima. Pitajte ucenika koji ”voli matematiku” gdje je stekao taj osjecaj i

cesto ce odgovor biti da im je jedan nastavnik u odredenom razredu pobudio uzbudenje

zbog matematike i to uzbudenje utjece na njihove stavove za ostatak zivota. Nazalost,

ista situacija moze biti i cesto je takva za one koji ne vole matematiku ili ih je cak i strah

- matematicki tjeskobni ucenici.

Jedan semestar, godina dana, odnosno cijelo zivotno nepozeljna iskustva u matematickim

kolegijima mogu proizvesti ono sto se naziva matematicka tjeskoba. Iako je ovaj pojam

definiran drugacije od strane razlicitih istrazivanja, matematicka tjeskoba (anksioznost)

opcenito se smatra kao strah od matematike i negativan odnos prema njoj. Ovaj strah

cesto se pokazuje kao tjeskoba ucenika pri pisanju testa iz matematike, ali to takoder

moze izroniti kao nesklonost ucenika da nudi odgovore ili sudjeluje u grupnom ucenju u

ucionici ili strah od toga. Istrazivanja pokazuju da je anksioznost obicno posljedica niskog

akademskog uspjeha u matematici, a moze se lijeciti, jednim dijelom, pokusajem pro-

mjene vjerovanja ucenika o prirodi matematike. Kada uzmemo u obzir visoku ucestalost

matematicke tjeskobe u nasem svijetu, onda postaje vazno da, kao nastavnici, ne samo

isporucujemo sadrzaj, vec se aktivno ukljucujemo u oblikovanje stavova i uvjerenja (nak-

lonosti) prema matematici u ucionici svaki dan.

36

Zakljucak

U radu su opisane neke od teorija ucenja i njihove implikacije u razredu. Nastavnik ce biti

daleko uspjesniji u zadovoljavanju potreba djecjeg konceptualnog razvoja, ako ima pre-

dodzbu o tome koje su djetetove trenutne strukture i nacini razmisljanja. Ako prihvatimo

ideju da je ucenje aktivan proces koji ukljucuje raspravu i omogucuje ucenicima da ostvare

svoje vlastite zakljucke, onda cemo organizirati nasu ucionicu u obliku istrazivackog rada

koji istice suradnicko ucenje i aktivne, prakticne lekcije.

Kaze se da je nastavnik koji prihvaca konstruktivisticke teorije ucenja i poucavanja ”vodic

sa strane”, a ne ”mudrac na pozornici”. Ali biti vodic nije tako lako kako zvuci. Ako

malo bolje pogledate primjere opisane u radu, poput aktivnosti definiranja poligona ili

istrazivacku lekciju o eksponentima, vidjet cete da su pitanja koja nastavnik postavlja

i nacin na koji je organizirana lekcija bili kljucni za provedbu lekcije. Iako su ucenici

sudjelovali u aktivnostima, nastavnik je odigrao kljucnu ulogu u odabiru i organiziranju

zadataka, vodeci proces kroz pazljive tehnike propitivanja i procjenu napretka ucenika. Na-

damo se da ce ucenici, dok sudjeluju u lekcijama koje ukljucuju njihovu aktivnost, izum

ili otkrice matematickih pojmova, razviti pogled na matematiku u kojem nije ukljucen

samo njen sadrzaj. Oni bi takoder trebali moci prepoznati vaznu ulogu rjesavanja pro-

blema, razmisljanja, komuniciranja, povezivanja i predstavljanja matematike i ideju da

matematika moze biti misao kao glagol - nesto sto se radi. Nastavnici bi trebali u nasta-

vim scenarijima planirati vise aktivnosti u kojima su ucenici aktivniji od njih, u kojima

se vjezba, rjesavaju problemi, uci u razlicitim iskustvenim situacijama, a manje slusaju

nastavnikova predavanja i gledaju raznovrsne vizualne prezentacije. Kako se budu mi-

jenjale njihove naklonosti prema matematici, takoder bi se trebao vidjeti pad u razini

matematicke anksioznosti i povecanje cijenjenosti studija matematike.

37

Sazetak

Tijekom mnogih godina obrazovnog istrazivanja razvile su se brojne teorije o poucavanju i

ucenju matematike. Razlicite teorije o ucenju promatraju ucenje s razlicite polazisne tocke:

one se medusobno nadopunjuju vise nego proturjece, a u praksi nerijetko preklapaju. Bru-

nerova teorija pretpostavlja da ucenje pocinje s djelovanjem - diranjem (izvrsavajuca ili

konkretna faza), osjecanjem (ikonicka ili slikovna faza) i manipuliranjem (simbolicka ili

apstraktna faza). Prema van Hieleovoj teoriji postoji 5 razina geometrijskog misljenja:

vizualizacija, analiza, apstrakcija ili neformalna dedukcija, dedukcija i strogost. Skinner

je tvrdio da se u razredu moze koristiti pozitivno potkrepljenje, koje ce olaksati upravlja-

nje i problem discipline koji se pojavljuje. Jean Piaget je bio psiholog usmjeren na dva

osnovna elementa kako djeca uce: njihove mentalne faze u razvoju i njihove intelektualne

sposobnosti. Lev Vygotsky bavio se mjerenjem samo onoga sto ucenik moze napraviti

sam u testnoj okolini. Heuristicka nastava, koju je osvijetlio Polya, iznikla je iz potrebe

da se uvodenjem samostalnog rada ucenika prevlada predavacka nastava i poboljsa nas-

tavni proces. Polya proces rjesavanja zadatka dijeli se u 4 etape: razumijevanje zadatka,

stvaranje plana, izvrsavanje plana i osvrt. Razlicite zemlje imaju razlicite pristupe ucenja

i poducavanja. U Nizozemskoj se javlja RME (Realistic Mathematics Education), u Ita-

liji su zastupljene Reggio Emilia skole, koje su ilustracija uporabe otvorenog pristupa

poucavanja i ucenja za djecu predskolske dobi, dok su u Gvatemali uglavnom otvorene

ucionice, gdje je ucenje pokrenuto i vodeno prema interesu i motivaciji djeteta. Nastava se

moze podijeliti na induktivnu i deduktivnu nastavu. Tijekom induktivne nastave ucenik

razmislja kroz nekoliko primjera, a zatim generalizira pravilo. Vise tradicionalni oblik nas-

tave, u kojoj ucitelj navodi pravilo ili definiciju, a zatim ocekuje da ce ga ucenik primijeniti

na radnom listu ili skupu problema se zove deduktivna nastava, sto znaci da generalizacija

sluzi kao polaziste, a konkretni primjeri se primjenjuju kasnije. Kako bi ucenici bolje ucili,

trebamo ih motivirati. Tri medusobno povezana dijela predstavljaju psiholoski konstrukt

zvan motivacija - cilj orijentacije, emocije i samopouzdanje.

Kljucne rijeci: istrazivanje, teorije ucenja, induktivna i deduktivna nastava, motiva-

cija

38

Title and Summary

The theories of learning mathematics. Over many years of educational research

have developed numerous theories about teaching and learning of mathematics. Different

theories about learning observed learning with different starting point: they complement

each other rather than contradict, but in practice often overlap. Brunner theory assumes

that learning begins with action - touching (enactive or concrete phase), feeling (iconic

or pictional phase) and manipulation (symbolic or abstract phase). According to van Hi-

ele theory there are 5 levels of geometric thinking: visualization, analysis, abstraction or

informal deduction, deduction and rigor. Skinner argued that the class can use positive

reinforcement, which will facilitate the management and discipline problem that occurs.

Jean Piaget was also a psychologist who focused on the two basic elements of how chil-

dren learn: their mental stages in development and their intellectual skills. Lev Vygotsky

questioned the sole measurement of what a pupil can do alone in a test environment. He-

uristic teaching, which is illuminated Polya, emerged from the need to be the introduction

of independent work students overcome lecture-based teaching and improve the learning

process. Polya process of solving the task is divided into 4 stages: understanding of the

task, making a plan, execute the plan and review. Different countries have different appro-

aches to teaching and learning. In the Netherlands appears RME (Realistic Mathematics

Education), in Italy are represented Reggio Emilia schools, which are illustrations of the

use of open access to teaching and learning for preschool children, while in Guatemala,

mostly open classrooms, where learning is initiated and guided the interest and motivation

of the child. Classes may be divided into inductive and deductive teaching. During the

induction training of student thinks through a few examples, and then generalize rule.

The more traditional form of teaching, in which the teacher states the rule or definition

and then expects the student to apply the worksheet or set of problems is called deductive

teaching, meaning that a generalization serves as the starting point, and specific exam-

ples are applied later. So that students learn better, we need to motivate them. Three

interacting components constitute the psychological construct called motivation - goal ori-

entations, emotions and self-confidence.

Key words: research, learning theories, inductive and deductive learning, motivation

39

Literatura

[1] Z. BJELANOVIC DIJANIC, Ucenje istrazivanjem u GeoGebri po modelu Georga

Polya,

http://bib.irb.hr/datoteka/522342.istrazivanje_Polya_GGB_MiS.pdf

[2] D.J. BRAHIER, Learning Theories and Psychology in Mathematics Education, Te-

aching secondary and middle school mathematics, Allyn and Bacon, 2000, 27-52.

[3] P. COWAN, Teaching for understanding: mathematical knowledge or enquiry , Te-

aching mathematics, Routledge,Taylor and Francis Group, 2006, 65-81.

[4] M. DE VILLIERS, Uloga i funkcija dokaza u matematici, Poucak, 35 (2008), 13-17.

[5] Z. KURNIK, Heuristicka nastava, Matematika i skola, 34 (2006), 148-153.

[6] Z. KURNIK, Problemska nastava, Matematika i skola, 15 (2002), 196-202.

40

Zivotopis

Zovem se Doris Crnjac. Rodena sam 24. ozujka 1990. godine u Osijeku. Od 1996. do

2004. godine pohadala sam Osnovnu skolu Ivana Filipovica, koju sam zavrsila kao odlicna

ucenica. Prvu gimnaziju (opcu) upisala sam 2004. godine. Tijekom osnovnoskolskog

obrazovanja sudjelovala sam na opcinskom i zupanijskom natjecanju iz biologije, a tije-

kom srednjoskolskog obrazovanja sudjelovala sam na opcinskim i zupanijskim natjecanjima

iz fizike. Maturirala sam s odlicnim uspjehom 2008. godine. Sveucilisni nastavnicki stu-

dij matematike i informatike na Odjelu za matematiku, Sveucilista J.J. Strossmayera u

Osijeku, upisala sam 2008. godine. Aktivno se bavim rukometom od osnovne skole u

Zenskom rukometnom klubu Osijek. Trenutacno sam nezaposlena.