Ekstremalni problemi i algoritmi za grafovske invarijante ... ?· 2.5 Problem balansiranja optere´cenja…

Download Ekstremalni problemi i algoritmi za grafovske invarijante ... ?· 2.5 Problem balansiranja optere´cenja…

Post on 19-Aug-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Univerzitet u Nisu

    Prirodno matematicki Fakultet

    Doktorska disertacija

    Ekstremalni problemi i algoritmi za

    grafovske invarijante bazirane na

    sopstvenim vrednostima irastojanjima

    ALEKSANDAR ILIC

    Nis, decembar 2010.

  • 2

  • Sadrzaj

    1 Uvod 3

    2 Osnovni pojmovi i primene 7

    2.1 Formalne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2 Spektralna teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3 Matrica susedstva i Laplasova matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.4 PageRank i EdgeRank algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.5 Problem balansiranja opterecenja i integralni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.6 Spektralna klasterizacija podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.7 Grafovska energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3 Laplasovi koeficijenti 19

    3.1 Glavne teoreme i problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.2 Uredenje stabala modifikovanom Laplasovom energijom . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.2.1 Dokaz Teoreme 3.2.2 i Teoreme 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3.3 Transformacije i zvezdolika stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.4 Stabla sa datim brojem listova i uparivajucim brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.5 Stabla sa fiksiranim dijametrom i radijusom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.6 Laplasovi koeficijenti uniciklicnih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.6.1 and transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.6.2 LEL kod uniciklicnih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4 Spektralni radijus matrice rastojanja 47

    4.1 Zvezda Sn ima najmanji spektralni radijus matrice rastojanja . . . . . . . . . . . . . 48

    4.2 Stabla sa fiksiranim najvecim stepenom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4.2.1 Nove transformacije stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    4.3 Stabla sa fiksiranim uparivajucim brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.4 Grafovi sa fiksiranim hromatskim brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.5 Granice za kod generalnih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.6 Granice za kod bipartitnih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.7 Donje i gornje granice za DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    5 Integralni cirkulantni grafovi 67

    5.1 Preliminarni rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.2 Energija unitarnih Kejlijevih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    5.3 Spektar matrice rastojanja ICG-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    5.4 Energija rastojanja unitarnih Kejlijevih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.5 Tri-ekvienergetski grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.6 Klase integralnih cirkulantnih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5.7 Energija po modulu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5.7.1 Slucaj n neparan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    3

  • SADRZAJ

    5.7.2 Slucaj n paran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.8 Minimum energije integralnih cirkulantnih grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    6 Estradin indeks 856.1 Osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2 Grafovske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    6.2.1 Stabla sa fiksiranim maksimalnim stepenom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2.2 Stabla sa savrsenim uparivanjima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    6.3 Laplasov Estradin indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4 O broju trajektorija i korekciji teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    6.4.1 Kontraprimeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4.2 Gornja i donja granica za ogranicene Dikove puteve . . . . . . . . . . . . . . 976.4.3 Funkcija generatrise za ogranicene Dikove puteve . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    7 Stepen-rastojanje invarijanta 1017.1 Hemingovi grafovi i kanonska reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2 Formula za racunanje DD indeksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3 Primene na hemijske grafove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.4 Linearni algoritam za benzenoidne sisteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.5 Formule za slozene grafove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.6 Grafovske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.7 Uniciklicni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    7.7.1 Maksimum stepen-rastojanje invarijante medu uniciklicnim grafovima . . . . 1147.7.2 Minimum stepen-rastojanje invarijante medu uniciklicnim grafovima . . . . . 115

    7.8 Biciklicni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    8 Omega polinom i ClujNis indeks 1218.1 Omega polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.2 Broj ops puteva i primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.3 Topoloski indeksi i diskriminativna sposobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.4 Omotac matrice i polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.5 Super ClujNis indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.6 Dalja istrazivanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    9 Konstrukcija hamiltonovih grafova sa ogranicenim i D 1359.1 Algoritam i korektnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.2 Broj dodatih grana za = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.3 Dalja poboljsanja i analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    10 Prilozi 14310.1 Householderova metoda za odredivanje sopstvenih vrednosti . . . . . . . . . . . . . . 14310.2 MATHEMATICA kod za integralne cirkulantne grafove . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.3 Korisceni softver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

    10.3.1 AutoGraphiX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.3.2 newGRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.3.3 nauty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    11 Zakljucak 153

    Literatura 154

    4

  • Zahvalnica

    Najvecu zahvalnost dugujem mojim roditeljima, bratu i Natasi koji su oduvek bili uz mene i bez cijepodrske ova disertacija ne bi bila moguca.

    Zahvaljujem se mentoru Draganu Stevanovicu na ulozenom trudu i na interesantnim prob-lemima koje je predlagao; profesoru Mircea V. Diudea-i i njegovoj grupi za istrazivacku posetu naUniverzitetu Babes-Bolyai iz Kluza, kao i na stalnu motivaciju i inspiraciju u radu; profesoru SandiKlazaru za istrazivacku posetu na Univerzitetu u Ljubljani, odlicnu saradnju i puno novih ideja.

    Profesorima Draganu Urosevicu i Nenadu Mladenovicu za upoznavanje sa novim metodamakombinatorne optimizacije i podrsku sa projekta 144007 Ministarstva nauke i tehnoloskog razvoja.

    Posebno se zahvaljujem akademiku Ivanu Gutmanu za pomoc u hemijskoj teoriji grafova; akade-miku Dragosu Cvetkovicu i profesoru Slobodanu Simicu za pomoc oko spektralne teorije grafova.

    Takode zahvalnost dugujem Borislavu Agapievu i Igoru Kabilju za zajednicki rad na razvijanjunovih algoritama distribuiranog internet pretrazivaca Wowd.

    Ova disertacija je i plod saradnje sa inostranim naucnicima Matthias Dehmer (Austrija), LihuaFeng, Guihai Yu, Bo Zhou (Kina), Patrick W. Fowler (Velika Britanija) i Ali R. Ashrafi (Iran).

    Zahvaljujem se profesorima Miroslavu Ciricu, Draganu -Dordevicu, Predragu Stanimirovicu iBranimiru Todorovicu na svemu sto su me naucili tokom studiranja na Prirodno matematickomfakuletu; uciteljici Milunki Bosic, nastavnici matematike Dragici Zlatanovic i razrednom staresiniBranku Jovanovicu, kao i Slavoljubu Milosavljevicu i Branislavu Popovicu iz Drustva matematicaraSrbije za ljubav prema matematici i informatici, i na velikoj paznji koju su mi posvetili.

    Zahvaljujem se profesorima i prijateljima Milosu Milosavljevicu i Marku Milosevicu za stalnumotivaciju i pripreme na srednjoskolskim i studentskim takmicenjima iz matematike i informatike;kolegama i koautorima Milanu Basicu, -Dordu Krtinicu, Marjanu Milanovicu, Nikoli Milosavljevicu,Marku Petkovicu, Stefanu Stanimirovicu i Ivanu Stankovicu za nesebicnu pomoc tokom izrade ovedoktorske disertacije.

    U Nisu, decembar 2010.

    1

  • SADRZAJ

    2

  • Glava 1

    Uvod

    Ako ljudi ne veruju da je matematika jednostavna,to je zato sto ne shvataju koliko je zivot komplikovan.

    John von Neumann (1903 1957)

    Teorija grafova je relativno mlada oblast matematike. Najveci napredak dostignut je poslednjihdecenija, zahvaljujuci savremenoj racunarskoj tehnologiji. Graf je matematicka struktura koja sekoristi pri modeliranju relacija izmedu objekata nekog skupa.

    Najstariji problem u teoriji grafova jeste problem Kenigsberskih mostova. Naime, svajcarskimatematicar Ojler (Leonhard Euler) je 1736. godine naisao na sledeci problem: grad Kenigsberglezi na obalama i na dva ostrva reke Pregel, koji su povezani sa sedam mostova. Pitanje je bilo, dali je moguce obici sve mostove tacno jednom, polazeci iz bilo koje tacke.

    Glavni zadaci ove doktorske disertacije su proucavanje grafovskih invarijanti, koje su bazirane nasopstvenim vrednostima i matrici rastojanja. Osim toga, disertacija predstavlja znacajan doprinosu hemijskoj teoriji grafova i izucavanju topoloskih indeksa, poput energije i njenih modifikacija.Takode, predstavljeni su i algoritmi za racunanje nekih grafovskih invarijanti, kao i konstrukcijegrafova sa odredenim svojstvima.

    Topoloski indeksi i grafovske invarijante bazirane na sopstvenim vrednostima i rastojanjimaizmedu cvorova su veoma zastupljeni u matematickoj hemiji. Njima se modeliraju razne osobinemolekula i njihovih veza. Mnogi indeksi ostvaruju odlicnu korelaciju izmedu fizickih, hemijskih,termodinamickih i bioloskih parametara hemijskih jedinjenja. Wienerov indeks je jedna od najs-tarijih i najpoznatijih grafovskih invarijanti. Definisan je 1947. godine kao zbir rastojanja izmedusvih parova cvorova,

    W (G) =

    u,vVd(u, v),

    gde d(u, v) predstavlja najkrace rastojanje izmedu cvorova u i v (teorijski rezultati i primeneprikazane su u [80]). U radu su detaljno analizirane dve modifikacije ovog indeksa (za nove topoloskeindekse videti monografiju [108]).

    U spektralnoj i algebarskoj teoriji, grafovi se izucavaju koristeci sopstvene vrednosti matriceM , koja na neki nacin opisuje svaki graf. Tako se moze govoriti o matrici susedstva A, Laplasovojmatrici L, matrici rastojanja D, neoznacenoj Laplasovoj matrici Q, i drugima [47]. Spektri grafovai odgovarajuci sopstveni vektori imaju znacajne primene kod modeliranja i pretrazivanja Inter-neta, obrada slika i prepoznavanja oblika, klasterizaciji podataka, u multiprocesorskim povezujucimmrezama, u socijalnim mrezama, u matematickoj hemiji, ekonomiji i drugim naukama [48].

    Jedan od najilustrativnijih primera je Google PageRank algoritam, koji je zasnovan na itera-tivnom postupku nalazenja najvece sopstvene vrednosti matrice susedstva. Naime, stranice na In-ternetu se rangiraju na osnovu medusobnih linkova, a vaznost neke stranice je proporcionalna odgo-varajucoj komponenti Peronovog sopstvenog vektora. U radu se analiziraju koeficijenti Laplasovog

    3

  • Uvod

    karakteristicnog polinoma i najveca sopstvena vrednost matrice rastojanja, kao i dve invarijantekoje su bazirane na spektru grafova - energija i Estradin indeks.

    Disertacija se sastoji od uvoda, devet poglavlja i zakljucka.Drugo poglavlje sadrzi osnovne definicije iz teorije grafova, kao i nekoliko primena spektara

    grafova u rangiranju stranica sa Web-a, balansiranju opterecenja u multiprocesorskim sistemima,klasterizaciji grafova i grafovskoj energiji.

    U trecem poglavlju se analizira karakteristicni polinom Laplasove matrice (eng. Laplacianmatrix),

    P (L(G), ) = det(In L(G)) =n

    k=0

    (1)kcknk.

    Laplasova matrica ima nenegativne realne sopstvene vrednosti 1 2 . . . n1 n = 0.Iz Vietovih formula koeficijent ck je simetricni polinom reda n 1, a za stabla koeficijent cn2 jeupravo Wienerov indeks. Mohar u [195] uvodi uredenje stabala na osnovu Laplasovih koeficijenta,koristeci relaciju izmedu Laplasovih koeficijenata i broja uparivanja grafa dobijenog potpodelomgrana grafa G. Modifikovana Laplasova energija (eng. Laplacian-like energy) je definisana kao

    LEL(G) =

    n

    i=1

    i,

    koja je analogna grafovskoj energiji. Stevanovic u [228] dokazuje da ukoliko vazi ck(G) ck(H) zasvako k = 0, 1, . . . , n za dva grafa G i H sa n cvorova, tada je LEL(G) LEL(H). U radu se dajekorektan dokaz ovog tvrdenja pomocu kompleksne analize [149]. Takode se razmatraju stabla safiksiranim dijametrom, radijusom, maksimalnim uparivanjem, brojem visecih cvorova i analizira serelacija uredenja [147, 142, 138]. Na kraju se pomocu Kelmansove teoreme analiziraju Laplasovikoeficijenti kod uniciklicnih grafova i postavljaju neke hipoteze [229].

    U cetvrtom poglavlju se analizira matrica rastojanja (eng. distance matrix), koja ima realnesopstvene vrednosti. Energija rastojanja (eng. distance energy) je definisana kao suma apsolutnihvrednosti sopstvenih vrednosti matrice rastojanja. Za stabla i neke specijalne tipove grafova, en-ergija rastojanja je jednaka dvostrukoj vrednosti spektralnog radijusa matrice rastojanja. U radu seuvode dve generalne transformacije grafova koje povecavaju ili smanjuju spektralni radijus matricerastojanja. Dokazuje se da medu stablima sa fiksiranim maksimalnim stepenom cvorova, metlaBn, (sastavljena od zvezde S+1 i puta duzine n + 1 koji je vezan za proizvoljni viseci cvorzvezde) ima maksimalan spektralni radijus matrice rastojanja [230]. Na osnovu kompjuterske pre-trage medu stablima do 22 cvora, postavlja se hipoteza za minimalni slucaj. Takode, medu stablimasa fiksiranim uparivajucim brojem i medu grafovima sa fiksiranim hromatskim brojem odreduju sejedinstveni grafovi koji imaju minimalni spektralni radijus rastojanja. U radu se pokazuju gornje idonje granice za energiju rastojanja za generalne i bipartitne grafove, poboljsavajuci vec postojecenejednakosti [268].

    Neka su 1, 2, . . . , n sopstvene vrednosti matric...

Recommended

View more >