Jonizovani gasovi

Marko Puric

Odgovori na ispitna pitanja

Marko PuricB smer, 2048/2015

2018/19

1 Stvaranje i nestajanje naelektrisanih cestica u gasu

Gasovi u normalnim uslovima ne sadrze mnogo naelektrisanih cestica. One se, npr. mogupojaviti kao posledica UV, kosmickog ili radioaktivnog zracenja.

1.1 Procesi jonizacije

Da bi neki kvant zracenja ili cestica mogla da jonizuje/ekscituje atome/molekule gasa, moraimati energiju vecu od energije jonizacije/ekscitacije atoma/molekula gasa. Koristicemo oznake:hν - energija ulaznog zracenja; Vj - energija jonizacije atoma/molekula gasa; Vex - energija potrebnada se atomi/molekuli gasa ekscituju; A - neutralni atom/molekul gasa; A+ - pozitivni jon gasa;A∗ - ekscitovani atom/molekul gasa.

1. Jonizacija zracenjem

(a) Direktna: hν > eVj . Tada je: hν +A→ A+ + e−

(b) Stepenasta: hν < eVj ; hν > eVex. Tada je: hν +A→ A∗ =⇒ hν +A∗ → A+ + e−

2. Jonizacija (naelektrisanim) cesticama

(a) Direktna: 12mv

2 > eVj . Tada je: A+ e− → A+ + 2e−

(b) Stepenasta: eVex <12mv

2 < eVj . Tada je: e− +A→ A∗ + e−; e− +A∗ → A+ + 2e−

3. Termalna jonizacija: Gas se zagreva do visokih temperatura usled cega atomi/molekuligasa postaju brzi i uspevaju medusobno da jonizuju jedni druge: A+A→ A+ +A+ e−

Ovi procesi nazivaju se zapreminskim.

4. Stvaranje naelektrisanih cestica na elektrodama

(a) Fotoelektronska emisija: hν + elektroda→ e−

(b) Sekundarna emisija jonima: A+ + elektroda→ e−

(c) Termoelektronska emisija: toplota+ elektroda→ e−

(d) Emisija pod dejstvom polja: jako el. polje+ elektroda→ e−

Ovi procesi se odvijaju na katodi i nazivaju se povrsinskim.

1.2 Procesi nestajanja naelektrisanih cestica

1. Radijativna rekombinacija: A+ + e− → A/A∗ + hν. Ovde se visak energije oslobadazracenjem.

2. Rekombinacija pri sudaru tri cestice: e− + A+ + e−/A → A + e−/A. Ovde se visakenergije predaje trecoj cestici.

3. Difuzija: Kada u jonizovanom gasu postoji gradijent koncentracije (sto je uvek slucaj ugranicnim oblastima), dolazi do difuzije gde se koncentracija smanjuje tokom vremena:

dn

dt= −D∇2n

gde je D - koeficijent difuzije.

4. Nestajanje cestica na elektrodama: Ako je gustina struje kroz gas ~j, a rastojanjeizmedu elektroda d, tada se brzina nestajanja cestica koje nose naelektrisanje e moze iz-raziti jednacinom:

dn

dt= − j

ed

2

2 Elasticni i neelasticni sudari, znacaj elektrona

Za procese neelasticnih sudara (procese pobudivanja) uglavnom su odgovorni elektroni. To jezato sto je, za razliku od jona, elektronima potrebno vrlo malo vreme da predu potencijalne razlike(jonima treba mnogo vise), zbog male mase, pa u skladu s tim, elektroni su najcesci uzrocnici nee-lastinih sudara, nakon kojih imaju nultu kineticku energiju, pa proces ubrzavanja pocinje ponovo.Kineticka energija koja se tada prenosi je:

Ek =1

2mv2 =

1

2m

(eE

mt

)2

=1

2m(eEt)2

Ovde se doduse uzima to da se krece samo elektron, sto ima smisla s obzirom na to da je masajona 104 puta veca od mase elektrona.

Ukoliko ne zanemarujemo masu projektila i uzmemo da meta pre sudara miruje (sto uvek mozemouzeti vezivanjem sistema za metu) onda vaze zakoni odrzanja impulsa i energije:

m1 ~v0 = m1 ~v1 +m2 ~v2

1

2m1v

20 =

1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 + ∆E

gde je ∆E energija koja se transferise prilikom sudara. Maksimalnu energiju koja se transferise

mozemo dobiti iz uslova d(∆E)dv1

= 0, iz cega se dobija:

v1 = v0m1

m1 +m2; ∆Emax =

1

2

m1m2

m1 +m2v2

0

Kada je projektil elektron, onda je m1 m2.

Sudari mogu biti:

1. Elasticni : ∆E = 0

2. Neelasticni : ∆E 6= 0

3

3 Rasejanje cestica pri sudaru, efektivni presek

Ukoliko razmatramo kolimisan snop cestica projektila usmerenih ka cestici meti, sudare cemoidentifikovati sa bilo kakvom promenom vektora brzine ccestica projektila. Mozemo definisati flukscestica projektila kao Φ = nv, gde je n - koncentracija. Ono sto znamo eksperimentalno je ν ∝ nv,gde je ν - broj sudara u jedinici vremena. Koeficijent proporcionalnosti nazivamo efektivnim(efikasnim) presekom σ. Jasno je da σ ima jedinice povrsine, i moze se interpretirati kaopovrsina mete koju vidi projektil iz snopa. σ zavisi od brzine projektila v pa se moze pisati:

ν ∝ σ(v)nv

U modelu sfera gde je projektil kugla poluprecnika r a meta kugla poluprecnika R, efikasni presekje dat sa σ = (R+ r)2π. U ovom modelu ne uracunavamo interakciju, pa σ ne zavisi od v.

Konacno, efektivni presek mozemo definisati i kao definisemo prosto sa: Q = σn.

4

4 Diferencijalni presek

Diferencijalni presek se definise kao diferencijal efikasnog preseka:

dσ =∂Q

∂ΩdΩ

Do potrebe za njim dolazimo kada razmatramo ugao pod kojim se rasejanje dogodilo. dΩ jeelementarni prostorni ugao pod uglom (θ, φ) pod kojim se rasejanje desilo.

5

5 Raspodela slobodnih preleta

Razmatramo jednu cesticu mete ka kojoj ide snop projektila koncentracije n1. Broj sudara ujedinici vremena je:

ν2 = σn1v

Ako nemamo jednu metu, vec im je koncentracija n2, tada je broj sudara u jedinici vremena ujedinici zapremine odreden sa:

ν2n2 = σn1n2v

i ako sa ν1 = σn2v oznacimo broj sudara jednog projektila sa metama u jedinici vremena, onda je:

ν2n2 = ν1n1

Velicina 1ν1

bila bi srednje vreme izmedu dva sudara jednog projektila sa metama. U narednim

linijama izostavljamo indeks pa pisemo samo: τ = 1ν . Sada mozemo definisati i srednji slobodni

put (prelet) kao: l = vτ = 1σn

Neka je projektil elektron i neka su mete cestice gasa.

Ako je rastojanje koje projektil bez sudara prelece x, onda znamo da se u zapremini V = σxne nalazi ni jedna cestica mete. Neka se u zapremini V0 nalazi N cestica-meta. Tada je njihovakoncentracija data sa n = N

V0. Verovatnoca da u nekoj zapremini V postoji bar jedna cestica mete

je VV0

. Tada je verovatnoca da u zapremini V nema cestica mete, a samim tim i da ne dode do

sudara je(

1− VV0

)N. Kada N →∞, onda verovatnoca ima oblik:

(1− σx

V0

)N=(

1− nσx

N

)N→ e−nσx

Dakle, verovatnoca da do sudara ne dode eksponencijalno opada sa rastojanjem: ω(x) = e−nσx =e−

xl .

Ako sa p(x) oznacimo verovatnocu po jedinici puta da do sudara ne dode u tacki x, onda jeverovatnoca da na putu dx dode do sudara data sa:

p(x)dx = ω(x)− ω(x+ dx)

Pa je verovatnoca da do sudara ne dode, po jedinici puta, u tacki x data sa:

p(x) = −dωdx

= −(−1

le−

xl

)=⇒ p(x) =

1

le−

xl

Sada mozemo dobiti srednji put na kom ne dolazi do sudara:

〈x〉 =

∫ ∞0

x

le−

xl dx = l

i vidimo da se poklapa sa vec definisanim srednjim slobodnim preletom.

6

Efektivni presek smo definisali sa Q = σn, gde je σn = l. Odatle je Q = 1l , pa broj nesuda-

renih cestica projektila nakon predenog puta x mozemo zapisati kao:

N = N0e−Qx

Inace, za srednji slobodni put koristi se i oznaka λ.

7

6 Gubitak impulsa i transportni preseci

Pored preseka kojim smo se do sad bavili, i koji se inace naziva kolizionim presekom, postojii transportni presek: ukoliko imamo snop elektrona koji nemaju dovoljnu energiju da jonizujucestice gasa, ti elektroni nece gubiti energiju, vec ce se samo rasplinjavati i vazice:

|~p| = |~p′

Ukoliko x-osu vezemo za prvobitni pravac kretanja elektrona, gubitak impulsa u tom pravcu bice:

∆p = |~p| − ~p′| cos θ = p(1− cos θ)

Jasno je da ce nakon velikog broja rasejanja ortogonalna komponenta impulsa teziti nuli, ali je istotako jasno da nece biti nikakvog preferabilnog pravca po kom ce se elektroni nakon rasejanja kretati.

Sada nas interesuje kako se broj elektrona duz x-ose smanjuje sa rastojanjem, i jasno je da vazi:

dn = −nQdx

Takode, mozemo naci i slabljenje snopa u vremenu:

dn = −nνdt =⇒ n(t) = n0e−νt

Gubitak impulsa duz prvobitne ose kretanja je:

dp = −p(1− cos θ)Qdx ≡ QTRpdx

Ovim smo definisali transportni presek kao:

QTR = Q(1− cos θ) ⇐⇒ QTR = QC(1− cos θ)

gde je Q ≡ QC-kolizioni presek.

Prvi grafik predstavlja rasejanje elektrona na neonu, a drugi na helijumu. Mali transportni presekgovori o tome da se elektroni rasejavaju uglavnom unapred.

8

7 Aproksimativne formule preseka za jonizaciju i ekscitaciju

Elementarni prostorni ugao mozemo zapisati kao: dΩ = sin θdθdφ. Totalni presek mozemonapisati kao:

σ =

∫I(θ, φ)dΩ =

∫ π

0

∫ 2π

0

I(θ, φ) sin θdθdφ

gde bi ovo I(θ, φ) trebalo da bude matricni element S-matrice. Sustinski, definisano je kao:

I(θ, φ) =br.cestica rasejanih u dΩ u jedinici vremena

N1

gde je N1-broj projektila koji u jedinici vremena prode kroz jedinicu povrsine.

Cesto se moze pretpostaviti cilindricna simetrija, pa je:

σ = 2

∫ π

0

I(θ) sin θdθ

Elasticno rasejanje na nepokretnoj meti.

U slucaju elasticnog rasejanja na nepokretnoj meti menja se pravac ali ne i intenzitet brzine(slika). Tada je ukupno smanjenje impulsa snopa dato sa:∫

m1u(1− cos θ)N1I(θ, φ)dΩ = m1uN1

∫(1− cos θ)I(θ, φ)dΩ

pa se presek za predaju impulsa definise kao:

σp =

∫(1− cos θ)I(θ, φ)dΩ

Ako uvedemo verovatnocu elasticnog rasejanja u prostorni ugao dΩ kao:

p(θ, φ)dΩ =I(θ, φ)

σ

tada je deo impulsa koji projektil gubi pri sudaru:

1

m1u

∫p(θ, φ)m1u(1− cos θ)dΩ =

σp

σ

9

Za male energije presek za predaju impulsa priblino je jednak preseku za rasejanje, dok je za veceenergije skoro duplo manji.

10

8 Fotojonizacija

Minimalna energija koju mora posedovati foton da bi jonizovao cesticu gasa jednaka je energijijonizacije cestice:

hν0 = euj

Najnizu energiju jonizacije ima cezijum, i da bi ga foton jonizovao, mora posedovati talasnu duzinuvecu od kriticne koja iznosi 318nm.

Verovatnoca za jonizaciju cezijuma u zavisnosti od talasne duzine fotona.

Fotoekscitaciju sa nivoa K na nivo L moze izazvati samo foton energije: hν = El − Ek. Ujonizovanom gasu znacajna je i fotojonizacija zracenjem koje nastaje unutar samog gasa deeksci-tacijom prethodno pobudenih atoma. U tom slucaju, spoljasnje zracenje ne igra gotovo nikakvuulogu, i ova vrsta zracenja naziva se rezonantnim zracenjem.

11

9 Rekombinacioni procesi

Glavni razlog nestajanja naelektrisanih cestica je rekombinacija u samom gasu, na zidovimacevi za praznjenje i na elektrodama. Do rekombinacije dolazi kada jon i elektron oforme neutralnucesticu.

9.1 Radijativna rekombinacija

Radijativna rekombinacija je proces u kom se stvara neutralni atom i emituje se foton:

A+ + e− → A+ hν

To je proces suprotan fotojonizaciji. Energija izracenog fotona jednaka je razlici kineticke energijeelektrona i energije jonizacije atoma. Visak energije se dakle izraci u vidu fotona, ali moguce jei emitovanje vise fotona. Ukoliko jon ne zahvati elektron u osnovnom vec u nekom pobudenomstanju, onda ce se naknadno izraciti jos jedan foton (ili vise fotona) tokom spontane deekscitacije:

A+ + e− → A∗ + hν1

A∗ → A+ hν2

9.2 Rekombinacija pri sudarima 3 tela

Ovaj proces je suprotan sudarnoj jonizaciji:

A+ + e− + e− → A+ e−

A+ + e− +A→ A+A

U ovom procesu visak energije preuzima treca cestica. Ukoliko se radi o prvom od navedena dvaprocesa, kaze se da je u pitanju rekombinacija sa elektronom. U drugom slucaju, za proces se kazeda je rekombinacija sa atomom.Ovaj poces moze biti znacajan u slucajevima kada je pritisak gasa veliki ili kada je koncentracijavisoka.

9.3 Disocijativna rekombinacija

Prilikom rekombinacije elektrona sa molekularnim jonom dolazi do disocijacije molekula. Ener-gija rekombinacije trosi se na disocijaciju i kineticku energiju fragmenata (proizvoda disocijacije):

e− + (AB)+ → A+B

Moze se desiti da je neki od atoma u pobudenom stanju nakon disocijacije, pa proces moze bitipropracen emisijom fotona.

Koeficijent rekombinacije β definisemo izrazom:

dn+

dt=dnedt

= −βn+ne

β dakle odreduje broj nestalih elektrona ili jona iz jedinice zapremine u jedinici vremena po cestici.

12

10 Termoelektronska emisija

U vecini slucajeva, u sistemu koji posmatramo se, osim gasa, nalaze i elektrode koje takodedoprinose stvaranju naelektrisanih cestica u gasu.

Elektroni se u metalu zapravo nalaze u potencijalnoj jami koju formiraju pozitivni joni. Ta jamasprecava da slobodni elektroni na niskim temperaturama napuste metal. Kada se metal dovoljnozagreje, neki od tih elektrona mogu dobiti dovoljno energije da ga napuste. Ukoliko u sistemuimamo elektricno polje, njime mozemo usmeriti te elektrone na anodu i meriti njihovu struju.Ricardsonov zakon nam daje zavisnost gustine struje termalnih elektrona koji usled zagrevanjabeze sa metala.

Pretpostavimo da imamo protok termalnih elektrona u smeru x-ose. Tada je gustina struje utom smeru data sa:

Jx =

∫en(E)vx(E)dE

gde je n(E) koncentracija elektrona koji imaju energiju E, u jedinicama [J−1m−3]. Iz statistickefizike znamo da je n(E) = g(E)f(E), gde su g(E) i f(E) gustina stanja i Fermijeva raspodela,redom:

g(E) =8√

2π

h3m

32

√E ; f(E) =

1

1 + eE−EFkBT

Medutim, samo elektroni sa energijama E EF mogu poveci sa metala, a u tom limesu, Fermijevaraspodela prelazi u Bolcmanovu:

f(E) = e−E−EF

kBT

Elektronima koji imaju najvisu energiju u metalu nedostaje energija W da napuste metal.

Ukoliko sa integrala po energiji predemo na integral po brzini pomocu E = 12mv

2, i uzmemo uobzir da po x-osi postoji najmanja brzina od koje integralimo, a to je minimalna brzina neophodnada se savlada potencijalna barijera U , odredena sa: U = 1

2mv2x,min =⇒ vx,min =

√2U/m,

dobijamo izraz za gustinu struje:

Jx =2em3

h3eEFkBT

∫ ∞vx,min

vxe− mv2

x2kBT dvx

∫ ∞−∞

e−

mv2y

2kBT dvy

∫ ∞−∞

e− mv2

z2kBT dvz

I ako iskoristimo da je: ∫ ∞−∞

ecx2

dx =

√π

c

onda konacno dobijamo:

Jx =4πemk2

B

h3T 2e

EF−UkBT ≡ A0T

2e− φkBT

Ukoliko bismo uzeli u obzir i kvantnu mehaniku, onda bismo ispred izraza dodali koeficijent transmi-sije D (posto se neki elektroni mogu reflektovati o zid barijere), pa je konacni izraz za Ricardsonovuformulu:

j = DA0T2e− φkBT

13

11 Uticaj elektricnog polja na termoelektronsku emisiju

Spoljasnje elektricno polje suzava potencijalnu barijeru na granici metal-vakuum cime efektivnosmanjuje izlazni rad za:

∆φ =

√e3E

4πε0

Usled toga se izraz za Ricardsonovu formulu mora korigovati:

j = DA0e−φ−∆φ

kBT = DA0e∆φkBT e

− φkBT

Vidimo da se oblik Ricardsonovog zakona ne menja, vec samo konstanta.

14

12 Sekundarna emisija elektrona sa katode

Pozitivni joni koji dolaze na katodu mogu izazvati emisiju elektrona sa iste. Izmedu jona imetalne povrsine stvara se elektricno polje koje zavisi od rastojanja kao:

E =2.88 · 10−9

r2

[V

m

]Kada se pozitivni jon dovoljno priblizi, jacina polja moze biti dovoljno velika da izazove tuneliranjeelektrona iz metala, koji sa jonom pravi neutralni atom/molekul. Ta (pobudena) neutralna cesticazatim nastavlja da se krece ka katodi, i prilikom interakcije sa resetkom metala moze predati nekomelektronu dovoljno energije da on savlada potencijalnu barijeru i napusti metal. Ovaj proces seopisuje koeficijentom γ koji predstavlja broj elektrona emitovanih po jonu. Ovaj proces se naravnomoze odigrati i ukoliko ka elektrodi idu neutralne cestice umesto jona, pod uslovom da one imajudovoljno energije da ga izazovu. To je npr. slucaj kod pobudenih atoma argona i neona.(Inace, energije jonizacije su reda eV ako te neko pita.)

15

13 Brzina procesa

Cestice jonizovanog gasa se krecu haoticno, i procesi koji se u gasu desavaju prilikom inter-akcije elektrona sa drugim cesticama (pobudivanje, jonizacija, rekombinacija...) karakterisani supresecima koji zavise od energije elektrona (tj. od brzine):

ν = σ(v)nv

gde je ν - broj interakcija u jedinici vremena (na jednoj meti). Dakle imamo:

K = n0σ(v)npv

gde je K - broj interakcija u jedinici vremena u jedinici zapremine, n0 je koncentracija meta (cesticagasa), a np - koncentracija projektila (elektrona). Tada je:

dK = n0σ(v)vdne

gde je dne koncentracija elektrona kojima su brzine u intervalu (v, v+ dv). Ako je n0e ukupan broj

elektrona, onda je:dne = n0

ef(v)dv =⇒

dK = n0σ(v)vn0ef(v)dv =⇒

K =

∫ ∞0

n0σ(v)vn0ef(v)dv ≡ n0n

0e〈σ(v)v〉 ≡ n0n

0eS

gde je S =∫∞

0σ(v)vf(v)dv.

Dakle, ako imamo jednu cesticu mete i projektile koncentracije n koji se ka meti krecu brznom v,onda nam je proces definisan velicinom σ. Ukoliko imamo veliki broj meta, moramo uzeti u obzirraspodelu po brzinama, pa se proces definise velicinom S koja predstavlja brzinu procesa. Postonam raspodela po brzinama zavisi od temperature, onda nam i S zavisi od temperature. S daklepredstavlja broj procesa date vrste u jedinici vremena u jedinici zapremine po jednoj cestici metei jednom elektronu.

16

14 Usmereno kretanje elektrona - drift

Pored haoticnog termalnog kretanja, naelektrisane cestice mogu imati i usmerenu komponentubrzine. Do pojave usmerenog kretanja moze doci zbog difuzije ili elektricnog polja. Ova dva procesase javljaju istovremeno. Spoljasnje elektricno polje uzrokuje prostornu preraspodelu cestica, cimestvara gradijent koncentracije usled kog dolazi do difuzije. S druge strane, difuzija, zbog razlicitekoncentracije naelektrisanih cestica u prostoru, dovodi do stvaranja elektricnog polja.

U opisu sistema koji se sastoji od cestica gasa, slobodnih elektrona i spoljasnjeg elektricnog poljaimamo dva pristupa:

1. Grubi pristup - pretpostavimo sledece:

• Brzina usmerenog kretanja elektrona je mnogo manja od srednje termalne brzine: u v.

• Rasejanje elektrona je izotropno.

• Srednji slobodni put elektrona ne zavisi od brzine: λ 6= λ(v).

Elektroni se tokom haoticnog kretanja sudaraju sa neutralnim cesticama gasa. Svaki elektron,izmedu dva sudara, biva ubrzan spoljasnjim poljem koje mu daje ubrzanje a = eE

m . Akopretpostavimo da u sudaru elektron gubi usmerenu komponentu brzine, onda je rastojanje

koje elektron prede izmedu dva sudara u pravcu polja jednako: x = 12aτ

2 = eEm

τ2

2 .Kako smo pretpostavili da se elektroni krecu srednjom termalnom brzinom, onda je srednjevreme izmedu dva sudara jednako: τ = λ

〈v〉 . Tada je (srenja) usmerena komponenta brzine

koju elektron stice izmedu dva sudara jednaka:

ue =x

τ=

1

2

e

m

λ

〈v〉E ≡ beE

gde be ≡ eλ2m〈v〉 nazivamo pokretljivoscu elektrona.

2. Finiji (tacniji) pristup - zahteva uzimanje u obzir cinjenice da termalne brzine elektronanisu konstantne vec se pokoravaju nekoj raspodeli. Tada se mora izvrsiti usrednjavanje svihbrzina i svih slobodnih puteva. Posmatramo grupu elektrona brzine v ciji je srednji slobodniput u intervalu [λ, λ+ dλ]. Tada je:

dnv,x =nvλe−

xλ dx

Ukoliko pretpostavimo uniformnu raspodelu nv = const. onda je srednja brzina usmerenogkretanja elektrona brzine v jednaka:

uv =1

nv

∫ x=∞

x=0

uv,xdnv,x =1

nv

∫ ∞0

eExnv2mvλ

e−xλ dx =

eE

2mvλ

∫ ∞0

xe−xλ dx =

eEλ

2mv

Ukoliko s druge strane pretpostavimo Maksvelovu raspodelu elektrona po brzinama:

dnv = n0

√2

π

(m

kBT

) 32

v2e− mv2

2kBT dv

tada se istim postupkom kao malopre dobija:

ue =eEλ

2m

√2m

πkBT

pa se, pomocu srednje aritmeticke brzine elektrona v =√

8kBTπm moze zapisati:

ue =2

π

eλ

mvE ≡ beE

Dakle, sada je pokretljivost elektrona data sa be ≡ 2πeλmv .

17

15 Uticaj elektricnog polja na pokretljivost elektrona

Posmatrajmo kretanje elektrona duz polja od tacke A do tacke B.

S je stvarna trajektorija, x je trajektorija duz polja.

Deo energije koju elektron dobije od polja predaje atomu gasa pri sudaru. Ako je energija presudara bila W , nakon sudara ce biti W − δW gde je δ ∝ m

M . U pocetku, elektroni u sudarimapredaju manje energije nego sto dobiju od polja izmedu dva sudara. Kasnije nastupa ravnotezagde elektron gubi svu tu energiju i gde se elektroni pokoravaju nekoj raspodeli po brzinama. Akoje x pomeraj duz pravca polja, a S stvarni predeni put, onda je:

x

S=ueve

i broj sudara koje na putu S elektron pretrpi je:

ν =S

λ=x

λ

veue

=π

2

xmv2e

λ2eE

Srednja kineticka energija je W = 3πm16 v2, gde je v srednja aritmeticka brzina: v =

√8kBTπm , pa je:

ν =8

3

xW

eEλ2

Na putu x elektron od polja dobija energiju eEx, dok u sudarima gubi νδW . Posto se uspostavljaravnoteza, dobijena energija bice jednaka izgubljenoj pa je:

eEx = νδW = δW8

3

xW

eEλ2=⇒ W =

3

8

e2E2λ2

xδW≡ v2

e

2m

Odakle se nekako dobija pokretljivost kao be = ueE .

Rekao bih da je ovo kompletno sjebano.

18

16 Pokretljivost i drift jona - osnovne ideje Lanzevenoveteorije

Usmereno kretanje jona u gasu se u principu ne razlikuje od usmerenog kretanja elektrona.Zbog velike mase jona, mo ze se uzeti da su sudari sa neutralnim cesticama gasa prakticno uvekelasticni, cak i u slucaju jakog elektricnog polja. Usled relativno sporog kretanja jona u blizinimolekula dolazi do polarizacije molekula. I kada su daleko jedan od drugog, izmedu jona i polari-zovanog molekula dolazi, usled elektrostaticke interakcije, do razmene impulsa.

Elektricni dipolni moment se moze izraziti pomocu vektora polarizacije ~P kao: ~p =~Pn , gde je

n - koncentracija molekula.

Pomocu vektora polarizacije molekula i jacine elektricnog polja, moze se izraziti dielektricnapropustljivost: η = P

ε0E.

Ako je jacina polja koje generise jon na mestu gde se nalazi molekul Ej , u molekulu ce se indu-

kovati dipolni moment ~p = ηε0n~Ej = (εr − 1)

ε0 ~Ejn , gde je εr = 1 + η - relativna dielektricna

propustljivost. Takode, vazi i: Ej = 14πε0

er2 , pa je:

p =εr − 1

4πn

e

r2

Na velikom rastojanju, ovaj dipol stvara elektricno polje intenziteta:

E =1

4πε0

2p

r3=εr − 1

4πε0

e

2πn

1

r5

Pokretljivost je proporcionalna vremenu izmedu dva sudara kao:

bj ∝(mM

)τ

gde je τ vreme za koje jon prede prosecno rastojanje izmedu dva molekula R = n−13 , i moze se

izraziti preko usmerene brzine jona kao:

τ =

∫ R

0

dr

uj=

∫ R

0

dr

bjE=

∫ R

0

4πε0

εr − 1

2πn

ebjr5dr =

4πε0

εr − 1

2πn

ebj

R6

6=

4πε0

εr − 1

2πn

bje

1

6n2=

4πε0

εr − 1

π

3

1

bjen=⇒

=⇒ bj = 2π

(ε0

3ρ(εr − 1)

) 12

gde je ρ = Mn - gustina gasa. Posto je ρ ∝ (εr − 1), sledi da je bjρ = const.

Ovo sve vazi u slucaju normalnih koncentracija i slabog elektricnog polja. Sve u svemu, nekouopstenije resenje bila bi pokretljivost oblika:

bj = A

(1 + M

Mj

ρ(εr − 1)

) 12

gde je M - masa neutralnog molekula/atoma, a Mj - masa jona. A je neki broj koji zavisi odtemperature i relativne dielektricne propustljivosti.

19

17 Difuzija elektrona i jona - Ajnstajnova formula

Postojanje gradijenta koncentracije naelektrisanih cestica u jonizovanom gasu dovodi do difu-zije:

Γ = −D∂n∂x

gde je Γ = nv - difuzioni fluks, a D - koeficijent difuzije: D = 13λv.

Kada su koncentracije elektrona i jona mnogo manje od koncentracije neutralnih cestica u gasu,koeficijenti difuzije za elektrone i jone su redom:

De =1

3λeve , Dj =

1

3λjvj

Ukoliko imamo spoljasnje elektricno polje, ono ce uzrokovati pojavu usmerenog kretanja elektronai jona usled cega dolazi do stvaranja gradijenta koncentracije a samim tim i difuzije:

Usled difuzionog kretanja, pojavice se gustina struje:

j = −qD∂n∂x

dok ce struja koja je posledica spoljasnjeg elektricnog polja imati oblik:

j = qnu = qnbE

Ukoliko koncentraciju modelujemo na Bolcmanovu raspodelu: n = n0e− qukBT , tada nam je gustina

struje koja je posledica difuzionog kretanja data sa:

j = −qDn0e− qukBT

(− q

kBT

du

dx

)≡ −qDn q

kBTE

posto je E = −dudx . Kada se uspostavi ravnoteza, ukupna struja je nula, pa je:

qnBE − qDn q

kBTE = 0 =⇒ b =

Dq

kBT=⇒ b

D=

q

kBT

sto predstavlja Ajnstajnovu relaciju. Ona vazi za sve vrste naelektrisanja koja se pokoravajuklasicnoj statistici, pa je za elektrone: be

De= e

kBTe, dok je za jone:

bjDj

= qkBTj

. Ova formula je

vazna zato sto povezuje dva transportna koeficijenta od kojih se jedan (pokretljivost) mnogo laksemeri.

20

18 Ambipolarna difuzija

Posmatrajmo gas kroz koji propustamo snop UV sracenja, koji taj gas jonizuje. Zbog vecegkoeficijenta difuzije, elektroni ce prvi difundovati, usled cega ce se stvoriti radijalno elektricnopolje. To elektricno polje zatim pocinje da povlaci pozitivne jone, tako da se ubrzo uspostavljazajednicka brzina transporta elektrona i jona. U ravnoteznom stanju, broj elektrona i jona kojise rekombinuju na zidovima jednak je broju elektrona i jona koji nastaju jonizacijom. Jednakeradijalne brzine elektrona i jona znace da su im i fluksevi jednaki: Γe ∼ Γj ∼ Γ. Ako uzmemo uobzir i to da su im i koncentracije jednake: ne ∼ nj ∼ n, onda je:

Γe = −Dedndx− nbeE , Γj = −Dj

dn

dx+ nbjE

Ako prvu jednacinu pomnozimo sa bj , a drugu sa be a zatim ih saberemo, dobijamo:

Γ(bj + be) = −(Debj +Djbe)dn

dx=⇒

Γ = −Debj +Djbebj + be

dn

dx≡ −Da

dn

dx

gde koeficijent Da nazivamo koeficijentom zajednicke, tzv. ambipolarne difuzije.

Posto je pokretljivost elektrona mnogo veca od pokretljivosti jona, be bj , moze se pisati:

Da ≈ Dj +bjbeDe = bj

(Dj

bj+De

be

)Koristeci Ajnstajnovu relaciju: D

b = kBTq , dobijamo:

Da = bjkBe

(Te + Tj)

U slucaju niskog pritiska vazi: Te Tj , pa je:

Da ≈ bjkBeTe

Formalno je dakle situacija ekvivalentna zamenom obe vrste cestica jednom vrstom sa izmenjenimkoeficijentom difuzije.

21

19 Nesamostalno praznjenje

Pod nesamostalnim praznjenjem podrazumeva se protok struje kroz gas u prisustvu spo-ljasnjeg izvora jonizujuceg zracenja. Prvo sto treba da utvrdimo je kako izgleda zavisnost te strujeod napona na elektrodi. U pocetku, kada mali napon dovodimo na elektrode, zavisnost struje odnapona je priblizno linearna. U toj oblasti, napon nije dovoljno jak da dovede do toga da svestvorene naelektrisane cestice dodu do katode, odnosno anode. Zatim grafik ulazi u neku vrstuplatoa, kada je napon dovoljno veliki da naelektrisane cestice dodu do katode/anode. U toj oblasti,povecanjem napona ne dolazi do povecanja struje posto sve naelektrisane cestice koje su stvorenevec stizu do elektroda. Dalje, struja opet raste sa porastom napona posto je elektricno poljetoliko jako da njim ubrzane naelektrisane cestice imaju dovoljnu energiju da samostalno izazovujonizaciju cime generisu nove naelektrisane cestice koje bivaju usmerene ka elektrodama.

Ove tri nabrojane oblasti grafika nazivaju se Tausendove oblasti.

U prvoj Tausendovoj oblasti desavaju se tri relevantna procesa:

1. Stvaranje naelektrisanih cestica - naelektrisane cestice se stvaraju jonizacijom neutralnihcestica gasa od strane spoljasnjeg izvora zracenja. Ovaj proces opisuje se brzinom procesajonizacije η.

2. Zapreminska rekombinacija - naelektrisane cestice koje se stvore jonizacijom mogu da nedodu na elektrode posto napon nije veliki, i umesto toga se mogu rekombinovati cime ponovostvaraju neutralnu cesticu. Ovaj proces opisuje se koeficijentom zapreminske rekombinacijeβ.

3. Procesi na elektrodama - predstavljaju drugi nacin nestajanja naelektrisanih cestica izsistema (pored rekombinacije). Osnovne stvari koje moramo znati o elektrodama su njihovapovrsina S, i rastojanje izmedu njih, d.

Interesuje nas kako se koncentracija cestica menja sa vremenom (za koncentracije negativnih ipozitivnih naelektrisanja uzimamo da su jednake). Mnozenjem dn

dt sa zapreminom praznjenja dS,dobijamo kako se ukupan broj cestica menja sa vremenom:

(d · S)dn

dt= η(d · S)− βn2(d · S)− jS

e/ : (d · S) =⇒

dn

dt= η − βn2 − j

edLeva strana jednakosti predstavlja promenu koncentracije naelektrisanih cestica sa vremenom.Svaki od clanova sa desne strane predstavlja doprinos svakog od tri navedena procesa, respektivno.Nas interesuje stanje u kom se struja ne menja sa vremenom, i njega dobijamo iz dn

dt = 0, pa je:

η = βn2 + jed .

U prvoj oblasti, napon i struja su mali, pa mozemo uzeti da je clan sa j mnogo manji od druga

dva, pa je: n =√

ηβ Medutim, to ne znaci da se struja ne moze izmeriti, naprotiv:

j = en(be + bj)u

d= e

√η

β(be + bj)

u

d

Ukoliko dovoljno povecamo napon, vazice: βn2 jed =⇒ η = j

ed =⇒ j = ηed, odnosno strujase nece menjati sa naponom.

22

20 Druga Tausendova oblast - koeficijent α

U ovoj oblasti struja pocinje da raste sa naponom, posto je elektricno polje dovoljno veliko daubrza elektrone do energije gde oni mogu u sudarima i sami izazvati jonizaciju neutralnih cesticagasa. Kako bismo opisali ovaj proces, uvodimo koeficijent α - broj jonizacionih sudara koje izvrsijedan elektron po jedinici puta u pravcu polja. Ovaj koeficijent jednak je kolicniku frekvencejonizacije i brzine drifta:

α =ν

ue

Pretpostavimo sledece:

1. Verovatnoca jonizacije jednaka je 1 ukoliko je energija elektrona veca ili jednaka energijijonizacije neutralne cestice gasa, i jednaka je 0 u suprotnom, tj.

ωj =

1, eU ≥ eUj0, eU ≤ eUj

2. Brzina haoticnog kretanja elektrona je mnogo manja od usmerene komponente brzine, tj.u v.

3. U svakom sudaru, elektron u potpunosti gubi energiju koju je stekao pre sudara.

Da bi dobio dovoljnu energiju da jonizuje cestice gasa elektron mora preci put duzine l tako da jeeEl ≥ eUj . Verovatnoca da elektron prede to rastojanje je e−

lλ , tako da ce koncentracija elektrona

koji ce preci duzinu l biti: ne−lλ . Broj sudara elektrona po jedinici duzine dat je efektivnim

presekom: Q = Q0p = 1λ . Broj jonizujucih elektrona po jedinici duzine je:

α = Q0pe− lλ = Q0pe

−Q0pUjE =⇒ α

p= Q0e

−Q0UjE/p ≡ Ae−

BE/p

gde je A = Q0 i B = Q0Uj . Ovde je inace p - pritisak gasa.

23

21 Druga Tausendova oblast - koeficijent multiplikacije

Pretpostavimo da katodu obasjavamo UV svetloscu. Tada ona emituje elektrone. Na rastojanjux od katode, kroz jedinicnu povrsinu prolazi N elektrona u jedinici vremena, pod dejstvom polja.Zbog jonizujucih sudara, ovi elektroni na putu dx stvaraju dN novih elektrona (i jona), pa jedN = αNdx, gde α oznacava broj novih elektrona koji nastanu po jedinici puta. Tada je relativnouvecanje broja elektrona jednako dN

N = αx. Ako je broj elektrona koji polaze sa katode u jedinicivremena jednak N0, tada je broj elektrona koji u jedinici vremena stizu na anodu jednak N =N0e

αd, pa imamo povecanje gustine struje:

j = j0eαd

gde je j0 - struja saturacije elektrona emitovanih fotoefektom.

Odnos NN0

= eαd naziva se koeficijentom multiplikacije elektrona u prostoru izmedu elektroda.

U stacionarnom stanju, broj elektrona koji stize na anodu u jedinici vremena jednak je brojujona koji stizu na katodu.

24

22 Uslov proboja u gasu

U 3. Tausendovoj oblasti, napon je toliko veliki da i joni sticu dovoljno energije da jonizujudruge cestice, medutim, taj efekat je zanemarljiv u odnosu na cinjenicu da ti joni izbijaju se-kundarne elektrone sa povrsine katode. Neka svaki jon izbije γ sekundarnih elektrona. Tada sapovrsine katode u jedinici vremena polazi Nk = N0 +Nsek, dok na anodu, zbog multiplikacije, stizeN elektrona. Ovde je broj sekundarno emitovanih elektrona jednak Nsek = γ(N −Nk), odnosno:

Nk =N0 + γN

1 + γ

dok je ukupan broj elektrona koji stizu do anode jednak:

N = Nkeαd = N0

eαd

1− γ(eαd − 1)=⇒ j = j0

eαd

1− γ(eαd − 1)

Faktor multiplikacije je, dakle, u ovom slucaju veci:

N

N0=

j

j0=

eαd

1− γ(eαd − 1)

Iz ovoga mozemo dobiti uslov za proboj, uzimajuci da u trenutku proboja struja naglo poraste:

j →∞ =⇒ 1− γ(eαd − 1) = 0 =⇒ γ(eαd − 1) = 1

sto predstavlja uslov proboja.

25

23 Napon proboja, Pasenove krive

Iz uslova proboja sledi: eαd = 1+ 1γ , odnosno: αd = ln

(1 + 1

γ

). Tausendov koeficijent α dat je

relacijom α = Ape−BE/p . Odatle je: ln

(1 + 1

γ

)= Apde−

BE/p . Vrednost elektricnog polja u slucaju

proboja je Ep =Upd , pa je:

ln

(1 +

1

γ

)= Apde

− BUppd =⇒ − B

Updp

= ln

(1

Apdln

(1 +

1

γ

))=⇒

Up =Bpd

ln

(A

ln(1+ 1γ )pd

) = f(pd)

cime smo dobili napon proboja.

Krive zavisnosti napona proboja od pd imaju minimume, i to razlicite za razlicite gasove:

Razlog postojanja minimuma lezi u cinjenici da je broj molekula izmedu elektroda proporci-onalan sa pd. U slucaju malog pritiska, gas je razreden, srednji slobodni put veliki i frekvencijasudara, pa samim tim i jonizujucih sudara, mala. Prema tome, da bi se obezbedio proboj, potre-ban je napon toliko veci koliko je pritisak manji. Minimum napona proboja, (Up)min, nalazimo nastandardan nacin:

∂Up∂(pd)

= 0 =⇒ ln

A

ln(

1 + 1γ

)pd

= 1 =⇒

(Up)min =B

Aeln

(1 +

1

γ

)Za helijum je minimalni napon proboja jednak 150V, za neon 244V, za H2 265V, a za vazduh330V.

26

24 Samostalno praznjenje, opste karakteristike

Kada se dostigne napon proboja, nesamostalno praznjenje prelazi u samostalno. Koji ce tipsamostalnog praznjenja da se desi zavisice od mnogo faktora, a u prvom redu od pritiska gasa,elektricnog otpora spoljasnjeg kola, oblika elektroda i njihovog rastojanja. Sam prelaz sa nesamo-stalnog na samostalno praznjenje je dosta neodreden i odigrava se kada struja dostigne jacinu reda10−5A.

Oblasti nesamostalnog praznjenja, subnormalnog, normalnog i abnormalnog tinjavog praznjenja ilucnog praznjenja.

• Tinjavo praznjenje - uspostavlja se kada je pritisak gasa mali (10-1000 Pa), a otpor spo-ljasnjeg kola veliki. Karakterise se nizom svetlih i tamnih oblasti u blizini katode, sto stvarautisak da katoda sija. U tinjavom praznjenju, elektroni se emituju sa katode usled sudara jonasa katodom i delimicno usled zracenja fotona. Kada posmatramo katodu tokom praznjenja,vidimo da se praznjenje odigrava samo u jednom delu. Povecanjem napona, menja se povrsinatog dela i to srazmerno jacini struje.

• Astonov prostor - prvi taman prostor uz samu katodu. U ovoj oblasti, elektroni kojipolaze sa katode jos uvek nemaju dovoljno energije za pobudivanje cestica gasa. Ova oblastje vidljiva samo u inertnim gasovima koji se tesko ekscituju.

• Katodni svetleci sloj - oblast u kojoj elektroni imaju dovoljno energije da ekscituju atomegasa.

• Katodni tamni prostor - oblast u kojoj dolazi do jonizacije, a ne ekscitacije.

• Negativno svetljenje - pocinje na mestu gde intenzivno dolazi do pobudivanja atoma gasa.Iz katodne oblasti dolaze dve grupe elektrona - oni koji su doziveli sudar i oni koji nisu. Zbogekscitovanja atoma gasa, ovde dolazi do daljeg smanjenja energije elektrona i na kraju oveoblasti dolazi do rekombinacije pracene zracenjem rekombinacionog kontinuuma.

• Faradejev tamni prostor - oblast u kojoj elektroni zbog male brzine slabo pobuduju atomegasa. Tu se odigrava transformacija usmerenog kretanja elektrona u haoticno. Pred sam kraj,elektricno polje opet raste i pojavljuje se zracenje.

• Pozitivni stub - nastaje na mestu gde je haoticna brzina elektrona dovoljna za vrsenjejonizacije i ekscitacije. Ta brzina je veca od usmerene usled slabog elektricnog polja, koje jeslabo zbog jednakosti prostornih naelektrisanja. Pozitivni stub je dakle u plazmenom stanju.Zbog vece pokretljivosti, elektroni su glavni nosioci struje i brze difunduju na zidovima cevisto uzrokuje stvaranje radijalnog elektricnog polja.

• Anodni prostor - u blizini anode elektroni bivaju povuceni, a joni odbijeni zbog cega sestvara anodni pad potencijala. Elektron koji izlazi iz pozitivnog stuba biva ubrzan i kasnijedobija dovoljnu energiju da ekscituje atome gasa u blizini anode stvarajuci anodnu svetlost.

27

25 Katodna oblast samostalnog praznjenja

Pretpostavlja se da elektricno polje u katodnoj oblasti opada linearno sto je u dobroj meripotvrdeno eksperimentom.

Intenzitet elektricnog polja je oblika:

E(x) = E0

(x

dk− 1

)gde je dk rastojanje na kom elektricno polje postaje nula. Jedna Maksvelova jednacina daje:∇ · ~E = ρ

ε0⇐⇒ dE

dx = ρε0

. Odatle je:

ρ = ε0dE

dx=ε0E0

dk

Gustina jonske struje na katodu je: (ji)k = ρbjE0, tako da je gustina struje elektrona sa katode:(je)k = γ(ji)k. Ukupna gustina struje je:

jk = (ji)k + (je)k = (1 + γ)ρbjE0 = (1 + γ)ε0bjdk

E20

Ovako dakle gustina struje na katodi zavisi od elektricnog polja na katodi. Posto se meri napon ane elektricno polje, nalazimo zavisnost gustine struje od napona:

Uk = −∫ dk

0

Edx = E0

∫ dk

0

(1− x

dk

)dx =

E0dk2

=⇒ E0 =2Ukdk

=⇒ jk = (1 + γ)4ε0bjd3k

U2k

Sada nam je cilj uklanjanje dk iz prethodnog izraza, i za to koristimo uslov stacionarnosti praznjenjaza slucaj nehomogenog polja:(

1 +1

γ

)=

∫ dk

0

αdx = Ap

∫ dk

0

e− BpE0(1− x

dk)dx

Uvodimo smenu: BpE0(1− x

dk) = 1

y =⇒ dx = −BpdkE0dy =⇒

ln

(1 +

1

γ

)=ABp2dkE0

S

(E0

Bp

)=ABp2d2

k

2UkS

(2UkBpdk

)

gde je S(E0

Bp

)= −

∫ E0Bp

0 e−1y dy Ako uzmemo izraz za zavisnost j od Uk i iz njega izrazimo dk,

dobijamo:

dk =4ε0U

2k bi(1 + γ)

13

j

28

Sada to menjamo u gornji izraz za ln(

1 + 1γ

), i dobijamo:

1 =(C1Uk)

13

(C2j)23

S[(C1UkC2j)

13

]gde su C1 i C2 dati sa:

C1 =2A

Bln(

1 + 1γ

) ; C2 =ln(

1 + 1γ

)ε0AB2p2(bip)(1 + γ)

29

26 Pozitivni stub na niskim pritiscima

Ukoliko je pritisak gasa takav da je srednji slobodni put molekula gasa mnogo veci od dimenzijasuda, tada govorimo o niskom pritisku. Jednacina ravnoteze plazme na niskim pritiscima postavljase na osnovu pretpostavki:

• Joni se kreiraju u procesima sudara elektrona sa atomima i nestaju rekombinacijom na zido-vima cevi za praznjenje.

• Elektroni kao mnogo pokretljiviji brzo dolaze do zidova cevi i elektrisu ih negativno. Plazmazbog toga postaje pozitivnija i stvara se radijalno elektricno polje Er koje ubrzava jone, kojise zbog malog pritiska priblizno slobodno krecu ka zidovima i postaju neutralni kada do njihdodu.

• Slobodni elektroni krecuci se ka zidovima nailaze na kocece elektricno polje. Samo oni najbrziga savladavaju i bivaju rekombinovani sa nekim jonom. Ostali osciluju izmedu zidova poko-ravajuci se Maksvelovoj raspodeli po brzinama, gde im je koncentracija data Bolcmanovomraspodelom:

ne(r) = ne,0eeU(r)kBTe

gde je ne,0 - koncentracija na osi cevi (za r = 0 i U(0) = 0).

• Uzima se da je radijalna brzina jona u trenutku njihovog stvaranja jednaka nuli.

Neka se na rastojanju x od ose jonizacijom stvara Nx jona u jedinici vremena i jedinici zapremine.U zapremini dV1 za dτ sekundi obrazuje se NxdV1dτ = NxdxdS1dτ jona.

Oni za vreme dτ predu, u radijalom pravcu, put dr = vx,rdτ posle prelaska rastojanja r odose. Brzinu vx,r su, inace, dobili za vreme kretanja u elektricnom polju od x do r. Na ovaj nacinobrazuje se zapremina dV2 u kojoj se nalaze svi joni koji su na rastojanju x od ose stvoreni zavreme dτ . Koncentracija jona u toj zapremini dV2 = dS2dr bice:

dnj =NxdV1dτ

dV2=NxdS1dxdτ

dS2dr= Nx

x

r

dx

vx,r

posto je dS1

dS2= x

r . Ukupna koncentracija na rastojanju r ce biti:

nj =1

r

∫ r

0

Nxx

vx,rdx

Posle zamene u Poasonovu jednacinu: ∆U = − eε0

(nj − ne) dobija se:

∆U − e

ε0n0e

eUkBTe +

e

rε0

∫ r

0

Nxx

vx,rdx = 0

30

Ova jednacina opisuje ne samo plazmu pozitivnog stuba vec i sloj sa pozitivnim prostornim nae-lektrisanjem. Ako se uvede nova promenljiva: η = − eU

kBTe, jednacina postaje:

ε0kBTee2n0

∆η + e−η − 1

n0r

∫ r

0

Nxx

vx,rdx = 0

Brzina jona na rastojanju r od ose ce biti:

vx,r =

(2e(Ux − Ur)

mj

) 12

=

(2kBTe

ηr − ηxmj

) 12

Ako se pretpostavi da se joni obrazuju u procesu direktne sudarne jonizacije, tada je Nx propor-cionalno koncentraciji elektrona na rastojanju x od ose, tj:

Nx = νjn0e−ηx

gde je νj frekvencija jonizacije, a ηx = eU(x)kBTe

. Zamenom vrednosti za Nx dobija se:

ε0kBTee2ε0

∆η + e−η − νj(

mj

2kBTe

) 12 1

r

∫ r

0

xe−ηx(ηr − ηx)12 dx = 0

Ako se jos uvede smena: s = βr, gde je β = νj(mj/2kBTe)1/2, tada je:

ε0mjν2j

2e2n0∆η + e−η − 1

s

∫ s

0

sxe−ηx(ηr − ηx)−

12 dsx = 0

Posto je u plazmi pozitivnog stuba ukupna gustina prostornog naelektrisanja jednaka nuli, to je i∆U = 0, pa je i ∆η = 0, pa jednacina postaje:

e−η − 1

s

∫ s

0

sxe−ηx(ηr − ηx)−

12 dsx = 0

Zbog slozenosti resavanja ove jednacine, predlozeno je resenje oblika:

s = η12 (1− 0.2η − 0.026η2 − 0.00649η3 − ...)

Iz ovog resenja sledi da dηds kod odredenih vrednosti η = η0 i s = s0 prelazi u beskonacnost, a za

η > η0 pocinje da opada. To znaci da d2sdη2 u tacki η0, s0 prolazi kroz nulu, a dη

ds u toj tacki tezibeskonacnosti.

Ocigledno je da su s0 i η0 granicne vrednosti kod kojih jos vazi jednacina plazme. Prethodnonapisano resenje za s omogucava proracun radijalne raspodele potencijala koji je prikazan na slici:

U slucaju cilindricne plazme za vrednosti s = s0 ili r = r0 = s0/β pocinje sloj prostornognaelektrisanja. Ova oblast je vrlo tanka i nalazi se prakticno uz sam zid cevi za praznjenje, takoda se moze uzeti da je r0 = R (poluprecnik cevi). Tada je:

β =s

r=s0

R= νj

(mj

2kBTe

) 12

31

ili:

νj =s0

R

(2kBTemj

) 12

Po nekim proracunima, vrednosti za s0 i η0 su: s0 = 0.7722 i η0 = 1.155. Prethodna jednacina sezove jednacina ravnoteze plazme pozitivnog stuba na niskim pritiscima, i iz nje mozemoodrediti temperaturu elektrona ukoliko znamo vrstu gasa, presek za jonizaciju i poluprecnik cevi.

32

27 Pozitivni stub u difuznom rezimu

Pod uslovima veceg pritiska (izmedu 10 i 1000Pa) srednji slobodni put cestica plazme je mnogomanji od dimenzija cevi. Umesto slobodnog kretanja, u tom slucaju dominantno je difuzno kreta-nje. Pretpostavljacemo da se stvaranje naeektrisanih cestica vrsi u procesima direktne sudarne jo-nizacije a da se rekombinacija vrsi na zidovima cevi. U ovom slucaju se joni i elektroni u radijalnomelektricnom polju krecu difuzno brzinom ambipolarne difuzije. Vremenska promena koncentracijeelektrona i jona u slucaju postojanja gradijenta koncentracije i elektricnog polja moze se izrazitijednacinama:

dnedt

= −Dednedr− nebeEr

dnjdt

= −Djdnjdr− njbjEr

U stacionarnom stanju je dnedt =

dnjdt ≡

dndt , posto je u plazmi ne = nj ≡ n. Dakle, iz prethodnih

jednacina sledi:dn

dt≡ N = −bjDe − beDj

bj − bedn

dr≡ −Da

dn

dr

gde smo sa N oznacili broj jona (ili elektrona) koji zbog difuzije nestaje u jedinici vremena izjedinicne zapremine.

Posmatrajmo ravnotezu naelektrisanih cestica u elementarnoj zapremini 2rπdr (elementarni ci-lindar jedinicne duzine, slika).

Neka je N(r) broj jona koji, krecuci se radijalno, prolaze kroz jedinicu unutrasnje povrsinetog cilindra u jedinicu duzine cilindra ulazice N(r)2rπ jona u jedinici vremena a za isto vremekroz spoljasnji zid cilindra izlazice N(r + dr)2(r + dr)π jona. Zbog procesa sudarne jonizacije uunutrasnjosti elementarnog cilindra stvarace se νjne2rdr novih jona. Posto se uspostavi ravnotezamoze se pisati:

2rπN(r) + νjn2πrdr = N(r + dr)2π(r + dr)

Ako se N(r+dr) raspise u red: N(r)+r dNdr dr i uzme samo prvi clan, prethodna jednacina postaje:

νjnr = rdN

dr+N

Pored toga, ako se zameni i vrednost za N , dobija se:

d2n

dr2+

1

r

dn

dr+

νjDa

n = 0

Ovo je Beselova jednacina cije je resenje: n = n0J0

(r√

νjDa

). Oblik funkcije J0(x) moze se videti

na narednoj slici:

33

Posto je J0(0) = 1, to je n0 zapravo koncentracija elektrona na osi cevi za praznjenje. Uslove

na zidu cevi odreduje vrednost za x = r(νjDa

) 12

= 2.405 kada je J0 jednako nuli. Dakle, jednacina

ravnoteze plazme pozitivnog stuba za difuzioni slucaj je:

R

√νjDa

= 2.405

34

28 Aksijalna komponenta elektricnog polja i aksijalna strujapraznjenja

28.1 Aksijalna komponenta elektricnog polja

Aksijalna komponenta elektricnog polja u plazmi pozitivnog stuba se lako meri iz razlike poten-cijala dve metalne elektrode koje se nalaze na dva mesta unutar stuba. Iz dobijenih vrednosti, uzpretpostavku da se snaga oslobodena tokom elektricne struje gubi na jonizaciju, moze se odredititemperatura elektrona. Zbog toga sto se deo snage gubi na zracenje i druge procese, ova pretpo-stavka je samo do odredene mere tacna. Stvarna vrednost temperature je zbog toga nesto manja,no bez obzira na to ovaj metod se cesto koristi za prvu ocenu vrednosti temperature pod datimokolnostima. Ravnoteza oslobodene i utrosene snage se moze izraziti jednacinom:

jEz = νjneeUj

Posto je gustina struje data sa:j = ene(be + bj)Ez

iz prethodne jednacine sledi:

νj =jEzneeUj

=(be + bj)

UjE2z

Zamenom ovog izraza u jednacinu ravnoteze za slucaj slobodnog pada dobija se:

νj =0.77

R

(2kBTemj

) 12

odnosno za difuzioni rezim:

R2

(νjDa

)= 2.4052

(nzm zasto pisem ova sranja kad ih nauciti necu) dobijaju se izrazi za jacinu elektricnog poljau funkciji temperature elektrona, pritiska gasa i karakteristicnih velicina za dati gas. Za slucajslobodnog pada:

Ez =

[0.77Ujp

R(be + bj)

(2kBTemj

) 12

] 12

odnosno za difuzioni rezim:

Ez =2.405

R

[DaUj

(be + bj)

] 12

Teorijski je vrlo tesko odrediti koji deo unete snage se gubi na druge procese.

28.2 Aksijalna struja praznjenja

Vrednost elektricne struje koja u aksijalnom pravcu tece kroz pozitivan stub pretpostavljajucida su elektroni, zbog mnogo vece pokretljivosti, glavni nosioci struje, moze se izracunati ako sezna kakva je aksijalna raspodela koncentracije elektrona. Opsti izraz za jacinu aksijalne struje podnavedenim pretpostavkama je:

Iz = 2πe

∫ R

0

beEzne(r)rdr

Za difuzioni rezim, kada je raspodela koncentracije Beselova, dobija se:

Iz(dif.) = 0.432πR2ene0beEz

sto daje vrlo dobro slaganje sa eksperimentalnim vrednostima.

35

29 Struja jona na zidove cevi

Ako se prihvati pretpostavka da u pozitivnom stubu joni nestaju odlaskom na zid cevi zapraznjenje gde se rekombinuju, broj jona koji u jedinici vremena dolaze na zid jedinicne duzine,jednak je broju jona stvorenih u cevi jedinicne duzine. Ako su zapremina i povrsina jedinicneduzine cevi za praznjenje poluprecina R dati sa R2π i 2Rπ, a broj elektrona koji se nalaze ujedinicnoj duzini Ne, tada je gustina struje jona data sa:

jj =eNeνj2πR

Posto se u jedinici duzine i jedinici vremena obrazuje Neνj jona. Za slucaj slobodnog pada, zagustinu jonske struje sledi:

jj(slob.pad) =eNe

2πR2

(kBTemj

) 12

dok za difuzni rezim sledi:

jj(dif.) =eNe

2πR2Da

(2.405

R

)2

Broj elektrona po jedinici duzine pozitivnog stuba moze se naci ako je poznata raspodela koncen-tracije elektrona sa radijusom, iz:

Ne =

∫ R

0

ne(r)2πrdr

Za rezim slobodnog pada raspodela koncentracije elektrona data je Bolcmanovom formulom:

ne(r) = ne(0)eeU(r)kBTe

sto daje jacinu radijalne struje jona za ovaj slucaj:

Ir = 2.4eR2ne(0)νj

Za difuzni rezim, kada je raspodela koncentracije elektrona data Beselovom funkcijom:

ne(r) = ne(0)J0(r)

√νjDa

jacina radijalne struje jona je:Ir = 1.36eR2ne(0)νj

Dakle, manja je upola nego u slucaju slobodnog pada.

36

30 Debajeva teorija ekraniranja

Prostorna gustina naelektrisanja u plazmi je ρ = e(nj −ne) (naravno pod pretpostavkom da je

plazma najprostija moguca - (A,A+,e−)). Iz ∇ · ~E = ρε0

i ~E = −∇ϕ sledi:

∇ · ~E = −∇2ϕ =1

ε0(nj − ne)e

Posto je koncentracija elektrona i jona u plazmi data Bolcmanovom raspodelom:

nj = ne− eϕkBT ; ne = ne

eϕkBT

gde je n srednja koncentracija naelektrisanih cestica, to je:

∇2ϕ =1

ε0ne(eeϕkBT − e−

eϕkBT

)=

2

ε0ne · sh

(eϕ

kBT

)Kada je eϕ

kBT 1 tada je:

sh

(eϕ

kBT

)≈ eϕ

kBT

pa jednacina postaje:

∇2ϕ =2e2n

kBTε0ϕ ≡ ϕ

r2D

gde je rD =√

kBTε02ne2 tzv. Debajev radijus ekraniranja.

Posto je elektricno polje jedne cestice sferno simetricno, to je ∇2ϕ = 1rd2

dr2 (rϕ) = ϕr2D

, to je poten-

cijal u okolini jedne naelektrisane cestice koja je okruzena naelektrisanjima suprotnog znaka:

ϕ(r) =1

4πε0

e

re− rrD

Ovaj potencijal zove se Debaje-Hikelov (ekranirani) potencijal.

Da bi makroskopska neutralnost plazme bila zadovoljena, njene dimenzije ocigledno moraju bitimnogo vece od Debajevog radijusa. Pored toga, uzima se da je plazma idealna ako je broj cesticau Debajevoj sferi mnogo veci od 1.

37

31 Plazmena frekvencija

Teznja za elektroneutralnoscu plazme uslovljava i specificnost odziva plazme na spoljasnje elek-tromagnetno polje. Pretpostavimo da je u delu plazme AB doslo do delimicnog razdvajanja pozi-tivnih i negativnih naelektrisanja (slika):

Neka se elektroni pomere udesno za BB′ i pri tome ostave jone u oblasti AA′. Na taj nacin sestvara elektricno polje ravnog kondenzatora:

E =σ

ε0=enex

ε0

Jednacina kretanja je:

med2x

dt2= −eE = −e

2nex

ε0

Odatle se dobija plazmena frekvencija:

ωpe =

(e2neε0me

) 12

Kada se plazma nade u spoljasnjem promenljivom elektricnom polju, tada u zavisnosti od frekven-cije tog polja mogu nastupiti tri slucaja:

1. Ako je ωsp.polja ωp, tada plazma osciluje s poljem. Plazma se tada ponasa kao metal idolazi do disipacije energije. EM talasi takvih frekvencija ne prolaze kroz plazmu.

2. Ako je ωsp.polja ωp plazma nece oscilovati s poljem. Ovakvi EM talasi prolaze kroz plazmu.

3. Za ωsp.polja ≈ ωp dolazi do refleksije i apsorpcije EM talasa.

38

32 Princip rada Langmuirovih sondi

S ciljem merenja parametara plazme tinjavog praznjenja, ili drugih plazmi niskih koncentracija,u plazmu se uvodi mala elektrostaticka sonda i meri se jacina struje koja na nju tece u zavisnostiod napona.

Sama sonda se najcesce pravi od volframove zice precnika reda 0.1 mm i duzine od nekolikomm, i prikljucuje se u kolo prikazano na prethodnoj slici. Neka se sonda nalazi u mestu gde jepotencijal plazme Up kao na narednoj slici:

Elektroni plazme dolaze na sondu i brzo je elektrisu negativno. To negativno naelektrisanjesonde odbija druge elektrone tako da se u blizini sonde stvara pozitivan sloj debljine d. Samo oninajbrzi elektroni uspevaju da savladaju kocece polje i da stignu do sonde. Za d manje od slobodnogputa jona, svi joni koji udu u dvojni sloj padaju na sondu. Posto je u ravni FF’ jacina polja nula,zadatak se svodi na problem ravne diode. Gustina struje sonde je tada struja jona koja je dataLagmuirovim zakonom:

js = jjona =1

9π

√2e

m

(Up − Us)3/2

d2

gde je jjona gustina haoticne struje jona iz plazme koja zbog haoticnog kretanja pada na ravanFF’. Nadeno je da se za dovoljno negativne vrednosti Us struja sonde ne menja, sto znaci da semenja debljina sloja d. Kada se napon sonde povecava, tako da sonda postaje pozitivnija, na njupocinju da stizu i elektroni koji se ka njoj krecu a imaju kineticku energiju vecu od eU , gde jeU = Up − Us. Iz Maksvelove raspodele, broj elektrona sa brzinama u intervalu (v, v + dv) kojipadaju u jedinici vremena na jedinicu granicne povrsine FF’ je:

dnv =nev√πvv

e− v2

v2v dv

Ukupan broj elektrona koji padaju na povrsinu FF’ i koji imaju brzine u granicama od 2eUm do ∞

je:

Ne =

∫ ∞2eUm

nev√πvv

e− v2

v2v dv =

1

4neve

− eUkBTe

Gustina struje jona na sondu je prema tome:

je = Nee =1

4neeve

− eUkBTe = jhaot.e

− eUkBTe

39

gde je jhaot. = 14neve struja elektrona prouzrokovana haoticnim, termalnim kretanjem elektrona

plazme. Logaritmovanjem prethodnog izraza dobija se:

ln(je) = ln(jhaot.)−eU

kBTe=⇒ dln(js)

dU= − e

kBTe

posto je js ≈ je. Posto je U = Up − Us, a potencijal plazme u mestu gde se nalazi sonda jekonstantan, sledi da je dU = −dUs. Prethodna jednacina tada prelazi u:

dln(js)

dUs=

e

kBTe

i moze da posluzi za nalazenje temperature elektrona.

Zanimljivo je da sonda ne daje podatke o temperaturi jona. Poznato je da u plazmama niskihkoncentracija joni imaju temperaturu blisku temperaturi neutralnih atoma. U cilju odvajanjaelektricnog kola sonde od kola praznjenja, koristi se dvostruka sonda koja je znatno pogodnija,narocito za proucavanje impulsnih plazmi.

40