Sucesiones Reales

Definición dadas una sucesión real y

Teorema unicidad del límite

Demostración

Supongamos que

Sea

Como

#

Teorema

Demostración

Sea

para

1

Corolario (teorema de conservación del signo)

1)

2)

Teorema sucesión comprendida

DemostraciónSea

Como para

Como para

Por hipótesis

Sea

Definición límite infinito

una sucesión real

En particular

Teorema

2

Demostración

Para el k dado, como

Por hipótesis

Sea

En resumen

Teorema toda sucesión convergente es acotada

Sean y

Por definición de límite finito

Si es el primer índice de la sucesión acotada

Si no es el primer índice de la sucesión finito y no vacío

acotada

3

Teorema toda sucesión divergente es no acotada

Demostración

supongamos que es acotada

# no es acotada

Teorema

acot. sup. C

Demostración

acot. sup.

por Axioma de Completitud en R

Por propiedad del ext sup

Teorema

no acot. sup.

Demostración

4

Definición P.S.M.C.

es P.S.M.C.

1)

2) aquí n pertenece a la intersección de los dominios de y

3)

Teorema

es P.S.M.C.

DemostraciónDe las condiciones 1) y 2) de la definición se tiene

Como es cota inferior de

Como es cota superior de

Absurdo

Por condición 3)

>

5

0 # Por H)

Teorema

Demostración

Teorema

acot. inf.

Demostración

6

acotada inferiormente

Teorema

acotada

Demostración

acotada

7

Teorema

Demostración

Por H)

Tomamos

Definición equivalencias

Sea

Se define la relación :

Teorema es relación de equivalencia

Idéntica se verifica

Simétrica

Demostración

Como

Transitiva

8

Demostración

Definición Órdenes de infinitésimos y órdenes de infinitos

Sea

Se define la relación :

Observación: es relación de equivalencia.

Definición

Sea . Llamamos orden de a la clase de equivalencia de según .

Observación: si y sucesiones reales ( ) y

( ) ord = ord

Definición: Dados y infinitésimos

ord < ord y ord > ord

Definición

Consideremos una sucesión estrictamente creciente

: con

una sucesión real cuyo dominio incluye a

Decimos que es una subsucesión de y lo anotamos

9

Esquemáticamente tenemos

N N´´ R

Teorema toda sucesión real tiene alguna subsucesión monótona.

Demostración

Sea una sucesión . Consideramos todos los elementos de que son menores que todos los

elementos de la sucesión que son posteriores a él.

Es decir, los que cumplen la propiedad P: < para todos los mayores que n.

Caso 1

que cumplan P

Tomo un cualquiera, sea , entonces con

no cumple es subsucesión de

ningún cumple P

Caso 2

Existe un solo que cumple la propiedad (se generaliza este caso para un conjunto finito no vacío)Se reduce al caso 1 puesto que existe un conjunto infinito que no cumple la propiedad.

Caso 3

Es infinito el conjunto de los que cumplen la propiedad.

Entonces (tiene que existir de lo contrario se

quedarían todos antes de y es infinito el conjunto de los que cumplen la propiedad) Se tiene que:

Continuando de este modo obtenemos una sucesión

1

Teorema

sucesión real que tiene límite

Demostración

sucesión real monótona

Si acotada

Si no acotada

Definición límites de oscilación

Le llamamos a los límites (reales o infinitos) de las subsucesiones (que tienen límite) de la sucesión original.

Observación: acotada acotado

Si llamamos C al conjunto de los límites de oscilación de una sucesión real, tenemos que

está acotado (por ende existen supremo e ínfimo de C)

Definición sea una sucesión real.

Si es acotada, llamamos límite inferior y límite superior de la sucesión, al mínimo y máximo,

respectivamente, del conjunto de los límites de oscilación de .

Si es no acotada, el límite inferior es y el límite superior es .

Anotamos y

Teorema

1

Teorema

Series

Definición serie numéricaSea una sucesión real y consideremos la sucesión

Denominamos serie de término general a la sucesión : = . Llamamos reducida n-

sima de la serie al término general de anotamos , es decir .

Si diremos que la serie converge y que su suma es . Anotando y

1

En caso de que diremos que la serie diverge. Anotando

Y si la sucesión oscila que la serie oscila. Escribiendo

Para determinar a partir de tenemos:

Series geométricas

Tenemos:

Obs:

Si

Si aquí

Si

Si

1

Series telescópicas

Es inmediato que

Si

Si

Teorema

Demostración

Teorema criterio de comparación

H) sucesiones reales

T) 1)

2)

Demostración

1)

1

Ahora

Para probar 2) se usa el contra recíproco de 1)

Teorema

Sucesiones reales

Demostración:

Si Linealidad comparación

Si

Comparación linealidad

1

por otra parte

Si Comparación Linealidad

Si

linealidad comparación

Resumiendo

y Tienen el mismo carácter

y S.T.P

Corolario

H) y sucesiones de términos no negativos

T) y Tienen el mismo carácter

Demostración

Por H)

sean y

tienen el mismo carácter

Serie armónica generalizada (S.A. G)

S.A. G son las del tipo con

Si

1

Consideramos y

Observación

Se quiere probar que para esto calculamos el siguiente

Por tanto

*

1

En resumen y

Definición sucesión de Cauchy

es de Cauchy si

Teorema

es de Cauchy sii converge

Demostración

Quiero probar

Por H)

Ahora

Si

es de Cauchy

Demostración

1) demostraremos; es de Cauchy acotada

Por H) es de Cauchy para

acotado

es finito y por lo tanto acotado y acotada

2) demostraremos

1

es de Cauchy subsucesión de / C C al mismo real que

*

converge

de Cauchy

* sucesión real subsucesión monótona, y acotada por parte anterior

Teorema

Demostración

1

y

Teorema

Demostración

Teorema condición de CauchyAplicamos la condición de Cauchy a la reducida n-sima para abordar un criterio de convergencia de series

:

Demostración

de Cauchy Tm. sucesión fundamental

Obs: y

Obs: si encuentro dos términos que no verifican la condición de Cauchy, entonces la serie no converge.

Teorema ,

2

i)

ii)

Demostración i)

Demostración ii)

Teorema de Cauchy

Demostración i)

Demostración ii)

2

Teorema D’ Alembert

Demostración i)

En consecuencia

Llamando a la constante nos queda

Como linealidad comparación

Demostración ii) trivial

2

no tiende a cero

2

Series alternadas

Teorema criterio de Dirichlet

H) tal que la sucesión de las reducidas n-ésimas de es acotada.

T)

Demostración sea la reducida n- sima de

Si procedemos de esta manera obtenemos;

Como es telescópica C

acotada

2

Sea Por último

Observa que

Teorema convergencia absoluta

2

Demostración

Consideramos observemos que si

Por lo tanto

También

(Tengamos en cuenta que ambos límites existen y son finitos)

A.C. y C.C.

Topología

Teorema

en todo entorno de a hay infinitos elementos del conjunto A

Demostración

Suponemos que es finito. Por ejemplo

Consideramos mínimo de las distancias de los elementos del

conjunto A al punto a.

Si ahora consideramos tenemos que pues la distancia de cualquier elemento del es

menor que a cualquier punto de A. Lo cual contradice la hipótesis de que a es un punto de acumulación de A.

inmediato

2

Teorema

Demostración

2