“teoria de conteo”
TRANSCRIPT
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACION SUPERIORINSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGIA DEL OESTE
“MARISCAL SUCRE”
“TEORIA DE CONTEO”
Autor:Carmelo Meneses, C.I.17.745.307
Reyna Ysabel Torres Martinez, C.I. 17.473.511Wilfredo Rafael Flores Garcia, C.I. 5.890.675
PROFESOR: Manuel Lenin Velásquez
CARACAS, Febrero de 2013
INDICE
INTRODUCCIÓN………………………..…………………………..……………3
TEORÍA DE CONTEO………………..…………………………………….…….4
PRINCIPIO DEL PALOMAR………………………..…………………….5
VARIACIONES……….……………..………….....................................……8
PERMUTACIONES…………………..………………..………………….…9
COMBINACIONES… ………………...……………..……………..……….9
PROBABILIDAD………………………..……..…………………………….11
TEOREMA DE LAPLACE……………………………………..…………..14
CONCLUSIÓN……….………………………………….……..….….……………...19
BIBLIOGRAFÍA……………….……… …………………………….….…….…….20
INTRODUCCIÓN
Hoy en día todos sabemos que las afirmaciones matemáticas deben ser
demostradas, para ello es necesario utilizar herramientas que nos permitan esto unos de
ellos es la inducción. La inducción matemática es una herramienta de uso práctico y
teórico en las matemáticas y ciencias computacionales lo que hace que su estudio, sea
de vital importancia en el desarrollo de nuestra preparación.
Por otra parte este trabajo contara de tres temas muy importante que es la teoría
de conteo
Variaciones
Permutaciones y combinaciones
A continuación se describirá cada tema esperamos sea de agrado a todo lector.
En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una
infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma
una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste
en el siguiente razonamiento:
Premisa mayor: El número entero tiene la propiedad .
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero tenga la propiedad
implica que también la tiene (que se anota ).
Conclusión: Todos los números enteros a partir de tienen la propiedad .
TEORIA DE CONTEO
Principios básicos del conteo
Iniciaremos nuestro estudio enunciando los principios fundamentales del conteo
Proposición 2.1. Principio aditivo o Regla de la suma. Sean A y B son dos
sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si el suceso A ocurre de m maneras
distintas y el B de n maneras distintas, entonces el suceso A o el B se podrá ocurrir de
m + n maneras distintas.
Ejemplo 2.1. Supongamos que en un cine se proyectan tres películas diferentes
por la mañana y cinco por la tarde. Si se desea ver una sola película. ¿ Cuántas opciones
tenemos?. Sea A el suceso: Ver una película por la mañana y B el suceso: Ver una
película por la tarde.
Como hay tres películas diferentes por la mañana y cinco por la tarde , el suceso
A se puede presentar de 3 maneras distintas y el B de 5. Como no ocurren
simultáneamente, o vas por la mañana o por la tarde . Aplicando la regla anterior, el
total de opciones de ver una sola película será: 3 + 5 = 8
Observación 2.1. la regla anterior se puede aplicar a más de dos sucesos siempre
que sean disjuntos dos a dos, es decir, que cada par de tareas no puedan ocurrir
simultáneamente.
Proposición 2.2. Principio multiplicativo o Regla del producto. Si un suceso A
puede ocurrir en m maneras e, independientemente, un segundo suceso B puede
ocurrir en n maneras, entonces el número de de maneras en que ambos, A y B, pueden
ocurrir es m ¢ n
Ejemplo 2.2. ¿ Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar, usando
las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse?
Al formar un número par de tres cifras A1A2A3 con ayuda de las cifras dadas, en
vez de A1 puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En
vez de A2 pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A3
cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades.
De este modo, conforme a la Regla de Multiplicar existen 6¢7¢4 = 168
procedimientos. Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de
tres cifras.
Veamos a estudiar a continuación agrupaciones de objetos admitiendo que no
hay repetición y que importa el orden en que estén situados los objetos dentro del grupo.
PRINCIPIO DEL PALOMAR
La inspiración para el nombre del principio: aves en un palomar. Aquí n = 7 y
m = 9.
El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet, establece que
si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un
palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden
albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así
que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos. De
otra manera: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes.
El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con
el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). No debe confundirse con
otro principio sobre funciones armónicas, también con el nombre de este autor.
Enunciado
Principio de distribución, del palomar o del cajón de la paloma de Dirichlet.
Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m palomas en n cajas,
alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.
Demostración: Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de
objetos que podemos colocar es np < np + 1 ≤ np + m.
En su versión más simple, este principio dice que no puede existir una aplicación
inyectiva entre un conjunto de m elementos y otro de n elementos, si m > n.
Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos una
caja debe contener al menos 2 objetos.
Aplicaciones
Aunque el principio del palomar puede parecer una observación trivial, se puede
utilizar para demostrar resultados inesperados. Por ejemplo, hay por lo menos 2
personas en Madrid con el mismo número de pelos en la cabeza. Demostración: la
cabeza de una persona tiene en torno a 150.000 cabellos y tener un millón de pelos
requeriría de una cabeza gigante (nadie tiene un millón de pelos en al cabeza).
Asignamos un palomar por cada número de 0 a 1.000.000 y asignamos una paloma a
cada persona que irá al palomar correspondiente al número de pelos que tiene en la
cabeza. Como en Madrid hay más de un millón de personas, habrá al menos dos
personas con el mismo número de pelos en la cabeza. De hecho se puede asegurar con
seguridad que en cualquier ciudad de más de un millón de personas hay más de 5
personas con el mismo número de pelos en la cabeza (por el principio de Dirichlet
generalizado).
Enunciado general
Una versión generalizada de este principio dice que, si n objetos discretos deben
guardarse en m cajas, al menos una caja debe contener no menos de
objetos, donde denota la función techo.
Además existirá otra caja que contendrá no más de
objetos, donde denota la función suelo.
Como ejemplo de aplicación en una ciudad de más de un millón de habitantes
habrá como mínimo 2733 personas que hayan nacido el mismo día del año, ya que:
Donde se ha tenido en cuenta que existen 366 posibilidades para la fecha de
aniversario de una persona contando la existencia de años bisiestos.
Formulación matemática
Técnicamente el principio del palomar, se corresponde con la aritmética
modular, por lo que se puede dirigir a dicho artículo para profundizar en aspectos
técnicos.
Si y son conjuntos finitos con > entonces no existe ninguna función
inyectiva de A en B.
Demostración por inducción
Paso base: Supongamos , es decir, . Entonces no existe
ninguna función , en particular no existe ninguna función inyectiva.
Hipótesis inductiva: no es inyectiva para todo conjunto finito y
para todo conjunto finito , que cumplan , y , con .
Tesis inductiva: Para , no existe una función
inyectiva.
Demostración del paso inductivo: Como A no es vacío, elijamos un .
Pueden ocurrir dos cosas. O bien existe otro elemento distinto a en A, llamémosle
que cumpla . O bien no existe tal elemento. Si el caso es que existe, la
función f no es inyectiva y termina la demostración. Tomemos el caso que no existe,
entonces f(a) tiene solo una preimagen que es a. Consideramos la función
que coincide con f en todos los elementos de A − {a}.
Ahora aplicamos la hipótesis inductiva pues tiene n elementos y
, por lo tanto g no es
inyectiva. Como g no es inyectiva, f no es inyectiva, que es lo que queríamos demostrar.
Usos y aplicaciones
El principio del palomar es encontrado a menudo en informática. Por ejemplo,
las colisiones son inevitables en una tabla hash porque el número de posibles valores
que pueden tomar los elementos de un vector exceden a menudo el número de sus
índices. Ningún algoritmo de hashing, sin importar lo bueno que sea, puede evitar estas
colisiones. Éste principio también prueba que cualquier algoritmo de compresión sin
pérdida que hace al menos de un archivo de entrada otro más pequeño hará que otro
fichero de entrada sea más grande. (De lo contrario, dos archivos distintos podrían ser
comprimidos a un mismo archivo más pequeño y al ser restaurado habría conflicto)
Variaciones, permutaciones y combinaciones
Factorial de un número natural
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de
un número se denota por n!.
VARIACIONES
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los
distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan por
Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los
distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si
m ≤ n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
PERMUTACIONES
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Permutaciones circulares
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo,
los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la
muestra determina el principio y el final de muestra.
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite
a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los
distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
COMBINACIONES
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las
agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Combinaciones con repetición
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n),
son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Números combinatorios
El número se llama también número combinatorio. Se representa por
y se lee "m sobre n".
Propiedades de los números combinatorios
1.
2.
3.
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como
binomio de Newton.
PROBABILIDAD
la teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los
fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos
determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos
realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a
100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el
contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra
vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un
conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La
teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado
que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos
resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
La probabilidad es la medida cuantitativa por medio de la cual se obtiene la
frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento
aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones
suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas
como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar
conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica
subyacente discreta de sistemas complejos.
Teoría
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las
diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango
estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer
y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se
toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel
mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.
La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de
una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte,
la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se
denota con la letra q:
Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la
regla de la multiplicación y la distribución binomial.
Regla de la adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de
ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades
individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no
pueden ocurrir al mismo tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente.
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) =
probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento
B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos
o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus
probabilidades individuales.
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B)
= P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
Regla de Laplace
La regla de Laplace establece que:
La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.
Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a
sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.
La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:
P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles
Esto significa que, probabilidad es igual al numero de casos favorables sobre o
dividido el número de resultados total de resultados posibles.
Distribución binomial
La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos
independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial,
que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o
si/no.
Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u
observación.
La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el
proceso es estacionario.
Para aplicar esta distribución al calculo de la probabilidad de obtener un número
dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren
tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones
(n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n
ensayos es:
P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m
Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un
conjunto de n elementos.
En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m
Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Cálculo de
Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es
la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?
P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 10!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 *
10−6 Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos
o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que:
P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1)
P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)
P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)
P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)
Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que
aprueben:
a.− al menos 5
b.− mas de 12
a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es:
P(x ≥ 5) es decir, que:
1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] =
1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618
Nota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales
sinónimas.
Ejemplo: La entrada al cine por lo menos tendrá un costo de 10 soles (como
mínimo podría costar 10 soles o más).
b.− la probabilidad de que aprueben mas de 12 es P(x > 12) es decir, que:
P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)
P(x > 12) = 1,47 *10−9 +3,722 *10−11 +4,38 *10−13 = 1,507 *10−9
La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como:
E(x) = np = 15(0,15)=2,25
Y la varianza del número esperado de éxitos se puede calcular directamente:
Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadísticas y probabilidades, con
sus diferentes diagramaciones como: diagrama de barras. Diagrama de línea. y diagrama
de círculos que se aplican de acuerdo a el tipo de estadísticas y probabilidades
matemáticas.
TEOREMA DE LAPLACE
El teorema de Laplace (también conocido como regla de Laplace o desarrollo de
Laplace), así llamado en honor del matemático francés homónimo es un teorema
matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de elevadas
dimensiones a base de descomponerlo en la suma de determinantes menores.
El teorema afirma que el determinante de una matriz es igual a la suma de los
determinantes de los adjuntos de cualquier fila o columna de la matriz, lo que reduce un
determinante de dimensión n a n determinante de dimensión n-1. Aplicado de forma
sucesiva, permite llegar a matrices 3x3 (con lo que se puede aplicar la regla de Sarrus) o
2x2 (en el que el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la
secundaria).
Se puede optimizar los cálculos aplicando la regla de Chio y haciendo ceros lo
que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular.
Conceptos previos
Antes de afrontar él cálculo de determinantes por el teorema de Laplace, vamos
a ver algunos conceptos necesarios para su desarrollo.
Matriz cuadrada
Una matriz en la que número de filas sea igual al de columnas, se denomina
matriz cuadrada, si el número de filas y de columnas es n, se denomina matriz n×n o
matriz cuadrada de orden n.
Determinante de una matriz
Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos
pertenecen al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos
de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en
cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz, a
cada producto se le asigna el signo: (+), si la permutación de los subíndices de filas de
sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las
columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.
Menor complementario
Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n, se llama menor
complementario del elemento , y lo representamos al determinante de la matriz
cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j.
Dada la matriz cuadrada de orden 5:
el menor complementario del elemento , será :
y el menor complementario del elemento , será :
Adjunto de un elemento
Se llama adjunto del elemento y se representa al determinante que resulta
atribuir el signo: (+) al menor complementario si i+j es par o el signo: (–) si i+j es
impar.
Dada la matriz cuadrada de orden
el adjunto del elemento , será :
y el adjunto del elemento , será :
Caso general
Partiendo de una matriz cuadrada de grado n, según el teorema de Laplace el
valor de su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila
o columna por sus adjuntos, así tomando una fila f cualquier el determinante es:
Y tomando una columna c, sera:
Función recursiva para el cálculo del determinante de una matriz
Podemos concluir con una Función recursiva para el calculo del determinante,
sabiendo que el valor del determinante de una matriz de orden uno es el único elemento
de esa matriz, y el de una matriz de orden superior a uno es la suma de cada uno de los
elementos de una fila o columna por los Adjuntos a ese elemento, como en la función
recursiva se emplea la misma función definida el calculo lo haremos por Menor
complementario, un ejemplo desarrollado por la primera fila seria:
Matriz 3×3
Partiendo de una matriz 3×3:
Para calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila:
Desarrollando los determinantes 2*2, tendremos:
Eliminando los paréntesis, tenemos:
Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus:
Producto vectorial
Un caso concreto de la aplicación del Teorema de Laplace es el Producto
vectorial, partiendo de dos vectores u y v:
el producto vectorial de ambos es otro vector:
Que se calcula con el determinante:
Desarrollado por el Teorema de Laplace:
CONCLUSIÓN
Antes que nada los miembros que hicieron posible este trabajo, desean Reforzar,
que existen principios fundamentales que ayudan a cada ser humano a evolucionar
permanente. El conocimiento es parte de esta inquietud de querer alcanzar la esencia de
los conocimientos y la verdad. Dentro de estos principios fundamentales, estudiantes de
carreras afines a la ingeniería ignoran seguramente temas relacionados con el buen
orden que debe de existir este mundo.
El objetivo de este trabajo es introducirlos en este fascinante mundo, en la
presente monografías, se ha de mostrar el desarrollo de los conceptos básicos para la
adquisición de herramientas que nos permitan determinar el buen orden como es la
inducción Matemática, que es, una de las herramientas básicas útiles en la algoritmia,
quizá no haya ninguna más importante que la inducción matemática.
La inducción consiste en inferir una ley general a partir de casos particulares,
mientras que una deducción es una inferencia de lo general a lo particular. Aunque a
veces la inducción nos da conclusiones falsas, no se puede despreciar. La deducción por
otra parte siempre es válida con tal de que se aplicada correctamente.
BIBLIOGRAFÍA
LUIS DISSET.Apuntes de matemática discreta.
EDUARDO SAEZ, IVAN SANTOS. Inducción matemática.
J. REY PASTOR, PUIG ADAM. Metodóloga matematica.,IBERO
AMERICANA, 1948
R. MORENO CASTILLO.FIBONACCI, el primer matemático medieval.,
nivola, 2004