Capítulo 2: MétodosCapítulo 2: Métodosde conteode conteo

Capítulo 2: MétodosCapítulo 2: Métodosde conteode conteo

Autor: José Alfredo Jiménez Murillo

Objetivos

Aprender a calcular el número de permutaciones de un conjunto que contiene n elementos, en arreglos de tamaño r, con o sin repetición.

Aprender a calcular el número de combinaciones de un conjunto de n elementos, en arreglos de tamaño r.

Distinguir los conceptos de permutaciones y combinaciones.

Aplicar los métodos de conteo para resolver problemas de computación.

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En los métodos de conteo se encuentran implícitas dos operaciones aritméticas fundamentales, la multiplicación y la suma, y esto da origen a lo que se conoce como el “principio fundamental del producto” y el “principio fundamental de la adición”.

Este principio establece que si una operación se puede hacer de n formas y cada una de éstas puede llevarse a cabo de m maneras distintas en una segunda operación, se dice que juntas las operaciones pueden llevarse a cabo de n × m formas distintas.

Principio fundamental del producto

Principios fundamentales del conteo

Principios fundamentales del conteo

Ejemplo

La materias de programación (P), matemáticas (M), ética (E) y física (F), pueden ser impartidas por 3 maestros distintos: Alfonso (A), Ruth (R) y José (J). ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden formar entre las materias y los maestros?

Resultados posibles = 4 × 3 =12

  Maestro

Materia A R J

P PA PR PJ

M MA MR MJ

E EA ER EJ

F FA FR FJ

A R J

P M E F

A R J A R J A R J

Este principio establece que si un evento se puede llevar a cabo en n o m lugares distintos, además de no ser posible que se lleve a cabo el mismo evento en dos lugares distintos al mismo tiempo, entonces el evento se puede realizar de (m + n) maneras diferentes.

Principio fundamental de la adición

Una persona desea comprar un automóvil, pero su dinero solamente le alcanza para seleccionar uno de tres automóviles de la marca VolksWagen (VW) o uno de dos coches de la marca Nissan (N). ¿De cuántas formas diferentes puede seleccionar su automóvil?

Maneras diferentes = 3 + 2 = 5 N VW

N1 N2 VW1 VW2 VW3

Ejemplo

Ejemplo

Supóngase que se desea etiquetar las gavetas de los alumnos de la Universidad, y que la etiqueta puede estar marcada con un solo dígito, una sola letra o la combinación de una sola letra con un solo dígito (sin importar si primero se pone la letra y después el dígito o al contrario). Bajo estas condiciones, el número de etiquetas distintas que se pueden formar son:

Dependiendo del problema, algunas veces es necesario combinar la adición y el producto como se muestra a continuación.

Etiquetas = Dígitos + Letras + Letras Dígitos + Dígitos Letras = 10 +27 + 2710 + 1027 = 577

Principio fundamentalde la adición

Las permutaciones son el número de formas distintas en que uno o varios objetos pueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglas específicas para guardar un orden.

También se puede considerar como todo arreglo en el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos que integran dicho arreglo.

Permutaciones

El dueño de una cadena de tiendas de abarrotes desea abrir una nueva tienda, para lo cual convoca personal que ocupará los puestos de encargado, cajero, almacenista e intendente, respectivamente. Si sólo acuden 4 personas al llamado ¿de cuántas formas es posible acomodarlas en los puestos disponibles? ¿Si primero se selecciona a la que será el encargado de la tienda, después al que ocupará el puesto de cajero, posteriormente al del almacén y al final al intendente?

P(n,r) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Formas en que se pueden acomodar

El encargado se puede seleccionar de 4 formas distintas ya que es el primero en ser elegido, el cajero de 3 maneras diferentes ya que una persona fue seleccionada para ocupar el puesto de encargado, el almacenistas de 2 formas distintas y finalmente el intendente solamente se puede seleccionar de una manera.

Permutaciones para arreglos de tamaño r = n sin repetición:

P(n,r)=n!

Permutaciones

El factorial de n, denotado como n!, se define como:

0! = 1 1! = 1

n!= n(n - 1)(n - 2)(2)1 para n > 1

Siendo n un entero no negativo.

En el caso en que n = 6 se tiene que: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

Características del factorial

El dueño de una cadena de tiendas de abarrotes desea abrir una nueva tienda, para lo cual convoca personal que ocupará los puestos de encargado, cajero, almacenista e intendente. Si acuden 11 personas al llamado ¿de cuántas formas es posible formar los equipos que ocuparán los cuatro puestos disponibles?, ¿si primero se selecciona a quien será el encargado de la tienda, después al que ocupará el puesto de cajero, posteriormente al del almacén y al final al intendente?

7920!7

!7891011)!411(

!11r)!(n

n!r) P(n,

P(n.r)= 11×10×9×8= 7920

O bien:

En este ejemplo r ≠ n

Ejemplo

En los ejemplos anteriores de permutaciones no se permitieron repeticiones.

Si se permiten repeticiones al permutar los objetos, las permutaciones se pueden obtener multiplicando r veces el número de objetos a permutar:

P(n,r) = n × n × n…..× n = rn

Ejemplo

¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de la palabra “pera”?

a) Sin repetición y r = n.b) Con repetición y r = n.c) Sin repetición y r = 2.d) Con repetición y r = 3.

a) Si repetición y r =n.

P(n,r) = n! = 4×3×2×1 = 24

b) Con repetición y r = n

P(n,r) = = = 256 rn 44

12!2

!234)!24(

!4r)!(n

n!r) P(n,

c) Sin repetición y r=2

d) Con repetición y r=3

P(n,r) = = = 64 rn 34

Respuestas

Ejemplo

Algunas veces el tamaño del bloque es mayor que el número de objetos (r > n), y en este caso el número de permutaciones está dado por:

rnP(n, r) =

Un ejemplo muy claro es lo que ocurre con el sistema numérico octal, en donde cada dígito en octal equivale a una cadena de ceros y unos en binario.

Octal Binario 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

En este caso n = 2 ya que sólo son los dígitos 0 y 1 los que se deben de permutar, y la longitud de la cadena es r = 3 por lo que se obtieneP(n, r) = P(2, 3) = 23=8

Ejemplo

Algunas veces no todos los objetos son distintos, sino que parte de ellos se repiten. En este caso el número de permutaciones de n objetos de los cuales t1 son de un tipo, t2 son de otro tipo distinto y tk son del k-ésimo tipo, está dado por:

t !.....t !t !

n!

k21

P(n,r)=

En donde t1 + t2 + …+ tk = n.

Ejemplo

Obtener las permutaciones de la palabra MANZANA.Primero hay que observar que n = 7, ya que es el número de letras de la palabra MANZANA, y que los tipos involucrados son:

Tipos de letras

Letra

t1=1 M

t2=3 A

t3=2 N

t4=1 Z

t !.....t !t !

n!

k21

P(n,r)=

420!2!3

!34567!1!2!3!1

!7

P(7,7)=

Si r = n entonces:

Ejemplo

Las permutaciones para arreglos de tamaño r=n sin repetición, en forma circular están dadas por la siguiente fórmula:

P(n,r) = (n-1)!

A

A

A

AA

A A

A

Ejemplo

Se van a plantar en círculo 12 arbolitos.

a) ¿De cuántas formas se pueden plantar sin poner ninguna restricción?

b) Si de esos 12 árboles: 5 son pinos, 4 cedros y 3 eucaliptos ¿de cuántas maneras se pueden plantar si se desea que queden juntos en un bloque los pinos, en otro los cedros y en un tercer bloque los eucaliptos?

Respuestas:

a) P(n,r) =(n-1)! = (12-1)! =39916800

Permutaciones en el bloque de pinos P(n,r) =n! = 5! =120

Permutaciones en el bloque de cedros P(n,r) =n! = 4! =24

Permutaciones en el bloque de eucaliptos P(n,r) =n! = 3! =6

Son 3 los bloques de árboles que se plantarán en círculo por lo tanto = (n-1)! = (3-1)!=2

Total de formas en que se pueden plantar = 2 ×6×24×120=34560

b)

Ejemplo

Combinaciones

Combinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o el que está al final del arreglo.

El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, se encuentra dado por la expresión:

r)!(nr!n!

r

n

Ejemplo

En el sistema numérico de base cuatro solamente se consideran válidos los dígitos 0, 1, 2 y 3.

a) ¿Cuántas cuartetas se pueden formar entre esos dígitos válidos, considerando que el orden en que están colocados no es importante?

1)!44(!4

!4r)!(nr!

n!r

n

En este caso r = n = 4

Se consideran iguales cuartetas como:

(0,1,2,3) = (1,2,3,0) = (2,1,3,0) = (3,0,1,2) = (3,1,2,0)

¿Cuántas tripletas se pueden formar entre esos dígitos válidos, considerando que el orden en que están colocados no es importante?

b)

En este caso r =2 n=4

4)!34(!3

!4r)!(nr!

n!r

n

Las tripletas son:

{(0,1,2), (0,1,3), (1,2,3), (0,2,3)}

¿Cuántas pares se pueden formar entre esos dígitos válidos, considerando que el orden en que están colocados no es importante?

c)

6!2!2

!234)!24(!2

!4r)!(nr!

n!r

n

Los pares son: {(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)}

Ejemplo

Ejemplo

En el sistema numérico octal se consideran válidos los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Para formar cantidades

a) ¿Cuántas combinaciones de cinco dígitos se pueden formar en el sistema octal, considerando que el orden en que están colocados no es importante?

56!3!5

!5678)!58(!5

!8r)!(nr!

n!r

n

b) ¿Cuántas combinaciones de siete dígitos se pueden formar en el sistema octal, considerando que el orden en que están colocados no es importante?

8!1!7!78

)!78(!7!8

r)!(nr!n!

r

n

{(0,1,2,3,4,5,6),(0,1,2,3,4,5,7),(0,1,2,3,4,6,7),(0,1,2,3,5,6,7), (0,1,2,4,5,6,7),(0,1,3,4,5,6,7), (0,2,3,4,5,6,7), (1,2,3,4,5,6,7)}

Una compañía de desarrollo de software desea contratar a 8 personas de un grupo de 14 jóvenes profesionistas que acaban de egresar de la universidad como licenciados en informática. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar a los 8 profesionistas si se aplican las siguientes condiciones?

No importa el orden en que se les selecciona. a)

Si se les selecciona pensando en que el primero ocupará la Dirección de desarrollo de software, el segundo la Jefatura de diseño de software, el tercero el puesto de Programador A, el cuarto el de Programador B y así sucesivamente hasta que el octavo ocupará el puesto de Programador F, todo esto considerando que la responsabilidad del puesto y el salario van decreciendo sucesivamente.

b)

Si se selecciona a los 14 profesionistas para ocupar 14 puestos de diferente responsabilidad, sin que sea importante el orden de selección.

c)

Ejemplo

a) Como el orden no importa, se trata de un problema de combinaciones:

Respuestas

3003)!814(!8

!14r)!(nr!

n!r

n

Donde:

n = 14 y r = 8

b) En este caso se observa claramente que el orden de selección es importante ya que el primero será el que ocupe el puesto de mayor responsabilidad y con mejor salario, así como el octavo será el puesto de menor salario y menor responsabilidad. Por lo tanto el número de permutaciones es:

121080960)!814(

!14r)!(n

n!r)P(n,

Ejemplo

c) Este es un problema de combinaciones en donde r = n y por lo tanto el número de formas en que se pueden seleccionar para ocupar los diferentes puestos sin importar el orden es:

1)!1414(!14

!14r)!(nr!

n!r

n

Ejemplo

Diferencias entre permutaciones y combinaciones

En permutaciones el orden de los elementos de los arreglos es importante, ya que dos arreglos con los mismos elementos en diferente posición son diferentes.

En combinaciones el orden de los elementos de los arreglos no es importante, ya que dos arreglos con los mismos elementos en diferente posición son iguales.

En permutaciones los elementos se pueden repetir.

En combinaciones los elementos no se pueden repetir.

En permutaciones se pueden presentar casos en donde r < n, r = n y

r > n.

En combinaciones no ocurre que r > n ya que los elementos no se repiten.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

En la tabla siguiente se muestran las diferentes expresiones matemáticas que se utilizan, de acuerdo con las características del conteo.

Diferencias entre permutaciones y combinaciones

r)!(n

n!r)P(n,

P(n,k)=t !.....t !t !

n!

k21

1n)!(nn!

n!

r)!(nr!

n!

r

n

r)!(nr!

n!

r

n

Combinaciones para arreglos de tamaño r < n.

Combinaciones para arreglos de tamaño r = n.

Permutaciones de n objetos de los cuales t1 son de un tipo, t2 son de otro distinto y

tk son del k-ésimo tipo, donde t1+t2+….

+tk = n.

Permutaciones para arreglos de tamaño r < n sin repetición.

P(n,r)=(n-1)!Permutaciones para arreglos de tamaño r = n sin repetición, en forma circular.

P(n,r)=n!Permutaciones para arreglos de tamaño r = n sin repetición.

P(n,r)=nrPermutaciones para arreglos de tamaño r donde r ≠ n con repetición.

Expresión matemáticaCaracterísticas del conteo

Aplicaciones de los métodos de conteo

a) Binomio elevado a la potencia n, usando coeficientes de Newton.

(x+y)2 = (x+y)(x+y) = x2+xy+xy+y2 = x2+2xy+y2

Para elevar al cuadrado un binomio, por lo general se aplica la regla conocida que consiste en elevar al “cuadrado el primer término más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo” como se muestra a continuación.

Los coeficientes de este trinomio resultante se pueden obtener también por medio de la expresión matemática para calcular el número de combinaciones de n objetos, en bloques de r, como se muestra a continuación:

2222222 )1()2()1(2

2

12

2

2

2

21)( yxyxyxyxy

n

nxy

n

nx

n

nyx

Observar que el número de términos que resulta de elevar un binomio a una potencia n es (n+1), por ejemplo en el caso de n = 2 se vio que el número de factores es 3, y luego hay que escribir los n+1 productos entre x y y teniendo presente que la suma de sus exponentes debe de ser n:

nnnnnnn yxnn

nyx

n

nyx

n

nyx

n

nyx

...

21)( 22110

Obsérvese que en todos los términos están presentes los productos de x y y elevados a potencias cuya suma es n (xny0, xn-1y1, xn-2y2, …, xn-nyn).

Este procedimiento evita hacer cualquier multiplicación y es además una regla muy sencilla.

En forma general

Aplicaciones de los métodos de conteo

4443342241140442

44

4

34

4

24

4

14

4

4

4)3( yxyxyxyxyxyx

Ejemplo

Desarrollar usando el teorema del binomio de Newton:42 )3( yx

Sustituyendo el valor de n se tiene:

Sustituyendo y realizando operaciones:

=(1)(3x)4(-y2)0+(4)(3x)3(-y2)1+(6)(3x)2(-y2)2+(4)(3x)1(-y2)3+(1)(3x)0(-y2)4

=81x4–108x3y2+54x2y4-12xy6+y8

Aplicaciones de los métodos de conteo

Otra aplicación en computación es el desarrollo de un programa para obtener el triángulo de Pascal, el cual tiene la siguiente forma:

Triángulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

.

.

Hay que observar que en el triángulo de Pascal cada número mayor que uno es igual a la suma de los números que están a la izquierda y a la derecha del mismo en la línea inmediata anterior, por ejemplo, 4=1+3=3+1 o bien 10=4+6=6+4.

Obsérvese que los coeficientes del triángulo de Pascal no son otra cosa que los coeficientes del teorema binomial de Newton.

0

0

1

1

0

1

2

2

1

2

0

2

3

3

2

3

1

3

0

3

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4

5

5

4

5

3

5

2

4

1

4

0

4

Triángulo de Pascal

El siguiente algoritmo permite ordenar un conjunto de N datos por el método de la burbuja:

Sort de la Burbuja

I = 1C = NMientras I > 0 hacer Inicio I = 0 C = C-1 X = 1 Mientras X ≤ C hacer Inicio Si A[X] >A [X+1] entonces Inicio

T=A[X] A[X]=A[X+1] A[X+1]=T I=I+1

Fin X=X+1 Fin Fin

En este algoritmo se tiene que A: Conjunto de datos a ordenar. N: Número de datos del conjunto. X: Subíndice. I: Intercambios. C: Comparaciones en cada pasada. T: Variable para guardar un dato temporalmente mientras se hace el intercambio.

Si inicialmente el conjunto de datos tiene el siguiente orden:

40, 8, -7, 64, -15. El número de comparaciones en el peor de los casos se muestra en la siguiente tabla:

64646464-15

404040-1564

88-1540-7

-7-158-78

-15-7-7840

64-15-15-15-15

-1564646464

404040-7-7

-7-7-7408

888840

Primera pasada

Comparaciones: 1 2 3 4

En cada pasada se disminuye en 1 el número de comparaciones:

2

1)N(N No. comparaciones en el peor de los casos =

Sort de la Burbuja

Otras aplicaciones

a) Para determinar la rapidez de un algoritmo, en base al número de iteraciones que realiza.

b) Para realizar inferencias acerca del comportamiento de un algoritmo (número de veces que se ejecuta determinada instrucción, si la información de salida está completa o no, si tiene algún ciclo infinito).

c) Para calcular el número de palabras válidas de un lenguaje.

d) Permite estructurar las posibles salidas de un programa sin necesidad de correrlo.