LLa Probabilidad y la Estadística son dos campos

distintos aunque relacionados entre sí. Utilizando la Probabilidades obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas tales como: Física, Matemática, Economía, Ingeniería y Filosofía, para obtener conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente sistemas complejos. La Estadística una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado. Sin embargo, la Estadística es más que eso, es decir, es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica. La Probabilidad y Estadística puede utilizarse para optimizar el uso del material y la fuerza de trabajo. Al investigar el desarrollo de nuevos productos, éstas permiten comprender los fenómenos sujetos a distintas variaciones y predecirlos, así como también controlarlos de manera eficiente.

Diseño y Dirección: Ing. Sheyla Caraballo Fotos e ilustraciones: Ing. Roberto Richter

Coordinación de la editorial: Ing. Francys Cairo

Redacción: Todos los Colaboradores

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Créditos

Estadística y Probabilidad

Distribuciones de Probabilidad

Distribución Normal

Distribución Exponencial

Distribución uniforme

Frases y reflexiones

Entretenimiento

Publicidad

Referencias

¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA?

La Probabilidad y la Estadística se encargan

del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas: La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas. La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos. De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.

PROBABILIDAD

En este sentido, el cálculo científico de

probabilidades puede ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada "paradoja de los cumpleaños". Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble No es de extrañar por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las finanzas. Inferencial).

ESTADÍSTICA

Cuando hablamos de estadística, se suele

pensar en un conjunto de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es debida a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de comunicación, periódico, radio, televisión, etc., no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística. Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, empezamos a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes deterministas. La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos (Estadística Descriptiva), siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones (Estadística Inferencial).

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es

una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

En esta edición de la revista, vamos a abordar el estudio específicamente de tres (03) tipos de

distribuciones de variables aleatorias continuas, las cuales son:

CONTINUASCONTINUAS

NORMAL

EXPONENCIAL

UNIFORME

DE POISSON

HIPERGEOMETICA

BINOMIAL ACUMULADA

NORMAL

DISCRETASDISCRETAS

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD?

- La distribución Normal - La distribución exponencial

- La distribución uniforme

¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD? La distribución normal es un caso de

probabilidad de variable aleatoria

continua, que fue reconocida por primera

vez por el francés Abraham de Moivre

(1667-1754). Posteriormente, Carl

Friedrich Gauss (1777-1855) desarrolló

estudios más profundos y formuló la

ecuación de la curva; también se le

conoce como la "Campana de Gauss".

La distribución de una variable normal

está completamente determinada por

dos parámetros, su media (µ) y su

desviación estándar (σ) y es considerada

la distribución de probabilidad más

importante y usualmente utilizada en

áreas tales como: psicología, biología,

economía y finanzas, astronomía, salud,

ciencias sociales y administrativas,

ingeniería y seguridad industrial.

CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Y LA CURVA NORMAL QUE LA REPRESENTA:

La curva normal tiene forma de

campana y un solo pico en el centro

de la distribución. De esta manera, la

media aritmética, la mediana y la

moda de la distribución son iguales y

se localizan en el pico.

La mitad del área bajo la curva viene

determinada por la línea

perpendicular que parte desde el pico

de la curva hasta el área central del

eje de las equis X.

La distribución de probabilidad normal

es simétrica alrededor de su media.

La curva normal desciende

suavemente en ambas direcciones a

partir del valor central. Es asintótica,

lo que quiere decir que la curva se

acerca cada vez más al eje X pero

jamás llega a tocarlo. Es decir, las

“colas” de la curva se extienden de

manera indefinida en ambas

direcciones.

Friedrich Gauss (1777-1855)

IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Su importancia radica en que

permite modelar numerosos fenómenos

naturales, sociales y psicológicos permitiendo

calcular las probabilidades de cualquier

hecho en particular. Esta distribución también

es importante por su relación con la

estimación por mínimos cuadrados, uno de

los métodos de estimación más simples y

antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a

fenómenos naturales que siguen el modelo

de la normal son:

Caracteres morfológicos de individuos

como la estatura.

Caracteres fisiológicos como el efecto de

un fármaco.

Caracteres sociológicos como

el consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos.

Caracteres psicológicos como el cociente

intelectual.

Nivel de ruido en telecomunicaciones;

Errores cometidos al medir ciertas

magnitudes, entre otros.

Para indicar que una variable aleatoria

(v.a.) sigue una distribución normal de

media (µ) y desviación estándar (σ)

usaremos la expresión: X ∼ N(µ,σ).

REPRESENTACION GRAFICA La distribución normal, viene dada en forma

de campana, también llamada la curva de

Gauss.

El área del recinto determinado por la función

y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al

ser simétrica respecto al eje que pasa por x =

µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y

otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad

equivale al área encerrada bajo la curva.

La probabilidad de la variable X dependerá

del área del recinto sombreado en la figura. Y

para calcularla utilizaremos la tabla N (0,1).

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el

valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Es importante saber que no existe una sola

distribución de probabilidad normal, sino una

“familia” de ellas y cada una de las

distribuciones puede tener una media (µ) o una

desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el

número de distribuciones normales es ilimitado

y sería imposible proporcionar una tabla de

probabilidades para cada combinación de µ y σ.

Es por ello, que se utiliza un solo “miembro” de

la familia de distribuciones normales, aquella

cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es

la que se conoce como distribución estándar

normal, de forma que todas las distribuciones

normales pueden convertirse a la estándar,

restando la media de cada observación y

dividiendo por la desviación estándar.

COMO USAR LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Para poder utilizar la tabla tenemos que

transformar la variable X que sigue una

distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga

una distribución N(0, 1).

Para ello primero, convertiremos la distribución

real en una distribución normal estándar

utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z

que será la distancia entre un valor

seleccionado, designado X y la media µ,

dividida por la desviación estándar σ.

Formalmente, si X ~ N(µ,σ) , entonces la

variable aleatoria Z = (X − µ) / σ , se distribuye

según una normal de media 0 y desviación

estándar 1, i.e.: Z ~ N(0,1) , que es la

distribución llamada normal estándar o

tipificada.

De esta manera, un valor Z mide la distancia

entre un valor especificado de X y la media

aritmética, en las unidades de la desviación

estándar.

Al determinar el valor Z utilizando la expresión

anterior, es posible encontrar el área de

probabilidad bajo cualquier curva normal

haciendo referencia a la distribución normal

estándar en las tablas correspondientes. Así

pues, para averiguar el área anterior

utilizaremos la tabla que encontraremos al

final de este apartado. Dicha tabla nos

proporciona la probabilidad de que la v.a.

normal estándar Z tome un valor situado a la

izquierda de un número k, i.e.: P(Z≤k). En

otras palabras, esta tabla nos da el valor del

área encerrada por f(x) entre -∞ y k

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k),

siendo z la variable tipificada. Estas

probabilidades nos dan la función de

distribución Φ(k) = P(z ≤ k)

Se ubica el valor de Z en la tabla de distribución

normal N(0,1) teniendo en cuenta que las:

Unidades y décimas se ubica en la columna

de la izquierda.

Centésimas en la 1era fila superior.

CASO PRACTICO - DISTRIBUCION NORMAL

En la empresa FRS, C.A dedicada a la

fabricación, soldadura y mantenimiento

industrial, a través del Comité de Seguridad y

Salud Laboral, solicitan al departamento de

Higiene y Seguridad Industrial, se realice una

inspección y evaluación ergonómica de

puestos de trabajo, debido al alto índice de

ausentismo laboral.

El registro de morbilidad presentado por la

unidad de servicios médicos de la empresa

FRS, C.A arroja que en el 1er trimestre del

año 2016, el 52% de los mecánicos

operacionales han presentado diferentes

patologías asociadas a trastornos músculos

esqueléticos, tales como: Cervicalgia,

lumbalgias, dorsalgias, entre otras.

Como criterio de evaluación ergonómica por

puestos de trabajo se requiere que el grupo

de trabajadores estén aparentemente sanos,

es decir que tengan un IMC<29 kg/m2, que

de presentar alguna enfermedades tales

como hipertensión y/o diabetes esten

debidamente controlados, entre otros

cirterios, ya que las evaluaciones

ergonómicas contienen pruebas de alta

exigencia fisica y mental que permitiran

evaluar las condiciones fisiologicas

biomecanicas y psicosociales de los

trabajadores y de esta manera generar las

recomendaciones para evitar generar y/o

exacerbar alguna patologias ya existente.

Para ello, como primer paso se recurre a la

herramienta estadística de distribución

normal como variable aleatoria continua para resolver el caso siguiente:

Los mecánicos operacionales de la

cuadrilla # 3, según morbilidad del servicio

médico de salud de la empresa FRS, C.A,

presentan sobrepeso y obesidad, por lo que

sus condiciones de salud y calidad de vida

se ven afectados por el esfuerzo que

ameritan sus actividades diarias de trabajo,

presentando mucha fatiga, bajo rendimiento

y ausentismo laboral. Presentan una

variable normalmente distribuida con

media de 85 Kg y una desviación estándar

de 5 kg. Por lo que se requiere conocer la

proporción de trabajadores que tengan un

peso menor a 98 Kg.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO.

Datos:

Media (µ) = 85

Desviación estándar (σ) = 5

Aplicando la fórmula:

Z = X - µ = 98-85 = 2,6 5 5

INTERPRETACIÓN.

Se observa que el 99,53% de los

mecánicos operacionales tienen un peso

menor a 98 Kg, por lo que se considera

que presentan condiciones físicas para

someterse a dicha evaluación ya que no

implica riesgo para su salud.

Tabla de Distribución Normal tipificada N(0,1)

Ubicamos el dato Z= 2,6 en la tabla de

distribución normal N(0,1), recordando que el

valor surge de la intecepción del valor de las

Y (columna de la izquierda) con respecto al

valor de las X (Fila superior), es decir:

Las unidades y décimas (2,6) se ubica en la

columna de la izquierda y las centésimas (0),

(en este caso porque el valor fue exacto), se

ubica en la 1era fila superior de la tabla.

Resultado: 0.9953

CASO PRACTICO - DISTRIBUCION NORMAL

Ing. Roberto Richter

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria que representa el número de resultados que suceden durante un intervalo de tiempo dado, o una región específica, recibe el nombre de distribución de Poisson, con parámetro λ Mientras que la distribución de probabilidad de la variable aleatoria que representa el tiempo, hasta que se produce α a veces un determinado suceso, se llama distribución Gamma (ésta es una manera de describir a la distribución gamma), con parámetro α y β

La relación esencial entre las distribuciones anteriormente mencionadas, sucede cuando el parámetro de la distribución gamma, α es un entero positivo cuando esto sucede, la distribución gamma es también llamada distribución de Erlangy el número de eventos aleatorios independientes que suceden en un intervalo específico es una variable de Poisson, con una frecuencia constante de ocurrencia igual α y β

La distribución exponencial describe el tiempo hasta la primera ocurrencia de un evento de Poisson. Así, las aplicaciones más importantes de esta distribución son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson. En la distribución de Poisson

Aunque la distribución normal se puede utilizar para resolver muchos problemas en la ingeniería y las ciencias, hay numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad. Tal es el caso de las distribuciones gamma y exponencial. Estas distribuciones juegan un rol fundamental en los problemas de confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempos de fallas de partes componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente son bien modelados mediante la distribución exponencial. •La distribución gamma deriva su nombre de la conocida función gamma, que se estudia en muchas áreas de la matemática. •La función gamma se define como :

Distribución Gamma

Ing. Roberto Richter

La distribución gamma especial para la que α=1 se llama distribución exponencial. •La v.a.c. X tiene distribución exponencial, con parámetro α >0, si su función de densidad está dada por: efecto La distribución acumulada de esta distribución es muy útil

para el cálculo de las probabilidades, en:

La media y la varianza de la distribución gamma son: μ=αß y σ2=αß2. Aplicaciones de la Exponencial y la Gamma Sea X el número de componentes que funcionan después de ocho años. Entonces

Ing. Roberto Richter

Ing. Francys Cairo

Es una distribución muy sencilla que asigna probabilidades iguales a un conjunto finito de puntos del espacio. Modeliza fenómenos en los que tenemos un conjunto de n sucesos posibles, cada uno de los cuales con la misma probabilidad de ocurrir. Si aleatorizamos de forma que cada uno de éstos sucesos se corresponda con un número natural del 1 al n obtendremos una distribución uniforme. Tendremos un único parámetro; n Diremos, por tanto que puede hacerse derivar en consecuencia de un proceso experimental de selección aleatoria, en el que la característica que consideramos en la selección sólo puede tomar un conjunto de n valores discretos y donde cualquiera de estos valores puede obtenerse con igual probabilidad.

Por su elementaridad no es una distribución de excesivo interés práctico. Su función de cuantía definida para los valores de x= { 1, 2, 3……. n} vendrá dada por P(x) = l /n para x ={ 1, 2, 3……n}

Su función de distribución vendrá dada por

Puede comprobarse que su media será

su varianza será :

Ing. Francys Cairo

-En la distribución de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada uno de -us valores con idéntica probabilidad.

-El parámetro de la distribución de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la inversa de los valores que puede tomar la variable aleatoria.

-La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas al lanzar dos monedas legales sigue una probabilidad de distribución uniforme.

-La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), siempre coincide con uno de los valores de la misma observados en el experimento.

- La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), no depende del número de valores que pueda tomar la variable

Ing. Francys Cairo

Características de una Distribución Uniforme Discreta

FRASES Y REFLEXIONES SOBRE ESTADISTICAS Y PROBABILIDAD

Las cosas complejas y estadísticamente improbables, son por naturaleza más difíciles de explicar que las cosas simples y estadísticamente probables. Richard Dawkins

Estadísticamente todo se explica, personalmente todo se complica. Daniel Pennac

La estadista es una ciencia según la cual todas las mentiras se tornan cuadros Pitigrilli

La estadística es la primera de las ciencias inexactas. Edmond Gouncourt

Mi originalidad consiste en traer a la vida, de un modo humano, seres improbables y hacerlos vivir de acuerdo como las leyes de la probabilidad pero poniendo -tan lejos como sea posible- la lógica de lo visible al servicio de lo invisible. Odilon Redon

El futuro es impredecible, todo se basa en probabilidades. Richard Phillips Feynman

La vida es siempre un millón de probabilidades. Esto hace la garantía y la justificación del arte. Franz Tamayo

Para que sean útiles, nuestras creencias deben someterse a la lógica de la probabilidad. Daniel Kahneman

Crucigrama 1

Es una disciplina que se encarga de minimizar los riesgos ocupacionales a fin de proteger la vida y la salud

de los trabajadores SEGURIDAD

2 Capacidad de un ítem de desempeñar una función requerida, en condiciones establecidas durante un

período de tiempo determinado CONFIABILIDAD

3 Es una ciencia que estudia la recolección análisis e interpretación de datos de una muestra representativa ESTADISTICA

4 Es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores VARIABLE

5 Es una distribución de probabilidad de la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que se produce

un determinado suceso GAMMA

6 Es es una variable que solo puede tomar algunos valores dentro de un mínimo conjunto numerable, es

decir, no acepta cualquier valor, únicamente aquellos que pertenecen al conjunto DISCRETA

7 Es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una

característica CONTÍNUA

8 Persona o conjunto de personas que se encargan de dirigir, gestionar o administrar una sociedad, empresa

u otra entidad. GERENCIA

9 Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar. PROBABILIDAD

10 Es una medida de la magnitud de los daños frente a una situación peligrosa RIESGO

C U S E G U R I D A D B D

M O C T B P D O R P E E I

V A N O D R C T A S T S S

A N N F N P I S J L A T C

R O O T I F M E I N E A R

I R P J E A I I S I A D E

A M E I G N B A E G L I T

B A T E U S I I B I O S A

L L G A M M A I L I U T C

E C T P U U I T O I T I I

B G E R E N C I A I D C O

U X C O N T I N U A U A N

R P R O B A B I L I D A D

ENTRETENIMIENTO

Resolución del crucigrama

Sopa de letra

Mediana

Medidas

Menor

Moda

Valores

Promedio

Extremos

Tendencia

Par

Central

Mayor

Cualitativa

Bimodal

Distribuciones

Impar

Estadistica

Mayor

Media

ENTRETENIMIENTO

C

C

L

G

R

S G I

D

C

PUBLICIDAD

Empresas de asesoría en Seguridad y Salud en el Trabajo Evaluación y control de riesgos

ocupacionales

Empresas de asesoría en Gestión de mantenimiento, confiabilidad, calidad y estadísticas

Libros

Doménech JM. Barcelona: (1997).Métodos Estadísticos en

Ciencias de la Salud.

John B. Kennedy y Adam M Neville. (1982). México.

Estadística para ciencias e ingeniería

Martín Pliego FJ, Ruiz-Maya L. (1997). México. Estadística I:

Probabilidad. Editorial AC

Meyer PL. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas (1986).

México: Addison-Wesley iberoamericana.

Morrison (1956). New York. Foundations of the Theory of

Probability. Peña D. (1993). Madrid. Modelos y métodos. 1.

Fundamentos Alianza Universidad Textos

Katz DL. (1997). USA Epidemiology, Biostatistics and

Preventive Medicine Review: W.B. Saunders Compaña;.

REFERENCIAS

Documentos en línea: Alizo, M. Y Otros (2.010). Gestión económica vinculada con la

innovación y adquisición de tecnología en los emprendimientos

emergentes de negocio tipo PYME. [Artículo en línea].

Documento en línea Disponible:

http://www.redalyc.org/pdf/290/29016318007.pdf [Consulta 2015:

Febrero 13]

Distribución de probabilidades Epidat 3. [Artículo en línea].

Disponible:

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/folder/view.p

hp?id=55273

Hospital Ramón y Cajal. Material docente de la unidad de

bioestadística clínica.

Disponible en: http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html