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Matera, 21 aprile 2012. Geometria non euclidea: la nuova idea di spazio matematico. … la definizione e le propriet à della retta e quella delle parallele sono lo scoglio e per cos ì dire lo scandalo degli elementi della geometria . J.-B. d’Alembert , 1759. - PowerPoint PPT Presentation

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Diapositiva 1

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012Geometria non euclidea: la nuova idea di spazio matematico la definizione e le propriet della retta e quella delle parallele sono lo scoglio e per cos dire lo scandalo degli elementi della geometria.

J.-B. dAlembert, 1759

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012 Il fatto A met 800 giunge a conclusione il problema delle parallele, originato con lopera di Euclide nel III a.C.

Le conseguenze La scoperta delle geometrie non euclidee un passo decisivo per liberare lidea di spazio da una corrispondenza troppo rigida con la realt fisica

Nasce una nuova idea di spazio matematico

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012I. Per due punti passa una sola rettaABI postulati euclidei della geometria pianaII. Ogni retta si pu prolungare indefinitamente da entrambe le parti

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012III. Dati un punto ed una distanza si pu sempre tracciare unacirconferenza che ha centro nel punto e raggio uguale alladistanza dataIV. Gli angoli retti sono uguali fra di loroI postulati euclidei della geometria pianaCr.

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012V. Postulato delle parallele: dati una retta ed un punto fuori di essa, esiste una sola retta passante per il punto e parallela alla retta dataPr.I postulati euclidei della geometria piana

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012La parallela euclideaPr.

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012Propriet equivalenti al postulato delle paralelleA+B+C=180d Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012Postulato euclideoEsiste ununica parallela a r passante per PPostulato non euclideo iperbolicoEsistono almeno due parallele a r passanti per PPostulato non euclideo ellitticoNon esistono parallele ad r passanti per P

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012I protagonisti

N.I. Lobaevskij (1792-1856)

J. Bolyai (1802-1860)

C.F. Gauss (1777-1855)

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012

E. Beltrami (1835-1900)I protagonistiIn questi ultimi tempi il pubblico matematico ha incominciato ad occuparsi di alcuni nuovi concetti i quali sembrano destinati, in caso che prevalgano, a mutare profondamente tutto lordito della classica geometria.

Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868)

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012I protagonisti

B. Riemann (1826-1866)

ben noto che la geometria presuppone non soltanto il concetto di spazio ma anche le prime nozioni fondamentali delle costruzioni nello spazio Le rela-zioni fra questi presupposti rimangono oscure Da Euclide a Legendre questa oscurit non stata chiarita n dai matematici n dai filosofi

Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria (1854, pubblicato nel 1868)

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012Il problema delle parallelePr.

Renato Betti Politecnico di MilanoMatera, 21 aprile 2012

(x) x Teorema: Langolo di parallelismo (x) una funzione monotona decrescente di x. Inoltre, per ogni 0 < < /2 esiste un valore di x tale che (x) = .

Langolo di parallelismo (x)

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