il bello della geometria renato betti – politecnico di milano

IL BELLO DELLA GEOMETRIA

Renato Betti – Politecnico di Milano

IL BELLO DELLA GEOMETRIA


quando egli fissava i cieli, io ero là; quando tracciava un cerchio sull'abisso; (Proverbi 8, 27)


Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009

12 rIn R3: 13 r………In Rn: 1 nr

4

4



(?!) ...162,2110 rIn R10:

La ipersfera interna esce dell’ipercubo !

4

4

La geometria è la “misura della terra”

La geometria diventa una scienza razionale

I teoremi di Talete di Mileto(VI sec. aC)





La geometria è lo studio delle “forme dello spazio”

Esistono solo cinque poliedri regolari convessi (Teeteto, IV aC)

Teorema di Pitagora



terra

fuoco

acqua

aria

etere(modello di universo)

I solidi platonici



Teorema di Napoleone

Teorema di Morley

a

b ba

4

2

24

2 ab

ax

Forme dello spazio(aspetti qualitativi, geometria)

Rapporti quantitativi (calcolo, aritmetica/algebra)

Algebra geometrica: baxx 2

Geometria analitica (Descartes, XVII sec.)

La media geometrica non supera la media aritmetica 2

baab



La geometria è lo studio delle proprietà delle forme che sono “invarianti” rispetto alle trasformazioni di un “gruppo” (Felix Klein, 1872)

omogeneità

e

isotropia dello spazio

invarianza rispetto alla sceltadell’unità di misura



L’area del triangolo formato dagli asintoti di un’iperbole e dalla tangente in un puntoqualsiasi è costante (indipendente dal punto)

Due figure F ed F’ sono “equivalenti” (F ~ F’) se esiste una trasformazione t di G che trasforma F in F’: t(F) = F’



1xy

200 yxxy

)0,2

(0y

A )2

,0(0x

B

224

2

1

0000

yxyx

S



Proprietà delle forme

l’incentro e il circocentro di un triangolo sononozioni simili (= invarianti per similitudine)



la nozione di baricentro di un triangolo è una nozione affine




Na b

A B

regola del momento:a.AN = b.BN

Il baricentro

a

a a a

2a



2a

a

3a



Il teorema di Ceva 1EA

CE

DC

BD

FB

AF

a b

c

A B

CE

F

D

(Giovanni Ceva, Milano 1647 – Mantova 1734)



Il teorema dei triangoli omologici(Girard Desargues, 1640)




Esempio: il teorema di Pitagora è una proprietà simile

2

'k

T

Sk

CB

BC

La generalità



2

2

c

a

U

T

c

a

2

2

c

b

U

S

c

b

2222

2

2

2

1 cbac

b

c

a

U

S

U

T

U=T+S



In un triangolo rettangolo, la somma delle aree di due figure simili costruite sui cateti è uguale all’area della figura, simile alle precedenti, costruita sull’ipotenusa



Grazie per l’attenzione

La geometria è la scienza del ragionare corretto su figure scorrette(G. Polya)

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