Lobačevskij e la geometria non euclidea

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792-1856)

Renato BettiPolitecnico di Milano

Pristem & Polymath scuola di Idro

Settembre 2008

P

L’angolo di parallelismo

r

I postulati euclideiI. Si possa condurre una retta da un punto qualunque ad un altro punto qualunque

A BII. Si possa estendere indefinitamente una retta finita in una direzione

III. Si possa tracciare una circonferenza con centro qualsiasi e raggio qualsiasi

IV. Tutti gli angoli retti siano uguali fra di loro

V postulato euclideo: Se una retta, incontrandone altre due nello stesso piano, forma angoli interni da una stessa parte minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano da quella parte in cui gli angoli interni sono minori di due retti.

α

β

α+β < 2π

Equivalente (formulazione di Playfair): In un piano, dati una retta ed un punto fuori di essa, esiste un’unica retta passante per il punto e parallela alla ratta data.

La parallela euclidea

r

P

Proprietà equivalenti al postulato delle parallele

d

A+B+C=180

A

B

C

…la definizione e le proprietà della retta e quella delle parallele sono lo scoglio e per così dire lo scandalo degli elementi della geometria.

d’Alembert, 1759

I modelli non euclidei

Eugenio Beltrami (1835-1900) 1868

I modelli non euclidei

La pseudosfera

Bernhard Riemann (1826-1866)

I modelli non euclidei

La geometria della sfera

r

P

Π(x)

Teorema: L’angolo di parallelismo П(x) è una funzione monotona decrescente di x. Inoltre, per ogni 0 < α < π/2 esiste un valore di x tale che Π(x)=α.

Teorema: Due rette parallele si avvicinano indefinita-mente dal lato del parallelismo e si allontanano indefi- nitamente dall’altro lato. Due rette convergenti si allon-tanano indefinitamente da entrambi i lati a partire dal loro punto comune. Due rette divergenti hanno un’unica perpendicolare comune, sulla quale si misura la loro “minima distanza”.

Dipendenza fra angoli e segmenti: e il “principio di omogeneità”?

Misura assoluta dei segmenti ?

I fasci di rette…

proprio improprio ideale

…e le traiettorie ortogonali

cicli oricicli ipercicli

Teorema: Per tre punti non allineati passa sempre un ciclo, un oriciclo o un ramo di iperciclo.

Teorema: la geometria intrinseca dell’orisfera (ottenuta per rotazione di un oriciclo attorno ad un suo raggio) è euclidea.

Trigonometria del piano iperbolico

П(α)

П(β)

p = r · cos Π(β)q = r · sen Π(β)

sen П(c) = sen П(a)· sen П(b)sen П(β) = cos П(α)· sen П(a)sen П(α) = cos П(β)· sen П(b)cos П(b) = cos П(c)· cos П(α)cos П(a) = cos П(c)· cos П(β)

П(α)

П(β)

sen a = sen c·sen Asen b = sen c·sen Bcos A = cos a·sen Bcos B = cos b·sen Acos c = cos a·cos b

… la trigonometria sferica non dipende dal fatto che in un triangolo piano la somma degli angoli interni sia uguale a due angoli retti oppure no.

C

A

Ba

cb

sen A·tg Π(a) = sen B·tg Π(b) sen Π(a) · ( cos A·cos Π(b)· cos Π(c)) + sen Π(b)· sen Π(c) = sen Π(a)cos Π(a) · ( ctg A·sen C· sen Π(b) + cos C) = cos Π(b)sen Π(a) · ( cos A + cos B · cos C) = sen B·sen C 

L’equazione fondamentale della geometria iperbolica

tg ½ Π(x) = e-x

ee

eeeeee

xx

xx

xx

xx

xtg

x

xsen

2)(

)(cos

2)(

senx

ixitg

tgxixi

xxisen

ee

eeeeee

xixi

xixi

xixi

xixi

2)(

)(cos

cos

12)(

sen A·tg Π(a) = sen B·tg Π(b) sen Π(a) · ( cos A·cos Π(b)· cos Π(c) + sen Π(b)· sen Π(c)) = sen Π(a)cos Π(a) · ( ctg A·sen C· sen Π(b) + cos C) = cos Π(b)sen Π(a) · ( cos A + cos B · cos C) = sen B·sen C

sen A·senh b = sen B·senh a (teorema sferico dei seni)

cosh a = cosh b·cosh c + senh b·senh c·cos A

(teorema sferico dei coseni)

ctg A·sen C + cos C·cosh b = senh b·ctgh a

cos A = cosh a·sen B·sen C – cos B·cos C

(duale del teorema dei coseni)

2

xx eesenhx

2cosh

xx eex

xx

xx

ee

eetghx

Supponendo ora che una qualche contraddizione ci obblighi a rifiutare i principi che abbiamo assunto in questa nuova geometria, questa contraddizione può nascondersi solo nelle equazioni della trigonometria piana. Osserviamo tuttavia che queste equazioni si mutano in quelle della trigonometria sferica non appena ai lati a, b, c sostituiamo ai, bi, ci.

Approssimazione euclidea

se i lati del triangolo a,b,c sono molto piccoli, è possibile considerare i valori approssimati

2

2

2

2)(cos

2

2)(

1)(

x

xx

xxsen

xxtg

b·sen A = a·sen B

a2 = b2+c2–2bc·cos A

a·sen (A+C) = b·sen A

cos A+cos (B+C) = 0

A + B + C = π

Le equazioni [della trigonometria piana] sono già da sole sufficienti per considerare come possibili le proprietà della geometria immaginaria. Tuttavia, non disponiamo di nessun metodo diverso dalle osservazioni astronomiche per giudicare della precisione fornita dai calcoli della geometria ordinaria….

…Questa precisione si estende molto, ad esempio, per i triangoli i cui lati sono accessibili alle nostre misure, la somma degli angoli non differisce da due angoli retti neppure per una frazione di secondo.