la geometria euclidea prof. alessandro merlo - rilievo · pdf filedisegni di leonardo da...

La geometria euclidea Corso di Disegno e Storia dellarte
Prof. Alessandro Merlo
La proiezione assonometrica

LA GEOMETRIA EUCLIDEA E LE FIGURE PIANE
La geometria euclidea un ramo della geometria che riguarda le propriet di enti
geometrici, figure piane e figure solide formulate dal matematico greco Euclide nel trattato
Elementi.
La geometria euclidea parte dalla definizione di concetti primitivi (il punto, la retta, il piano) e
dalla formulazione di alcuni postulati per poi dedurre proposizioni pi complesse (teoremi).
La geometria euclidea si basa su cinque postulati fondamentali:
I Per due punti distinti passa una e una sola retta
II Dato un segmento, i due estremi si possono prolungare indefinitamente
III Un cerchio definito da un punto (il centro) e da una distanza fissa (il raggio)
IV Tutti gli angoli retti sono uguali
V Data una retta e un punto esterno a essa, per il punto passa una e una sola retta parallela
a quella data
Il V postulato (delle parallele) non evidentemente vero, in quanto non rimanda ad alcuna
costruzione geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano.
Negli oltre duemila anni successivi alla diffusione degli Elementi di Euclide, molti sono stati i
tentativi di dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo con altri
equivalenti. Purtroppo tali tentativi sono tutti falliti, perch tutti i ragionamenti riconducevano
sempre all'uso del V postulato, dando luogo nei primi decenni del XIX secolo alla diffusione di
geometrie non euclidee.
Introduzione alla geometria euclidea

LA GEOMETRIA EUCLIDEA E LE FIGURE PIANE
Concetti fondamentali della geometria euclidea sono la congruenza, lequivalenza, la
similitudine.
Si tratta di relazioni tra figure geometriche che stabiliscono criteri di confronto tra di esse.
La congruenza la probabilit della sovrapponibilit di due figure piane distinte.
Lequivalenza la relazione che correla figure piane di forme anche diverse, ma
caratterizzate dalla stessa area, cio dalla stessa estensione superficiale.
La similitudine la propriet di due figure che possono essere viste luna come
lingrandimento o il rimpicciolimento dellaltra.
COSTRUZIONE DI POLIGONI REGOLARI
I poligoni regolari sono figure geometriche che delimitano una porzione chiusa di piano con
una serie di segmenti consecutivi tutti uguali tra loro e formanti angoli uguali.
E possibile costruire un poligono regolare conoscendo la sola misura del lato, oppure la
misura del raggio della circonferenza in cui il poligono risulta inscritto.
Un poligono inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla
circonferenza.
I poligoni regolari

IL TRIANGOLO EQUILATERO
Il triangolo equilatero e il poligono regolare con il minor numero di lati ed angoli.
Essendo un poligono regolare i tre lati hanno la medesima lunghezza ed i tre angoli misurano
ciascuno 60.
Triangolo equilatero
Ictino,
Partenone
William
van Alen,
Chrysler
Building

TRIANGOLO
EQUILATERO
Tracciamo il segmento
AB, centriamo il
compasso nei suoi
estremi A e B con raggio
AB e tracciamo due archi
che si intersecano nel
punto 1. Uniamo il punto
1 con gli estremi A e B
completando il triangolo
equilatero.
Triangolo equilatero dato il lato AB

TRIANGOLO
EQUILATERO
Tracciamo il diametro AB
della circonferenza data,
centriamo il compasso
nel suo estremo A e con
apertura pari al raggio
descriviamo un arco che
interseca la circonferenza
nei punti 1 e 2.
Uniamo i punti 1, 2 e B
ottenendo il triangolo
equilatero inscritto nella
circonferenza.
Triangolo equilatero dato il raggio

PERPENDICOLARE AD
UN SEGMENTO
Dato un segmento AB
vogliamo costruire una
semiretta che abbia
origine in A e che risulti
perpendicolare al
segmento dato AB.
Centriamo il compasso
nel punto A, con apertura
qualsiasi, e descriviamo
un arco di circonferenza
che intersechi il
segmento AB ed il suo
prolungamento nei punti 1
e 2. Con apertura
qualsiasi, purch
maggiore della distanza
1A, centriamo nel punto 1
e tracciamo un breve
arco, che intersecheremo
con un altro arco di
uguale raggio e centro nel
punto 2, ottenendo il
punto 3.
Perpendicolare ad un segmento AB per il suo punto A

Piet Mondrian, 1921
QUADRATO
Il quadrato un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARIT
Due o pi enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o pi enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
Quadrato

Filosofia greca e matematica
greco-ellenistica
Matematica e geometria
esistenza dei numeri irrazionali,
individuazione dei numeri primi,
individuazione delle terne
pitagoriche, quadratura del
cerchio, incommensurabilit di
lato e diagonale del quadrato
Musica
espressione numerica dei
rapporti musicali
Architettura ed urbanistica
duplicazione del quadrato e del
cubo, assetto funzionale delle
citt fondate
Schema ippodameo
Simbologia del quadrato nella storia delle diverse culture
Pre-classicismo
Recinto delimitante unarea sacra o un luogo protetto in cui
stabilirsi, suddividendo equamente il territorio tra i membri della
comunit
QUADRATO
Il quadrato un
parallelogramma con
uguali fra loro. Le
intersecano
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARIT
Due o pi enti sono
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o pi enti sono
uno hanno la stessa

La centuriazione romana
Misurazione e disegno del territorio
Pianificazione territoriale mediante
quadratura
Orientamento mediante individuazione di
capisaldi
Distribuzione razionale dei lotti di
fabbricazione
Distribuzione interna dellinsula e della
domus
Orientamento
Costruzione della rosa dei venti
Simbologia magica
Immobilit, solidit, stabilit terrena,
perfezione planimetrica
(rappresentazione biblica della
Gerusalemme celeste)
Unito e contrapposto al cerchio
rappresenta il cosmo, il cielo e la terra, il
tempo e lo spazio
QUADRATO
Il quadrato un
parallelogramma con
uguali fra loro. Le
intersecano
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARIT
Due o pi enti sono
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o pi enti sono
uno hanno la stessa

Geometria e
matematica del
quadrato
Homo ad
quadratum
Capacit del
quadrato di
racchiudere altre
forme
geometriche
Capacit del
quadrato di
dimensionare il
disegno della
figura umana.
QUADRATO
Il quadrato un
parallelogramma con
uguali fra loro. Le
intersecano
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARIT
Due o pi enti sono
retti.
CO

la geometria euclidea prof. alessandro merlo - rilievo · pdf filedisegni di leonardo da...

Documents