แผนการจัดการเรียนรู บูรณาการกับแนวคิดเศรษฐกิจพอเพียง รหัสวิชา  ค31102  คณิตศาสตรพื้นฐาน 

ภาคเรียนที่  2  ระดับชั้นมธัยมศกึษาปที่  4 

1.  สรุปความคดิรวบยอดเกี่ยวกับความสัมพันธและเขียนแทนความสัมพันธในรูปแบบตาง ๆ ได 2.  เขียนกราฟของความสัมพันธได 3.  สรางความสัมพันธจากสถานการณหรือปญหาทีก่ําหนดใหและนําไปใชได 4.  มีความคดิรวบยอดเกี่ยวกับฟงกชันและเขียนฟงกชนัในรูปตาง ๆได 5.  เขียนกราฟของฟงกชันที่กําหนดใหได 6.  สรางฟงกชันจากสถานการณหรือปญหาที่กําหนดใหและนาํไปใชได 7.  เขียนกราฟของฟงกชันและการนําไปใชในการแกปญหาได

สาระการเรียนรู 

รหัสวิชา  ค31102  คณิตศาสตรพื้นฐาน 

ภาคเรียนที่  2  ระดับมัธยมศึกษาชั้นปที่  4 

1.  ความสัมพันธ 1.1  ความสัมพันธในรูปสมการ 1.2  ความสัมพันธในรูปกราฟ 1.3  ความสัมพันธในรูปตาราง 

2.  ฟงกชัน 2.1  เขียนฟงกชนัในรูปสมการ 2.2  เขียนฟงกชนัในรูปกราฟ 2.3  เขียนฟงกชนัในรูปตาราง 

3.  กราฟ 3.1  กราฟของฟงกชัน 3.2  การนําไปใช

แผนการจัดการเรียนรูที่ 1 

มาตรฐาน  ค๔.๑  เขาใจและวเิคราะหแบบรูป (pattern)  ความสัมพันธ และฟงกชนั 

ตัวชี้วัด ม 4-6 / 2 มีความคดิรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธและฟงกชัน เขียนแสดงความสัมพันธและฟงกชนั ในรูปตาง ๆ เชน ตาราง  กราฟ และสมการ 

มาตรฐาน ค ๖.๑  มีความสามารถในการแกปญหา  การใหเหตุผล  การสื่อสาร  การส่ือความหมายทาง คณิตศาสตร  และการนําเสนอ  การเชือ่มโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับ ศาสตรอื่น ๆ และมีความคดิริเร่ิมสรางสรรค 

ตัวชี้วัด ม.4-6/1-6 1.  ใชวิธีการที่หลากหลายในการแกปญหา 2.  ใชความรู ทักษะกระบวนการทางคณติศาสตร และเทคโนโลยีในการแกปญหาใน 

สถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม 3.  ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลไดอยางเหมาะสม 4.  ใชภาษาและสัญลักษณทางคณติศาสตรในการส่ือสาร  การส่ือความหมาย  และการนําเสนอ 

ไดอยางถูกตองและชัดเจน 5.  เช่ือมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและนําความรู  หลักการกระบวนการทาง 

คณิตศาสตรไปเช่ือมโยงกับศาสตรอื่น ๆ 6.  มีความคดิริเริ่มสรางสรรค

ตัวชี้วัด  ม 4-6 / 2 

-  สรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับความสัมพันธ  และเขียนแทนความสัมพันธในรูปแบบตาง ๆ  ได 

การบูรณาการกบัแนวคดิเศรษฐกิจพอเพยีง ความพอประมาณ 1.  นักเรียนรูใชหลักเศรษฐกจิพอเพียงในการดําเนินชีวิตประจําวนั  และสามารถเขียน 

ความสัมพันธกับชวีิตประจําวันไดอยางเหมาะสม ความมีเหตุผล 2.  นักเรียนสามารถเปรียบเทียบ  เชื่อมโยง  ความสัมพันธกับชีวิตประจําวนัอยาง 

สมเหตุสมผล การมีภูมิคุมกันทีด่ี 3.  นักเรียนใชแนวคิดเศรษฐกิจพอเพียงในการพอประมาณ  มีเหตุผลในแกปญหา 

ตาง  ๆ  ในชีวติประจําวัน   เปนปกตินิสัย เงื่อนไขความรู 4.  นักเรียนมคีวามรูเรื่องความสัมพันธ และนําไปประยุกตใชในชีวิตประจําวนัได เงื่อนไขคุณธรรม 5.  นักเรียนมีความรอบคอบ  ทํางานเปนระบบ  วินัย  และมีเจคติตอการเรียนการสอน

กรอบการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนและการประเมินผลตามสภาพจริง 

1.  กลุมสาระการเรียนรู  คณิตศาสตร  2.  สาระที่ 1  ความสัมพันธ  3.  มาตรฐานการเรียนรู  ค 4.1  อธบิายและวิเคราะหแบบรูป ( pattern ) ความสัมพันธและฟงกชันตาง ๆ ได  4.  ระดับชั้น  ม. 4  จํานวน  6  ชั่วโมง 

ตัวชี้วัด ม 4-6 / 2  ภาระงาน / กิจกรรมหลัก  ผลงาน / ชิ้นงาน / คุณลักษณะ  เกณฑการประเมิน  มาตรฐานคุณภาพที่สงผล 1.  สรุปความคดิรวบยอด 

เกี่ยวกับความสัมพนัธ และเขียนแทน ความสัมพันธในรูปแบบ ตาง ๆ  ได 

1.  นักเรียนแตละกลุมสรุป ความคดิรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธ 2.  เขียนแทนความสัมพันธใน รูปแบบตาง ๆ  ได 3.  นักเรียนสามารถบูรณาการ กับแนวคิดเศรษฐกิจพอเพียง ได 

1.  สรุปความคดิรวบยอด เกี่ยวกับความสัมพนัธ 

2.  เขียนแทนความสัมพันธใน รูปแบบตาง ๆ 

คุณลักษณะ  ( A ) 1.  การทํางานรวมกับผูอ่ืน 2.  มีเจตคติทีด่ีตอการเรยีน 

การสอน 

1.  การสรุปความคิดรวบยอด เกี่ยวกับความสัมพนัธ (K) 

2.  การเขียนแทนความสัมพันธ ในรูปแบบตาง ๆ  (P) 

มาตรฐาน  ค๔.๑ และ มาตรฐาน ค ๖.๑

เกณฑระดับคุณภาพ  ( Rubrics ) ระดับคุณภาพ เกณฑ 

4  ( ดีเยี่ยม )  3  ( ดี )  2 ( พอใช )  1 ( ปรับปรุง ) 1.  สรุปความคดิรวบยอด 

เกี่ยวกับความสัมพนัธ สรุปความคดิรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธถูกตองครบถวน รอยละ  80 

สรุปความคดิรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธถูกตองครบถวน รอยละ  70 

สรุปความคดิรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธถูกตองครบถวน รอยละ  65 

สรุปความคดิรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธถูกตองครบถวน รอยละ  60 

2.  เขียนความสัมพันธใน รูปแบบตาง ๆ  ได 

เขียนความสัมพันธในรูปแบบ ตาง ๆ  ไดถูกตองรอยละ  80 

เขียนความสัมพันธในรูปแบบ ตาง ๆ  ไดถูกตองรอยละ  70 

เขียนความสัมพันธในรูปแบบ ตาง ๆ  ไดถูกตองรอยละ  65 

เขียนความสัมพันธในรูปแบบ ตาง ๆ  ไดถูกตองรอยละ  60 

เกณฑระดับคุณภาพ  (Rubrics) คุณลักษณะ  :  การทํางานรวมกับผูอื่น พฤติกรรมบงชี ้ 1.  มีปฎิสัมพันธรวมกับกลุม  2.  แสดงความคดิเห็นสนใจความรูสึกและยอมรับฟงความคดิเห็นของผูอ่ืน  3. ปฏิบัติงานตามที่รับมอบหมาย 

ระดับคุณภาพ เกณฑ 4  ( ดีเยี่ยม )  3  ( ดี )  2 ( พอใช )  1 ( ปรับปรุง ) 

คุณลักษณะ  :  การทํางาน รวมกับผูอ่ืน 

ปฏิบัติงานตามที่ไดรับ มอบหมายและขอตกลงของ กลุมจนสําเร็จ  มีปฏิสัมพันธ รวมกับกลุมดวยความเอาใจใส และแสดงความคิดเห็นโดย คํานึงถึงความรูสึกของผูอื่น และยอมรับความคิดเหน็ของ ผูอ่ืน 

ปฏิบัติงานตามที่ไดรับมอบหมาย และขอตกลงของกลุมจนสําเร็จ  มี ปฏิสัมพันธรวมกับกลุมดวยความ เอาใจใสและแสดงความคิดเห็น โดยคํานึงถึงความรูสึกของผูอื่น และยอมรับความคิดเหน็ของผูอ่ืน บางประเด็น 

ปฏิบัติงานตามที่ไดรับ มอบหมายและขอตกลงของ กลุมจนสําเร็จ  มี ปฏิสัมพันธรวมกับกลุมดวย ความไมคอยเอาใจใสและไม แสดงความคิดเห็น 

ไมปฏิบัติงานตามที่รับ มอบหมายและขอตกลงของ กลุม    ขาดแสดงความคิดเห็น และไมยอมรับความคิดเห็น ของผูอื่น

เกณฑระดับคุณภาพ  ( Rubrics ) คุณลักษณะ  :  ดานการมีเจตคติทีด่ีตอการเรียนการสอน พฤติกรรมบงชี ้ 1.  มีความสุขกับการเรียน  2.  มีความภาคภูมใิจในผลงาน  3.  เห็นประโยชนหรือคณุคาที่ไดรบัจากการปฏิบัติงาน 4.  มองเห็นส่ิงที่จะนําไปใชในชีวติประจําวัน 

ระดับคุณภาพ เกณฑ 4  ( ดีเยี่ยม )  3  ( ดี )  2 ( พอใช )  1 ( ปรับปรุง ) 

คุณลักษณะ  :  ดานการมีเจต คติที่ดีตอการเรียนการสอน 

นักเรียนแสดงความรูสึกที่ สะทอนตามพฤติกรรมบงช้ี 4 ขอ 

นักเรียนแสดงความรูสึกที่ สะทอนตามพฤติกรรมบงช้ี 3 ขอ 

นักเรียนแสดงความรูสึกที่ สะทอนตามพฤติกรรมบงช้ี 2 ขอ 

นักเรียนแสดงความรูสึกที่ สะทอนตามพฤติกรรมบงช้ี 1 ขอ 

การสรุปภาพรวมของผลการเรียนรูที่คาดหวงั  :  สรุปความคิดรวบยอดเกีย่วกบัความสัมพันธและเขียนแทนความสมัพันธในรูปแบบตาง ๆ ได นําผลการประเมินจากผลงานหรือคณุลักษณะ  รวมกันแลวเทียบกับชวงคะแนนในการตัดสินผลการเรยีนรูทีค่าดหวงั 

ระดับคุณภาพ  ชวงคะแนน 4  13 – 16 3  11 – 12 2  9  -  10 1  ต่ํากวา 9 

การประกันผลการเรียนรูและการประกันการสอน รายบุคคล  ผูเรียนมีผลการเรียนรูในผลการเรียนรูที่คาดหวัง  :  สรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับความสัมพันธและเขียนแทนความสัมพันธในรูปแบบตาง ๆ  ได  อยู 

ระดับคณุภาพ  ดี  ขึ้นไปถือวา  ผาน รายกลุม  รอยละ  80  ของจํานวนที่ไดระดับผลการเรียนรู  ดี  ขึ้นไป   ถือวาผูสอนประสบผลสําเร็จในการสอน

แผนการจัดการเรียนรูที่ 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร  รหัสวิชา  ค31102  คณิตศาสตรพื้นฐาน ระดับชั้น  มัธยมศึกษาปที่  4 ชื่อหนวยการเรียนรู     ความสัมพันธ  จํานวน  6  ชั่วโมง 

มาตรฐาน  ค๔.๑  เขาใจและวเิคราะหแบบรูป (pattern)  ความสัมพันธ และฟงกชนั 

ตัวชี้วัด ม 4-6 / 2 มีความคดิรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธและฟงกชัน เขียนแสดงความสัมพันธและฟงกชนั ในรูปตาง ๆ เชน ตาราง  กราฟ และสมการ 

มาตรฐาน ค ๖.๑  มีความสามารถในการแกปญหา  การใหเหตุผล  การสื่อสาร  การส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร  และการนําเสนอ  การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยง คณิตศาสตรกับศาสตรอื่น ๆ และมีความคดิริเร่ิมสรางสรรค 

ตัวชี้วัด ม.4-6/1-6 4.  ใชวิธีการที่หลากหลายในการแกปญหา 5.  ใชความรู ทักษะกระบวนการทางคณติศาสตร และเทคโนโลยีในการแกปญหาใน 

สถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม 6.  ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลไดอยางเหมาะสม 7.  ใชภาษาและสัญลักษณทางคณติศาสตรในการส่ือสาร  การส่ือความหมาย  และการ 

นําเสนอไดอยางถูกตองและชัดเจน 8.  เช่ือมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและนําความรู  หลักการกระบวนการทาง 

คณิตศาสตรไปเช่ือมโยงกับศาสตรอื่น ๆ 9.  มีความคดิริเริ่มสรางสรรค

1.  ตัวชี้วัด ม 4-6 / 2 ดานความรู 

1.  นักเรียนมคีวามรูเรื่องคูอันดับ    ผลคณูคารทีเซียน  และสรุปความคิดรวบยอด เกี่ยวกับความสัมพนัธได 

1.  นักเรียนสามารถนําความรูเรื่องคูอันดับมาเขยีนกราฟได 2.  เขียนเซตของความสัมพันธทีเ่กีย่วของกับชีวิตประจําวันได 

ดานทกัษะกระบวนการ 1.  นักเรียนเขียนคูอันดับ   ผลคณูคารทีเซียน   และความสัมพันธได 2.  นักเรียนสรุปคูอันดับ   ผลคณูคารทีเซียน   และความสัมพันธได 3.  เชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกบัศาสตร 

อ่ืน ๆ ได 4.  มีความคิดริเริ่มสรางสรรค 

ดานคุณลกัษณะ 1.  การทํางานรวมกับผูอ่ืน 2.  การมีเจตคติที่ดตีอการเรียนการสอน 3.  ทํางานเปนระบบ  มีความรอบคอบ 4.  มีวินัย 

การบูรณาการกบัแนวคิดเศรษฐกจิพอเพียง ความพอประมาณ 1.  นักเรียนรูใชหลักเศรษฐกจิพอเพียงในการดําเนินชีวิตประจําวัน  และสามารถเขียน 

ความสัมพันธกับชีวิตประจําวันไดอยางเหมาะสม ความมีเหตุผล 2.  นักเรียนสามารถเปรียบเทียบ  เชื่อมโยง  ความสัมพันธกับชีวิตประจําวันอยาง 

สมเหตุสมผล การมีภูมิคุมกันท่ีด ี3.  นักเรียนใชแนวคิดเศรษฐกิจพอเพียงในการพอประมาณ  มีเหตุผลในแกปญหา 

ตาง  ๆ  ในชีวิตประจําวัน   เปนปกตินิสัย เง่ือนไขความรู 4.  นักเรียนมีความรูเรื่องความสัมพันธ และนําไปประยุกตใชในชีวิตประจําวันได เง่ือนไขคุณธรรม 5.  นักเรียนมีความรอบคอบ  ทํางานเปนระบบ  วินยั  และมีเจคติตอการเรยีนการสอน

2.  สาระการเรียนรู 2.1  คูอันดับ 2.2  ผลคูณคารทีเซียน 2.3  ความสัมพันธ 2.4  โดเมนและเรนจของความสัมพันธ 2.5  อินเวอรสของความสัมพันธ 

3.  กิจกรรมการเรียนรู คาบที่ 1 

ขั้นนํา  1.  ครูยกตัวอยางการจับคูของส่ิงของสองส่ิง  เชน  รายการอาหารกับราคา    ฯ 2.  ครูใหนกัเรียนยกตัวอยางเชนเดียวกับขอ 1 3.  ครูสอดแทรกแนวคดิเศรษฐกิจพอเพียงท้ัง 5 ดาน ใหนกัเรียน 

ขั้นสอน 1.  ครูอธิบายใหนกัเรียนทราบวา  ส่ิงของสองส่ิงที่จับคูกนั   ลักษณะเชนนี้ เรียกวา 

“ คูอันดับ ” 2.  แบงกลุมนักเรียนคละความสามารถ    กลุมละ  5  คน      ใหศึกษาเอกสาร 

ประกอบการเรียนรูที่ 1 นิยามคูอันดับ   การเทากันของคูอนัดับ 3.  นักเรียนทํากิจกรรมที่ 1 4.  ครูและนักเรียนชวยกันเฉลย   กิจกรรมที่ 1 5.  ครูสอดแทรกแนวคดิเศรษฐกิจพอเพียงท้ัง 5 ดาน ใหนกัเรียน เชน    การจับคูความสัมพันธ  ระหวางรายรับกับรายจาย  ประจําวัน  และนําผลการ 

วิเคราะห มาใชกับสภาพเศรษฐกิจปจจุบัน และวางแผนเพือ่เปนภูมิคุมกนัตัวเอง ในการใชจาย ทีจ่ะ ทําใหเกิดการพอเพียง  มคีวามพอประมาณ และวางแผนการใชจายในอนาคต ตอไป ฯลฯและครใูห นักเรียนยกตวัอยาง เรื่องอ่ืนเปนรายบคุคล 

ขั้นสรุป  ครูและนักเรียนชวยกันสรุปนยิามของคูอันดับ  และการเทากันของคูอันดับ 

คาบที่ 2 1.  ใหนักเรยีนแตละกลุมศกึษาเอกสารประกอบการเรียนรูที่ 2   ( ผลคูณคารทีเซียน ) 2.  นักเรียนทํากิจกรรมที่  2 3.  ครูและนักเรียนชวยกันเฉลย  กิจกรรมที่  2 4.  ครูสอดแทรกแนวคดิเศรษฐกิจพอเพียงท้ัง 5 ดาน ใหนกัเรียน

ขั้นสรุป  1.  ครูตรวจสอบความเขาใจของนกัเรียน    โดยการเขียนโจทยพิเศษบนกระดานและ ใหนักเรยีนแตละกลุมชวยกนัทํา  และสงเปนกลุม 

2.  ครูและนักเรียนชวยกันสรุปหลักการหาผลคูณคารทีเซียน คาบที่ 3 – 4 

1.  ใหนักเรยีนแตละกลุมศกึษาเอกสารประกอบการเรียนรูที่ 3  ครูอธิบายตัวอยาง ใหนักเรยีนไดเขาใจอีกครั้ง 

2.  นักเรียนแตละกลุมทํากจิกรรมที่ 3 3.  ครูและนักเรียนชวยกันเฉลยกิจกรรมที่ 3 4.  ครูสอดแทรกแนวคดิเศรษฐกิจพอเพียงท้ัง 5 ดาน ใหนกัเรยีน 

ขั้นสรุป  1.  ครูแจกโจทยเพิ่มเติมใหนกัเรียนแขงขนักนัทํา    ใครทาํเสร็จกอนมีรางวัลใหและ ใหคะแนนตามลําดับกอนหลัง   และตรวจสอบความถูกตองดวย 

2.  ครูและนักเรยีนชวยกันสรุป    การตรวจสอบความสัมพันธใน  A  และ ความสัมพันธจาก  A  ไป  B  โดยกําหนด  r  มาให 

คาบที่ 5 1.  ใหนักเรยีนแตละกลุมศกึษาเอกสารประกอบการเรียนรูที่  4  ครูอธิบายตัวอยาง 

ใหนักเรยีนเขาใจเพิ่มเติม 2.  นักเรียนแตละกลุมทํากจิกรรมที่ 4 3.  ครูและนักเรียนชวยกันเฉลยกิจกรรมที่ 4 4.  ครูสอดแทรกแนวคดิเศรษฐกิจพอเพียงท้ัง 5 ดาน ใหนกัเรยีน 

ขั้นสรุป  ครูและนักเรียนชวยกันสรุปวิธีการหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ 

คาบที่ 6 1.  ใหนกัเรียนแตละกลุมศึกษาเอกสารประกอบการเรียนรูที่  5  ครูอธิบายตัวอยาง 

เพ่ิมเติม 2.  ใหนักเรยีนทํากิจกรรมที่  5 3.  ครูอธิบายโจทยและใหนกัเรียนชวยกันเฉลย 4.  ครูเขียนโจทยพิเศษใหนกัเรียนแขงกนัทํา  หรือใหนักเรยีนทําเปนรายบุคคล 5.  ครูสอดแทรกแนวคดิเศรษฐกิจพอเพียงท้ัง 5 ดาน ใหนกัเรียน

ขั้นสรุป  ครูนํานกัเรียนสรุปหลักการหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ 

4.  การวัดผลประเมินผล การวัดผล  การประเมินผล 

1.  สังเกตจากการตอบคําถาม  1. 2.  สังเกตจากการรวมกจิกรรม  2. 3.  ทําเอกสารแนะแนวทาง  3. 4.  ทําเอกสารฝกหัด  4. 5.  ทําโจทยพิเศษทายช่ัวโมง  5. 6.  ทําแบบฝกหัดเพิ่มเติม  6. 

5.  สื่อการเรียนรู -  เอกสารประกอบการเรียนรูหมายเลข  1 – 5 -  เอกสารแนะแนวทาง 

แหลงการเรียนรู -  หองสมุดทั่วไป และหองสมุดโรงเรียน -  คลินิกคณิตศาสตร กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร โรงเรยีนแมใจวิทยาคม -  ครู  ,  รุนพี่  ,  เพ่ือน  หรือผูท่ีมีความรูในเรื่องนี้ 

6.  บันทกึผลหลงัการสอน ………………………………………………………………………………………………… ……………...………………………………………………………………………………… ……………………………...………………………………………………………………… ……………………………………………...………………………………………………… ……………………………………………………………... 

ลงชื่อ……………………………….. (นายอุดม  วงศศรีดา) ครู  ชํานาญการพิเศษ 

ผูจัดทํา

เอกสารประกอบการเรียนรูที่ 1 

คูอันดบั  ( Ordered   pairs )  หมายถึง   การจับคูสิ่งของสองส่ิง   โดยถือลําดับเปนสําคัญ ถา  a  ,  b  เปนส่ิงของ  2  ส่ิง     คูอันดับ  a  ,  b  เขียนแทนดวย  (  a , b ) 

เรียก  a  วา  สมาชิกตัวหนา  และเรียก  b  วา  สมาชกิตวัหลัง ( a , b )  ≠  ( b , a )  ยกเวน  a  =  b 

นิยาม  การเทากันของคูอนัดบั ( a , b )  =  ( c , d )  ก็ตอเมื่อ  a  =  c  และ  b  =  d 

กิจกรรมที่ 1 

จงหาคา  x  และ y  ในแตละคูอันดับตอไปนี้ 1.  ( x , y )   =   ( 3 , 4 ) 2.  ( x , 3 )   =   ( 4 , y ) 3.  ( x , y )   =   ( 5 , 6 ) 4.  ( 2 , y )   =   ( x , 3 ) 5.  ( x , 1 )   =   ( 1 , y ) 6.  ( x , 0 )   =   ( 4 , y ) 7.  ( 2 , 5 )   =   ( x , y ) 8.  ( x+1 , 3 )   =   ( 2 , y-1 ) 9.  ( x , y+1 )   =   ( x-2 , 3 ) 10.  ( x-2 , 5 )   =   ( 4 , y-3 )

เอกสารประกอบการเรียนรูที่ 2 

ผลคูณคารทีเซียน  (  Cartesian     Product  ) นิยาม  ผลคูณคารทีเซียนของเซต  A  และ  เซต  B  คือ  เซตของคูอันดับ  ( a , b )  ทั้งหมด โดยที่  A  เปนสมาชิกของเซต  A  และ  b  เปนสมาชิกของเซต  B  ผลคูณคารทีเซียนของเซต A  และ  เซต  B  เขียนแทนดวย  Β × Α 

ตัวอยาง  กําหนดให  A  =  { } { } f e c b a  , , , , = Β 

จะไดวา  Β × Α  =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } f c e c f b e b f a e a  , , , , , , , , , , , 

กิจกรรมที่ 2 

จงหา  Β × Α  ,  Α × Β  ,  Α × Α  และ  Β × Β  เมื่อกําหนดเซต  A  และ  เซต  B  ให ในแตละขอ 

(1) กําหนดให  { } 4 , 3 = Α  และ  { } 3 , 2 = Β

Β × Α  =  ……………………………….. ( ) ( ) ( ) ( ) { } 3 , 4 , 2 , 4 , 3 , 3 , 2 , 3

Α × Β  =  ……………………………….. ( ) ( ) ( ) ( ) { } 4 , 3 , 3 , 3 , 4 , 2 , 3 , 2

Α × Α  =  ……………………………….. ( ) ( ) ( ) ( ) { } 4 , 4 , 3 , 4 , 4 , 3 , 3 , 3

Β × Β  =  ……………………………….. ( ) ( ) ( ) ( ) { } 3 , 3 , 2 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 

(2) กําหนดให  { } 2 , 1 , 0 = Α  และ  { } 5 , 2 = Β

Β × Α  =  ……………………………….. Α × Β  =  ……………………………….. Α × Α  =  ……………………………….. Β × Β  =  ………………………………..

เอกสารประกอบการเรียนรูที่ 3 - 4 

ความสัมพันธ  ( Relation ) กําหนดให  A  และ  B  เปนเซตใด ๆ 

นิยาม  r  เปนความสัมพันธจาก  A ไป  B  ก็ตอเมื่อ  r  Β × Α ⊂ 

1.  r  เปนความสัมพันธจาก  A  ไป  A  หรือเรียกวา   ความสัมพันธใน  A  ก็ตอเมื่อ  r Α × Α ⊂ 2.  ถา  ( x , y )  ∈  r  หมายความวา  x  มีความสัมพันธ  r  กับ  y  เขียนแทนดวย  x  r 

y 3.  ถา  n(A)  =  m  และ  n(B)  =  n  แลวจํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก  A ไป  B 

เทากับ  mn 2 

ความสัมพันธ Ex 1.  ถา  { } 3 , 2 , 1 = Α  และ  r   =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 , 2 , 3 , 3 , 2 , 2 , 3 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 

R  เปนความสัมพันธใน  A  หรือไม วิธีทํา  หา  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 3 , 3 , 2 , 3 , 1 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 = Α × Α

∴  r  Α × Α ⊂

∴  r  เปนความสัมพันธใน  A                        ### 

Ex 2.  กําหนดให  { } { } 3 , 2 , 3 , 2 , 1 = Β = Α  จงหาความสัมพันธในแต ละขอตอไปนี้

1)  r 1  เปนความสัมพันธ  “ นอยกวา ”  จาก  A ไป  B วิธีทํา  หา  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 3 , 3 , 2 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 = Β × Α 

จาก  r 1  เปนความสัมพันธ  “ นอยกวา ”  จาก  A ไป  B  ก็จะได r 1    =  ( ) ( ) ( ) { } 3 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1  ### 

2)  r 2  เปนความสัมพันธ  “ มากกวา ”  จาก  A ไป  B r 2    =  ( ) { } 2 , 3  ### 

3)  r 3  เปนความสัมพันธ  “ เทากับ ”  จาก  A ไป  B r 3    =  ( ) { } ) 3 , 3 ( , 2 , 2  ###

ใบกิจกรรมที่ 3 1.  กําหนดให  { } { } 4 , 1 , 2 , 1 , 0 = Β = Α  จงหาความสัมพันธในแตละขอ 

1.1)  r 1  เปนความสัมพันธ  “ นอยกวา ”  จาก  A ไป  B 1.2)  r 2  เปนความสัมพันธ  “ มากกวา ”  จาก  A ไป  B 1.3)  r 1  เปนความสัมพันธ  “ เทากัน ”  จาก  A ไป  B 

2.  กําหนด  { } { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = Β = Α  ความสัมพันธในแตละขอเปน ความสัมพันธจากเซตใดไปเซตใด 

1)  r 1   =  { } ) 6 , 3 ( , ) 5 , 2 ( , ) 4 , 1 ( 

2)  r 2   =  { } ) 3 , 3 ( , ) 2 , 2 ( , ) 1 , 1 ( 

3)  r 3   =  { } ) 2 , 2 ( , ) 1 , 2 ( , ) 3 , 1 ( 

4)  r 4   =  { } ) 6 , 5 ( , ) 6 , 4 ( 

5)  r 5   =  { } ) 6 , 2 ( , ) 1 , 4 ( 

6)  r 6   =  { } ) 6 , 1 ( 

3.  กําหนดให  { } { } 4 , 1 , 2 , 1 , 0 = Β = Α  จงหาจํานวนความสัมพันธทั้งหมดที่ เปนไปไดในแตละขอ 

1)  ความสัมพันธจาก  A  ไป  B 2)  ความสัมพันธจาก  B  ไป  A 3)  ความสัมพันธใน  A 4)  ความสัมพันธใน  B

เอกสารประกอบการเรียนการสอนที่ 4 โดเมนและเรนจของความสัมพันธ 

ถา  r  เปนความสัมพันธ โดเมนของ  r  คือเซตของสมาชิกตัวหนาของทุกคูอันดับท่ีอยูใน  r  ( D r  ) เรนจของ  r  คือเซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคูอันดับที่อยูใน  r   ( R r  ) นั่นคือ  ( ) { } ( ) { } r y x y R r y x x D  r r ∈ = ∈ =  , | , , |

ตัวอยาง  ถา  r   =  ( ) ( ) ( ) { } f e d c b a  , , , , , 

จะไดวา  { } { } f d b R e c a D  r r  , , , , , = = 

กิจกรรมที่  4 จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธตอไปนี้ 

1)  ( ) ( ) ( ) { } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 = r

= r D  ……………………………………………………. = r R  ……………………………………………………. 

2)  ( ) { } 1 | , + = × ∈ =  x y R R y x r

= r D  ……………………………………………………. = r R  ……………………………………………………. 

3)  ( ) { } 9 | , = + Ν × Ν ∈ =  y x Y X r

= r D  ……………………………………………………. = r R  …………………………………………………….

อินเวอรสของความสมัพันธ  ( Inveres   of    relation ) อินเวอรสของความสัมพันธ  คือ   ความสัมพันธใหมที่เกดิจากการสลับท่ีของสมาชิกตวั 

หนาและสมาชิกตัวหลังของทุก ๆ คูอันดับ  ในความสัมพันธที่กําหนดให อินเวอรสของความสัมพันธ  r  ใชสัญลักษณ  r -1 

∴  r -1  =  ( ) ( ) { } r y x x y ∈ , | , 

หรือ  r -1  =  ( ) ( ) { } r x y y x ∈ , | , 

การหาอินเวอรสของความสัมพนัธ  r  ทําไดดังนี้ 1.  ถาความสัมพันธกําหนดเปนเซตแจกแจง        อินเวอรสของความสัมพันธ    คือ      เซตที่ 

ประกอบดวยคูอันดับที่เกิดจากการสลับท่ีของสมาชิกตวัหนาและตัวหลังของทุก  ๆ    คูอันดับ    ใน ความสัมพันธที่กําหนด เชน  r   =  ( ) ( ) { } 4 , 3 , 2 , 1  จะได  r -1  =  ( ) ( ) { } 3 , 4 , 1 , 2 

2.  ถาความสัมพันธกําหนดเปนเซตเงื่อนไข   อินเวอรสของความสัมพันธหาได  2  วิธี 2.1)  สลับท่ีระหวาง  x  กับ  y  ที่คูอันดับ 

เชน  r      =  ( ) { } 1 3 | , + =  x y y x  จะได  r -1  = ( ) { } 1 3 | , + =  x y x y 

2.2)  สลับท่ีระหวาง  x  กับ  y  ที่เงื่อนไข เชน  r  =  ( ) { } 1 3 | , + =  x y y x 

จะได  r -1  =  ( ) { } 1 3 | , + =  y x y x  หรือ  r -1  = 

( )

−

= 3 1 | ,  x y y x 

3.  ถาความสัมพันธกําหนดเปนกราฟ อินเวิรสของความสัมพันธ  คือ      กราฟที่สมมาตรกับกราฟของความสัมพันธ โดยมีเสนตรง 

y   =   x  เปนแกนสมมาตร

แบบฝกทักษะ 1.  จงหาอินเวอรสของความสัมพันธในแตละขอตอไปนี้ 

1)  ( ) ( ) ( ) { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = r

= −1 r  …………………………………………………………………….. 2)  ( ) ( ) ( ) { } 9 , 1 , 7 , 2 , 5 , 3 − − − = r

= −1 r  …………………………………………………………………….. 2.  จงหาอินเวรสของความสัมพนัธในแตละขอตอไปนี้ 

1)  ( ) { } 3 5 | , − = =  x y y x r

= −1 r  …………………………………………………………………….. 2)  ( ) { } 9 2 | , + = =  x y y x r

= −1 r  …………………………………………………………………….. 3.  จงหาอินเวอรสของความสัมพันธในแตละขอตอไปนี้ 

1)  ( ) { } 7 | , + = =  x y y x r

= −1 r  …………………………………………………………………….. 2)  ( ) { } 3 2 | , + = =  x y y x r

= −1 r  ……………………………………………………………………..