relation 1
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Soit deux ensembles A et B
A={ Istanbul, Ankara, Paris, Lisbonne, Lyon }
B={ Turquie, Portugal, France }
AxB= { (Istanbul,Turquie), (Istanbul,Portugal), (Istanbul,France),(Ankara,Turquie),
(Ankara,Portugal),…}
n(AxB)=n(A).n(B)=5.3=15
Activité
On peut représenter AxB par un schéma fléché
● Istanbul
● Ankara
● Paris
● Lisbonne
● Lyon
● Turquie
● Portugal
● France
A B
RelationA={ Istanbul, Ankara, Paris, Lisbonne, Lyon }
B={ Turquie, Portugal, France }
Ecrire l’ensemble des couples (x,y) tels que
x est élément de A
y est élément de B
x est la capitale de y
et noté cet ensemble par β
β ={(Ankara,Turquie),(Paris,France),(Lisbonne,Portugal)}
β ={(x,y): x est la capitale de y , x∈A et y ∈B }
Question : Quelle est la relation entre les
ensembles AxB et β ?
AxB= { (Istanbul,Turquie), (Istanbul,Portugal), (Istanbul,France),(Ankara,Turquie),(Ankara,Portugal),…}
β ={(Ankara,Turquie),(Paris,France),(Lisbonne,Portugal)}
Réponse : β est un sous ensemble de AxB
On peut représenter β par un schéma fléché
● Istanbul
● Ankara
● Paris
● Lisbonne
● Lyon
A
● Turquie
● Portugal
● France
B
Relation
Chaque sous ensemble de AxB est une relation de A vers B.
Définition:
( )BversAderelationuneest)AxB( β⇔⊂β
A≠ø et B≠ø
Exemple
• A={2,3,5} B={2,9,12,15}
• β={(x,y): x Є A, y Є B et « x divise y » }
• β={ (2,2),(2,12),(3,9),(3,12),(3,15),(5,15)}
Exemple
• A={3,5,15,22}
• β={(x,y): x, y Є A et « x est un multiple de y » }
• β={ (3,3),(5,5),(15,15),(22,22),(15,3),(15,5)}
Exemple
• A={0,1,2} B={-1,1,3,5,6}• Parmi les relations suivantes, déterminer celles qui sont
définies de A vers B.
• β={ (1,3),(0,-1),(3,5)}• β={ (1,5),(2,6),(3,-1)}
• β={ (1,3),(1,5),(0,2),(2,6)}• β={ (0,-1),(0,1),(0,5),(0,6),(0,3)}• β={ (2,3)}
• β={ }
PROPRIETES D’UNE RELATION
• Réflexivité :
On dit qu’une relation β est réflexive si et seulement si
pour tout x de A,
(x,x) Є β
Exemple 1
• A={a,b,c}
• β= { , , , , }(a,a) (b,b) (c,c) (a,b) (c,a)
β est-elle réflexive ?
Oui, car (a,a)є β ,
(b,b) є β ,
(c,c) є β
Exemple 2: A= {a,b,c}
• β = { }(a,a) (a,b) (b,a) (c,c) (c,b) (a,c)
β est-elle réflexive ?
Non , car (a,a)є β , (c,c) є β , Mais (b,b) n’est pas élément de β
EXEMPLE 3
• A= { 1, 2, 3, 4 }
• a) β= { (1,1), (2,2) , (3,3), (4,4) } • Elle est réflexive
• b) β= { (1,1), (1,2) , (3,3), (4,4), (4,2) }• Elle n’est pas réflexive
• Car (2,2) n’est pas un élément de β
• c) β={ (1,1),(2,2) ,(2,3),(3,4),(1,4),(3,3), (4,4) }
• Elle est réflexive
Symétrie
On dit qu’une relation β est symétrique si et seulement si
pour tout (x,y) de β ,
(y,x) Є β
EXEMPLE 1 :
• Exemple 1:
• A= { a, b, c }
• β= { , , , , , }(a,a) (a,b) (b,a) (b,c) (c,b) (c,c)
β est-elle symétrique ?
elle est symétrique
OUI
EXEMPLE 2 :
• A= { a, b, c }
• β= { , , , , , , }(a,a) (a,b) (b,a) (a,c) (b,c) (c,b) (c,c)
β est-elle symétrique ?
Elle n’est pas symétriqueCar (a,c) est un élément de βMais (c,a) n’est pas un élément de β
EXEMPLE 3 :
• A ={ 1, 2, 3, 4 }
• a) β= { (1,2) , (2,1) , (3,4) , (4,1) , (4,3) , (1,4), }
• SYMETRIQUE
• b) β= { (1,2) , (3,4) , (2,3) , (3,2) , (2,1) , (4,4) }
• PAS SYMETRIQUE
• c) β= { (1,4) , (2,2) , (3,2) , (4,4) , (4,1) }• PAS SYMETRIQUE
• d) β= { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) }• SYMETRIQUE
Antisymétrie
On dit qu’une relation β est antisymétrique si et seulement si
pour tout (x,y) de β , x≠y
(y,x) n’est pas un élément de β
EXEMPLE 1 :
• A= { 1, 2, 3 }
• β= { , , , , , }
• β est-elle antisymétrique ?
• OUI
(1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)
EXEMPLE 2 :
• A= { 1, 2, 3 ,4 }
• β= { , , , , , , }
• β est-elle antisymétrique ?
• NON
(1,2) (2,3) (4,4) (3,3) (1,1) (3,2) (1,4)
Transitivité
On dit que la relation β est transitive.
( ) ( ) ( ) β∈β∈β∈β∈∀ z,xalors,z,yety,xSi,z,y,x
Exemple
• A={a,b,c,d}
• β ={ (a,a) , (b,c) , (c,c) , (c,d) , (b,d) }
β est-elle transitive ?
Oui
Exemple
• A={a,b,c}
• β ={ (a,a) , (b,b) , (c,c) , (a,b) , (b,c) , (c,b) }
β est-elle transitive ?
Non car (a,b)є β et (b,c) є β, mais (a,c) n’est pas élément de β
Exemple
• A={a,b,c} et β est une relation qui est définie dans A. Étudier les propriétés de β
a) β ={ (a,a) , (b,b) , (c,c) , (b,c) , (c,b) } Elle est réflexive Elle est symétrique Elle est transitive
b) β ={ (a,a) , (a,b) , (b,c) , (c,b) } Elle n’est pas réflexive Elle n’est pas symétrique Elle n’est pas antisymétrique Elle n’est pas transitive
c) β ={ (a,b) , (b,c) , (a,c) , (b,a) , (a,a) } Elle n’est pas réflexive Elle n’est pas symétrique Elle n’est pas antisymétrique Elle n’est pas transitive