relatii metrice

24
Relatii metrice în triunghiul dreptunghic Teorema înălţimii Teorema catetei Teorema lui Pitagora

Upload: ionutdcn

Post on 19-Jun-2015

3.022 views

Category:

Documents


60 download

TRANSCRIPT

Page 1: Relatii metrice

Relatii metrice în triunghiul

dreptunghic

Teorema înălţimiiTeorema cateteiTeorema lui Pitagora

Page 2: Relatii metrice

De ce trebuie să învăţăm aceste teoreme?

Aceasta teoreme ne ajută să calculam lungimile unor segmente.

OBSERVAŢIE: Aceste teoreme se pot aplica doar în triunghiul dreptunghic.

Page 3: Relatii metrice

SĂ NE REAMINTIM CÂTE CEVA…

Page 4: Relatii metrice

1. Se dă triunghiul ABC, dreptunghic în A.

a) Cum se numeşte latura AC? b) Cum se numeşte latura BC? c) Cum se numeşte latura AB?

Page 5: Relatii metrice

RĂSPUNS:

AC - catetă BC - ipotenuză AB - catetă

Page 6: Relatii metrice

Problemă

1. Se dă triunghiul ABC, dreptunghic în A. - duceţi înălţimea corespunzătoare laturii

AC - duceţi înălţimea corespunzătoare laturii

AB - duceţi înălţimea AD corespunzătoare

laturii BC

Page 7: Relatii metrice

Aşa trebuia să procedaţi:

A C

B

D

Page 8: Relatii metrice

2. Cine este proiecţia catetei AB pe ipotenuza BC?

Page 9: Relatii metrice

RĂSPUNS:

BD.

Page 10: Relatii metrice

2. Cine este proiectia catetei AC pe ipotenuza BC?

Page 11: Relatii metrice

RASPUNS:

DC.

Page 12: Relatii metrice

Enunţ: TEOREMA ÎNĂLŢIMII

Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii înălţimii duse din vârful

unghiului drept este egală cu produsul lungimii proiecţiilor

catetelor pe ipotenuză.

DCBDAD 2

Page 13: Relatii metrice

B C

A

D

m n

Consideram un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză: BD=m, CD=n, ne intrebăm cum putem afla lungimea înălţimii AD.

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)

Page 14: Relatii metrice

D

A

B C

m n

Demonstrăm că triunghiurile ABC, DBA, şi DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB şi CDA sunt congruente deoarece sunt drepte şi unghiurile BAD şi ACD sunt congruente deoarece au acelaşi complement şi anume unghiul CAD)

Pe noi ne interesează asemanarea dintre triunghiurile ABD şi CAD pentru că acestea au pe AD catetă. ∆ABD~ ∆CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporţionalitatea laturilor obţinem:

DCBDAD 2

Page 15: Relatii metrice

Enunţ: TEOREMA CATETEI

Într-un triunghi dreptunghic o catetă este medie geometrică între

ipotenuză şi proiecţia acestei catete pe ipotenuză.

CDBCAC

BDBCAB

2

2

Page 16: Relatii metrice

B C

A

D

Consideram un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză: BD=m, CD=n, ne intrebăm cum putem afla lungimea catetei AB.

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)

Page 17: Relatii metrice

D

A

B C

m n

Demonstrăm că triunghiurile ABC, DBA, şi DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB şi CDA sunt congruente deoarece sunt drepte şi unghiurile BAD şi ACD sunt congruente deoarece au acelaşi complement şi anume unghiul CAD)

Pe noi ne interesează asemanarea dintre triunghiurile ABD şi CAD pentru că acestea au pe AD catetă. ∆ABD~ ∆CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporţionalitatea laturilor obţinem:

BCBDAB 2

Page 18: Relatii metrice

Enunţ: TEOREMA LUI PITAGORA

Într-un triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma

pătratelor catetelor.

222 ACABBC

Page 19: Relatii metrice

B C

A

D

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile catetelor şi lungimea ipotenuzei: AB=a, AC=b, BC=c,demonstrăm teorema.

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)

Page 20: Relatii metrice

D

A

B C

Scriem aria triunghiului ABC în două moduri:

222 ACABBC

22

BCADACAB

Page 21: Relatii metrice

Să rezolvăm probleme!

Page 22: Relatii metrice

Problema 1.

Aflaţi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei unui

triunghi dreptunghic ştiind că proiecţiile catetelor pe ipotenuză au

dimensiunile de 4cm si 6cm.

Page 23: Relatii metrice

Problema 2.

Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu baza BC. Aflaţi lungimea înălţimii AD, ştiind că BC este 6 dm.

Page 24: Relatii metrice

Problema 3.

ABCD este un dreptunghi iar E este intersecţia dreptei AB cu

perpendiculara în C pe AC. Calculaţi AE, ştiind că AB=3cm şi AD=2cm.