relatii metrice

Download Relatii metrice

Post on 19-Jun-2015

2.511 views

Category:

Documents

27 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Relatii metrice n triunghiul dreptunghicTeorema nlimii Teorema catetei Teorema lui Pitagora

De ce trebuie s nvm aceste teoreme?Aceasta teoreme ne ajut s calculam lungimile unor segmente. OBSERVAIE: Aceste teoreme se pot aplica doar n triunghiul dreptunghic.

S NE REAMINTIM CTE CEVA

1. Se d triunghiul ABC, dreptunghic n A. a) Cum se numete latura AC? b) Cum se numete latura BC? c) Cum se numete latura AB?

RSPUNS:AC - catet BC - ipotenuz AB - catet

Problem

1. Se d triunghiul ABC, dreptunghic n A. - ducei nlimea corespunztoare laturii AC - ducei nlimea corespunztoare laturii AB - ducei nlimea AD corespunztoare laturii BC

Aa trebuia s procedai:B

D

A

C

2. Cine este proiecia catetei AB pe ipotenuza BC?

RSPUNS:

BD.

2. Cine este proiectia catetei AC pe ipotenuza BC?

RASPUNS:

DC.

Enun: TEOREMA NLIMIIntr-un triunghi dreptunghic ptratul lungimii nlimii duse din vrful unghiului drept este egal cu produsul lungimii proieciilor catetelor pe ipotenuz.

AD = BD DC2

A

Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC)n

m B

D

C

Consideram un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC) Presupunnd cunoscute lungimile proieciilor catetelor pe ipotenuz: BD=m, CD=n, ne intrebm cum putem afla lungimea nlimii AD.

A

m B D

n C

Demonstrm c triunghiurile ABC, DBA, i DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB i CDA sunt congruente deoarece sunt drepte i unghiurile BAD i ACD sunt congruente deoarece au acelai complement i anume unghiul CAD)

Pe noi ne intereseaz asemanarea dintre triunghiurile ABD i CAD pentru c acestea au pe AD catet. ABD~ CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporionalitatea laturilor obinem:

AD = BD DC2

Enun: TEOREMA CATETEIntr-un triunghi dreptunghic o catet este medie geometric ntre ipotenuz i proiecia acestei catete pe ipotenuz.

AB = BC BD2

AC = BC CD2

A

Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC)C

B

D

Consideram un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC) Presupunnd cunoscute lungimile proieciilor catetelor pe ipotenuz: BD=m, CD=n, ne intrebm cum putem afla lungimea catetei AB.

A

m B D

n C

Demonstrm c triunghiurile ABC, DBA, i DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB i CDA sunt congruente deoarece sunt drepte i unghiurile BAD i ACD sunt congruente deoarece au acelai complement i anume unghiul CAD)

Pe noi ne intereseaz asemanarea dintre triunghiurile ABD i CAD pentru c acestea au pe AD catet. ABD~ CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporionalitatea laturilor obinem:

AB = BD BC2

Enun: TEOREMA LUI PITAGORAntr-un triunghi dreptunghic ptratul ipotenuzei este egal cu suma ptratelor catetelor.

BC = AB + AC2 2

2

A

Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC)C

B

D

Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A i construim AD, nlimea corespunztoare unghiului drept. ( D este luat pe dreapta BC) Presupunnd cunoscute lungimile catetelor i lungimea ipotenuzei: AB=a, AC=b, BC=c,demonstrm teorema.

A

Scriem aria triunghiului ABC n dou moduri:AB AC AD BC = 2 2

B

D

C

BC = AB + AC2 2

2

S rezolvm probleme!

Problema 1.Aflai lungimea nlimii corespunztoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic tiind c proieciile catetelor pe ipotenuz au dimensiunile de 4cm si 6cm.

Problema 2.Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu baza BC. Aflai lungimea nlimii AD, tiind c BC este 6 dm.

Problema 3.ABCD este un dreptunghi iar E este intersecia dreptei AB cu perpendiculara n C pe AC. Calculai AE, tiind c AB=3cm i AD=2cm.