rainbow connection number dan strong rainbow …

RAINBOW CONNECTION NUMBER DAN STRONGRAINBOW CONNECTION NUMBER PADA

AMALGAMASI GRAF PRISMA P3,2

Cynthia Dhevy Retno Palupi

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2017 M / 1438 H

RAINBOW CONNECTION NUMBER DAN STRONGRAINBOW CONNECTION NUMBER PADA

AMALGAMASI GRAF PRISMA P3,2

SkripsiSebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

Sarjana Matematika (S.Mat)Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta

Oleh:Cynthia Dhevy Retno Palupi

1113094000014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2017 M / 1438 H

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR

HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIP-

SI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA

MANAPUN.

Jakarta, Oktober 2017


NIM. 1113094000014

ii

Scanned by CamScanner

PERSEMBAHAN

aku telah menyelesaikan kewajibanku mendapat gelar sarjana

kalian orang tua yang hebat

perjuangan dan pengorbanan tak ternilai untuk pendidikan yang tinggi bagiku

kalian yang tak pernah lelah menantiku meraih gelar ini

semoga karya sederhana ini dapat menghadirkan senyuman di wajah kalian

semoga mama dan ayah selalu dalam lindungan Allah SWT

ridho dari kalian akan selalu mendampingi hidupku

untuk Ayah Sugeng dan Mama Nina tercinta

iv

MOTTO

Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya.

Dia mendapat (pahala) dari (kebajikan) yang dikerjakannya dan dia mendapat

(siksa) dari (kejahatan) yang diperbuatnya.

(Mereka berdoa), ”Ya Tuhan kami, janganlah Engkau hukum kami jika kami lupa

atau kami melakukan kesalahan.

Ya Tuhan kami, janganlah Engkau bebani kami dengan beban yang berat sebagai-

mana Engkau bebankan kepada orang-orang sebelum kami.

Ya Tuhan kami, janganlah Engkau pikulkan kepada kami apa yang tidak sabggup

kami memikulnya.

Maafkan kami, ampunilah kami, dan rahmatilah kami.

Engkaulah pelindung kami, maka tolonglah kami menghadapi orang-orang kafir.”

(Q.S. Al-Baqara 2:286)

v

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang

telah memberikan nikmat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini dengan judul ”Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf

Prisma P3,2”. Tidak lupa shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan ke-

pada baginda Nabi Muhammad SAW, beserta keluarga, dan para sahabatnya.

Dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini, penulis mendapatkan bimbing-

an dan bantuan dari berbagai pihak sampai skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu,

pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1 Bapak Dr. Agus Salim, M.Si selaku Dekan Fakultas sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2 Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom selaku Ketua Program Studi Matematika

dan Ibu Irma Fauziah, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika.

3 Ibu Yanne Irene, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Irmatul Ha-

sanah selaku Dosen Pembimbing II yang telah menyediakan waktunya un-

tuk memberikan nasehat, pengarahan, serta saran-saran dalam penyelesaian

skripsi ini.

4 Bapak Taufik Edy Sutanto, Ph.D selaku Dosen Penguji I dan Bapak Wisnu

Aribowo, M.Si selaku Dosen Penguji II yang telah memberikan pengarah-

an dan saran untuk perbaikan isi serta penulisan pada skripsi ini.

5 Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah mem-

berikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat selama penulis di

masa studi.

vi

6 Kedua orang tua penulis, Ayah Sugeng dan Mamah Nina serta kedua sauda-

ri kandungku Poetry Ambar C R, A.md dan Ayudyah Anarghya N P, S.Sos

yang tidak pernah berhenti memberikan doa, kasih sayang, semangat, serta

dukungan moril maupun materil sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

7 Kak Irvan Septiar Musti M.Si, Kak Suci Riezsa S.Si, dan Kak Khairul Irsal

S.Si yang telah memberi inspirasi penulis dalam skripsi ini.

8 Rusnanda Farhan yang selalu ada mendampingi di setiap situasi dan kondi-

si penulis, yang selalu berusaha membahagiakan penulis, dan selalu sabar

menghadapi penulis ketika penulis sedang lelah menghadapi penelitian ini.

9 Teman sekamar penulis selama penulis menetap di Ciputat Nadya Asanul

Husna, S.Mat, Sarah Harefah, S.Mat, Ayu Puji Rahayu, S.Mat, terima ka-

sih telah menemani penulis menghadapi suka dan duka kuliah di jurusan

matematika ini. We did it!.

10 Nine Dara, Ayu, Ara, Nadya, Dayinta, Sofi, Alfi, Imas, dan Oot, terima ka-

sih sahabat seperjuangan yang tak henti menasehati penulis di setiap kon-

disi.

11 Bagus, Ndi, Ady, Panjul, Angga, Aul, Asfar, Utadut, Emin, Faiz, Yuni-

ar, Khoe, Lisna, dan seluruh cypress family, serta HIMATIKA yang telah

membantu penulis dari segi sarana maupun ilmu.

Penulis mohon maaf jika terdapat kesalahan yang kurang berkenan karena pe-

nulis menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini. Penulis sangat meng-

harapkan kritik serta saran demi perbaikan dan penyempurnaannya di masa yang

akan datang. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi un-

tuk kita semua, Amin.

Jakarta, Oktober 2017

Penulis

vii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iHALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiHALAMAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiHALAMAN PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivHALAMAN MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiI PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Pembatasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II STUDI PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1. Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Graf dan Terminologi Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Diameter pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Jenis Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5. Operasi Biner pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6. Beberapa Graf Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7. Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection Num-

ber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10III HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1. Rainbow Connection pada Amalgamasi Graf Prisma P3,2 . . . . . . 153.2. Strong Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Pris-

ma P3,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

REFERENSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

viii

DAFTAR GAMBAR

2.1 (a) contoh bukan fungsi (b) contoh fungsi . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Graf dengan order 4 dan size 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Contoh (a) graf sederhana (b) graf ganda (c) graf semu . . . . . . . 72.5 Contoh graf hasil operasi cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 Graf hasil operasi amalgamasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Graf Pn dengan 2 ≤ n ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 Graf Cn dengan 3 ≤ n ≤ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Graf prisma P3,2 dengan size 9 dan order 6 . . . . . . . . . . . . . . 102.10 Pewarnaan-3 rainbow dari graf petersen . . . . . . . . . . . . . . . 122.11 Pewarnaan-2 rainbow dari graf Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Amalgamasi dari himpunan graf prisma P3,2 dengan t = 3 . . . . . 153.2 Pewarnaan rainbow pada komponen ke-i dari amalgamasi P3,2 . . . 163.3 Pewarnaan-4 Rainbow dari amalgamasi graf prisma dengan t = 5 . . 183.4 Pewarnaan-4 strong rainbow dari Amal(Gi, v) dimana Gi

∼= P3,2

dan t = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Pewarnaan strong rainbow pada komponen ke-i dari amalgamasi.

semua warna dalam mod t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Pewarnaan-4 strong rainbow dari Amal(Gi, v) dimana Gi

∼= P3,2

dan t = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7 Pewarnaan-5 strong rainbow dari Amal(Gi, v) dimana Gi

∼= P3,2

untuk t = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ix

ABSTRAK

Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection Number pada

Amalgamasi Graf Prisma P3,2

Oleh


1113094000014

Misal G adalah graf terhubung tak trivial. Untuk konsep dari rainbow connec-tion number dan strong rainbow connection number merujuk pada Chartrand, dkkdalam [2]. Untuk t ∈ N dan t ≥ 2, misal

{P(3,2)i|i ∈ {1, 2, . . . , t}

}adalah se-

buah kumpulan dari graf prisma P3,2 yang memiliki titik tetap v yang disebut de-ngan terminal. Amalgamasi dari graf prisma, Amal(P(3,2)i, v), adalah sebuah grafyang dibentuk dengan merekatkan semua anggota dari kumpulan graf prisma P3,2

berhingga dan mengindentifikasi terminalnya. Pada penelitian ini akan ditentukanstrong rainbow connection number dan rainbow connection number dari amalga-masi graf prisma P3,2. Hasil dari penelitiannya adalah rc(Amal(P(3,2)i, v)) = 4 dansrc(Amal(P(3,2)i, v)) = max {4, t} untuk i ∈ {1, 2, . . . , t}.Kata Kunci: Amalgamasi, Graf prisma, Pewarnaan rainbow, Pewarnaan strong ra-inbow, Rainbow connection number, Strong rainbow connection number.

x

ABSTRACT

By


1113094000014

Let G be a nontrivial connected graph. We follow Chartrand, et al in [2] forthe definiton of rainbow connection and strong rainbow connection number. Fort ∈ N and t ≥ 2, let

{P(3,2)i|i ∈ {1, 2, . . . , t}

}is a finite collection of prism graph

P3,2 that has a fixed vertex v called a terminal. The amalgamation of prism graph,Amal(P(3,2)i, v), is a graph formed by taking all the element of finite collection ofprism graph P3,2 and identifying their terminal. This paper determines the rainbowconnection and strong rainbow connection number from amalgamation of prismgraph. The result are as follows: rc(Amal(P(3,2)i, v)) = 4 and src(Amal(P(3,2)i, v))= max {4, t} for i ∈ {1, 2, . . . , t}.Keywords: Amalgamation, Prism graph, Rainbow coloring, Rainbow connectionnumber, Strong rainbow coloring, Strong rainbow connection number.

xi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Teori graf pertama kali dikenalkan pada tahun 1736 oleh Euler, beliau me-

mecahkan masalah mengenai Jembatan Konigsberg menggunakan teori graf [2].

Pewarnaan adalah salah satu topik menarik dalam teori graf. Rainbow connection

number merupakan salah satu pengembangan dari pewarnaan pada teori graf. Ra-

inbow connection number pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand, dkk pada

tahun 2008 [1].

Misal G adalah graf terhubung tak trivial yang terdefinisi pada sebuah pewar-

naan c : E(G) → {1, 2, . . . , k}, k ∈ N, sisi-sisi pada G, dimana sisi yang berte-

tangga dapat diwarnai sama. Pewarnaan c : E(G) → {1, 2, . . . , k} , k ∈ N disebut

rainbow coloring di graf G jika graf G merupakan rainbow connected, yaitu untuk

setiap dua titik u dan v di G mengandung lintasan u−v rainbow. Jika telah diguna-

kan k warna, maka c : E(G) → {1, 2, . . . , k} , k ∈ N adalah rainbow-k-coloring.

Minimum dari k yang terdapat pada rainbow-k-coloring graf G merupakan rain-

bow connection number pada graf G dan dinotasikan dengan rc(G). Selanjutnya,

pewarnaan c dikatakan pewarnaan-k strong rainbow, jika untuk setiap titik u dan v

di V terdapat lintasan pelangi dengan panjang sama dengan jarak antara u dan v.

Pada tahun 2008 Chartrand, dkk [1] menentukan rainbow connection num-

ber pada beberapa jenis graf khusus seperti graf roda, graf komplit k-partite, graf

pohon, dan graf cycle. Irvania dan Salman tahun 2015 [7] menentukan rainbow

connection number pada graf bunga (Cm, Kn), serta menentukan rainbow connec-

tion number pada graf bunga (C3, Fn). Lalu tahun 2015 Darmawan [3] melakukan

penelitian rainbow connection number pada beberapa graf khusus dalam tesisnya,

salah satunya menunjukkan rainbow connection number pada graf prisma, yaitu

rc(Pm,n) = n untuk m = 3 dan rc(Pm,n) =[m2

]+ (n − 1) untuk m ≥ 4. Pada

tahun 2016 Salman, dkk, [6] melakukan penelitian mengenai rainbow connection

1

number pada amalgamasi graf cycle, amalgamasi graf pohon, dan amalgamasi pada

graf komplit.

Berdasarkan beberapa penelitian tersebut peneliti akan meneliti rainbow connec-

tion number pada amalgamasi graf prisma sebagai tugas akhir, karena P3,2 adalah

graf prisma paling sederhana maka peneliti akan memfokuskan penelitian rainbow

connection number pada amalgamasi graf prisma P3,2.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, permasalahan yang akan di-

teliti dalam penelitian ini adalah berapa nilai strong rainbow connection number

dan rainbow connection number pada amalgamasi graf prisma P3,2?

1.3. Pembatasan Masalah

Agar pembahasan tidak meluas maka peneliti membatasi objek kajian, yaitu:

1 Graf yang digunakan adalah graf sederhana, tidak berarah, terhubung, dan

tak trivial.

2 Graf khusus yang digunakan adalah graf prisma P3,2.

3 Operasi yang digunakan pada pengoperasian graf khusus adalah amalga-

masi titik.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai peneliti dalam penelitian ini adalah menentukan

strong rainbow connection number dan rainbow connection number pada amalga-

masi graf prisma P3,2.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat yang akan didapat dalam melakukan penelitian ini adalah:

1 Dapat menentukan rainbow connection number pada amalgamasi graf pris-

ma P3,2.

2

2 Dapat menentukan strong rainbow connection number pada amalgamasi

graf prisma P3,2.

3 Diharapkan sebagai sumbangan penelitian dalam bidang teori graf.

4 Berguna sebagai penambah hasil-hasil penelitian yang dapat dijadikan ba-

han acuan peneliti lain yang mengkaji permasalahan atau topik yang sama.

1.6. Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis dalam empat bab. Bab 1 sebagai pendahuluan terdiri dari

latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat pe-

nelitian, dan sistematika penulisan. Pada bab 2 akan dijelaskan mengenai studi pus-

taka yang akan digunakan pada penelitian. Selanjutnya pada bab 3 akan ditentukan

strong rainbow connection number dan rainbow connection number pada amalga-

masi graf prisma P3,2. Terakhir pada bab 4 sebagai kesimpulan dan saran dari hasil

bab 3.

3

BAB II

STUDI PUSTAKA

2.1. Fungsi

Pada bagian ini akan dijelaskan tentang definisi dari fungsi. Untuk mengilus-

trasikannya perhatikan gambar 2.1.

Definisi 2.1.1 Fungsi

Misal A dan B adalah himpunan tak kosong. sebuah fungsi f dari A ke B adalah

sebuah pemetaan tepat satu elemen ke B untuk setiap elemen di A [5].

Gambar 2.1 (a) contoh bukan fungsi (b) contoh fungsi

2.2. Graf dan Terminologi Graf

Menurut Rosen [5] sebuah graf G terdiri dari V sebuah himpunan tak kosong

dari titik-titik dan E sebuah himpunan dari sisi-sisi. Setiap sisi memiliki satu atau

dua titik yang berhubungan, yang disebut titik ujung. Sebuah sisi dikatakan terhu-

bung ke titik ujungnya. Himpunan V (G) disebut himpunan titik di G dan himpunan

E(G) adalah himpunan sisi di G. Jika terdapat sebuah graf yang minimal memiliki

satu buah titik dan tidak memiliki sisi maka disebut dengan trivial graph. Jumlah

titik di dalam sebuah graf disebut order dinotasikan dengan |V (G)| dan jumlah si-

si di dalam sebuah graf disebut size dinotasikan dengan |E(G)|. Graf G dikatakan

terhubung jika untuk setiap pasang titik-titik u, v ∈ V (G) memuat sebuah lintasan

u− v. Sebuah graf G yang tidak terhubung disebut disconnected yaitu jika terdapat

2 titik u dan v dimana tidak terdapat lintasan u− v pada graf G.

4

Gambar 2.2 Graf dengan order 4 dan size 5

Misal G sebuah graf dan {u, v} sebuah sisi di G. Karena {u, v} terdiri dari

2 anggota himpunan titik, maka dapat ditulis {v, u} atau {u, v}. Umumnya sisi

tersebut direpresentasikan dengan uv atau vu.

Jika e1 = uv adalah sebuah sisi di sebuah graf G, maka dapat dikatakan bah-

wa u dan v adalah bertetangga di G, u dan v juga dapat bertetangga dengan lain-

nya. Contoh perhatikan gambar 2.1 didefinisikan sebuah graf G dengan E(G) =

{e1, e2, e3, e4, e5} dan V (G) = {u, v, w, x} memiliki order 4 dan size 5. Jika e1 =

uv adalah sebuah sisi di graf G maka dapat dikatakan bahwa e1 dan u ( dan e1 dan

v) adalah bersisian satu sama lain. Jika e1 dan e3 adalah sisi yang berbeda dengan

titik yang sama, maka e1 dan e3 bertetangga. Lalu, u dan e1 bersisian tetapi w dan

e1 tidak bersisian. Juga, e1 dan e2 bertetangga tetapi e1 dan e5 tidak bertetangga.

Lintasan yang panjangnya n dari titik awal v0 ke titik tujuan vn di dalam graf

G ialah barisan berselang-seling titik-titik dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2,

v2, . . . , vn−1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), . . . , en =

(vn−1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G. Namun karena graf dalam penelitian ini ada-

lah sederhana dan tidak memiliki simpul ganda, maka lintasan dapat dinyatakan

sebagai barisan titik. Sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana jika semua titik-

nya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali). Lintasan yang berawal dan

berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan tertutup, sedangkan lintasan yang

tidak berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut lintasan terbuka.

5

2.3. Diameter pada Graf

Dalam sebuah graf G dengan himpunan titik V (G) dan himpunan sisi E(G),

jarak d(u, v) diantara dua titik u dan v adalah panjang dari sebuah lintasan terpen-

dek u − v. Diameter dari graf G dinotasikan dengan diam(G), adalah maksimum

jarak dari seluruh pasang titik di graf G. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 2.2

berikut.

Gambar 2.3 Graf G

Berdasarkan ilustrasi di atas, diperoleh jarak untuk setiap dua titik pada graf

adalah sebagai berikut:

d(v1, v2) = 1 d(v1, v3) = 2 d(v1, v4) = 1 d(v1, v5) = 2 d(v1, v6) = 2



Jadi, diam(G) = 2.

2.4. Jenis Graf

Menurut Sugeng, dkk, graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori

[8]. Pengelompokkan graf berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, graf dibagi menjadi

dua jenis, yaitu:

1 Graf Sederhana

Graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki sisi ganda ataupun loop.

2 Graf Tidak Sederhana

6

Graf tidak sederhana adalah graf yang memiliki sisi ganda atau loop. Ada

dua macam graf tidak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf

semu (pseudograph). Graf ganda adalah graf yang memiliki sisi ganda.

Graf semu adalah graf yang memiliki sisi ganda dan loop.

Gambar 2.4 Contoh (a) graf sederhana (b) graf ganda (c) graf semu

2.5. Operasi Biner pada Graf

Operasi graf adalah suatu cara untuk menghasilkan graf baru dengan mela-

kukan operasi tertentu pada dua graf atau lebih. Berikut contoh dari operasi pada

graf:

Definisi 2.5.1 Cartesian Product [9] dari dua graf sederhana G(V,E) dan H(W,F )

adalah graf sederhana G × H dengan himpunan titik V ×W yang dua titik u =

(u1, u2) dan v = (v1, v2) bertetangga jika dan hanya jika u1 = v1 dan u2v2 ∈ F

ataupun u2 = v2 dan u1v1 ∈ E.

Berikut diberikan ilustrasi operasi cartesian dari graf P3 dan P2. Misal G ada-

lah graf P3 dan H adalah graf P2. Operasi cartesian dari G dan H dinotasikan

dengan G×H .

G×H = {V (G)× V (H)}

= {(u1, v1), (u1, v2), (u2, v1), (u2, v2), (u3, v1), (u3, v2)}

7

Misalkan,

X1 = (u1, v1) X2 = (u1, v2)

X3 = (u2, v1) X4 = (u2, v2)

X5 = (u3, v1) X6 = (u3, v2)

Maka X1, X2 bertetangga jika dan hanya jika u1 = u1 sedemikian sehingga v1v2 ∈

E(H), X3, X4 bertetangga jika dan hanya jika u2 = u2 sedemikian sehingga v1v2 ∈

E(H), X5, X6 bertetangga jika dan hanya jika u3 = u3 sedemikian sehingga v1v2 ∈

E(H), X1, X3 bertetangga jika dan hanya jika v1 = v1 sedemikian sehingga u1u2 ∈

E(G), X1, X5 bertetangga jika dan hanya jika v1 = v1 sedemikian sehingga u1u3 ∈


E(G), X4, X6 bertetangga jika dan hanya jika v2 = v2 sedemikian sehingga u2v3 ∈


E(G).

Gambar 2.5 Contoh graf hasil operasi cartesian

Definisi 2.5.2 Amalgamasi [6] Untuk t ∈ N dan i ∈ {1, 2, . . . , t}, misal Gi graf

terhubung sederhana dan |V (Gi)| = ki ≥ 2 untuk ki ∈ N. Untuk t ≥ 2 mi-

sal {G1, G2, . . . , Gt} adalah kumpulan graf berhingga dan setiap Gi dimana i ∈

{1, 2, . . . , t} memiliki sebuah titik tetap voi yang disebut terminal. Amalgamasi

(Amal (Gi, voi)) adalah graf yang dibentuk dengan merekatkan semua Gi dan

mengindentifikasi terminalnya. Misal G = Amal (Gi, voi). Kita notasikan titik te-

tap voi dengan v dan definisikan V (G) = {v} ∪ {vi,j|1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ ki−1}.

Berikut ini diberikan ilustrasi dari definisi diatas. Misalkan terdapat kumpulan

8

graf Gi sebarang G1, G2, G3 pada gambar dibawah ini. Misalkan H ∼= Amal(Gi, v)

dengan menetapkan titik tetap v yaitu pada titik vi,3, maka graf hasil amalgamasi

dari tiga buah graf sebarang adalah sebagai berikut.

Gambar 2.6 Graf hasil operasi amalgamasi

2.6. Beberapa Graf Khusus

Suatu graf dikatakan khusus jika memiliki karakteristik khusus yang tidak iso-

morfik dengan graf lainnya. Berikut ini adalah beberapa contoh graf khusus:

1 Graf Lintasan

Graf lintasan adalah graf sederhana yang terdiri dari satu lintasan. Graf

lintasan dengan n titik dinotasikan dengan Pn dengan n ≥ 2

Gambar 2.7 Graf Pn dengan 2 ≤ n ≤ 4

9

2 Graf Cycle

Graf cycle adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf

Cycle dengan n titik dilambangkan dengan Cn

Gambar 2.8 Graf Cn dengan 3 ≤ n ≤ 5

3 Graf Prisma

Graf prisma merupakan graf hasil produk cartesian Cm × Pn dari sebuah

cycle di m titik dengan sebuah lintasan di n titik. Dinotasikan dengan Pm,n.

V (Pm,n) = {vi,j; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} adalah himpunan titiknya dan

himpunan sisinya E (Pm,n) = {vi,jvi+1,j; 1 ≤ i ≤ m− 1, 1 ≤ j ≤ n− 1}

∪ {vm,jv1,j; 1 ≤ j ≤ n} ∪ {vi,jvi,j+1 : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n− 1}.

Gambar 2.9 Graf prisma P3,2 dengan size 9 dan order 6

2.7. Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection Number

Pada sub bab ini diberikan konsep rainbow connection number yang me-

rujuk ke Chartrand, dkk [1]. Misal G adalah graf terhubung tak trivial. Kita defi-

10

nisikan pewarnaan c : E(G) → {1, 2, . . . , k}, k ∈ N, sisi pada G, dimana sisi

yang bertetangga dapat diwarnai sama. Sebuah lintasan P di G merupakan lintas-

an rainbow jika tidak terdapat 2 sisi di P diwarnai sama. Sebuah lintasan pelangi

menghubungkan 2 titik u dan v di G yang disebut dengan lintasan u − v rainbow.

Jika sebuah graf yang untuk setiap 2 titiknya terdapat lintasan u− v rainbow dise-

but rainbow connected. Dalam kasus ini, pewarnaan c disebut pewarnaan rainbow

di G jika telah digunakan k warna, maka c adalah pewarnaan k-rainbow. Minimum

dari nilai k yang terdapat pada pewarnaan k-rainbow sisi di G merupakan rainbow

connection number di G yang dinotasikan dengan rc(G).

Misal c adalah pewarnaan rainbow dari sebuah graf G terhubung. Untuk dua

titik u dan v di G, sebuah rainbow u − v geodesic pada G adalah sebuah lintasan

u − v rainbow dari panjang d(u, v), dimana d(u, v) adalah jarak diantara u dan v

(panjang dari sebuah lintasan u− v terpendek di G). Graf G adalah strong rainbow

connected jika G memuat sebuah rainbow u − v geodesic untuk setiap dua titik u

dan v di G. Dalam kasus ini, pewarnaan c disebut sebuah pewarnaan strong rainbow

pada G. Minimum k yang terdapat pada pewarnaan c : E(G) → {1, 2, . . . , k}

dari sebuah sisi pada G merupakan strong rainbow connection number, dinotasikan

dengan src(G).

Karena setiap pewarnaan ditandai warna berbeda untuk sisi dari graf terhubung

adalah sebuah pewarnaan rainbow dan sebuah pewarnaan strong rainbow, setiap

graf terhubung adalah rainbow connected dan strong rainbow connected dengan

merepresentasi beberapa pewarnaan dari sisi di G. Jadi rc(G) dan src(G) terdefi-

nisi untuk setiap graf G terhubung. Menurut Chartrand, dkk [1] jika G adalah graf

terhubung tak trivial dengan size m yang diameternya adalah diam(G), maka:

diam(G) ≤ rc(G) ≤ src(G) ≤ m

Untuk mengilustrasikan konsep di atas akan diberikan contoh rainbow connec-

tion number dan strong rainbow connection number pada graf petersen P dari gam-

bar 2.3, akan ditunjukkan rc(P ) = 3. Jika u dan v adalah titik-titik yang tidak ber-

tetangga pada P , maka d(u, v) = 2 dan panjang dari lintasan u − v sekurangnya

2. Jadi setiap pewarnaan rainbow di P digunakan sekurangnya 2 warna sehingga

11

rc(P ) ≥ 2. Jika P memiliki pewarnaan-2-rainbow c, maka terdapat dua sisi berte-

tangga di G diwarnai sama oleh c, misal e = uv dan f = vw telah diwarnai sama.

Karena terdapat tepat satu lintasan u − v dengan panjang 2 di P , tidak terdapat

lintasan u− v rainbow di P yang mana kontradiksi haruslah rc(P ) = 3.

Karena rc(P ) = 3, maka src(P ) ≥ 3. Selanjutnya, karena bilangan kromatik

sisi dari graf petersen diketahui adalah 4, setiap pewarnaan−3 c dari sisi pada P

menghasilkan dua sisi bertetangga uv dan vw diwarnai sama. Karena u, v, w adalah

satu-satunya u − w geodesic di P , pewarnaan c bukan sebuah pewarnaan strong

rainbow, maka src(P ) = 4 [1].

Gambar 2.10 Pewarnaan-3 rainbow dari graf petersen

Selanjutnya Darmawan melakukan penelitian menentukan rainbow connec-

tion number pada graf prisma dan produk dari dua graf, berikut teorema dari hasil

penelitiannya:

Teorema 2.7.1 [3] Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1, rainbow connection number dari graf

prisma Pm,n adalah

src(Pm,n) = rc(Pm,n) =

n, untukm = 3

dm2e+ (n− 1), untukm ≥ 4

Berikut diberikan ilustrasi rainbow connection number pada graf prisma P3,2:

12

Gambar 2.11 Pewarnaan-2 rainbow dari graf Prisma

Pada tahun 2016 Salman, dkk, melakukan penelitian berjudul rainbow connec-

tion number pada amalgamasi dari beberapa graf. Dari hasil penelitian tersebut di-

peroleh batas atas dan batas bawah untuk rainbow connection number pada amal-

gamasi dari graf sebarang.

Teorema 2.7.2 [6] untuk t ∈ N, t ≥ 2, misal {Gi|i ∈ {1, 2, . . . , t}} adalah kum-

pulan graf berhingga dan tiap Gi memiliki titik tetap v0i yang disebut terminal. Jika

G adalah amalgamasi dari G1, G2, . . . , Gt, Amal(Gi, v0i), maka

diam(G) ≤ rc(G) ≤t∑

i=1

rc(Gi) (2.1)

13

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan diberikan penjelasan hasil penelitian berdasarkan rumus-

an masalah yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya. Penelitian diawali dengan

menentukan graf khusus yaitu graf prisma (P3,2) yang kemudian akan dilakukan

amalgamasi pada dua graf atau lebih. Hasil amalgamasi yang diperoleh tersebut

akan diterapkan pewarnaan strong rainbow dan pewarnaan rainbow, kemudian ak-

an diuji apakah pewarnaannya sudah optimal dan membentuk suatu pola dengan

menggunakan teorema-teorema yang sudah ada. Jika pewarnaan sudah optimal dan

membentuk suatu pola maka akan dibentuk fungsi dari rc(G) dan src(G). Hasil

akhir dari penelitian ini adalah teorema baru beserta pembuktiannya tentang strong

rainbow connection number dan rainbow connection number pada amalgamasi graf

prisma Amal(P(3,2)i, v).

Misalkan himpunan graf prisma berhingga{P(3,2)i

}, i ∈ {1, 2, . . . , t}, de-

ngan anggota P(3,2)1, P(3,2)2, . . . , P(3,2)t. Graf P(3,2)i adalah graf prisma P3,2 ke-i

dengan V (P3,2) = {va,b; 1 ≤ a ≤ 3, 1 ≤ b ≤ 2} adalah himpunan titiknya dengan

|V (P3,2)| = 6 dan E (P3,2) = {va,bva+1,b; 1 ≤ a ≤ 2, 1 ≤ b ≤ 2}∪{v3,bv1,b; 1 ≤ b ≤ 2}∪

{va,1va,2 : 1 ≤ a ≤ 3} himpunan sisinya dengan |E(P3,2)| = 9. Suatu operasi graf

amalgamasi dari himpunan prisma P3,2 berhingga{P(3,2)i

}dan titik tetap v yang

disebut terminal dinotasikan dengan Amal(P(3,2)i, v). Misal suatu graf G adalah

Amal(P(3,2)i, v). Graf G memiliki himpunan titik V (G) = {v}∪{vi,j|1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ 5}

dengan |V (G)| = 5t+1 dan E(G) = {vi,kvi,k+1|1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ k ≤ 4}∪{vvi,1}∪

{vvi,2}∪{vvi,5}∪{vi,1vi,4}∪{vi,3vi,5} adalah himpunan sisinya dengan |E(G)| =

9t. Untuk mengilustrasikannya perhatikan gambar 3.1 berikut.

14

Gambar 3.1 Amalgamasi dari himpunan graf prisma P3,2 dengan t = 3

3.1. Rainbow Connection pada Amalgamasi Graf Prisma P3,2

Pada subbab ini akan dibahas rainbow connection number pada amalgamasi

graf prisma P3,2

Teorema 3.1.1 Misalkan t bilangan bulat positif dengan t ≥ 2 dan G ∼= Amal(Gi, v)

untuk setiap i ∈ {1, 2, . . . , t}, dengan Gi adalah graf prisma P3,2. Maka rc(G) = 4

Bukti. Misal G adalah Amal(Gi, v) dengan Gi adalah graf prisma P3,2 yang memi-

liki V (G) = {v} ∪ {vi,j|1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ 5} dengan |V (G)| = 5t + 1 dan him-

punan sisi E(G) = {vi,kvi,k+1|1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ k ≤ 4}∪{vvi,1}∪{vvi,2}∪{vvi,5}∪

{vi,1vi,4}∪{vi,3vi,5} dengan |E(G)| = 9t. Kita dapat periksa bahwa diam(G) = 4,

15

berdasarkan teorema 2.7.2 maka

diam(G) ≤rc(G) ≤t∑

i=1

rc(Gi)

4 ≤rc(G) ≤ (rc(G1) + rc(G2) + · · ·+ rc(Gt))

4 ≤rc(G) ≤ (rc(P3,2) + rc(P3,2) + · · ·+ rc(P3,2))

4 ≤rc(G) ≤ t(rc(P3,2))

berdasarkan teorema 2.7.1 rc(P3,2) = 2 maka 4 ≤ rc(G) ≤ 2t. artinya nilai rc(G)

yang mungkin adalah 4, 5, 6, . . . , 2t. Akan ditunjukkan bahwa rainbow connection

dari G memiliki batas bawah 4 = diam(G) ≤ rc(G). Dapat ditunjukkan bahwa

rc(G) = 4 dengan pewarnaan c pada graf komponen ke-i yang ditunjukkan pada

Gambar 3.2. Didefinisikan pewarnaan c : E(G)→ {1, 2, 3, 4} sebagai berikut.

Gambar 3.2 Pewarnaan rainbow pada komponen ke-i dari amalgamasi P3,2

c(e) =

1, e = vi1vi4; e = vi1vi5; e = vi4vi5

2, e = vvi1

3, e = vvi2; e = vvi3 e = vi2vi3,

4, e = vixvi(x+2),with x = 2, 3

Sekarang akan dibuktikan untuk setiap dua titik vix, vjy ∈ V terdapat sebuah

lintasan rainbow. Untuk i = j diketahui d(vixvjy) ≤ 2, kita dapat memilih lintasan

rainbow secara berturut-turut untuk setiap dua titik pada tabel 3.1 berikut.

Untuk i 6= j akan dibagi menjadi 3 kasus,

Kasus 1. vix − vjy dengan x, y ∈ {1, 2, 3} (outer to outer)

16

Tabel 3.1 Lintasan rainbow untuk setiap dua titik di G

No. vix vjy Lintasan Warna

1 v vi1 v − vi1 c(vvi1) = 2

2 v vi2 v − vi2 c(vvi2) = 3

3 v vi3 v − vi3 c(vvi3) = 3

4 v vi4 v − vi1 − vi4 c(vvi1) = 2, c(vi1vi4) = 1

5 v vi5 v − vi1 − vi5 c(vvi1) = 2, c(vi1vi5) = 1

6 vi1 vi2 vi1 − vi4 − vi2 c(vi1vi4) = 1, c(vi4vi2) = 4


8 vi1 vi4 vi1 − vi4 c(vi1vi4) = 1

9 vi1 vi5 vi1 − vi5 c(vi1vi5) = 1

10 vi2 vi3 vi2 − vi3 c(vi2vi3) = 3

11 vi2 vi4 vi2 − vi4 c(vi2vi4) = 4



14 vi3 vi5 vi3 − vi5 c(vi3vi5) = 4

15 vi4 vi5 vi4 − vi5 c(vi4vi5) = 1

17

kita dapat memilih lintasab vix−v−vj1−vj(y+2)−vjy dengan c(vixv) = 3, c(vvj1) =

2, c(vj1vj(y+2)) = 1, c(vj(y+2)vjy) = 4

Kasus 2. vix − vjy dengan x ≤ 3 dan y > 3 (outer to inner)

kita dapat dengan mudah memilih lintasan vix − v − vj1 − vjy, dengan c(vixv) =

3, c(vvj1) = 2, c(vj1vjy) = 1.

Kasus 3. vix − vjy dengan x, y > 3 (inner to inner)

kita dapat memilih lintasan vix − vi1 − v − vj(y−2) − vjy, dengan c(vixvi1) =

1, c(vi1v) = 2, c(vvj(y−2)) = 3, c(vj(y−2)vjy) = 4.

Karena 4 adalah batas bawah dari rainbow connection pada amalgamasi graf pris-

ma P3,2 dan terdapat lintasan rainbow untuk setiap dua titik vix, vjy ∈ V , maka

rc(G) = 4. �

Berikut ini diberikan ilustrasi pewarnaan rainbow pada Amal(P(3,2)i, v) de-

ngan i = {1, 2, 3, 4, 5}

Gambar 3.3 Pewarnaan-4 Rainbow dari amalgamasi graf prisma dengan t = 5

18

3.2. Strong Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma P3,2

Pada subbab ini akan dibahas mengenai teorema strong rainbow connection

number pada amalgamasi graf prisma P3,2.

Teorema 3.2.1 Misal t adalah bilangan bulat positif dengan t ≥ 2 dan G ∼=

Amal(Gi, v) dimana untuk setiap i ∈ {1, 2, . . . , t}, Gi adalah graf prisma P3,2.

Maka src(G) = max {4, t}

Bukti. Kita dapat periksa bahwa 4 = diam(G) adalah batas bawah untuk src(G).

Untuk t = 2 dan t = 3, kita dapat mencari pewarnaan trivial yang disajikan pada

gambar 3.4 dan gambar 3.5 secara berturut-turut.

Gambar 3.4 Pewarnaan-4 strong rainbow dari Amal(Gi, v) dimana Gi∼= P3,2 dan t = 2

Untuk kasus ketika t ≥ 4, misalkan c : E(G) → {1, 2, . . . , t} adalah pewar-

naan sebagai berikut:

c(e) =

i, if e = vvik with k = 1, 2, 3 or e = vi2vi3

i+ 1, if e = vi1vik with k = 4, 5 or e = vi4vi5

i+ 2, if e = vikvi(k+2) with k = 2, 3

19

Gambar 3.6 Pewarnaan strong rainbow pada komponen ke-i dari amalgamasi. semua warnadalam mod t.

Gambar 3.5 Pewarnaan-4 strong rainbow dari Amal(Gi, v) dimana Gi∼= P3,2 dan t = 3

Perhatikan gambar 3.6 sebagai ilustrasi untuk pewarnaannya. Selanjutnya, ak-

an ditunjukkan untuk setiap vix, vjy ∈ V , kita dapat menentukan sebuah lintasan

strong rainbow yang menghubungkan vix and vjy. Jika i = j, maka kita memiliki

d(vix, vjy) ≤ 2. Kita dapat menentukan lintasan geodesic yang tersaji pada tabel

3.2.

20

Tabel 3.2 Geodesic rainbow path between two vertices

No. vix vjy Lintasan Geodesic Pewarnaan

1 v vi1 v − vi1 c(vvi1) = i



4 v vi4 v − vi1 − vi4 c(vvi1) = i, c(vi1vi4) = i+ 1

5 v vi5 v − vi1 − vi5 c(vvi1) = i, c(vi1vi5) = i+ 1

6 vi1 vi2 vi1 − vi4 − vi2 c(vi1vi4) = i+ 1, c(vi4vi2) = i+ 2


8 vi1 vi4 vi1 − vi4 c(vi1vi4) = i+ 1

9 vi1 vi5 vi1 − vi5 c(vi1vi5) = i+ 1

10 vi2 vi3 vi2 − vi3 c(vi2vi3) = i

11 vi2 vi4 vi2 − vi4 c(vi2vi4) = i+ 2



14 vi3 vi5 vi3 − vi5 c(vi3vi5) = i+ 2

15 vi4 vi5 vi4 − vi5 c(vi4vi5) = i+ 1

21

Untuk i 6= j, kita bagi menjadi 3 kasus,

Kasus 1. vix − vjy dengan x, y = 2 and x, y = 3 (outer to outer)

Jelas bahwa d(vix, vjy) = 2, maka kita dapat memilih lintasan geodesic vix−v−vjydengan pewarnaan c(vixv) = i dan c(vvyj) = j.

Kasus 2. vix − vjy dengan x ≤ 3 and y > 3 (outer to inner)

Kita memiliki d(vixvjy) ≤ 3

Subkasus 2.1. Jika (i − j) ≡ 1 mod t kita peroleh i ≡ (j + 1) mod t ma-

ka kita dapat memilih lintasan geodesic vix − v − vj(y−2) − vjy, dengan c(vixv) =

i, c(vvj(y−2)) = j, c(vj(y−2)vjy) = j + 2.

Subkasus 2.2. Jika (i − j) 6= 1 mod t kita peroleh i 6= (j + 1) mod t ma-

ka kita dapat memilih lintasan geodesic vix − v − vj1 − vjy, dengan c(vixv) =

i, c(vvj1) = j, c(vj1vjy) = j + 1

Kasus 3. vix − vjy dengan x, y > 3 (inner to inner)

Subkasus 3.1. untuk |i − j| ≡ 1 mod t kita dapat memilih lintasan geode-

sic vix − vi(x−2) − v − vj(y−2) − vjy, dengan c(vixvi(x−2)) = i + 2, c(vi(x−2)v) =

i, c(vvj(y−2)) = j, c(vj(y−2)vjy) = j + 2.

Subkasus 3.2. untuk |i − j| 6= 1 mod t kita dapat memilih lintasan geode-

sic vix − vi1 − v − vj1 − vjy, dengan c(vixvi1) = i + 1, c(vi1v) = i, c(vvj1) =

j, c(vj1vjy) = j + 1

Karena untuk setiap lintasan terpilih adalah geodesic dan memiliki warna yang

berbeda, diperoleh c adalah pewarnaan strong rainbow, mengakibatkan G strong

rainbow connected, maka terbukti src(G) = max {4, t} �

Berikut ini diberikan ilustrasi pewarnaan strong rainbow pada Amal(P(3,2)i, v)

dengan i = {1, 2, 3, 4, 5}

22

Gambar 3.7 Pewarnaan-5 strong rainbow dari Amal(Gi, v) dimana Gi∼= P3,2 untuk t = 5

23

BAB IV

Penutup

4.1. Kesimpulan

Dari penelitian yang sudah dilakukan, dapat disimpulkan untuk t ≥ 2 dan

G ∼= Amal(Gi, v) untuk setiap i ∈ {1, 2, . . . , t}, dengan Gi adalah graf prisma P3,2

diperoleh rc(G) = 4 dan src(G) = max {4, t}.

4.2. Saran

Berikut adalah beberapa saran dari peneliti untuk dapat diteliti lebih lanjut

dalam topik ini untuk menentukan strong rainbow connection number dan rainbow

connection number pada:

1. Amalgamasi dari graf prisma Pm,2

2. Amalgamasi dari graf prisma P3,n

3. Amalgamasi dari graf prisma Pm,n

4. Operasi lainnya pada graf prisma P3,2

24

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chartrand, dkk.(2008). Rainbow Connection in Graphs. Math Bohem 133(1):

h.85-98.

[2] Chartrand, dkk. (1993). Applied and Algoritmic Graph Theory. New York:

Mac Graw-Hill, inc.

[3] Darmawan, R. N. (2015), Analisis Rainbow Connection Number pada Graf

Khusus dan Hasil Operasinya. thesis. Pascasarjana Universitas Jember.

[4] Hardsfields, N., Rigel, G. (1994). Pearls in Graph Theory. London: Accade-

mic Press Limeted.

[5] Rosen, K. H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. New York:

Mac Graw-Hill, inc.

[6] Salman, A. N. M. dan D.Fitriani. (2016). Rainbow Connection Number of

Amalgamation of Some Graphs. AKCE International J. Graph and Combina-

torics 13: h.90-99.

[7] Salman, A. N. M. dan Kumala, I. (2015). The Rainbow Connection Number

of a Flower (Cm, Kn) Graph and a Flower (C3, Fn) graph. Procedia Computer

Science 74: h.168-172.

[8] Sugeng, K. A., Slamet, S., dan Silaban, D. R. (2014). Teori Graf dan Aplika-

sinya. Indonesia: Departemen Matematika Universitas Indonesia.

[9] Vilfred, V. (2013). A Theory of Cartesian Product and Factorization of Circu-

lant Graphs. Hindawi Publishing Corporation 2013: h.1-10.

25

rainbow connection number dan strong rainbow …

Documents