problemas de la parábola

DR. JAIME E. BRAVO H.PRESENTA

PROBLEMAS DE LA PARÁBOLA

QUITO - ECUADOR

DADO EL VÉRTICE ( 3, 4) Y EL FOCO (3,2). DETERMINE: 1) LA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA, 2) LA ECUACIÓN GENERAL, 3) LA LONGITUD DEL

LADO RECTO, 4) ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ Y 5) LA GRÁFICA.

1.- ECUACIÓN DE LA PARÁBOLALa parábola es de la forma( X – h ) 2 = - 4p ( Y – k )( X – 3 ) 2 = - 4p ( Y – 4 )Para hallar el valor de p encontramos la distancia entre el vértice y el foco donde p = 2Entonces la ecuación es:( X – 3 ) 2 = - 4(2 ) ( Y – 4 )( X – 3 ) 2 = - 8 ( Y – 4 )

3.- LONGITUD DEL LADO RECTO = 4PDe la ecuación se determina que el lado recto es igual a 8

2.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZPara determinar la ecuación encontramos el punto de intersección del eje de simetría y la bisectriz, como la directriz se encuentra por arriba del vértice sus coordenadas son:(x; y + p ); ( 3; 4 + 2 )Las coordenadas son ( 3; 6 ) la ecuación de la directriz es Y = y + p ; y = 6

DR. JAIME E. BRAVO H . MSc

2.- ECUACIÓN GENERALResolvemos la ecuación canónica y encontramos la ecuación general X2 – 6X + 8Y = 23

DADA LA ECUACIÓN 4 X 2 – 20 X – 24Y + 97= 0 REPRESENTA UNA PARÁBOLA, HALLAR LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE Y DEL FOCO, LA ECUACIÓN DE SU DIRECTRIZ Y LA

LONGITUD DE SU LADO RECTO

1.- COORDENADAS DEL VÉRTICE

Dividimos para 4 a la ecuación dada

4 X 2 – 20 X – 24Y + 97=0X 2 – 5x – 6 y + 97 / 4 = 0 FORMAMOS EL TRINOMIO

CUADRADO PERFECTO (X 2 – 5x + 25/4) = 6 y - 97 / 4 +

25 / 4 = 0FACTORAMOS

( X – 5/2 )2 = 6 Y + 18( X – 5/2 )2 = 6 (Y - 3 )

LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE( 5 / 2 ; 3 )

2.- COORDENADAS DEL FOCOComo la parábola se abre hacia arriba las coordenadas del foco son :F ( x ; y+p ) con respecto al vérticeDeterminamos p 4p = 6 ; p = 3 / 2 entonces F ( x ; y + p ); F ( 5/ 2 ; 3+ 3 / 2 ) ; Las coordenadas del foco son :F ( 5 / 2; 9 / 2 )

3.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZPara determinar la ecuación encontramos el punto de intersección del eje de simetría y la bisectriz, como la directriz se encuentra por debajo del vértice sus coordenadas son:(x; y – p ); ( 5/2 ; 3 – 3 / 2 )Las coordenadas son ( 5 / 2 ; 3 / 2 ) la ecuación de la directriz es Y = y – p ; y = 3 / 2

4.- LADO RECTO LR = 4pDe la ecuación se determina que LR = 6


Dado el foco( - 5, 4) y el vértice(-1, 4) de una parábola determinar:1) la ecuación canónica,2)la ecuación general, 3)el valor del lado recto, 4)la ecuación de la directriz,5) la gráfica1.- ECUACION CANÓNICALa parábola es de la forma (Y – k ) 2 = - 4 p (x - h ) Reemplazamos el vértice (h, k ) (Y – 4 ) 2 = - 4 p (x +1 ) Determinamos el valor de p encontrando la distancia del foco al vértice que es 4 entonces P = 4 y la ecuación canónica es: (Y – 4 ) 2 = - 16 (x +1 )

2.- ECUACIÓN GENERALResolvemos la ecuación(Y – 4 ) 2 = - 16 (x +1 )Y2 – 8y + 16 = - 16( x + 1) la ecuación es:y 2 – 8y -16x + 32 = 0

3.- LADO RECTOComo el lado recto es igual a 4 p este es: LR = 16

4.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZX = h + pX = -1 + 4X = 3


Dado el foco(3,3) y la distancia del vértice al foco igual a 5 si el eje de simetría es paralelo al eje X determinar:1) La ecuación canónica,2)Ecuación general,3)Ecuación de la directriz, 4) el valor del lado recto,

5) la gráfica

1.- ECUACIÓN CANÓNICAEs de la forma (Y – k ) 2 = 4 p (x - h )Determinamos las coordenadas del vértice (h, k) como el vértice está a la izquierda del foco se tiene que:

V(Xf – p ; Yf ); V(3 – 5,3); V ( -2, 3 ) Reemplazando V y P = 5 en la ecuación canónica se tiene: (Y – 3 ) 2 = 20 (X + 2 )

2.- ECUACIÓN GENERALResolvemos la ecuación(Y – 3 ) 2 = 20 (X + 2 )

Y2 – 6y - 20 x - 31 = 0

3.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZComo la directriz está ala izquierda del vértice se tiene que las coordenadas son :X = h-p X = -2 – 5X = - 7

4.- EL VALOR DEL LADO RECTO

LR = 4 PLR = 4 x 5LR = 20

NOTARecuerde que la distancia del vértice al foco es pY la distancia del vértice a la directriz es p


DR. JAIME E. BRAVO H. MSc

EXPRESE LA ECUACIÓN X 2 + 6 X – 5Y + 19 = 0

EN LA FORMA CANÓNICA , DETERMINE EL VÉRTICE (h , k ), EL VALOR DE P, LAS COORDENADAS DEL FOCO Y LA ECUACIÓN DE LA

DIRECTRIZ1. Ecuación Canónica X 2 + 6 X = 5 Y - 19• COMPLETAMOS EL TRINOMIO

CUADRADO PERFECTOX 2 + 6 X + 9= 5 Y - 19 + 9• FACTORAMOS EL TRINOMIO

CUADRADO PERFECTO• ( X + 3 ) 2 = 5Y – 10• EXTRAEMOS EL FACTOR COMÚN• ( X + 3 ) 2 = 5( Y – 2 )• OBTENEMOS LA ECUACIÓN

CANÓNICA

2.- VÉRTICE ( -3,2)

3.- EL VALOR DE P4P = 5P = 5 / 4

4.- COORDENADAS DEL FOCO

Como la parábola se abre hacia arriba se tiene que las coordenadas del foco son :F( h, k+p); F ( -3; 13/4)

5.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ

Como la directriz se encuentra abajo del vértice las coordenadas de intersección de está con el eje de simetría son :A( h; k-p); A = ( -3; 3/4 ) Por lo tanto la ecuación es Y = k – p entonces y = 3 /4


APLIQUEMOS LO

APRENDIDO

Dado el vértice (3,-4) y la ecuación de la directriz y = - 8 determinar: 1) El valor del lado recto,2)Coordenadas del foco, 3) Ecuación canónica, 4) Ecuación General, 5) Gráfica

Dado el vértice (-4, 2) y el foco ( -4,-2) determinar: 1) El valor del lado recto, 2)Ecuación de la directriz 3) Ecuación canónica, 4) Ecuación General, 5) Gráfica

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