17/07/2015 1

Proyecto

Tema 6

sesión 3:

Parábola e Hipérbola

Geometría Analítica

Isidro Huesca Zavaleta

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Proyecto

Contenido • Definición de parábola.

• Los elementos de la parábola.

• Ecuación y propiedades de la parábola.

• Construyendo una parábola.

• Ejemplos de aplicación de la parábola.

• Definición de hipérbola.

• Los elementos de la hipérbola.

• Ecuación y propiedades de la hipérbola.

• Ejemplos de aplicación de la hipérbola.

• Ejercicios a resolver.

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Proyecto

Video Parábola

https://www.youtube.com/watch?v=UDgMlSlDSEw

En la siguiente liga podrán encontrar un video en el que se traza una parábola pero por medio del doblado de papel, con lo que se muestra en él se puede dar una introducción al tema.

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Proyecto

Definición de parábola

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano , es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

Al punto fijo se le llama foco y a la recta directriz.

Foco

Directriz

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Proyecto

Los elementos de la parábola

Foco (𝑭):

Vértice (𝑽):

Directriz (𝑫):

Eje (𝑺𝑻):

Radio vector (𝑭𝑼):

Lado recto (𝑸𝑹):

Cuerda focal (𝑷𝐎):

𝑭

𝑫

𝑽

𝑼

𝑺

𝑹 𝑸

𝑷

𝑶

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Proyecto

La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje 𝑋, es 𝑦2 = 4𝑝𝑥

en donde el foco es el punto (𝑝 , 0) y la ecuación de la directriz es 𝑥 = − 𝑝. Si 𝑝 > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

Ecuación y propiedades de la parábola

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Proyecto

Si el eje de una parábola coincide con el eje 𝑌 , y el vértice está en el origen, su ecuación es

𝑥2 = 4𝑝𝑦 en donde el foco es el punto (0, 𝑝), y la ecuación de la directriz es 𝑦 = −𝑝. Si 𝑝 > 0, la parábola se abre hacia arriba; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Ecuación y propiedades de la parábola

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Proyecto

Ecuación y propiedades de la parábola

La ecuación de una parábola con vértice (ℎ, 𝑘) y eje paralelo al eje 𝑋, es de la forma

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ Siendo |𝑝| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si 𝑃 > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si 𝑃 < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

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Proyecto

Ecuación y propiedades de la parábola

Si el vértice es el punto (ℎ, 𝑘) y el eje de la parábola es paralelo al eje 𝑌, su ecuación es de la forma

𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − ℎ Si 𝑃 > 0, la parábola se abre hacia arriba; si 𝑃 < 0, la parábola se abre hacia abajo.

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Proyecto

Ecuación y propiedades de la parábola

La normal a la parábola en un punto 𝑃 𝑥1, 𝑦1 cualquiera de la parábola forma ángulos iguales con el radio vector 𝑃 y la recta que pasa por 𝑃 y es paralela al eje de la parábola, es decir, todos los rayos que llegar a la parábola de forma paralela al eje rebotan y van al foco, también los rayos que salen del foco rebotan en la parábola y salen de forma paralela al eje.

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Proyecto

Construyendo una parábola

De acuerdo con la definición de parábola construyamos una con foco el punto 𝐹(2, 1) y directriz la recta 𝑦 = −2

Graficamos la recta y el punto.

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Construyendo una parábola

Ahora trazamos una recta paralela a la directriz a 6 unidades de distancia, esta sería y = 4

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Proyecto

Construyendo una parábola

Trazamos una circunferencia con centro en el punto (2, 1) y radio 𝑟 = 6 (la distancia entre las rectas), así obtenemos dos puntos que están a la misma distancia de la recta y el foco, estos puntos son: (−3.2, 4) y (7.2, 4)

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Proyecto

Construyendo una parábola

Ahora trazamos una recta que este a 5 unidades de la directriz, esta puede ser 𝑦 = 3 y también una circunferencia con centro en el foco y radio 5, marcamos los puntos de intersección, los cuales son: (−2.58, 3) y (6.58, 3)

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Proyecto

Construyendo una parábola

Trazamos una recta que este a 4 unidades de la directriz, esta puede ser 𝑦 = 2 y también una circunferencia con centro en el foco y radio 4, marcamos los puntos de intersección, los cuales son: (−1.87, 2) y (5.87, 2)

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Construyendo una parábola

Trazamos una recta que este a 3 unidades de la directriz, esta puede ser 𝑦 = 1 y también una circunferencia con centro en el foco y radio 3, marcamos los puntos de intersección, los cuales son: (−1, 1) y (5, 1)

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Proyecto

Construyendo una parábola

Trazamos una recta que este a 2 unidades de la directriz, esta puede ser 𝑦 = 1 y también una circunferencia con centro en el foco y radio 2, marcamos los puntos de intersección, los cuales son: (0.27, 0) y (3.73, 0)

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Construyendo una parábola

Agregamos una parábola y la ajustamos para que pase por los puntos que hemos obtenido.

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Ejemplos de aplicación de la parábola

La parábola tiene un gran variedad de aplicaciones, por ejemplo:

Diseño de espejos parabólicos.

Diseño de faros para automóvil.

La trayectoria de un proyectil.

En la arquitectura, en arcos.

Los cables de un puente colgante.

Las antenas para la recepción de señales.

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Video Hipérbola

En la siguiente liga podrán encontrar un video en el que se traza una hipérbola pero por medio del doblado de papel, con lo que se muestra en él se puede dar una introducción al tema.

https://www.youtube.com/watch?v=Ag0ZYuEaWlc

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Definición de hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

𝒅𝟏 − 𝒅𝟐 = 𝑸𝟐 − 𝑸𝟏 = 𝒌

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Los elementos de la hipérbola

Focos (𝑭𝟏, 𝑭𝟐): Son los puntos fijos.

Eje Focal: Recta que pasa por los dos focos.

Vértices (𝑽𝟏, 𝑽𝟐): Intersección del eje focal con las ramas de las hipérbola.

Eje transverso: Segmento del eje focal

comprendido entre los vértices.

Centro (𝑪): Puntos medio del eje

transverso.

Eje Normal: Rectas que pasa por 𝐶 y perpendicular al eje focal.

Cuerda focal: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la hipérbola y que pasa por alguno de los focos.

Lado recto: Cuerda focal perpendicular al eje focal.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

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Ecuación y propiedades de la hipérbola

La ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje focal el eje 𝑋, y focos los puntos (𝑐, 0) y (−𝑐, 0), es

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

Si el eje focal coincide con el eje 𝑌, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, 𝑐) y (0, −𝑐), entonces la ecuación es

𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2= 1

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Proyecto

La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (ℎ, 𝑘), eje focal paralelo al eje 𝑋, es de la forma

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Si el eje focal es paralelo al eje 𝑌, entonces la ecuación es (𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

Ecuación y propiedades de la hipérbola

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Proyecto

Ecuación y propiedades de la hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola con eje focal paralelo al eje 𝑋, son

𝑦 =𝑏

𝑎𝑥 − ℎ + 𝑘

𝑦 = −𝑏

𝑎𝑥 − ℎ + 𝑘

Las asíntotas de la hipérbola con eje focal paralelo al eje Y, son

𝑦 =𝑎

𝑏𝑥 − ℎ + 𝑘

𝑦 = −𝑎

𝑏𝑥 − ℎ + 𝑘

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Proyecto

Ecuación y propiedades de la hipérbola

Para toda hipérbola, 𝑎 es la longitud del semieje transverso, 𝑏 la del semieje conjugado, 𝑐 la distancia del centro a cada foco, y 𝑎, 𝑏, 𝑐 están ligados por le expresión

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

También, para cada hipérbola, la longitud

de cada uno de sus lados rectos es 2𝑏2

𝑎, y

la excentricidad 𝑒 está dada por la relación

𝑒 =𝑐

𝑎=

𝑎2 + 𝑏2

𝑎> 1

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Ejemplos de aplicación de la hipérbola

Uno de los usos de la hipérbola es en el sistema de navegación LORAN, el cual consiste en emitir una señal al mismo tiempo desde dos puntos fijos a una nave en el mar, la diferencia de tiempo de llegada de las dos señales a la nave determinan la distancia a la cual se encuentra dicha nave de los puntos donde se emite la señal. Con lo anterior se puede determinar el punto en el cual se encuentra la nave en una de las ramas de la hipérbola.

También es útil en la modelación de la trayectoria que toma un cometa al entrar al sistema solar.

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Ejemplos de aplicación de la hipérbola

La hipérbola al igual que la parábola tiene una propiedad de reflexión (no la misma) que ayuda en la creación de lentes de telescopio.

En la guerra también es utilizada para la localización de artillería, por medio del sonido que estas producen al ser disparadas, a este método se le llama localización acústica.

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Ejercicios a resolver

La Estufa Solar Como proyecto final en la clase de geometría analítica los alumnos deben fabricar una estufa solar, las indicaciones que tienen es que la profundidad de esta debe ser de 80 centímetros y la circunferencia que se forma en la parte superior debe tener un radio de 2 metros. ¿A qué distancia, en centímetros, del vértice deben poner lo que pretenden cocinar?

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Ejercicios a resolver

503 m

137 m ?

Uno de los cables de la estructura del puente de la bahía de Sídney tiene algunos daños y debe ser cambiado. Si el largo del puente (la que se encuentra sobre el agua) es de 503 metros y la altura (sobre el nivel del agua) es de 137 metros, ¿Cuántos metros mide el cable que debe ser cambiado (de color rojo)?

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Ejercicios a resolver

Calcular el radio de la circunferencia que se forma en la parte superior de la chimenea de una planta nuclear, si el diámetro de la circunferencia de la base es de 23.12 metros y la imagen se debe ajustar a una dimensión de 385 ×517 𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑒𝑠 en el laboratorio de geometría analítica.

23.12 m

517 p

385 p