primera t.a

8/17/2019 PRIMERA T.A.

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TEORIAS ASOCIADAS A LOS METODOS DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD.

En la presente guía se pretende trabajar con el método de la flexibilidad y se estudia más a

fondo, principalmente con el fin de destacar y de incluir el cálculo de los desplazamientos

en la formulación matricial de cualquier problema que se pudiese plantear. Hay quedestacar que mediante este método los cálculos se acen más organizados y formalizados.

El análisis suele di!idirse en dos partes regularmente"

#. $na fase de planteamiento que se ace al inicio del análisis estructural,

%. $na fase matemática que es rutinaria en naturaleza y solo considera operacionesmatriciales.

En el método de la flexibilidad puede utilizarse con fines de programación si se trata de

una clase más limitada de estructuras. &a estructura libre puede seleccionarse de acuerdo

con alguna regla particular y, por tanto, la solución puede programarse de un mododefinido. El factor más importante en decir es el tama'o de la matriz que se !a a in!ertir.

Hay mucas estructuras que tienen menos grados de indeterminación estática que

cinemática, y en tal caso, el método descrito en la presente guía presenta una solucióncompleta y sistemática de la estructura.

En ingeniería ci!il y específicamente en estructuras, el (étodo de flexibilidad es el clásico

método consistente en deformación para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos

en sistemas estructurales. )u !ersión moderna formulada en términos de la matriz deflexibilidad de los miembros también tiene el nombre de (étodo de (atriz de *uerza

debido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente conocidas.

Flexibilidad de Miembros

&a flexibilidad es el in!erso de la rigidez. +or ejemplo, considera un resorte que tiene Q y qcomo, respecti!amente, su fuerza y deformación"

&a relación de rigidez del resorte es Q = k q donde k es la rigidez del resorte.

)u relación de flexibilidad es q = f Q, donde f es la flexibilidad del resorte.

+or lo tanto, f #-k .

la relación de flexibilidad de un miembro típico tiene la siguiente forma general"

Donde

m nmero de miembros m.


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!ector de las características de deformación del miembro.

matriz de flexibilidad del miembro la cual caracteriza la susceptibilidad del

miembro a deformarse bajo fuerzas.

!ector de fuerzas características independientes del miembro, las cuales son

fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan subida a todas las

fuerzas en los extremos de los miembros mediante equilibrio de miembro.

!ector de deformaciones características de los miembros causados por

efectos externos /tales como fuerzas conocidas y cambios de temperaturas0 aplicadas a

los miembros aislados, desconectados.

+ara un sistema compuesto de mucos miembros interconectados en puntos llamadosnodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros pueden ser puesta junto dentro de una

sola ecuación de matriz, soltando el superíndice m"

MTODO B!SICO DE LAS FLEXIBILIDADES. Este método contempla el siguiente procedimiento básico

1eterminar el grado de Hiperestaticidad

Eliminar las restricciones para obtener una estructura isostática

Enumerar las restricciones eliminadas /2an de # 3 4.H0

1eterminar los desplazamientos que ocurren en la estructuras en dirección de as

fuerzas eliminadas.

+lantear la matriz de flexibilidades /Estado 5ero0

+lantear las ecuaciones de compatibilidad

6plicar las ecuaciones de equilibrio estático, para obtener las reacciones restantes.


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MTODO LIBERACI"# $ DEFORMACI"#%

Este método utilizado para el análisis estructural es básicamente una !ariante del

método de flexibilidades, en el cual los nodos de un marco se liberan inicialmente,examinándose sus discontinuidades y desplazamientos relati!os, expresados de

forma matricial para posteriormente lograr su solución.

EC&ACIO#ES DE E'&ILIBRIO #ODAL%

)on utilizadas para reducir el numero de fuerzas desconocidas en miembros independientes.&as ecuaciones de equilibrio nodal tiene la siguiente forma"

1onde"

2ector de fuerzas nodales a todos los 7 4rados de &ibertad del sistema

&a matriz resultante del equilibrio 7odal.

El 2ector de *uerzas deri!ado de las cargas en los miembros.

En el caso de los sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución para 8 puede

ser encontrada inmediatamente /90 siempre que el sistema sea estable.

GRADOS DE LIBERTAD%

$n cuerpo aislado puede desplazarse libremente en un mo!imiento que se puededescomponer en 9 rotaciones y 9 traslaciones geométricas independientes /traslaciones y

rotaciones respecto de ejes fijos en las 9 direcciones de una base referida a nuestro espacio

de tres dimensiones0.

+ara un cuerpo unido mecánicamente a otros cuerpos /mediante pares cinemáticos0,algunos de estos mo!imientos elementales desaparecen. )e conocen como grados de

libertad los mo!imientos independientes que permanecen.

(ás concretamente, los grados de libertad son el nmero mínimo de !elocidades

generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismoo sistema mecánico. El nmero de grados de libertad coincide con el nmero de ecuaciones

necesarias para describir el mo!imiento. En caso de ser un sistema olónomo, coinciden los

grados de libertad con las coordenadas independientes.

En mecánica clásica y lagrangiana, la dimensión d del espacio de configuración es igual ados !eces el nmero de grados de libertad GL, d %:GL.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hol%C3%B3nomo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hol%C3%B3nomo&action=edit&redlink=1


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GRADOS DE LIBERTAD E# ESTR&CT&RAS%

+odemos extender la definición de grados de libertad a sistemas mecánicos que notienen capacidad de mo!erse, llamados estructuras fijas. En el caso particular de estructurasde barras en d dimensiones, si n es el nmero de barras y existen m restricciones /uniones

entre barras o apoyos0 que eliminan cada una r i grados de libertad de mo!imiento;definimos el nmero de grados de libertad aparentes como"

4& < d = /d-%0>?/n3#0 @ A ri /cuando i#0

GL" 4rados de libertad del mecanismo.

n" 7mero de elementos de barras de la estructura.

r i" 7mero de grados de libertad eliminados por la restricción.

En función de la anterior suma algebraica podemos acer una clasificación de los sistemas

mecánicos formados a base de barras"

Estructuras iperestáticas, cuando GL B C.

Estructuras isostáticas, cuando GL C.

(ecanismos, cuando GL D C.

E'&ILIBRIO( I#DETERMI#ACI"# Y GRADOS DE LIBERTAD

). E'&ILIBRIO

1ecimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en

estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas.

El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las partes.

1ecimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con

un mo!imiento o !ibración /aceleración0 controlada de sus partes /deformación0

mas no de su soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, !iento,

motores y en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga

!i!a.

).) E*+a*iones b,si*as de e-+ilibrio

&as ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la

primera ley de 7eton y controlan los mo!imientos del cuerpo en traslación y

rotación.


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y

1os ecuaciones !ectoriales que se con!ierten en seis ecuaciones escalares,

tres de traslación y tres de rotación.

, estas tres corresponden a tres posibles

formas de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del cuerpo

y corresponden a tres grados de libertad de

rotación.

En total representan seis formas de mo!erse, seis grados de libertad para todo

cuerpo en el espacio.

+ara estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los

tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y una rotación"

). E*+a*iones al/ernas de e-+ilibrio

En el plano se puede !erificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones de

momento y una de fuerzas o por medio de 9 ecuaciones de momento"

a0 $na ecuación de traslación y dos

momentos" siempre y cuando se cumpla

que los puntos a y b no coincidan ambos con el eje F o en una línea paralela

a F.

)i colocamos a Ga y Gb sobre F en ninguna de las ecuaciones estaríamos

in!olucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con F.

b0 Ires ecuaciones de momento" .

+ara que estas ecuaciones in!olucren todas las fuerzas los puntos a, b y c no

pueden ser colineales.


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+ara aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un diagrama de cuerpo

libre de la estructura, en el cual se representen todas las fuerzas

externas aplicadas a ella.

&as reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las cargas !arían,

pero para el análisis, consideraremos los apoyos rígidos e infinitamenteresistentes. 5abe aclarar que los apoyos pueden ser elásticos, esto es, apoyos que

se pueden modelar como resortes, cuyas reacciones son proporcionales a los

desplazamientos o rotaciones sufridas.

5uando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones, una para el

cuerpo en general que corresponde al equilibrio externo, y otra para cada una de

sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta los apoyos

/estabilidad interna0.

. ESTABILIDAD Y DETERMI#ACI"# EXTER#AS

la estabilidad se logra si el nmero de reacciones es igual al nmero de

ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear, siempre y

cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas.

&as ecuaciones de equilibrio independientes corresponden a las ecuaciones de

equilibrio general mas las ecuaciones de condición adicional en las uniones de las

partes de la estructura /rótulas o articulaciones internas0, por ejemplo"

• 5aso de reacciones concurrentes

7o restringen la rotación generada por fuerzas externas que no pasen el punto de

concurrencia de las reacciones.

• 5aso de reacciones paralelas

7o restringen el mo!imiento perpendicular a ellas.

.) Condi*iones de e-+ilibrio 0 de/ermina*i1n en es/r+*/+ras 2lanas

)i J reacciones J ecuaciones estáticas más ecuaciones de condición; ay

estabilidad.

)i J reacciones B J ecuaciones; es inestable .


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)i J reacciones D J ecuaciones; es estáticamente indeterminado o iperestático y

su grado de indeterminación estática externa se determina por"

4K externo J reacciones 3 J ecuaciones

. Es/abilidad 0 de/ermina*i1n in/erna

$na estructura es determinada internamente si después de conocer las reacciones

se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las ecuaciones de

equilibrio.

$na estructura es estable internamente, si una !ez analizada la estabilidad

externa, ella mantiene su forma ante la aplicación de cargas.

&a estabilidad y determinación interna están condicionadas al cumplimiento de

las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la estructura.

+ara analizar las fuerzas internas se usan dos métodos"

El método de las secciones y el método de los nudos.

En el método de los nudos se aplican las ecuaciones

/armaduras planas0 a cada nudo en sucesión y en el método de las secciones se

aplican las ecuaciones a cada una de las partes de

la estructura y se obtienen las fuerzas internas en los elementos interceptados por una línea de corte trazada adecuadamente.

.3 Armad+ras

Este tipo de estructuras está construido por uniones de articulación, donde cada

uno de sus elementos sólo trabaja a carga axial.

+or cada nudo se tienen dos ecuaciones estáticas.

)i n es el nmero de nudos, m es el nmero de miembros y r es el nmero de

reacciones necesarias para la estabilidad externa tenemos"

7mero de ecuaciones disponibles" % x n

7mero de incógnitas o fuerzas a resol!er m, una fuerza por cada elemento,

note que aquí se pueden incluir las reacciones externas necesarias para mantener

el equilibrio.


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Entonces si"

2.n = m + r la estructura es estáticamente determinada internamente y

m = 2.n–r representaría la ecuación que define el nmero de barras mínimas

para asegurar la estabilidad interna. Esta ecuación es necesaria pero no suficiente,ya que se debe !erificar también la formación de la estructura en general, por

ejemplo al acer un corte siempre deben existir barras de tal manera que generen

fuerzas perpendiculares entre sí /caso de corte y axial0 y posibles pares de

momento resistente.

)i m > 2 n – r la armadura es estáticamente indeterminada internamente,

r sólo incluye aquellas reacciones necesarias para la estabilidad externa ya que

sólo estamos analizando determinación interna.

E4em2los%

#.

1eterminación interna"

m #9 m = r %n

n L #9 = 9 % x L 5umple

r 9

%.

9.


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M.

Es/abilidad 0 de/ermina*i1n /o/al en armad+ras

)implemente se aplica la ecuación"

m % n @ r donde r en este caso se considera el nmero de reacciones totales

consideradas.

+ara el ejemplo anterior tenemos"

m N n M r M

N D L @ M

4K total es N @ M %


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.5 Mar*os 0 21r/i*os

+ara el análisis de la determinación y estabilidad internas se usa el método de las

secciones.

En este caso cada elemento trabaja como elemento tipo !iga sometido a tresfuerzas internas" 5orte, 6xial y (omento.

)e inicia partiendo la estructura en !arias partes de tal manera que en cada corte

se solucionen las fuerzas internas de cada elemento.

En el caso de pórticos que formen anillos cerrados los cortes deben ser tales que

aíslen esos anillos.


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Estructura estable. 6nálisis externo"

#% reacciones D 9 ecuaciones

4K ext O

4K int C, ya que al cortar por alguno de los

elementos se generan 9 incógnitas con tresecuaciones estáticas disponibles para la parte de la

estructura analizada.


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externamente"

P reacciones D 9; 4K ext %

Estable externamente

Knternamente"

J incógnitas N, en cada corte, 9 por elemento

cortado.

J ecuaciones estáticas 9

4K int 9

4KI P


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.6 Sis/emas es/r+*/+rales -+e *ombinan elemen/os /i2o *er*7a *onelemen/os /i2o 8i9a en +niones ar/i*+ladas.

+ara la determinación interna se recomienda separar la estructura en sus partes,

acer el diagrama de cuerpo libre de cada una y contar incógnitas y ecuaciones

disponibles.

5ada parte de la estructura debe estar en equilibrio.

&a determinación y estabilidad externa se encuentran por los métodos usados

para las otras estructuras.

En el análisis externo tenemos"

9 reacciones, 9 ecuaciones estáticas; entonces es estáticamente determinado y

estable. 7ote que la estructura no necesita de sus reacciones para mantener su

forma por lo tanto no se cuentan ecuaciones de condición.

Knternamente, partiendo en las uniones"

7mero de incógnitas" N. 7mero de ecuaciones" O39 de la estática externaN.

Estable y estáticamente determinado internamente.


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)i una de las barras está sometida solamente a las fuerzas de sus uniones, ésta

barra trabaja como cerca y se eliminan dos incógnitas, pero también sus

ecuaciones de equilibrio se reducen a una sola en !ez de tres.

3. GRADOS DE LIBERTAD

)e define como grados de libertad el nmero mínimo de parámetros necesarios

para describir de manera nica la figura deformada de la estructura. Estos

parámetros corresponden a las rotaciones y traslaciones libres en cada uno de los

nudos de la estructura.

+ara el análisis de estructuras podemos usar dos métodos que !arían de acuerdo

con las incógnitas a resol!er, en uno se encuentran fuerzas y en el otro se

encuentran deformaciones.

En este curso solo analizáremos estructuras reticulares donde un elemento queda

totalmente determinado si conocemos las deformaciones y rotaciones de sus

extremos / método de las deformaciones0 o las fuerzas y momentos de sus

extremos /método de las fuerzas0.

+ara estructuras estáticamente determinadas el método de las fuerzas resulta mas

apropiado ya que las fuerzas como incógnitas quedarían resueltas al aplicar las

ecuaciones estáticas. En el caso de tener estructuras con grados de

iperestáticidad altos resulta mas !entajoso usar el método de las deformaciones,debido a que se cuenta con menos grados de libertad libres que nmero de

fuerzas por determinar.

En estos casos el grado de indeterminación se mide por el nmero de grados de

libertad libres /posibles formas de mo!erse la estructura en sus uniones0 y se

denomina indeterminación cinemática de la estructura.

+ara un elemento tipo !iga sin ninguna restricción tendríamos N grados de

libertad libres, tres en cada extremo"


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)i la !iga se le colocan apoyos de tal manera que queda estáticamente

determinada y estable ella quedaría con un grado de indeterminación cinemática

de 9.

5. A:LICACI"# DE LAS EC&ACIO#ES DE E'&ILIBRIO

1eterminación de reacciones por proporciones"

+ara determinar las reacciones en !igas sometidas a cargas puntuales podemos

aplicar la siguiente regla"

)iempre la reacción de un lado será igual a la carga puntual multiplicada por la

distancia de la carga al apoyo contrario di!idido la longitud del elemento.

+ara determinar las reacciones debidas a momentos siempre aplicamos que el

momento externo debe ser compensado por un par de fuerzas en los apoyos, cuya

magnitud es el momento externo di!idido por la separación entre las fuerzas y su

dirección es tal que produzca un momento contrario al aplicado

externamente. Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de sumatoria de

fuerzas !erticales igual a cero.

Estas dos reglitas junto con el principio de superposición nos ayudarán bastante

en la determinación de las reacciones en !igas simplemente apoyadas.

+ara el análisis de arcos triarticulados con sus apoyos al mismo ni!el se

recomienda partir el arco por la articulación y tomar momentos de las fuerzas

internas de la articulación con respecto a los apoyos. En este caso obtendremos

un sistema de % ecuaciones con % incógnitas. )i los apoyos están a diferentes

ni!eles se toma el arco como un todo y toma momentos con respecto a uno de los

apoyos, por ejemplo el apoyo 6, después parte el arco por la articulación y toma


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momentos de la parte que incluye el apoyo Q con respecto a la articulación y

queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

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