1

T.A. Edison

Tajemství úspěchu v životě není v tom, že děláme, co se nám líbí, ale, že nacházíme

zalíbení v tom, co děláme.

2

E2 Eukleidovská rovina

Body

Používáme homogenní souřadnice

Vektory

Budeme používat i označení u, v místo šipky z technických důvodů

E3 Eukleidovský prostor

3

Množina všech geometrických vektorů v prostoru tvoří vektorový prostor dimenze 3.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů je číslo.Velikost vektoru

4

Vektorový součin• Vektorový součin je vektor.

Vektor u x v je kolmý k vektoru u i vektoru v Jsou-li vektory u a v lineárně nezávislé, je velikost ║u x v║ vektorovéhosoučinu u x v rovna obsahu rovnoběžníku, který určují libovolná umístěnívektorů u a v se společným počátečním bodem. Kanonickou bázi budeme někdy značit i, j, k (i, j v rovině)

5

Body, přímky, úsečky, kružnice, kuželosečky, křivky, … Geometrické objekty

koule, krychle, tělesa, rovina, kulová plocha, plocha, …Zobrazení, promítání, transformace, …

• Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost

Nepoužíváme souřadnice, popisujeme slovně (synteticky) vlastnosti objektu.

V rovině je dána soustava souřadnic { O, i, j }. Každá rovnice

Kde m, n, r (r>0) jsou reálná čísla popisuje kružnici. Objekt jsme popsali rovnicí, pomocí souřadnic jeho bodů – analyticky.Z rovnice umíme „odečíst“ souřadnice středu a poloměr kružnice.

6

Analytický popis roviny

• Rovina je určena: třemi body, které neleží v jedné přímce, přímkou a bodem, který na ní neleží, dvěma různoběžkami, dvěma rovnoběžkami, bodem a přímkou, která je k rovině kolmá, …

Ve všech případech máme k dispozici je-den bod roviny a její normálový (nenulo-vý) vektor, libovolné umístění tohoto vektoru je úsečka kolmá k dané rovině.

Obecná rovnice roviny

7

Analytické vyjádření přímky v prostoru

• Dva různé body v prostoru ur-čují jedinou přímku. Přímka je průsečnice dvou různoběžných rovin. Existuje jediná přímka procházející daným bodem, která je rovnoběžná s danou přímkou nebo kolmá k dané rovině.

• Přímka je určena svým směrovým vektorem u = B-A a jedním bodem A

X – A = t (B – A)X = A + t (B – A)X = A + t u

8

Příklady analytického vyjádření geometrických objektů • Kulová plocha• Koule• Krychle• Šroubovice

• Válcová plocha

22)(2)(2)( rnznymx

22)(2)(2)( rnznymx

}10,10,10],,,{[ zyxzyxC

tvtrtrtX

ttvztrytrx

0,sin,cos)(

2,0,0,sin,cos

vururvuXhvuvzuryurx

,sin,cos),(,0,2,0,,sin,cos

9

Šroubovice a válcová plocha

-4 -20

24

-4-2

02

4

0

5

10

-4-2

02

4

-4 -20

24

-4-2

02

4

0

5

10

15-4

-20

24

-4-2

02

4

-4-2

02

4

0

5

10

15

-4-2

02

4

10

Transformace a zobrazení

A A A A A A A Je toto podobnost

A AJe toto také podobnost

11

Afinní transformace detailu obrazu

12

Transformace soustavy souřadnicV rovině jsou dány dvě soustavy souřadnic S= {O, i, j} a S’={O’, i’, j’}. Známe: souřadnice bodu O’ v soustavě S a vyjádření vektorů i‘ a j‘ v bázi { i, j }. Úloha: Bod X má souřadnice x, y v soustavě S a souřadnice x‘, y‘ v soustavěS‘. Vyjádřete x‘, y‘ v závislosti na x a y.

)()(

)()(,

)()(

),(),,(,,

22

11

2211

2121

2121

byaxnybyaxmx

jbyaxibyaxnmX

jbibyjaiaxOX

jyixOX

bbjaainmO

nymx

baba

yx

yx

baba

nm

yx

1

22

11

22

11

''

''

13

Transformace v rovině … Φ, Ψ, f, FPevná soustava souřadnic

X, k, … vzory X’, k’, … obrazySamodružný bod f(A) = A, samodružná přímka f(a) = a

Známe: shodnosti, stejnolehlost, podobnostOtáčení kolem počátku soustavy souřadnic o úhel α

sincoscossinsinsincoscos

)sin(),cos(',''sin,cos,

yx

yxXyxX

11000cossin0sincos

1''

yx

yx

cossinsincosyxyyxx

14

Translace = posunutí: vektor posunutí t = (a, b)

Symetrie podle počátku soustavy souřadnic

Symetrie podle os souřadnic

byyaxx

yyxx

yyxx

yyxx

1001001ba

100010001

100010001

100010001

15

Stejnolehlost se středem v počátku a kvocientem k

Změna měřítek na osách souřadnic (dilatace)

1000000

kk

0,

kkyykxx

]0,0[0,0,

hkhkhyy

kxx

1000000

hk

16

Afinita, afinní zobrazení

Vlastnosti afinního zobrazení:1. Transformace roviny2. Obrazem přímky je přímka3. Rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek4. Zachovává dělicí poměr5. Obrazem kuželosečky je kuželosečka stejného typu, obrazem

kružnice je elipsa6. Je určeno šesti parametry = třemi páry bodů vzor – obraz, vzory

ani obrazy nesmí ležet na jedné přímce.

021122211

22221

11211

aaaabyaxaybyaxax

11001''

22221

11211

yx

baabaa

yx